比较资产定价模型：基于距离的度量和贝叶斯

这意味着UMD的边际效应与盈利因子（RMW）和投资因子（CMA）的联合效应一样大（甚至更大），原因如下。动量因子对横截面平均收益的描述有两个影响。首先，添加UMD可以大大降低FF5极端错误问题的严重性，众所周知，FF5可以很好地解释所有其他异常，但却无法很好地解释动量。然而，根据RMSEproperty，距离度量主要由较大的定价错误和较大的标准错误决定，因为它们会产生最大的运输成本。如表7顶部面板所示，最大赢家和最小输家的极端定价错误主要影响总距离或平均距离。如前所述，只需几笔价格不好的资产，就可以摧毁另一个好的模型，即使是在双板横截面这样的大横截面中。这对于FF5尤其如此，并解释了为什么UMD至少具有与RMW和CMA相同的效果。第二，所有表格中的经验结果表明，即使对于动量以外的异常，FF6在所有横截面上的表现都始终优于SFF5，这表明增加UMD可以为广义横截面的平均收益描述提供增量值。添加因子并不一定会提高模型性能。例如，表8中的全因子模型不执行FF6。另一个例子是BS模型中的HMLmin，去除该因素可以提高接近F6的模型性能。综上所述，鉴于节约和大量证据表明HML是冗余的，但UMD起着至关重要的作用，可以考虑在五因素模型中用UMD替代HML。

我们在整篇论文中都表明，这种新的五因素模型的性能与性能最好的FF6.6无法区分。结论在资产定价测试中，具有较高解释力的模型可能具有较低的p值（因此被拒绝），即使其产生的阿尔法在经济上无关紧要；相反，具有LHS回报膨胀残差协方差的模型可能会产生高p值（从而通过测试），即使是经济上可观的Alpha（Cochrane，2005；De Moore，Dhaene和Sercu，2015）。自Fama和French（1993）以来，统计测试的权力问题的这种性质早已得到承认，但如今这些问题仍然困扰着资产定价测试（例如，Fama和French，2012、2015、2016）。权力问题使得比较不同模型的p值尤其成问题，结果也很难解释（Harvey，2017）。作为补充，实证研究依赖于各种基于阿尔法的统计数据（忽略了功率问题）以及GRS检验的p值。然而，GRS F统计量和基于字母的统计量的无纪律使用容易违反直觉和相互矛盾的模型排名，正如文献中常见的和本文中大量展示的那样。功率问题可能源于频繁将错误定价参数解释为确定性但未知的值。因此，检验统计量源自阿尔法估计的抽样理论，有利于产生低比率（小F统计量）的阿尔法估计离散度与抽样误差的模型（Fama和French，2016b，2017）。本文提出了一种贝叶斯方法来解决模型比较中的持久挑战。

下面重点介绍了模型参数、模型性能和模型比较的Bayesian解释（另见表1）贝叶斯投资者将模型错误定价视为后验分布，用样本信息更新其主观信念。alphas的这种概率观点使距离度量能够在两个后验分布之间进行有意义的定义，这两个后验分布具有不同的先前定价不确定性程度贝叶斯投资者将模型性能视为其完全信任（模型隐含分布）和完全怀疑（基于数据的分布）之间的最短距离。距离不是一个比率，而是一个以回报为单位的成本度量，它承载着一种经济学解释，即持有对模型的教条信念的最低成本将距离度量的频率等效形式导出为平方字母和平方标准误差之和的平方根。这是样本中agiven模型的所有距离度量的上界，也是每个人的客观度量（这是frequentist方法的期望属性）。距离度量的更一般的贝叶斯形式是主观的，并且需要一个特定的值来表示先前的定价错误的不确定性程度模型性能通过一组统一的总距离（TD）、平均距离（AD）和边际距离（di）进行总结，这分别类似于联合测试的GRS统计、平均性能的平均绝对Alpha和频率设置中单独测试的t统计贝叶斯投资者倾向于使用解释力强的低分散阿尔法模型，但认为极端阿尔法和极端标准误差非常不可取。

模型的优劣更多地取决于模型对这些麻烦资产的定价，而不是平均绝对阿尔法度量，它平等地对待所有大小的阿尔法。当将上述贝叶斯解释纳入模型比较的背景中时，关键的经验发现是动量因子（UMD）对Fama-French五因子模型可能比人们认为的更重要。动量因子的关键作用不仅仅在于其解释动量投资组合的能力（我们知道五因子模型无法解释）。相反，各种模型竞相描述由大多数其他变量组成的两个董事会横截面的平均回报，其中五因素模型表现良好，而动量组合（momentumportfolios）只是一个小集合（即196个中有25个，150个中有10个）。即使对于这些广泛的横截面，UMDis也是五因素模型的一个重要补充：通过距离等效指标来评估其经济重要性，UMD将贝叶斯投资者先前对模型错误定价的担忧减少了约±8%。这一经济规模与盈利能力因素（RMW）和投资因素（CMA）的联合效应同等重要。随着UMD的加入，六因素模型（或为了节约而放弃冗余因子）成为所有竞争对手中表现最好的模型。与现有的GRS和基于alpha的统计数据相比，距离指标在一系列横截面上生成了经济直观且持续稳健的模型排名。特别是，膨胀剩余协方差矩阵的低功耗模型排名靠距离度量靠后，即使它们可能产生稍微较小的alpha估计。

本质上，正是功率问题的解决使FF6ranked成为顶级模型，否则它将成为众多横截面的q因子模型。最后，根据Harvey（2017）对p值的批评，基于距离的指标以及贝叶斯解释可能会补充在资产定价测试和模型比较中仍然占主导地位的频率法。对于常客研究者来说，距离度量补充了至少两条证据，以正确使用和正确解释p值。首先，以收益为单位的距离度量提供了统计度量所缺乏的对经济影响大小的一致度量。模型选择不被视为p值是否通过特定阈值的二元决策；相反，距离是一种平滑的成本度量，用于以经济上有意义的方式告知决策者模型性能。其次，可以使用距离度量来保证一个糟糕的模型在其p值上看起来不错。如果一个模型没有被拒绝或排名靠前，是因为它的定价错误低还是解释力低？总距离或平均距离为模型的整体或平均性能提供了一个诊断工具，而边际距离可能有助于进一步识别那些对模型性能贡献最大的麻烦资产。

因此，继Harvey（2017）对p值和建议方法的批评之后，可以在资产定价测试和模型比较中联合使用频度p值和贝叶斯距离度量。ReferencesAsness，Cliff和Andrea Frazzini，2013，《HML细节中的魔鬼》，投资组合管理杂志，39，49-68。Barillas，Francisco和Jay Shanken，2017a，《比较资产定价模型》，即将出版的《金融杂志》。Barillas，Francisco和Jay Shanken，2017b，哪个Alpha？，《金融研究回顾》30（4），第13161338页。约翰·H·科克伦，2005年。资产定价。普林斯顿大学出版社。Deadman、Edvin、Nicholas J.Higham和Rui Ralha（2013）“计算矩阵平方根的阻塞Schur算法”，计算机科学讲稿，7782。第171-182页。Dawson，D.C.和B.V.，Landau，1982，《多元正态分布之间的Frechet距离》，多元分析杂志12450-455。De Moore、Lieven、Geert Dhaene和Piet Sercu，2015年，《跨多因素资产定价模型比较零阿尔法测试》，银行与金融杂志，61235-240。Fama，Eugene F.，1998，《确定ICAPM中定价状态变量的数量》，金融和定量分析杂志33217-31。Fama、Eugene F.和Kenneth R.French。1992年，《预期股票收益横截面》，金融杂志47427–465。Fama、Eugene F.和Kenneth R.French。1993年，《股票和债券回报中的常见风险因素》，金融经济学杂志33，3–56。Fama，Eugene F.和Kenneth R.French，1996，《资产定价异常的多因素解释》，金融杂志51，55-84。Fama、Eugene F.和Kenneth R.French，2012年。国际股票回报的规模、价值和动量。《金融经济学杂志》105，457-472。Fama、Eugene F.和Kenneth R。

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(1).模型的似然函数为（A.1）其中, , 和tr(·) 是跟踪运算符。模型参数的先验分布为, 哪里          （A.2）其中  是一个（k+1）×（k+1）矩阵，其（1,1）元素为所有其他元素均为零；和              （A.3）是具有自由度的反向Wishart分布,  所以比例矩阵是 将先验分布（A.2）和（A.3）与似然函数（A.1）相结合，得出以下后验分布：                      （A.4）完成B上的方块，并收集[·] 产量（A.5）其中                   （A.6）（A.7）（A.8）后验分布（A.4）可分为两种已知分布：（A.9）大写，正态分布，后验平均值和后验方差,  和 isinverted Wishart随自由度分布和比例矩阵.

表示残差协方差矩阵的后验估计值, 根据Wishart分布的性质（Zellner，1971），其计算如下（A.10）根据（A.9）和（A.10），α的后验分布与其后验平均值是正态的从第一行及其后验方差取自.凭借对资产定价模型的教条信念，通过设置先验α不确定性，可以排除定价错误, 所以两者 和为零，即。，                    （A.11）在光谱的另一端 在投资者对该模式完全怀疑的情况下，后验主义者 和方差α符合抽样理论结果，即                （A.12）其中是LHS超额收益样本均值的（n×1）向量，是因子回归的样本平均值的（k×1）向量， 是因子负荷OLS估计的（n×k）矩阵，是因子收益的（k×k）样本协方差矩阵，并且 是从支配其非信息先验的样本估计的LHSreturns的（n×n）残差协方差矩阵.附录B.给定两个正态分布随机向量的两个多元正态分布之间的距离 和 在Rn中，定义降级的随机向量和. 定义平方二次Wasserstein距离. 为便于说明，表示.