比较资产定价模型：基于距离的度量和贝叶斯

Fama和French（2015）提出， 补充平均绝对α，并测量模型无法解释的平均回报率的比例。[在此插入表3]对于A组中25个按B/M分类的投资组合，根据CAPM，将模型隐含分布（对模型的教条信念）的质量转移到基于数据的分布（对模型的完全怀疑）的最短距离或总成本为每月1.633%。在FF3下，这样的成本每月减少一半至0.822%；在其他模型下，它会变得更小，在FF6下，它会达到0.665%的最低值。平均成本广告可以直观地对模型进行排名。该公司将FF6列为每月销售额为0.133%的顶级车型。这与其他统计数据的排名一致，即最低平均绝对α =  0.091%，未解释回报率最低| =  51%，最小GRS统计为2.93（尽管p值<1%时出现排斥反应）。删除HML（FF6-HML）的模型在所有指标中排名紧随其后。其他模型的排名通常是一致的，但FF3和q因子之间有一个明显的例外。虽然FF3的alpha统计数据略低，排名较高，但GRS和AD指标的q因子排名都较高。FF3产生较低a的发现|| （0.108%对0.111%），但RMSE较高()  （0.15%对0.136%）表明FF3存在极端定价错误。表4中的面板A显示了这一点，其中显示了α的后验估计值(),标准误差(),  t-统计量(/),  和边缘距离()  对于25号B码/Mportfolios。如图所示，FF3下最小的最低B/M投资组合有一个巨大的每月-0.52%的阿尔法，其规模是所有其他阿尔法的两倍以上。

相比之下，尽管q因子模型产生的阿尔法平均更大，但其最大值（0.26%）仅为FF3下极端值的一半。这种极端α对FF3非常有害，甚至其较高的估计精度（即较小的RMSE(): 0.068%对0.085%；较高的R:91%对88%）不会颠覆其相对于q因子的性能。边缘距离将字母的离散度和标准误差在一个度量中进行了分解。对于FF3下的致命资产，di=0.53%，是所有其他资产的两倍以上。这是一个现实世界的证明，只需一个极端的错误就可以摧毁一个更好的模型。最后，GRS统计数据也支持q因子，主要是因为其功率较低，如所示 = q系数为39%，FF3为21%。[在此插入表4]对于表3面板B中的25个大小的OP分类投资组合，首先注意到所有模型的总运输成本和平均运输成本都要小得多。事实上，在所有二元排序和三元排序的投资组合中，这组投资组合产生的TD和ADamong最低，这与Fama和French（2015）的发现一致，即它们是定价最好的投资组合。其次，FF5、FF6、FF6-HML和q因子模型都会产生非常相似的性能指标。然而，不一致的排名仍然存在：距离度量AD选择FF5或FF6为最佳模型，而q因子根据GRS（1.48，p值=6.2%）和平均绝对α（A|| < 0.06%). 差异不是由于上述极端错误问题造成的；相反，RMSE() = 在所有模型中，q因子下的0.07%是最低的，但由于 = 119%.

如前所述，frequentistinterpretation（Fama and French，2016b）对这一大于一的比率持肯定态度：真α的离散度低于抽样误差的离散度。然而，根据贝叶斯解释，定价错误的不确定性比定价错误对距离的贡献更大，这表明该模型缺乏能力。为了详细说明功率效应，表4的面板B显示了字母(), 标准错误(), t-统计(/), 每个规模OP投资组合的FF5和q因子模型下的边际距离（di）。isabout在q因子下比在FF5下高2个基点。因此，没有一个字母被q因子下的t统计量拒绝。出于同样的低功耗原因，q因子在所有模型中产生的GRS测试统计量最低。相比之下，边际距离di有助于确定对总距离贡献最大的资产，这是第二大且利润最低的投资组合，在q因子下，di=0.19%。该投资组合的t统计量为1.61，即，根据常客解释，不显著。然而，p值大于10%时，其未被拒绝并不是因为其α较小（0.16%是两种模型下最大的），而是因为其标准误差最高（两种模型下的标准误差均为0.10%）。总的来说，距离度量AD将模型的估计精度合并到成本组件RMSE中(), 导致解释力较低的模型排名较低。对于表3面板C中25个规模的投资组合，所有绩效指标，即AD、GRS和基于阿尔法的统计数据都会产生一致的模型排名，其中FF6是排名第一的模型，而HML排名第二。此处无需进一步讨论。基于距离的指标在表3的25个大小MOM排序的portfoliosin面板D中充分体现了其优点。

众所周知，CAPM、FF3和FF5模型无法解释动量投资组合的横截面平均回报。从贝叶斯投资者的角度来看，坚持对FF5的教条主义信念每月会产生1.74%的巨大成本，而平均成本在经济上非常显著，每月为0.35%。将动量因子（UMD）添加到FF5中，每月减少一半以上至0.16%。对于模型排名，GRS（2.77，p值<1%）和基于α的标准（A|| = 0.113%和 = 42%).然而，平均距离AD排名第一的是FF6，紧随其后的是FF6-HML，第三的是FF4，第四的是q因子。这种排名差异的主要原因是，基于阿尔法的统计方法既不考虑估计精度，也不考虑极端定价错误，而GRS统计的幂问题倾向于选择抽样误差较高的模型。在这个横截面上，功率问题和极端错误问题都很明显。首先，FF6和q因子模型生成相同水平的平均绝对αA|| = 0.113%，无法解释的回报比例为42%。然而，正如RMSE所表明的那样，q因子产生比FF6更极端的Alpha()  = q系数为0.158%，FF6为0.145%。更重要的是，q因子估计α的精度较低，因此会导致更大的α不确定性，即RMSE() = q系数下为0.104%，FF6下为0.073%， = Q系数下为43%，FF6下为25%。估计精度的差异在两个模型的R值中也很明显，q因子下的R=85%，FF6下的R=92%。

因此，考虑到定价误差水平相似，但估计精度不同，GRS测试显示出众所周知的功率问题，与精度较低的模型（q因子）相比，更倾向于拒绝精度较高的模型（FF6）。相比之下，距离度量通过一个单一的汇总统计AD解决了功率和极端误差问题，它支持FF6（0.162%）而不是q因子（0.19%）。为了深入了解更多细节，表4的面板C显示了后验定价错误(), 标准错误(), t-统计(/), 以及25个投资组合的边际距离（di）。我们观察到，在三个最小的赢家组中，排名靠前者的定价存在极端错误，在FF6下分别为0.40%、0.22%、0.19%，而在q因子下分别为0.50%、0.28%和0.23%。RMSE标准对Q因子下较大极值的惩罚比FF6下相对较小值的惩罚更重。此外，与FF6（t=4.78、3.44、2.90）相比，q因子下的标准误差更大，导致三个极端定价误差被拒绝的程度更低（t=4.68、2.99、2.42），尽管它们在q因子下的经济规模更大。这种性质的功率问题产生的q因子（2.77）的GRS统计值比FF6（3.34）的GRS统计值小，这是比较直观的。表4面板C中的边际距离DII有助于识别麻烦资产，根据RMSE标准，这些资产对总距离的贡献最大。q因子下的前三名di分别为0.51%、0.29%和0.25%，高于FF6下的di分别为0.41%、0.25%和0.23%。因此，Bayesianinvestor更喜欢FF6而不是q因子。4.2三向排序投资组合对于表5面板A中的32个B/M-OP投资组合，我们发现不同的绩效指标导致模型排名略有不同。

首先，GRS和基于alpha的统计数据意味着矛盾的结果。虽然q因子在GRS中排名第一（1.89，p值<1%），但基于阿尔法的统计学|| = 0.111%和 = 48%的人认为FF5、FF6和FF6-HML是最好的型号。考虑到q系数会在两个量级上产生更大的定价错误（A|| = 0.127%）和分散度（RMSE()=  0.164%），最低的GRS统计量归因于其更分散的错误定价协方差矩阵（RMSE() = 0.117%). 相比之下，距离度量AD考虑了错误定价的水平和不确定性，排名前三位的模型为FF6（0.173%）、FF5（0.175%）和FF6-HML（0.18%）。[在此插入表5]对于表5面板B中32个按B/M-INV大小排序的投资组合，所有绩效指标都将FF6和FF6-HML排在前两位。对于C组中32个大小的OP INV分类投资组合，FF6通过距离度量AD（0.161%）和基于alpha的统计数据排名第一||  =  0.11%和 = 50%. 然而，q因子产生的GRS统计值最小（2.60，p值<1%）。这再次是由于GRS测试的电源问题。

在FF6下，定价误差的大小和分散程度大致相同(|| = 0.110%和RMSE() = 0.142%）和q系数(|| = 0.113%和RMSE()  =  0.144%），GRS统计有利于较不精确地估计Alpha，即RMSE() = FF6下为0.076，q系数下为0.086。4.3单变量排序的十分位数组合对于按异常变量排序的四组15个十分位数组合，基于距离的度量、GRS统计和基于阿尔法的统计结果分别显示在表6的面板A、B、C和D中。[在此插入表6]对于A组中的FF因子组（10个尺寸+10个B/M+10个OP+10个INV），按距离度量（AD）排列的前三个模型是FF6（0.091%）、FF6-HML（0.093%）和FF5（0.097%）。这三个模型与GRS统计（1.26、1.27、1.35）和基于阿尔法的统计（A|| = 0.053%, 0.054%, 0.061%). q因子不在前三位并不奇怪，因为LHSassets是FF5的四个变量中更精细的一种。相比之下，Fama-French五因素模型和q因素模型均未将其余三组LHSassets作为目标，因此这是一个公平的比较。对于B组中的估价组（10 E/P+10 CF/P+10 D/P），前三名模型由ADare FF3（0.098%）、FF4（0.104%）和FF6（0.131%）排名。同样，这三个排名前三的模型与GRS统计（0.99、1.11、1.36）和基于alpha的统计（A|| = 0.051%,0.056%, 0.086%). 请注意，FF3是解释与估值相关的公司特征形成的横截面预期回报的最佳模型。这一结果突出了基于估值变量的FF3的早期成功（Fama和French，1996）。

这意味着，与所有其他组不同，在FF3中添加额外因素无助于描述资产评估组的平均回报。还要注意的是，这是FF6未被列为顶级车型的唯一交叉部分。基于距离的指标与GRS和基于阿尔法的统计学之间的不一致模型排名再次出现在C组中的先前回归组（10个月+10个STR+10个LTR）。根据AD指标，前三个模型是FF6（0.143%）、FF6-HML（0.143%）和q因子（0.152%，非常接近FF4，0.153%）。然而，GRS（1.48，p值<10%）和平均绝对α(= 0.097%）选择q因子作为顶部模型，FF6-HML（GRS=1.69， = 0.098%）和FF6（GRS=1.76， = 0.104%）为第二和第三款车型。这种差异在很大程度上归因于权力问题，在较小程度上归因于描述10个动量投资组合的极端错误问题。为了查看详细信息，表7显示了定价错误(),  标准错误(),  t-统计(/),  和边缘距离() 以及10个月环比投资组合的所有绩效指标。首先，顶部面板显示FF5的结果。底部输家和顶部赢家每月的边际距离分别为0.81%和0.57%。根据RMSE标准，这两个极端值对每月0.36%的平均距离有很大贡献，这表明在FF5中加入动量因子（UMD）至关重要。中间和底部面板比较FF6-HML和q因子的性能。

尽管q因子下的定价错误水平较低( = 0.121%）低于FF6-HML( = 0.127%），q因子（RMSE）下的定价错误更分散() = 0.137%），低于FF6-HML（RMSE()  =  0.133%），即q因子极端误差问题的证据。通过检查表中的各个字母，我们发现q因子对排名靠前的人产生的最大错误定价为0.24%，对排名靠后的人产生的第二大错误定价为-0.18%。相比之下，FF6-HML下最大和第二大错误定价分别为0.18%和0.16%。更重要的是，通过q因子RMSE估计α的精度较低() = FF6-HML下为0.109%对0.072%。该功率问题导致单独测试的t统计量较低（例如，对于冬季，qfactor下的t=1.94 vs FF6-HML下的t=2.09），而联合测试的GRS F统计量较小（q-factors下的F=2.23，FF6-HML下的F=2.85）。边际距离是一个更合理的指标，用于确定贡献最大的资产：在q因子下，最高赢家的di=0.27%，最低输家的di=0.26%。这两种资产的定价误差最大（赢家为0.24%，输家为0.18%），标准误差最大（赢家为0.13%，输家为0.19%）。然而，他们的t统计数据（胜利者为1.94，失败者为-0.98）认为他们的重要性低于十分之七资产（t=-2.25），阿尔法值较小（-0.16%），标准误差较小（0.07%）。【在此插入表7】对于D组中的其他异常组（10 AC+10 NI+10 beta+10 VAR+10 RVAR），前三个模型是FF6-HML、FF6和q因子（按AD（0.157%、0.159%、0.168%）和基于α的统计数据( = 0.100%, 0.102%, 0.112%). 然而，对于q因子和FF6-HML，GRS F统计量具有相同的最低值（2.89，p<1%）。

这是由于RMSE证明的相对较低的功率() =q因子下为0.082%，而FF6和FF6-HML下为0.077%。4.4两个大横截面和经济规模我们从上述投资组合中创建了两个大横截面：第一个是通过增加四组25个二元排序投资组合和三组32个三元排序投资组合，总计196个LHS回报；第二种方法是增加15组单变量排序的十分位数投资组合，总计150个LHS回报。我们依靠这两个广泛的横截面来提供更稳健的模型排名，这往往会使特定排序变量引起的偏差多样化。此外，将多组基于异常的资产集合在一起，使我们能够评估基于距离的度量的经济规模。[在此插入表8]除上述模型外，还检查了一个名为all的全因子模型，该模型包括所有10个因子。这种全要素投资组合反映了混合不同因素组合的最终努力。表8分别显示了面板A和B中两个大截面的性能指标结果。对于这两个横截面，排名前三位的模型是FF6、FF6-HML和按AD度量的q因子。在第一组196个投资组合中，前三个模型的月平均距离分别为0.145%、0.149%和0.165%；在第二组150个投资组合中，每月的平均距离分别为0.135%、0.135%和0.152%。然而，GRS和基于alpha的统计数据给出了两个横截面的不一致排名。如前所述，这是由于GRStest的低功耗（例如，第一组中的q因子）和基于alpha的统计的极端误差问题（例如，第二组中的qfactor vs FF4）。