股息和利率的期限结构模型

多项式跳跃微分的一个主要特征是，它们允许封闭形式的条件矩。对于n∈ N、 用Poln（E）表示E上N次或以下的多项式空间，用Nn表示其维数。让h，Hnn构成Poln（E）的多项式基，表示Hn（x）=（h（x），hNn（x））. 由于G保持Poln（E）不变，因此存在唯一矩阵Gn∈ RNn×nn表示g对Poln（E）相对于基Hn（x）的作用。在不丧失一般性的情况下，我们假设使用单项式基础进行工作。示例2.1。如果n=1，则H（x）=（1，x，…，xd）和Gbecomes（2）G=0 0κθ -κ.根据G的不变性，e上可以导出矩公式（定理2.4 infipovi'c和Larsson（2020））Et[Hn（XT）]=eGn（T-t） Hn（Xt），（3）表示所有t≤ T存在许多有效的算法来数值计算矩阵指数（例如，Al Mohy和Higham（2011））。2.1股息未来考虑以瞬时Dt向其所有者支付连续股息流的股票，该Dt随时间随机变化。我们将累积股息过程Ct=C+RTDSD建模为：（4）Ct=eβtpH（Xt），对于某些参数β∈ R和p∈ Rd+1表明CTI是一个正的、非递减的、绝对连续的（即仅漂移）过程。本规范仅适用于引脚s downDt，如下所示。提案2.2。（4）中隐含的瞬时股息率Dt由（5）Dt=eβtp给出（βId+G）H（Xt），其中Id表示单位矩阵。我们假设E有非空的内部。由于假设E的内部为非空，因此Poln（E）可以与Poln（Rd）以及因此而识别=n+dd.请注意，即时股息率和累计股息在因子过程中均呈线性负荷。带参数β的CTS指数标度有助于保证非负瞬时股息率。

实际上，如果（6）λ=supx∈E-pGH（x）pH（x）是finite，那么从（5）可以得出Dt≥ 0当且仅当β≥ λ.此外，当κ的所有特征值都有正实部时，由矩公式（3）得出→∞T- tlogEt【DT】DT= β.因此，参数β控制着分割的渐进风险中性预期增长率。指在到期日为t，t的未来时间间隔【t，t】内支付的分割数的连续按市值计价期货合约的时间t价格≤ T≤ T、 由以下公式得出：Dfut（T，T，T）=EtZTTDSD公司= Et[电流互感器- CT]=peβTeG（T-t）- eβTeG（T-t）H（Xt），（7），其中我们在上一个等式中使用了力矩公式（3）。因此，在因子过程中，被分割的未来是线性的。请注意，股息期货的期限结构（即，不同时期的分割期货价格）并不取决于Xt可分割部分的规格。2.2债券和掉期通过ζt表示风险中性贴现因子。它与以下短期利率RTA有关：ζt=ζte-RTtrsds，0≤ t型≤ T、 我们直接指定风险中性贴现因子的动力学：ζT=e-γtqH（Xt），（8）对于某些参数γ∈ R和q∈ Rd+1因此ζ是一个积极且绝对连续的过程。这与Ct的规格（4）相似，但为了允许负利率，我们不要求ζt单调（非递增）。Filipovi\'c等人（2017年）遵循类似的方法，并针对历史概率测度P规定了状态价格密度的线性动力学。他们的规定确定了风险的市场价格。结果表明，在这种情况下，因子过程的多项式性质在测度从P变为Q的情况下不保持不变。

然而，如（7）所示，Q下的多项式性质（尤其是线性drif t）对于股息期货合约的定价非常重要。我们明确计算第4节中研究的线性跳跃扩散模型的λ。在时间t支付一单位货币的零息票债券的时间t价格≥ t由以下公式给出：P（t，t）=ζtEt[ζt]。利用矩公式（3），我们得到了零息票债券价格（9）P（t，t）=e的线性有理表达式-γ（T-t） qeG（T-t） H（Xt）qH（Xt）。请注意，零息票债券价格的期限结构仅取决于Xt的漂移。与Inflipovi'c等人（2017年）类似，我们可以将外源f因子引入XT的鞅部分，以产生非退火随机波动性（参见Collin Dufresne和Goldstein（2002a）），但我们在本文中不考虑这一点。使用关系rt=-t log P（t，t）| t=t，我们得到以下短期利率的线性有理表达式：rt=γ-qGH（Xt）qH（Xt）。当κ的所有特征值都有正实部时，它遵循thatlimT→∞-对数（P（t，t））t- t=γ，因此γ可以解释为具有有限到期日的零息票债券的收益率。忽略贴现率和利率之间在流动性和信贷特征方面的差异，我们可以将掉期合约作为零息票债券价格的线性组合进行估值。首次重置日期为t的付款人利率掉期的时间t值≥ t，固定分期付款日期t<···<Tn，固定利率K由以下公式得出：（10）πswapt=P（t，t）- P（t，Tn）- KnXk=1δkP（t，Tk），δk=Tk- Tk公司-1，k=1，n、 远期掉期利率定义为固定利率K，其使（10）的右侧等于零。

请注意，贴现掉期价值ζtπswapt成为Xt的线性函数，这对于定价期权的目的很重要。2.3以S表示的股息支付股票*t股票的基本价格，我们将其定义为所有未来股息的现值：（11）S*t=ζtEtZ∞tζsDsds.为了S*为了在我们的模型中明确，我们必须施加参数限制。以下命题提供了有关参数的充分条件，以及S的闭合形式表达式*t、 后者是根据ζtDtis在Xt中是二次的这一事实推导出来的，因此我们能够通过矩公式（3）计算其条件期望。提案2.3。如果Gare特征值的实部在γ上有界- β、 thenS公司*由（12）S给出的定义*t=eβtwH（Xt）qH（Xt），其中w=(γ - β） Id号- G-1v和v∈ Rn是满足V的唯一坐标向量H（x）=p（βId+G）H（x）qH（x）。命题2.3表明贴现的基本股价ζtS*在Xt中是二次的，这特别意味着我们有ζtS的所有矩*tin闭合形式。粗略地说，只要股息以足够高的利率贴现（通过选择足够大的γ），基本股价将是确定的。此后，我们将假设满足第2.3项的假设。以下命题显示了我们用St表示的股息支付股票的价格如何与基本股票价格相关。提案2.4。当且仅当形式的STI=S时，市场是无套利的*t+Ltζt，（13）具有Lta非负局部鞅。这个过程可以被解释为一个泡沫，因为它在基本股价和观察到的股价之间形成了一个楔子。

如果Xt是连续的，则将其应用于（13），并利用ζt假设为绝对连续的事实，我们得到以下风险中性股票价格动态（14）dSt=（rtSt- Dt）Dt+eβtwJH（Xt）qH（Xt）dMt+ζtdLt，其中JH（x）表示H（x）的雅可比矩阵。按施工说明，ST具有正确的风险中性drif t。考虑到RTA和Dt的动力学，为推导定价目的建立ST模型的另一种方法是直接指定其鞅部分。然而，有了这样一种方法，保证积极的股票价格并非易事。事实上，瞬时股息率的下降可能会将股价推至负面区域。此外，通过直接指定股票价格的鞅部分，我们隐式地建模了一个泡泡，因为股票价格通常会大于所有未来股息的现值。相比之下，我们的方法暗示了一个m artin gale部分（第（14）节中的第二项），它可以保证股票价格为正。该鞅部分完全由给定的股息和利率规格决定。如果这对股票价格动态的限制太大，那么Buehler（2010、2015）在衍生定价的背景下特别强调了这一关系。如果Xt中有跳转，则可以派生一个类似但更长的表达式。

我们选择省略它，因为它不会给后面的讨论增加太多价值。我们不必从Dt的动态开始，而是可以为股息y字段Dt/St指定动态。这将有助于保持股价为正，但通常不会为Dt产生一个易于处理的分布。这是有问题的，因为股息衍生品参考在特定时间段内支付的名义股息支付。始终可以通过非负局部鞅Lt的规定进行相应调整。例如，Buehler（2015）在基本股票价格之上考虑局部波动模型，该模型单独校准为股票期权价格。备注2.5。泡泡通常与严格的局部鞅有关，参见Cox和Hobson（2005）。事实上，对于时间范围有限的经济体，只有当deflatedgains过程是严格的局部鞅时，才可能出现泡沫，根据Jarrow et al.（2007）的分类，这对应于类型3的泡沫。对于时间范围有限的经济体（在我们的体系中就是这种情况），即使通胀收益过程是一个真正的鞅，泡沫也是可能的。Jarrow等人（2007年）的分类中，此类气泡为1型和2型。具体而言，一个（一致可积）鞅L对应于一个类型2（类型1）的泡泡。T时的远期s股票价格≤ T定义为asF（T，T）=ζtEt[ζTST]P（T，T）。如果lti是真鞅，那么我们可以在我们的框架中使用动量公式（3）显式计算F（t，t）=Et[ζTST]Et[ζt]=e（β-γ） Tw公司Et[H（XT）]+Et[LT]e-γTqEt[H（XT）]=e（β-γ） Tw公司eG（T-t） H（Xt）+Lte-γTqeG（T-t） H（Xt）。我们在本节结束时给出了库存持续时间的结果。

我们将库存持续时间定义为（15）Durt=R∞t（s）- t） Et[ζsDs]dsζtS*t、 股票存续期代表投资者等待领取股息的时间的加权平均值，其中权重是股息现值对最终股价的相对贡献。该定义是Dechow等人（2004）和Weber（2018）使用的定义的连续时间版本。以下命题在我们的框架中给出了股票持续时间的封闭式表达式。提案2.6。库存持续时间由（16）Durt=w给出[(γ - β） Id号- G]-1H（Xt）wH（Xt）。3期权定价在本节中，我们将讨论具有贴现支付函数的衍生品定价问题，这些函数在因子过程中不是多项式。多项式框架不再允许toprice以闭合形式对此类导数进行定价。然而，我们可以使用因子过程的可用时刻准确地近似价格。3.1最大熵矩匹配在下面遇到的所有示例中，我们考虑一个在时间T到期的导数，其贴现支付函数由F（g（XT））给出，对于一些g∈ Poln（E），n∈ N、 和一些函数F:R→ R.该导数的时间t价格πtof由（17）πt=Et给出Fg（XT.如果随机变量g（XT）的条件分布是封闭的，我们可以通过在实线上积分F来计算πtb。然而，一般来说，我们只得到随机变量g（XT）的所有条件矩。因此，我们的目标是构造一个近似概率密度函数来匹配这些矩的有限个数。在第二步中，我们通过对F进行数值积分来近似期权价格th。鉴于函数是一个有限维对象，找到这样的函数f显然是一个不确定的问题，我们需要引入额外的标准来确定一个特定的函数。

工程和物理文献中的一个重要问题是选择熵最大的密度函数：（18）maxf-ZRf（x）ln f（x）dxs。t、 ZRxnf（x）dx=Mn，n=0，N、 其中R R表示支撑，M=1，M，mn表示g（XT）的前N+1个力矩。Jaynes（1957）指出，最大化熵会将分布中最小数量的先验信息合并在一起，而不是施加动量约束，从而激发了这种选择。从这个意义上讲，对于有关分布的未知信息，它最大程度上是不明确的。关于f的直接函数变化给出了该优化问题的以下解决方案：f（x）=exp-NXi=0λixi！，x个∈ R、 其中，拉格朗日乘子λ，λn必须根据力矩约束求解：ZRxnexp-NXi=0λixi！dx=Mn，n=0，N、 （19）如果N=0，R=[0，1]，则恢复均匀分布。对于N=1和R=（0，∞) 我们得到指数分布，而对于N=2和R=R，我们得到高斯d分布。对于N≥ 3，需要用数值方法求解（19）中的系统，这涉及用数值方法计算积分。我们参考现有文献了解有关实施的更多详细信息，直接试图找到该系统的根源可能不会产生令人满意的结果。通过引入以下势函数，得到了一个更稳定的数值过程：P（λ，…，λN）=RRexp(-PNi=0λixi）dx+PNi=0λiMi。该函数很容易显示为处处凸（参见Mead和Pap an icolaou（1984）），其梯度对应于（19）中的力矩条件向量。换句话说，拉格朗日乘数可以通过最小化势函数P（λ，…，λN）来找到。

这是一个无约束的凸优化问题，我们有梯度和hessian的闭合形式（直至数值积分）表达式，这使得它成为一个用牛顿方法求解的原型问题。关于最大熵密度，参见Agmon等人（1979）、Mead和Papanicolaou（1984）、Rockinger和Jondeau（2002）以及Holly等人（2011）。备注3.1。通过随后结合迭代期望定律和矩公式（3），我们还能够计算Xt的有限维分布的条件矩。特别是，本节所述方法也可适用于价格路径相关衍生工具，其贴现支付取决于未来特定时间点的因子过程。这类产品的一个例子是股息期权，下文将对其进行讨论。3.2掉期期权、股票和股息期权到期日为t的付款人掉期期权的时间-t价格π掉期期权，赋予所有人在t进行（即期开始）付款人掉期的权利，由以下公式给出：π掉期期权=ζtEtζTπswapT+=ζtEt“ζT- ζTP（T，Tn）- KnXk=1δkζTP（T，Tk）+#=e-γ（T-t） qH（Xt）Et“q身份证件- e（G-γId）（Tn-T）- KnXk=1δke（G-γId）（Tk-T） 哦！H（XT）！+#，我们在上一个等式中使用了（9）。观察到交换期权的贴现支付为（17）中的形式，F（·）=m ax（·，0），g是XT中的一次多项式。具有行使权和到期日t的股息支付股票的欧式看涨期权的时间t价格πstocktof由πstockt=ζtEt给出ζT（ST- K）+=ζtEt（LT+ζTS*T- ζTK）+=e-γ（T-t） qH（Xt）EteγTLT+eβTwH（XT）- qH（XT）K+,（20） 我们在上一个等式中使用了（12）。如果（Lt，Xt）是一个多项式跳跃微分，我们可以计算随机变量eγTLT+eβTw的所有矩H（XT）- qH（XT）K并按照第3.1节中的说明进行操作。备注3.2。

如果假设过程Lt和Xt之间是独立的，那么（Lt，Xt）必须联合为多项式跳差的假设就不一定需要了。实际上，假设LTI规定为我们可以计算F（k）=e-γ（T-t） Et[（eγTLT- k） +]高效。根据迭代期望定律，我们得到πstockt=Et[F（g（XT））]qH（Xt），其中我们定义g（x）=-eβTwH（x）+qH（x）K∈ Pol（E）。上述表达式中的分子现在是（17）中的形式，我们继续前面的步骤。考虑下一个欧洲看涨期权，其股息在【T，T】、到期日T和行权价格K中实现。此类期权在欧洲交易所（EuroStoxx 50股息作为基础）积极交易。该产品的时间-价格πdivtof由πdivt=ζtEt“ζt给出ZTTDSD公司- K+#=ζtEt（ζT（CT- 计算机断层扫描- K） （）+=e-γ（T-t） qH（Xt）EtqH（XT）eβTpH（XT）- eβTpH（XT）- K+.我们可以用闭合形式计算标量随机变量q的所有矩H（XT）eβTpH（XT）- eβTpH（XT）- K通过依次应用迭代期望定律和矩公式（3），参见remark3.1。然后，我们像以前一样，找出与这些矩相对应的最大熵密度，并通过数值积分计算期权价格。3.3利率股息混合期权我们在本节中描述了一种利率股息混合期权，它直接暴露于股息支付和利率变动。考虑一个期限结构T<···<TN。在时间Tk，k=1。