比较资产定价模型：基于距离的度量和贝叶斯

（7.1）总结如下：命题1：总距离（TD）1）TD是模型中完全置信（模型隐含分布）和完全怀疑（基于数据的分布）之间的最短总距离；2） TD是将模型隐含分布的质量传输到数据库分布的最小总成本；简言之，TD是对模型持有教条信念的最低总成本。考虑到模型II的非信息先验，如附录所示，后验估计值和与α的最大似然估计相同 及其协方差矩阵, 分别地因此，式（7.1）的频率等效形式如下                     （7.2）直观解释如下。TD是两个平方和分量的平方根。或（鉴于模型II的非信息先验，样本和后验概率可互换使用），是LHS资产的平方字母之和；它衡量了定价误差分散度对总距离的贡献。第二个组件， 或 是单个资产的α方差之和，它衡量估计不精确性对总距离的贡献。因此，TD类似于大样本GRS统计，其形式为. TD和GRS都通过一个带有经济解释的单一度量来总结给定模型的总体性能。具体而言，GRS统计的核心，, 是因子和资产的最大夏普平方比Sh（F，R）与单独因子的最大夏普平方比Sh（F）之间的差值（Barrilas和Shanken，2017a，2017b；Fama和French，2017）。

同时，TD有一种贝叶斯解释，认为这是在模型中保持教条信念的最低成本。然而，尽管他们对α和V的估计相同，但GRS的频繁解释与TD的贝叶斯解释之间存在着关键区别，从而导致了不同的模型排名标准。为了说明差异，请注意等式（7.1）或等式（7.2）中的两个分量都是平方项之和，即：。，和,  哪里是资产i的α标准误差的后验估计值。除以资产n的数量正好匹配（平均平方截距）和 （平均平方标准误差）分别为Fama和French（2016b，2017）。常客的解释最好说明如下：“…高价值的是个好消息：他们表示，截获量估计值的分散在很大程度上是由于抽样错误，而不是真实截获量的分散。”（Fama和French，2016b，p.78）因此，频率解释检查了阿尔法估计值因抽样误差而分散的比例，查看了产生更高比率的模型。GRS统计量本质上是相同的，它取α的平方与α估计的协方差矩阵之比，并支持产生较低F统计量的模型。

因此，权力问题源于这种频繁的解释。相比之下，贝叶斯解释认为阿尔法的大幅度和大的标准误差都是坏消息，因为它们都有助于扩大总距离。因此，距离度量不是通过取比率来对它们进行加权，而是取两个平方误差之和的平方根；这样一来，TD就不存在电源问题，并且会惩罚那些估计Alpha不太准确的模型。此外，与Fama和French（2016b，2017）不同，Fama和French更青睐高, 贝叶斯解释不使用该比率作为评分标准；相反，高比率表示电源问题的症状。特别是，如果该比率大于1，则意味着该模型由于功率不足而难以拒绝，即使该模型产生的定价错误可能会无限高。2.2平均距离（AD）与基于阿尔法的统计（MAE）TD衡量将模型隐含分布的质量传输到基于数据的错误定价分布的总成本。因此，该总成本指标取决于测试资产的数量，因此功率问题可以被描述为所有基于比率的指标中固有的规模问题，其形式为.考虑将定标器k乘以V，并保持α固定。基于比率的统计 可以拒绝k的任何模型→0，并传递k的任何模型→∞. 直觉上，一个好的模型需要 和要小。距离度量的形式为 反映了这样的要求，从而有效地解决了电源问题。无法在不同规模的投资领域进行比较。

下面，我们提出了一个与文献中基于α的统计数据（例如，平均绝对α）类似的平均成本度量，并可用于比较横截面差异大小的模型。对于等式（7.1），删除下标II以便于说明，并将两个组件除以资产数量n。让我们定义（8.1）其中                   (8.2)                   （8.3）如图所示，和分别为均方定价误差的平方根和均方标准误差的平方根。它们分别衡量定价误差的平均分散度和平均方差对平均距离的贡献。与命题1类似，对AD的贝叶斯解释为：平均距离（AD）1）AD是模型中完全置信（模型隐含分布）和完全怀疑（基于数据的分布）之间的最短平均距离；2） AD是将模型隐含分布的质量传输到基于数据的分布的最小平均成本；或者AD是在模型中保持教条主义信念的最低平均成本。作为比较模型的直观指标，AD可与广泛使用但不规范的基于DALPHA的统计数据进行比较，尤其是平均绝对定价误差.  以下IneQuality给出了性能指标的比较静态：                  （9） 第一个严格不等式源自这样一个概念，即任何模型都是对横截面预期收益的不完整描述（例如Fama和French，2015），因为是严格正的，即alphaestimates是不精确的。

第二个不公平是RMSE的标准统计特性，当且仅当资产具有相同的定价误差时，该不公平才成立。此外，定价错误的分布越广，RMSE和MAE之间的差距就越大。为了说明这两个标准之间的区别，假设对两个模型进行比较，以解释两种资产的回报率：模型I产生的每月收益率分别为0.15%和0.17%，模型II产生的每月收益率分别为0.05%和0.25%。如果按照低MAE标准排名，模型II更好 = 0.15% <  = 0.16%.然而，如果按照低RMSE标准排名，模型I更好= 0.1603% < = 0.1803%.  这个例子说明了RMSE标准的一个显著特性：它为较大的定价错误提供了相对较高的权重。因此，它认为产生极端Alpha的模型特别不可取，因此通过一个大型RMSE严重惩罚这些模型。例如，一个模型可能会为范围广泛的资产产生低Alpha，但仅在少数资产上表现很差（例如，对于mostanomalies，FF5，但momentum）。然后，模型将由这几个极端的字母控制，排名低于其产生更高MAE但不太极端的字母的竞争对手。这种amodel排序不一致在本文中被称为“极端错误问题”。进一步注意，theRMSE属性同样适用于, 这将惩罚低精度模型，尤其是那些即使在少量资产上也会产生极端标准误差的模型。

相反 不考虑模型的估计精度，它为不同大小的定价错误分配相等的权重。最后，作为和,  AD是用于对模型进行排名的主要距离度量。如上所述，广告倾向于支持产生以下结果的模式：1）低价格错误；2） 估计精度高；3）极端定价错误和标准错误较少。2.3边际距离（di）与t-统计量（ti）当从总距离中挑出单个资产i时，我们可以将边际距离定义为（10） 因此，总距离是所求和的平方根，即：。，. diis的Bayesian解释：命题3：边际距离（di）1）diis是资产i对总距离的边际贡献；2） DII是对模型持有教条信念的边际成本。要识别极端误差问题的有害影响，请考虑五种资产上的两个模型。模型I完美地解释了四项资产（零阿尔法），但在第五项资产上产生了50bp的阿尔法，即MAE（αI）=10bp，RMSE（αI）=22.26bp。模型II在所有五项资产上产生20bp的Alpha，因此MAE（αII）=RMSE（αII）=20bp。因此，一个极端的错误会破坏另一个完美的模型。DII类似于t统计量() 测试资产定价误差的统计显著性。使用相同的输入(和), 但在量度结构和解释上存在明显差异。t-统计量是一种基于比率的度量，有利于产生较小值的模型：根据频率解释，相对于其采样误差，pricingerror的估计是微不足道的。

然而，一个显著的t统计量可能不能归因于一个小的alpha估计值，而是归因于一个夸大的标准误差，从而导致个别资产的权力问题。相比之下，贝叶斯投资者将资产i的效应视为其对横截面总距离的边际贡献。大的定价错误和大的标准错误对资产来说都是坏消息。因此，边际距离可以帮助挑选出对总距离贡献最大的个人资产。总而言之，以上是基于距离的指标与传统GRS和基于alpha的统计数据相比的分析性说明。通过比较静力学和假设例子，确定了两个问题，即与GRSstatistic相关的功率问题和与平均绝对α相关的极端误差问题。这些问题在多大程度上导致了模型排名的不一致性？与GRS和MAE指标相比，基于距离的指标的模型排名结果如何？这些都是本文剩余部分讨论的实证问题。数据和时间序列回归因素数据包括Fama French five factors（MKT SMB HML RMW CMA）、Carhart（1997）的动量因子（UMD）、Hou、Xue和Zhang（2015）q因子模型中的ME、IA和ROE，以及Asness和Frazzini（2013）提出并由Barrias和Shanken（2017a）使用的及时更新的价值因子HMLM。样本期为1967:01至2016:12，共600次观测。

表2显示了面板A中每个因子的月平均回报率、标准偏差和t统计量，以及面板B中十个因子的相关矩阵。[此处插入表2]LHS投资组合回报涵盖了广泛的资产，包括四组双变量排序的投资组合（25个B/M投资组合、25个OP投资组合、25个INV投资组合和25个MOM投资组合），三组三向排序的投资组合（32个B型/M型投资组合、32个B型/M型投资组合和32个SizeOP投资组合）。作为增广投资组合的第一个大横截面，对每组LHS资产进行单独和联合检查。此外，继Fama和French（2016b）和Hou、Xue和Zhang（2015）之后，我们还研究了15组单变量排序的十分位数投资组合，这些投资组合涵盖了一系列的泡沫，其中大多数都不是各自因素模型的目标。这15个十分位数的投资组合被分为四组：1）FF因子组，包含40个根据市值（规模）、账面市值（B/M）、盈利能力（OP）和投资（INV）形成的十分位数投资组合；2） 估值组，包含30个按市盈率（E/P）、现金流量市盈率（CF/P）和股息收益率（D/P）计算的十分之一投资组合；3） 先前收益组包含30个基于动量（MOM）、短期反转（STR）和长期反转（LTR）形成的十分之一投资组合；4）其他异常组，包含50个十进制投资组合，形成于应计项目（AC）、净股票发行（NI）、市场贝塔（beta）、方差（VAR）和剩余方差（RVA）。我们试图将这四个集团的超额回报单独或联合解释为增广投资组合的第二大横截面。两个板的横截面用于通过各种性能指标交叉验证模型排名的一致性。

LHS资产的所有数据都来自French教授的数据库。资产定价模型（因子）包括CAPM（MKT）、FF3（MKT SMB HML）、FF4（MKT SMB RMWUMD）、FF5（MKT SMB HML RMW CMA）、FF6（MKT SMB HML RMW CMA UMD）、FF6-HML（MKTSMB RMW CMA UMD）、q因子（MKT ME IA ROE）和BS（MKT SMB HML ROE UMD）。对这些模型进行比较，并对各个投资组合集和两个董事会的横截面进行排名。对于每个LHS投资组合i，其超额收益由每个模型括号中所示的因素解释。我们以FF6为例运行以下时间序列回归：Rit-Rft=αi+biMKTt+siSMBt+hiHMLt+riRMWt+ciCMAt+uiUMDt+εit，（11）其中，在给定的LHS资产集合中，Rit是t月投资组合i的回报率，t=1967:01–2016:12。根据每组LHS回报的时间序列回归，GRS统计计算如下：（12） 式中，T是观察次数，n是资产数量，k是因子数量； 是因子的平方夏普比；是LHS回报的剩余方差矩阵的最大似然估计。模型绩效和模型排名结果前三小节使用不同的绩效指标给出了模型排名结果，并从贝叶斯投资者的角度解释了排名的不一致性。第3.1节详细描述了5×5双变量排序投资组合，尤其是25大小的MOM投资组合，它们是幂和极端误差问题中最典型的。

选择一个模型而不是另一个模型的经济规模推迟到第3.4节，更多的时间推迟到第4.4.1节双变量排序投资组合表3显示了基于距离的指标（前五列），与四组5×5双变量排序投资组合的现有指标（后四列）相比，包括面板A中的25个B/M规模投资组合，面板B中的25个OP规模投资组合，C组为25个投资组合，D组为25个MOM投资组合。在前两列中，TD是总额，ADI是在给定资产定价模型中持有教条信念的平均成本。RMSE公司() 和RMSE() 在接下来的两列中，给出了AD的分量分解，分别是先验误差均方后验估计的平方根()  和标准错误()  由基于数据的模型生成。第5列衡量错误定价不确定性对相对于定价错误的距离的贡献。该比率与由Fama和French（2016b）提出，但使用和解释不同。它不用于对模型进行排序，而是用于比较模型的能力，即比率越高，模型对Alpha的估计越不精确。在最后四列中，GRS统计，平均绝对α, 以及文献中罕见的标准绩效指标（如Hou、Xue和Zhang，2015）。 是平均绝对α与投资组合i的平均绝对值的比率，投资组合i的平均回报率偏离其横截面平均值（).