股息和利率的期限结构模型

，N，导数支付在[Tk]上实现的分割之间的差值的正p部分-1，Tk]，由Tk归一化-1-forward stock p rice，欠费复合无风险利率随恒定利差s增加∈ R： F（T，Tk-1） ZTkTk公司-1杜杜- （塔卡- Tk公司-1） （Rc（Tk-1，Tk）+s!+,其中，我们确定了拖欠复合无风险利率asRc（Tk-1，Tk）=Tk- Tk公司-1.eRTkTk公司-1 RUDU- 1..在伦敦银行同业拆借利率向替代无风险利率（ARFRs）过渡的背景下，这种支付结构尤其相关，在这种情况下，期限利率是通过将基于隔夜利率的基准利率每日组合而成的。在我们的设置中，我们通过短期利率代理隔夜利率，通过连续复利代理每日复利。价格πhybridT时间由πhybridT=ζTET“NXk=1ζTk给出F（T，Tk-1） （CTk- CTk公司-1) -ζTk-1ζTk- 1.- s（Tk- Tk公司-1)+#=ζTNXk=1ET“F（T，Tk-1） ζTk（CTk- CTk公司-1) -ζTk-1.- ζTk- sζTk（Tk- Tk公司-1)+#.我们可以用闭合形式计算标量随机变量SF（T，Tk）的所有FT条件矩-1） ζTk（CTk- CTk公司-1) -ζTk-1.- ζTk- sζTk（Tk- Tk公司-1） ，k=1，N、 通过依次应用迭代期望定律和矩公式（3），参见remark3.1。然后，我们像以前一样，找出与这些矩相对应的最大熵密度，并通过数值积分计算期权价格。4线性跳跃扩散模型在本节中，我们给出了一个符合第2节多项式框架的因子过程的计算示例。在以下情况下，如果x∈ RDDiag（x）表示对角线矩阵x和x，xD在其对角线上。如果x∈ Rd×d，那么我们表示diag（x）=（x。

，xdd）.线性跳跃扩散（LJD）模型为因子过程dxt=κ（θ）假设了以下动力学- Xt）dt+diag（Xt-) （dBt+dJt），（21），其中bt是标准的d维布朗运动，∑∈ Rd×dis是主对角线上有非负项的下三角矩阵，jt是到达强度ξ的补偿复合泊松过程≥ 0和一个跳跃分布F（dz），该分布允许所有阶的动量。假设跳变幅度和泊松跳变均与扩散噪声无关。纯粹不同的LJD规范（即ξ=0）出现在各种金融环境中，如随机波动性（Nelson（1990），Barone Adesi et al.（2005）），能源市场（Pilipovi\'c（1997）），利率（Brennan and Schwartz（1979）），以及亚洲期权定价（Linetsky（2004），Willems（2019a））。ju mps的延期尚未受到太多关注。下面的命题验证了XT确实是一个多项式跳变差，并展示了如何选择参数，使XT具有正分量。提案4.1。假设矩阵κ具有非正对角元素，（κθ）i≥ 0，i=1，d、 F支持S (-1.∞)d、 然后对于每个初始值X∈ (0, ∞ )D存在唯一强解Xtto（21），其值为（0，∞)d、 此外，Xt是一个多项式跳跃微分。此后，我们将假设满足命题4.1的假设，因为它允许导出参数限制，以保证Ct>0、ζt>0和Dt≥ 0、为了拥有H（x）>0和q所有x的H（x）>0∈ (0, ∞)d、 向量p和q必须具有非负分量，其中至少有一个分量与零不同。下面的命题引入了β的下界，使得Dt≥ 0、提案4.2。设p=（p，p，…，pd）∈ [0, ∞)1+D表示▄p=（p，…，pd）. 假设至少有一个p。

，Pd为非零，因此股息是不确定的。为了简单起见，我们假设一个具有单跳强度的复合泊松过程，但这可以被泛化（见Filipovi\'c和Larsson（2020））。失去一般性我们假设p，pk>0和pk+1，pd=0，对于某些1≤ k≤ d、 如果用κj表示κ的第j列，那么我们有Dt≥ 0当且仅当（22）β≥最大值pκp，pκkpk如果p=0，最大值-pκθp，~pκp，pκkpk如果p>0。LJD模型允许通过矩阵∑在因子之间建立灵活的瞬时相关结构。这与非负跳差形成对比，非负跳差是术语结构建模中的一种流行选择，当需要非负因素时，参见，例如，Du ffe et al.（2003）。事实上，一旦一个人在非负跳变差的因素之间产生非零瞬时相关性，a ffene（和多项式）属性就会丢失。可以使用因素之间的相关性来合并利率和股息的期限结构之间的依赖关系，但也可以在单个期限结构中建模依赖关系。LJD模型还考虑了状态相关、正负、跳跃大小等因素。这再次与非负跳差形成对比。下面的命题给出了相应矩阵的特征值，即κ的三角形式假设。结合命题2.3，这为保证LJD模型中的固定股价提供了充分的条件。提案4.3。如果κ是一个三角形矩阵，那么矩阵Gare0的ei genvalue，-κ, . . . , -κdd，-κii- κjj+（∑∑）)ij+ξZSzizjF（dz），1≤ i、 j≤ d、 Gcoincide的特征值与第一行上的值。5数值研究在本节中，我们使用彭博社2015年2月至4月的每日市场数据校准了一个节俭的LJD模型规范。

此校准练习的目的是显示节约型模型规格能够再现市场上的衍生产品价格。我们没有在历史概率测度下指定模型的动力学。因此，我们不研究风险溢价随时间的演变，只关注衍生品的风险中性定价。我们将风险溢价的研究留给未来研究。5.1数据说明我们校准研究中的派息股票是欧元区领先的蓝筹股指数Stoxx 50。该指数由来自12个欧盟rozone国家的行业领先公司的50只股票组成。我们选择将重点放在欧洲市场，因为欧洲斯托克50指数期货合约是世界上流动性最强的，其存续时间比任何其他市场都长。Kragt等人（2020年）报告称，所有到期日的平均每日营业额合计超过1.5亿欧元。Eu ro Stoxx 50分割期货合约在Eu rex上交易，并参考在给定日历年内由指数除数在除息日分配的指数成分上宣布的普通总现金股利（或现金等价物，如股票股利）的总和。导致指数除数变化的公司行为不包括在股息计算中，例如特别和非常股息、资本回报、股票价格等。在样本的每一天，每年有10份合同可供交易，到期日为12月3日星期五。具体而言，第k个到期合同，k=1，10，指2014年12月第三个星期五+k期间支付的股息- 1和2014年12月的第三个星期五+k。我们使用Kragt et al。

（2020年）签订期限为1至9年的合同。在校准中，我们使用期限为1年、2年、3年、4年、5年、7年和9年的合同。图1a显示了1年、5年、7年和9年到期的两极间股息期货价格。除了欧元Stoxx 50股息期货合约之外，还有exchan ge交易的已实现股息期权。期权的到期日和参考股息与相应期货合同的到期日和参考股息一致。在每个校准日期，我们都会考虑到期日为2年的ATM股息期权的Black（1976）隐含波动率。由于股息期权合同有固定的到期日，我们插入第二个和第三个到期ATM期权合同的隐含波动率。图1b描绘了股息期权随时间的隐含波动性。利率的期限结构根据欧洲即期起始掉期合同进行校准，参考期限为1年、2年、3年、4年、5年、7年和10年的六个月欧元银行同业拆借利率（Euribor）。图1c绘制了期限为1年、5年、7年和10年的掉期的面值掉期利率。此外，我们还包括到期时间等于3个月的ATM掉期期权和期限为10年的基础掉期。这些是欧盟ropean市场中流动性最强的固定收益工具之一。掉期期权按正常隐含波动率报价，并绘制在图e 1d中。我们还考虑ATM履约且到期日为3个月的欧元Stoxx 50指数期权。它们的价格以Black-Scholes隐含波动率报价，并与股息期权隐含波动率一起绘制在图1b中。

图1e绘制了欧元Stoxx 50指数随时间变化的水平。5.2模型规格我们提出了一种节省的四因素LJD规格，Xt=（XI0t、XI1t、XD0t、XD1t）无跳跃dXI0t=κIXI1t- 19吨dtdXI1t=κI（θI- XI1t）dt+σIXI1tdB1tdXD0t=κDXD1t- XD0tdtdXD1t=κD（θD- XD1t）dt+σDXD1tρdB1t+p1- ρdB2t,（23）我们还可以校准模型，而无需对数据进行任何插值。然而，为了使顺序校准的拟合误差随着时间的推移更具可比性，我们选择插入所有仪器条目，以确保它们具有恒定的到期时间。我们对总隐含方差σBlackτ进行线性插值，其中σBlack表示隐含波动率，τ表示期权的到期日。带ρ∈ [-1，1]，κI，κD，κI，κD，θI，θD，σI，σD>0，和X∈ (0, ∞). 根据命题4.1，XT取（0，∞). 由于我们只在校准中包括ATM strike选项，因此我们选择不在动力学中包括任何跳跃，以保持参数数量较小。我们定义了累积股息过程asCt=eβtXD0t，因此xd0t和xd1t决定了股息的期限结构。相应的瞬时股息率为dT=eβtβ - κDXD0t+κDXD1t.使用命题4.2，我们保证Dt≥ 0，要求β≥ κD.为了进一步减少参数的数量，我们设置了β=κD，使得Dt=eβtβxd1和xd0不再进入Dt的动力学。因此，我们可以规范化C=XD=1。贴现系数过程定义为ζt=e-γtXI0t，因此，xi0t和xi1正在驱动利率的期限结构。

相应的短速率becomesrt=（γ+κI）- κIXI1tXI0t，从下到上不受限制，由γ+κI限定。用正常数除以ζtb不会影响模型价格，因此出于识别目的，我们将θI=1标准化。矩阵κ是上三角形，由κ给出=κI-κI0 00κI0 00 0κD-κD0 0κD.假设κ的对角元素与特征值重合，均为正。因此，我们可以将γ解释为渐近零息票债券收益率，β解释为渐近风险中性预期股息增长率。利用命题2.3和4.3，我们在模型参数上引入以下约束，以保证确定的股票价格：γ- β>最大值0，（σI）- 2κI，（σD）- 2κD，σIσDρ- κI- κD.参数ρ∈ [-1，1]控制利率和分割ds之间的相关性。具体而言，d利率和短期利率之间的瞬时相关性由（24）d[d，r]tpd[d，d]tpd[r，r]t=-ρ、 在第2节描述的更一般的多项式框架中，可以降低短期利率的下限。例如，可以使用紧支撑多项式过程，类似于inAckerer和Filipovi\'c（2020）。对于常数k>0，（~XI0t，~XI1t）=（kXI0t，kXI1t）的动力学由（d ~XI0t=κI）给出XI1t-~XI0tdtd▄XI1t=κI（▄θI-~XI1t）dt+σIXI1tdB1t，其中θI=kθI。（~XI0t，~XI1t）的动力学形式与（XI0t，XI1t）的动力学形式相同。其中[·，·]t表示二次协变量。ρ前面的负号出现是因为布朗运动b1t驱动贴现因子，贴现因子与短期利率负相关。我们设置Lt≡ 0表示节约，因此股票价格等于所有未来股息的现值，即St≡ S*t、 5.3校准我们使用Elder-Mead单纯形算法最小化模型和市场价格之间的平方差之和。

待优化的参数为β、κD、θD、κI、κI、γ、σD、σI和ρ。我们提出了一种有效的方法来过滤样本每天的潜在因素XD1t、XI0t和XI1。对于给定的一组参数，d ividend期货价格（7）是XD1t的线性函数。我们通过分割期货价格的线性最小二乘回归来求解XD1T。贴现掉期价值ζtπswaptin（10）是最新因子xi0t和XI1t的线性函数。将It^o引理应用于ζtDt，可以得出贴现股票价格ζtS*t=Et[R∞（8）和（12）给出的ζsDsds]是XD1t、XI0t、XI1t、XI0tXD1t和XI1tXD1t的线性组合。由于我们已经从股息未来价格中解决了XD1t，ζtS*t模拟XI0T和XI1t的线性功能。我们通过掉期利率和股票价格的加权线性最小二乘回归来求解XI0和XI1。我们为股票价格分配了相对较大的权重，以确保其与模型精确匹配。尽管第3.1节中描述的期权定价技术在理论上适用于任何数量的力矩约束，但一方面计算力矩，另一方面求解拉格朗日乘数会带来计算成本。在校准过程中，我们使用高达四阶的矩对互换期权、股息期权和股票期权进行定价。准确期权价格所需的矩数取决于支付函数的具体形式和模型参数。例如，图2显示了第3.3节中描述的互换期权、股息期权、股票期权和混合期权的价格，以获得不同数量的匹配矩和一组现实的参数。对于混合选项，我们设置T-T=1，N=1，且排列s使得选项为ATM。SWOPTION、dividendoption和stock OPTION与校准中使用的选项具有相同的特性。

作为基准，我们对模型进行了蒙特卡罗模拟。我们用一个简单的Euler格式在一周的频率下离散（23），并模拟10个轨迹。我们观察到，使用四到五个矩产生的价格近似值非常接近Monte Carlobenchmark。我们从2015年2月、3月和4月开始，连续将模型校准到一个月的每日数据。表1分别显示了第二、第三和第五列的绝对定价误差。考虑到参数数量相对较少，fit非常好。股息期货的平均绝对相对误差小于1%，很少有例外。s wap费率的平均绝对误差按所有期限和所有三个月的基点顺序排列。该模型仅包含两个波动率参数（σi和σD），但并非所有参数都能与平均期权价格产生相对较好的拟合。Eurostoxx 50指数水平几乎完美匹配，由于我们使用的加权最小二乘法掉期利率权重相对较大，掉期价值定义为零。此外，我们还使用相应的远期合约作为控制变量。这种方差减少技术将蒙特卡罗估计量的方差大约减少了因子4。回归以过滤潜在因素。表1的第四列和第六列显示了样本定价错误。具体而言，在第四列（第六列），我们使用2月（3月）数据校准的参数计算3月（4月）的定价误差。在这个样本外练习中，fr eedom的唯一程度是潜在因素的值，如前所述，我们将其过滤掉。样本外定价准确性的损失不大，这说明该模型是可靠的。表2显示了校准参数。

三个校准月的参数具有可比性，符合良好的样品外性能。参数γ是具有内禀性的零库蓬债券的y场，在随后的校准中下降，反映了样本期内利率的下降。参数β，即股息的渐进风险中性预期增长率，始终大大低于γ，这是股票价格确定所必需的。在整个样本期内，分割期货的期限结构向下倾斜。这在校准中反映为θD的一个小值，θD是驱动股息的过程xd1t的长期平均值。值得注意的是，ρ在三个月内均为正值，接近1的上限。鉴于（24），这表明利率和股息之间存在高度负相关。这种负相关是我们模型中的一个核心要素，因为它增加了股票价格相对于股息和利率的波动性。这使得股票期权相对较大的隐含波动性与股息期权相对较小的隐含波动性相协调。从图1b中我们可以看出，股息和股票期权之间的差异意味着3月份的波动性小于2月份和4月份。与2月和4月相比，这转化为3月的sm-aller校准ρ。在图3中，我们使用2月份的参数来绘制整个样本期内的模型价格和市场价格。因此，绘图的2月至3月（3月至4月）区域是表1中第二列和第四列（第四列和第六列）的可视化。当我们离开校准窗口（这是意料之中的）时，拟合优度会恶化。