比较资产定价模型：基于距离的度量和贝叶斯

最后，请注意，全因素模型在两个横截面中的排名都不高，这表明盲目地包括所有已知因素并不能产生最佳模型。到目前为止，我们已使用平均成本指标（AD）对LHS不同资产集的模型进行排名。为了评估比较模型和选择因素的经济规模，我们转向第1列中的总成本指标（TD）。首先，很容易看出，对CAMP和ff3持有教条主义信念会比其他模式产生更高的成本。例如，从对FF3的盲目相信到对FF5的盲目相信，每年的总储蓄约为（3.37%~2.62%）×12≈ 第一个宽横截面为9%，和（2.62%~2.03%）×12≈ 第二盘为7%。从选择因素的角度来看，这意味着将RMW和CMA添加到FF3中可为这两个大横截面每年创造7%~9%的附加值。第二，将动量因子（UMD）添加到FF5中会产生显著的经济节约，即（2.62%~2.04%）×12≈ 第一套每年7%，以及（2.03%~1.65%）×12≈ 第二套每年4.5%。第三，除了比较嵌套模型外，TD度量还可以比较非嵌套模型。例如，q因子相对于FF5的竞争优势可以衡量为额外节省（2.62%~2.31）×12≈ 第一组每年3.8%，和（2.03%~1.86%）×12≈第二套每年2.1%。然而，只需将UMD添加到FF5中，FF6即可恢复其竞争力。例如，FF5中的因素和q因素可以混合，以创建一个新模型（MKT SMB HML IA ROE UMD）。研究了多种因素组合。然而，这些混合因素模型中没有一个始终优于FF6或FF6-HML。优于q因子（2.31%~2.04%）×12≈ 第一组每年3.2%，和（1.86%~1.65%）×12≈ 第二套每年2.5%。

最后，有压倒性的证据表明，HML对所有LHS资产都是冗余的。FF6-HML的表现不仅在这两个广泛的横截面上，而且在前面描述的每一组投资组合中，与FF6的表现都是无法区分的。所以，考虑到节约，可以考虑用UMD代替HML，作为五因素模型（MKT SMB RMW CMA UMD）的修改版本。当然，以上所示的经济规模取决于投资范围，即多样化较差的资产数量越多，总运输成本越高。请注意，本文所考虑的LHS资产都是多样化的投资组合。在资产管理行业，可投资资产的异质性风险可能非常巨大。因此，比较模型的经济规模可能明显大于上述估计。从这个角度来看，TD指标对于了解其投资领域（例如，可投资资产的数量、资产的风险收益特征等）的投资组合经理来说具有经济意义。经理关心应该使用哪种资产定价模型来估计相对较高精度的预期收益。在这种情况下，距离度量提供了一种经济上有意义的度量。5、比较模型和选择因素：贝叶斯评估上一节根据完全基于模型的分布（σα=0）和完全基于数据的分布（σα=0）之间的距离度量来比较模型∞). 这是示例中给定模型的距离度量的上限。在本节中，我们将考虑当投资者在模型中表示不同的先前错误定价程度时，两者之间会发生什么。

正如Pastor（2000）所言，假设投资者既不将该模型作为教条使用，也不认为该模型完全一文不值，这可能是合理的。受资产定价测试实证结果的影响，投资者可能在不同的模型中持有广泛的先前错误定价程度。例如，FF5最近成功地解释了一系列其他异常现象，但势头可能会使投资者增加信心，但在一定程度上仍对该模型持怀疑态度；与此同时，这些经验证据可能会让投资者对FF3的有效性产生进一步的怀疑，对CAPM更是如此。由于模型中的任何先验错误定价程度都可以转换为两个后验分布之间的距离度量，因此我们可以找到FF5、FF3和CAPM的相应错误定价程度，从而使三个模型生成的后验分布与其各自的基于数据的分布具有相同的距离。当σα从较小的值（对模型有很强的先验信念）设置为非常大的值（对模型高度怀疑）时，α的后验估计() 从零的理论值移向OLS样本估计(). 因此，一旦一个人背离了他的教条信念，并对模型的有效性产生了一定程度的怀疑，他怀疑的观点下的错误定价分布与TD或AD度量的基于数据的错误定价分布在谐调上“更接近”（比他教条信念下的更接近）；换句话说，在模型中持有怀疑观点的运输成本总是比在模型中持有教条主义信念（即距离的上限）慢。

成本单调递减的特性允许我们开发一种距离等效度量，以评估比较模型和选择因素的经济意义。具体而言，我们将表8中的AD度量作为给定模型（σα=0）的比较基准，然后发现交替模型的σα>0，这样两个模型产生相同的AD。例如，在FF3和FF5之间，存在唯一的σα，FF3>0，这样FF3下的AD正好等于FF5下的AD，σα，FF5=0。因此，σα，FF3表示FF3相对于FF5的错误定价程度，FF5将两个模型的距离设置为相等。直观地，它衡量了FF3和FF5之间模型选择的以下权衡：如果选择FF3而不是FF5，他愿意先验地接受FF3错误定价的±2×σα，FF3（95%置信区间）大小。或者相反，选择FF5而不是FF3可以减轻他之前对错误定价的担忧，每年减少±2×σα，FF3。当然，如果选择基准模型而不是替代模型，σα的值越大，就越容易消除对错误定价的担忧。从这个意义上讲，σα的大小可以用来评估比较模型和选择因素的经济意义。我们遵循Pastor和Stambaugh（2000年，第353页）的方法，使用LHS资产的平均波动率作为基准线，以指定先前错误定价波动率的范围和值。σα的范围为0%~10%，取值范围为2%、4%、6%、8%、10%。上述两大横截面中单个投资组合的年化波动率在10%到30%之间，平均波动率在20%左右。σα=2%、4%、6%、8%和10%对应的样本量分别约为100年、25年、11.11年、6.25年和4年。

此外，σα=2%、4%、6%、8%和10%分别对应于±4%、±8%、±12%、±16%和±20%perannum的误定价95%置信区间。通过这些评估，σα=2%表示先前的定价失误不确定性程度适中（Pastor和Stambaugh，2000），而σα>2%的其他值表示投资领域的重大定价失误程度。[在此插入表9]表9显示了在不同的σα指定值下，所有模型的距离度量AD及其组件细分和相对贡献。结果适用于相同的投资领域，即左侧第一组由196个二元和三元排序的投资组合组成，右侧第二组由150个单元排序的投资组合组成。表8再现了面板A中σα=0的结果，作为比较基准模型的指标。根据两个董事会横截面（196个投资组合，150个投资组合）的AD指标，模型排名从上到下依次为FF6（0.145%，0.135%）、FF6-HML（0.149%，0.135%）、q因子（0.165%，0.152%）、FF4（0.187%，0.166%）、FF5（0.185%，0.157%）、BS（0.199%，0.180%）、FF3（0.241%，0.214%）和CAPM（0.345%，0.237%）。如前所述，这些广告指标代表了在相应模型中保持教条信念的最低成本。接下来，我们将评估基准模型和备选模型之间的权衡程度。

我们提出以下问题：如果一个人选择替代模型而不是基准模型，那么他必须接受的先前错误定价程度是多少？反之可能更直观：通过选择基准模型而非替代模型，他先前对模型定价错误的担忧减轻了多少？当σα>0时，错误定价的后验分布以协方差矩阵为非零的非零均值为中心，即：。，,  哪里和是模型I的均值和方差的后验估计。之间的总距离（TD） 以及基于数据的分布 由模型II生成的数据由公式（6）计算得出。然后，平均距离（AD），其两个分量RMSE()  和RMSE(),  然后计算了它们的相对贡献。在这种一般的贝叶斯形式中，TD和AD的经济解释是对模型持有一定程度怀疑观点（如非零σα所规定）的总平均最低成本。5.1比较模型[在此插入图1]图1。A和1。B在板横截面A和B的规定值σα处绘制AD。每条线代表一个模型，从上到下分别为CAPM、FF3、BS、FF5、FF4、q因子、FF6-HML、FF6。我们观察到所有的线都是非线性单调递减的，并且没有注意到某些模型对：两个图中的FF6和FF6-HML，图1中的FF4和FF5。A、 图1中的FF4和q系数。B、 在σα的所有规定值下彼此无法区分（即AD差值小于0.5个基点）。这些模型对被视为完全相同，并允许我们识别冗余因素。平行模式，即顶部和底部线条之间的间距从σα=0缩小到σα=10%。

这种模式反映了后验估计值的收缩效应：随着模型中的怀疑逐渐变得完全不可信，所有单调递减的直线最终收敛到零。为了使用距离等效度量来比较模型，我们首先确定基准模型在纵轴上的AD，然后水平查看以找到σα的值，在该值处交替模型的AD与基准模型的AD相等或重叠。σα的值带有Bayesian解释，即如果选择替代模型而不是基准模型，则必须接受错误定价的优先程度。当然，只有当基准模型表现更好时，这种权衡才具有经济意义。例如，如果一个人一意孤行地相信CAPM，就没有其他模式可以取舍；这样的投资者愿意为持有这种教条信仰的第一（第二）个横截面每月承担大约0.35%（0.24%）的平均最低成本。下面，我们将图1中的距离等效模型比较结果与表9中的数值结果结合起来进行解释。σα=2%的结果报告在表9的面板B中。在这种适度的先验错误定价程度下，α的后验分布与基于数据的分布适度“更接近”。有几组模型的这种错误定价水平的广告（面板B）与纵轴上的那些值（面板A）重叠。最明显的一个是q系数（对于1横截面和2横截面，AD=0.149%和0.136%）和FF6之间。这意味着，在σα=2%时，对q因子持温和怀疑态度的观点相当于对FF6的教条信念。

对于贝叶斯投资者来说，如果他选择q因子而不是FF6，那么之前的信念是，他可以接受±4%的年化定价误差；或者相反，他选择FF6而不是qfactor每年可以减少±4%的模型错误定价。对于这两个横截面，没有其他一致重叠模型。然而，单个横截面存在重叠模型：对于150个投资组合，FF5（面板B中AD=0.149%）与q因子重叠（面板a中AD=0.152%）；对于196个投资组合，FF4（面板B中AD=0.168%）与q因子（面板A中AD=0.165%）接近重叠。简言之，在先前2%的错误定价情况下，这些替代模型与其各自的基准模型的距离相当。面板C显示σα=4%的结果，这表示先前的重大错误定价程度为±8%。在这种错误定价水平下，最值得注意的发现是，在196个投资组合中，FF5（面板C中AD=0.143%）与FF6（面板A中AD=0.145%）重叠。此外，对于150组投资组合，FF5（C组为0.122%）的广告低于FF6（A组为0.135%）；精度较高的重叠点在σα=3.6%左右。对这一结果的贝叶斯解释是，对于选择FF5而非FF6的投资者，他必须愿意接受±7～8%的年化定价误差；相反，选择FF6而不是FF5可以将先前对错误定价的担忧降低±7～8%，这可以归因于FF5之上UMD的边际值。还要注意的是，在σα=4%之前的错误定价程度时，BS、FF3和CAPM的thead仍然高于精确定价FF6的thead，这表明这些模型需要更高的错误定价程度才能与FF6的距离相等。

令人惊讶的是，Bayesfactor模型BS在描述这些横截面的平均收益方面表现不佳。在σα=面板D中先前错误定价程度的6%时，BS和FF3的距离相当于精确定价FF6。选择FF3而非FF6的投资者准备接受±12%的年化定价误差。因此，从贝叶斯投资者的角度证明了FF3的失败，即他先前对FF3定价错误的担忧太大，不容忽视。至于CAPM，对于150个单变量排序的投资组合，其距离相当于先前8%（面板E）的错误定价不确定性。然而，对于196个投资组合，即使之前10%（F组）的错误定价不确定性也不够。这并不奇怪，因为二元和三元排序的投资组合是专门为捕捉CAPM的失败而设计的，即贝塔值是平的（Fama和French，1992）。到目前为止，我们假设对基准模型完全有信心。我们现在放宽这一假设，以反映更现实的情况，即投资者对各种模型持不同程度的怀疑态度。例如，根据最近实证研究的比较结果（Fama和French，20152016b；Hou、Xue和Zhang，2015、2016），人们可能会对FF5和q因子形成一定程度的信心（但仍持怀疑态度）。这些模型的距离在多大程度上是等效的？图1或表9中面板B-F的横向面板比较提供了答案。例如，图1和图1。A和图1。B表明σα=2%时的FF6相当于σα=4%时的q因子。这意味着，选择FF6而非q因子可以减轻投资者之前对错误定价的担忧，每年增加±4%。

此外，当投资者对所有模型都持高度怀疑态度时，后验概率模型的收缩效应会使模型之间的区别变小。例如，当σα=8%和10%时，FF5和qfactor变得无法区分。5.2选择因素：UMD与HML贝叶斯分析为资产定价模型中的因素选择提供了进一步的见解。我们对价值因素（HML）和动量因素（UMD）特别感兴趣，这两个因素在资产定价的有效性方面都受到了极大的研究关注。与现有研究结果一致（Fama和French，2015；Hou，Xue，and Zhang，2015），我们的实证结果表明HML确实是多余的。从图1可以直观地看到这一点。A和1。B、 其中，FF6和FF6-HML的AD曲线在所有定价错误的优先级下都无法相互区分。因此，HML不会增加增量收益，也不会损害模型描述横截面预期收益的能力。然而，包括动量因子（UMD）对于所有Fama-French模型成功描述大截面至关重要。通过检查FF6和FF5之间的距离等效度量，可以评估包括UMD的边际影响。正如贝叶斯结果所表明的那样，对于选择FF5而非FF6的投资者，他必须愿意接受每年±7%~8%的定价误差水平。换言之，UMD的边际效应是减轻投资者之前对定价错误的担忧，其幅度可能太大，不容忽视。此外，图1还显示，FF5的表现并不比FF4好（在150个投资组合中甚至稍差）。