比较资产定价模型：基于距离的度量和贝叶斯

相反，贝叶斯投资者选择FF6作为顶级模型；直觉上，即使在相同的错误定价水平下，FF6也比q因子更精确地估计Alpha。我们构建了两个距离度量来评估比较模型的经济规模，或等效地确定选择因素的经济意义。第一个是两个竞争模型之间年度总运输成本的差异。例如，将动量因子（UMD）添加到FF5中，可以为两个大横截面每年节省4.5%到7%。对于非嵌套模型，FF6在2.5%-3.2%的年运输成本节省范围内，获得了超过q因子的竞争优势。第二个是贝叶斯投资者的距离等价性度量，该投资者背离了他对模型的教条信念。如果两个相互竞争的模型在不同的定价不确定性优先级下产生相同的平均距离（AD），则可以认为它们是距离等效的。这一措施需要对模式选择进行经济权衡。σα=2%时的Toillustrate，q因子等于FF6中的教条信念。这意味着，选择FF6而非q因子每年可将贝叶斯投资者先前对模型错误定价的担忧降低±4%。此外，σα=4%时的FF5相当于精确定价FF6的距离。这意味着动量因子（UMD）的边际值是为了将他之前对模型错误定价的担忧减少±8%。因此，贝叶斯投资者将UMD视为FF5的一个重要补充，其影响与盈利能力因子（RMW）和投资因子（CMA）的联合效应同等重要，后者表示大横截面的平均回报。

相比之下，价值因子（HML）是多余的，与常客发现一致（Fama和French，2015）。因此，根据Occam razor的原则，贝叶斯投资者（theBayesian investor）主张采用修正的五因素模型，用UMD代替HML。本文与Pastor和Stambaugh（2000）以及Barrilas和Shanken（2017a）密切相关。这三篇论文都使用贝叶斯框架来比较模型，并共享相同的先前规范。具体而言，我们的论文建立在Pastor和Stambaugh（2000）的贝叶斯背景之上。需要错误定价参数的概率视图来定义α的两个多元正态分布之间的距离。我们的论文与Pastor和Stambaugh（2000）的目标不同。他们论文中基于效用的指标旨在检验不同程度的先验信念对投资组合选择的影响，而不是“选择一种定价模型而非另一种定价模型”。相比之下，我们基于距离的度量不仅可以用来衡量独立模型的性能，还可以在嵌套和非嵌套设置中比较和排序模型。在这方面，我们的论文与Barrilas和Shanken（2017a）的目的相同，但在方法上有明显不同。首先，他们使用贝叶斯因子计算后验模型概率，以便通过统计推断选择最佳因子集。相比之下，我们的距离度量是以回报为单位的成本度量，带有易于沟通的直观经济解释。

其次，他们的论文属于基于候选因素平移回归的RHS方法；我们的LHS方法旨在选择最能描述董事会横截面平均回报的模型。5 6此外，基于距离的指标更直接地解决了现有指标的持久挑战。总距离、平均距离和边际距离分别与文献中的GRS统计、基于alpha的统计和t统计具有可比性。我们对现有指标问题的贝叶斯解决方案非常简单。在其频率等效形式中，定价误差和时间序列回归的标准误差的OLS估计是构建距离度量所需的唯一输入，即，构建GRS统计不需要额外成本。它们只是在组合定价错误和标准错误的方式上有所不同。贝叶斯投资者首先将平方定价误差和平方标准误差相加，然后取总和的平方根，而不是取比率。论文的其余部分组织如下。第一节介绍了贝叶斯框架，并在最优运输理论中定义了二次Wasserstein距离。第2节开发了指标以及总距离（TD）、平均距离（AD）和边际距离（di）的贝叶斯解释。还分析了距离度量与GRS统计、基于alpha的统计和tstatistic的比较。第3节介绍了数据和时间序列回归。第4节介绍了各种LHS投资组合的模型排名结果。第5节介绍了比较模型和选择因素的经济规模的贝叶斯评估。

第6节总结了本文，并对频繁出现的p值进行了说明。Fama和French（2017）将选择因素分为LHS方法和RHS方法。LHS方法根据时间序列回归的截距判断比较模型，以解释LHS回报。这是大量研究所采用的主要方法，即Fama和French（2015，2016a，b），Hou，Xue和Zhang（2015，2016），Harveyand Liu（2017），仅列举其中一些。受Fama（1998）的启发，RHS方法使用跨越回归测试冗余因素，并利用GRS统计函数进行推断。Fama和French（2017）以及Barillas和Shanken（2017a，b）最近提倡这种方法，其主要优势是独立于LHS回报。令人惊讶的是，他们的六个因子（Mkt IA ROE SMB HMLmUMD）具有最高的后验概率（通过贝叶斯因子测量），但在描述LHS回报方面表现不佳。如表8所示，六因素模型在描述两个董事会横截面的平均回报方面仅优于CAPM和FF3。较差的性能似乎是由每月更新的价值因子HMLm引起的。移除HMLMI后，其余五个因子（Mkt IA ROE SMBUMD）的性能显著改善，达到q因子和FF6.1之间的范围。贝叶斯框架和两个分布之间的距离1.1贝叶斯设置贝叶斯设置基于Pastor（2000）和Pastor and Stambaugh（2000）。假设投资者对n项资产有T个观察结果。让R表示超过无风险利率rf的资产回报的T×n矩阵，以及 表示T×（k+1）矩阵，其中第一列是1的T×1向量，其余k列包含因子回报的T×k矩阵。

考虑R onX的多元回归：,                 （1） 在哪里 是（k+1）×n矩阵，其中第一行是α的1×n向量，第二行包含因子载荷的k×n矩阵，是秩为T.vec的单位矩阵() 表示将矩阵列堆叠为向量的运算符，以及 表示Kronecker乘积。假设扰动矩阵U的行与n×n协方差矩阵∑连续不相关且同余。式（1）的设置是Zellner（1971）考虑的经典多元回归模型，Pastor（2000）和Pastor and Stambaugh（2000）在传统的PortfolioProblem中应用了该模型。投资者对α和β的先验信念由以下多元正态分布给出：                   （2） 一般来说，, 它是α的1×n先验平均值，可以取任何非零值，以反映投资者对LHS资产组错误定价水平的适当看法。我们设置 集中对资产定价模型含义的首要信念，即在真实模型下没有错误定价。如果alpha上的Priorman以零为中心，则代表投资者对定价不一致或定价不确定程度的先验信念。什么时候,  投资者对该模型抱有教条主义的信念，完全排除了索姆定价。什么时候, 投资者平等地看待任何水平的错误定价，因此依赖数据来检测给定模型的错误定价水平。在这两个极端新闻之间，可以采用广泛的价值观来表达投资者对该模型的坚定、谦虚和软弱信念。

请注意，先前的不确定性, , 与残差协方差矩阵∑成比例，以反映不可能出现非常大的错误定价机会的事实。是一个标量，其值设置为∑的样本估计的对角线元素的平均值缩放不变。最后，因子载荷的先验分布 也以零为中心，具有对角协方差矩阵 其元素采用非常大的值来构造无信息的因子加载先验。在附录A中，（B，∑）的先验分布与等式（1）的似然函数相结合，以得出回归参数的后验估计。给定α的信息先验和β和∑的非信息先验，回归参数的后验估计 具有分析性解决方案。特别是我们选择 和, α和β的后验估计有一个简单直观的形式：                   （3） 在哪里 存储在第一行，并且 在以下k行中;  和  是一个（k+1）×（k+1）矩阵。α的后验方差取自n（k+1）×n（k+1）矩阵的（n，n）左上块附录A中定义。收缩效应 很容易看到。对于 （完全不相信模型）， 仅基于样本信息，减少到α和β的OLS估计值。对于（对模型的教条主义信念），仍为OLS估计值，但 减小到理论值零。

对于任何给定值介于0和之间∞,  是零和OLS估计值的加权平均值，各自的权重由先验信念的相对置信度确定（由)在样本中（由X′X捕获）。对于资产定价模型，其错误定价的特征是α的后验分布, 价值为从0到指定∞ 反映先前不同程度的定价失误不确定性。因此，模型性能被表述为比较α的两个后验分布的问题，用不同的. 下面介绍的最优运输理论提供了度量两个概率分布之间最短距离的指标。Pastor（2000）和Pastor and Stambaugh（2000）对此之前的规范进行了详细讨论。Barillas和Shanken（2017a）也使用了这一优先考虑作为信息比率。他（2007）将σα解释为根据投资政策分配给资产经理的主动风险预算。1.2最优运输理论和Wasserstein距离距离距离度量基于植根于数学的最优运输理论（Villani，2003，2009），在经济学（Galichon，2016）和计量经济学（Galichon，2017）中有着丰富的应用。经典问题（Monge，1781）是找到将一个概率分布的质量移动到另一个概率分布的最短距离或最小成本。继Villani（2009，定义6.1）之后，我们给出了两个概率分布之间的Wasserstein距离的以下定义。定义：设（S，d）为波兰度量空间。假设两个概率测度p和p是连续的，并且具有p阶的有限矩∈[1, ∞).

平面和平面之间的瓦瑟斯坦距离定义为           （4） 下确界取∏（PI，PII）中的所有π（x，y），这是随机变量x×y上的一组联合概率测度，带有边缘πx和πy。具体而言，本文中我们对p=2感兴趣，并将二次Wasserstein距离定义为：（5） 下确界覆盖了∏（PI，PII）中的所有传输计划π（x，y），πx和πy的边际分布。给定WD的定义，最优传输文献证明了以下理论结果。1） 将分配质量Pito移动到PII的最优运输问题存在唯一的解决方案。这种一对一的映射被称为最优运输计划y=T（x），其中x ~ PIis映射为y ~ PIIvia T（x）。2） 在最优运输方案下，随机向量X~p和Y~p之间的相关性最大。以上是最优运输理论中的标准结果（Villani，2003，2009）。WD将其经济解释为运输大量配送PIto PII的最低预期成本。在最佳运输文献中，瓦瑟斯坦距离也称为蒙格-坎托洛维奇距离（Villani 2009，第7章）。参见Villani（2009年，第6章），了解该术语的时间顺序。参见Villani（2003，定理2.12），以证明1）中解的存在性和唯一性，并将2）中的maximumcorrelation属性作为推论。另见Galichon（2016、2017）在经济学和计量经济学中的应用。一般来说，对于一般分布，WDor T（x）不存在闭式公式。

幸运的是，当Piand-PIIare-Gaussian时，可以导出WD和T（x）的闭式公式，关键结果总结在以下定理中。TheoremLet-PIand-PIIbe在RN上的两个高斯测度具有有限的二阶矩，使得 和,  哪里和是两个（n×1）平均值向量，和分别是两个（n×n）对称正定协方差矩阵。平面和PII之间的二次Wasserstein距离（WD）由以下公式得出                （6.1）和            （6.2）其中 是平均差分向量的欧几里德2-范数； 表示两个协方差矩阵之间的距离；Tr公司(·) 是矩阵的迹算子；是方差矩阵的平方根因此. 对于对称正定协方差矩阵,its（n×n）平方根矩阵是唯一的、对称的和正定的。附录B概述了带有技术细节的证明。2、基于距离的度量和贝叶斯解释本节发展了总距离（TD）、平均距离（AD）和边际距离（di），并分别与GRS统计、平均绝对定价误差（MAE）和tstatistic进行了比较，分析了它们的特性。

表1总结了绩效指标在理论动机、经济解释和分析性质方面的比较静态。[在此插入表1]2.1总距离（TD）与GRS统计数据定义贝叶斯设置中的总距离，前两个时刻 计划的 分别替换为模型生成的α和方差的后验估计 和,  其中，I和II表示两个不同的定价错误不确定性的先验程度，即对称和正定使用Schur算法计算（Deadman、Higham和Ralha，2013）。Python库scipy。利纳尔。sqrtm（）实现此算法。为给定定价模型指定。特别是，模型I规定σα=0（对模型的完全信任）；在这种教条主义信念下，不存在不确定性，α的后验估计值收缩到理论值零，即两者和为零。另一方面，模型II用σα=∞ （模型中的完全怀疑论），根据后验估计 缩小到完全基于数据的样本估计值。考虑到此类先前规范，等式（6）的距离度量WD减少为：                  （7.1）等式的贝叶斯解释。