股息和利率的期限结构模型

，▄pκkpk.如果p=0，则使用假设κθ≥ 0（cfr，提案4.1）我们获得SUPX∈(0,∞)d-pGH（x）pH（x）=supx∈(0,∞)k-pκθ+Pkj=1pκjxjPkj=1pjxj=supx∈(0,∞)kPkj=1pκjxjPkj=1pjxj=最大值pκp，pκkpk.B、 7命题4.3证明κ是下三角形。为了获得矩阵Glookslike的具体概念，我们首先使用单项式的分级词典顺序为Pol（Rd）筛选单项式基础：H（x）=（1，x，…，xd，x，xx，…，xxd，x，xx）, x个∈ Rd.（37）通过对（31）和（32）的检查得出，由于κ的三角形结构，矩阵相对于该基础为下三角形。事实上，（31）中的第一项和第三项仅对G的对角线元素起作用，而第二项对下三角部分（包括对角线）起作用。因此，Gare的特征值由其对角线元素给出。对于某些α，单项式基中的每个元素都可以表示为f（x）=xα···xαdd∈ NdwithPdi=1αi≤ 2、为了确定G的对角线元素，我们需要确定与基元素f（x）相关的多项式Gf（x）的系数。根据（31）和（32），该系数由以下公式得出：-dXi=1κiiαi+Xi<j（∑∑）)ijαiαj+dXi=1（∑∑）)iiαi（αi- 1） +ξZSeα对数（1+z）- 1.- αzF（dz）。限制Pdi=1αi≤ 2允许汇总气体的所有对角线元素，并保留特征值0，-κ, . . . , -κdd，-κii- κjj+（∑∑）)ij+ξZSzizjF（dz），1≤ i、 j≤ d、 请注意，基的变化将导致不同的矩阵G，但其特征值不受影响。因此，选择（37）中的基础不会失去一般性。如果κ是上三角形，我们考虑单项式基的不同排序：H（x）=（1，xd，…，x，xd，xdxd-1.xdx，xd-1，xd-1xd-2.

，x）, x个∈ 现在的结果跟在下三角格中相同的参数后面。B、 8命题的证明6.1使用迭代期望定律和矩公式（3），我们得到：Et[ζT（CT- CT）]=e-γTeβTEt[qH（XT）pH（XT）]- eβTEt[pH（XT）ET[qH（XT）]]= e-γTeβTweG（T-t） H（Xt）- eβTEt[pH（XT）qeG（T-T） H（XT）]= e-γTeβTweG（T-t） H（Xt）- eβTweG（T-t） H（Xt）.请注意，向量是唯一的，因为基本元素在定义上是线性独立的。最后，使用债券价格公式（9），我们得到dfwd（t，t，t）=ζtP（t，t）Et[ζt（CT- CT）]=eβTweG（T-t） H（Xt）- eβTweG（T-t） H（Xt）qeG（T-t） H（Xt）。参考Sackerer，D.和D.Filipovi\'c（2020年）。线性cred it风险模型。《金融与随机》24（1），169–214。Ackerer，D.、D.Filipovi\'c和S.Pulido（2018年）。雅可比随机波动率模型。《金融与随机》22（3），667–700。Agmon，N.、Y.Alhassid和R.D.Levine（1979年）。查找最大熵分布的算法。计算物理杂志30（2），250–258。Al Mohy，A.H.和N.J.Higham（2011年）。计算矩阵指数的作用，并将其应用于指数积分器。暹罗科学计算杂志33（2），488–511。Avellanda，M.（1998年）。资产定价模型的最小m-相对熵校准。《国际理论与应用金融杂志》1（04），447–472。Barone Adesi，G.、H.Rasmussen和C.Ravanelli（2005年）。GARCH差异模型的期权定价公式。计算统计与数据分析49（2），287–310。Bekaert，G.和S。R、 掷弹兵（1999年）。一个经济体中的储蓄和保本定价。国家经济研究局技术报告。Bernhart，G.和J.-F.Mai（2015年）。离散现金股利的一致建模。《衍生杂志》22（3），9-19。Black，F.（1976年）。商品合同的定价。《金融经济学杂志》3（1-2），167–179。Bos，M.，A。

Sh Epleva和A.Gairat（2003年）。处理离散股息。风险16（9），109–112。Bos，M.和S.Vandermark（2002年）。精细化固定股息。风险15（1），157–158。Brennan，M.J.（1998年）。剥离标准普尔500指数。《金融分析师杂志》54（1），12–22。Brennan，M.J.和E.S.Schwartz（1979年）。债券定价的连续时间方法。《银行与金融杂志》3（2），133–155。Buchen，P.W.和M.Kelly（1996年）。从期权价格推断出的资产的最大熵分布。《金融与定量分析杂志》31（1），143–159。Buehler，H.（2010）。波动性和股息–使用现金股息和simplecredit风险进行波动性建模。工作文件。Buehler，H.（2015）。波动性和股息II–一致的现金股息。工作文件。Buehler，H.、A.S.Dhouibi和D.Sluys（2010年）。随机比例股息。工作纸。Chance、D.M.、R.Kumar和D.R.Rich（2002年）。具有离散随机红利的欧式期权定价。衍生工具杂志9（3），39–45。Collin Dufresne，P.和R.S.Goldstein（2002a）。债券是否跨越固定收益市场？非预期随机波动率的理论和证据。《金融杂志》57（4），1685–1730。Collin Dufresne，P.和R.S.Goldstein（2002b）。一个办公室内的交换期权定价。衍生工具杂志10（1），9–26。科拉多，C.J。和T.Su（1996a）。标准普尔500指数指数的偏度和峰度，期权价格隐含的ex回报。《金融研究杂志》19（2），175–192。Corrado，C.J.和T.Su（1996b）。标准普尔500指数期权测试Jarrow和Ru dd的appr-oximateoption估值公式。《期货市场杂志》16（6），611–629。Cox，A.M.和D.G.Hobson（2005年）。局部鞅、泡沫和期权价格。《金融与随机》9（4），477–492。d\'Addona，S.和A.H.Kind（2006年）。简单资产定价模型中的国际股票-债券相关性。

《银行与金融杂志》30（10），2747–2765。Dechow，P.M.、R.G.Sloan和M.T.Soliman（2004年）。隐含股权期限：一种新的股权风险度量方法。会计研究回顾9（2-3），197–228。Du ffie，D.、D.Filipovi\'c和W.Sch achermayer（2003年）。财务流程和应用。安。应用程序。概率。13(3), 984–1053.菲利波维奇、D.和M.拉尔森（2020年）。多项式跳跃扩散模型。随机系统10（1），71–97。Filipovi\'c，D.、M.Larsson和A.B.Trolle（2017年）。线性合理期限结构模型。《金融杂志》72655–704。Filipovi\'c，D.和S.Willems（2018年）。精确平滑项结构估计。《暹罗金融数学杂志》9（3），907–929。Fusai，G.和A.Tagliani（2002年）。利用矩对亚式期权进行精确估值。《国际理论与应用金融杂志》5（02），147–169。Geiss，C.和R.Manthey（1994年）。有限维和有限维随机微分方程的比较定理。随机过程及其应用53（1），23–35。Geske，R.（1978年）。具有s-tochastic股息的期权定价。《金融杂志》33（2），617–625。Guennoun，H.和P.Henry Labord\'ere（2017年）。具有随机红利的权益建模。工作文件。Holly，A.、A.Monfort和M.Rockinger（2011年）。四阶伪最大似然法。《计量经济学杂志》162（2），278–293。Jackwerth，J.C.和M.Rubinstein（1996年）。从期权价格中恢复概率分布。《金融杂志》51（5），1611–1631。Jaco d，J.和A.Shiryaev（2003年）。随机过程的极限定理，第2卷。SpringServerLag。Jarrow，R.和A.R udd（1982年）。任意随机过程的近似期权定价。《金融经济学杂志》10（3），347–369。Jarrow，R.A.、P.Protter和K.Shimbo（2007年）。

完整市场中的资产价格泡沫。数学金融进展，97–121。Jaynes，E.T.（1957）。信息理论和统计力学。物理审查106（4），620。Jondeau，E.和M.Rockinger（2001年）。克–查利尔密度。《经济动力与控制杂志》25（10），1457–1483。Karatzas，I.和S.Shreve（1991年）。布朗运动与随机微积分（第二版）。Sp RingServerLag。Kim，I.-M.（1995年）。期权定价模型中股息调整的另一种方法。《金融工程杂志》4351–373。Korn，R.和L.G.Rogers（2005年）。支付离散股息的股票：建模和期权定价。衍生工具杂志13（2），44–48。Kragt，J.、F.DeJong和J.Driessen（2020年）。股息期限结构。《金融与定量分析杂志》55（3），829–867。Lasserre，J.-B.、T.Prieto Rumeau和M.Zervos（2006年）。通过矩和SDP松弛为一类奇异期权定价。数学金融16（3），469–494。Lemke，W.和T.Wer-ner（2009年）。债券和股票市场动态的无套利模型中股权溢价的期限结构。技术报告，ECB工作文件。Lettau，M.和J.A.Wachter（2007年）。为什么长期股权风险较小？基于持续时间的价值溢价计划。《金融杂志》62（1），55–92。Lettau，M.和J.A.Wachter（2011年）。权益和利率的期限结构。《金融经济学杂志》101（1），90–113。Linetsky，V.（2004年）。亚洲（平均价格）期权的频谱扩展。运筹学52（6），856–867。Lioui，A.（2006年）。布莱克·斯科尔斯·默顿（Black Scholes-Merton）在随机股息收益率下重新审视。《未来市场杂志》26（7），703–732。Mamaysky，H.等人（2002年）。论股票与债券的联合定价：理论与证据。耶鲁大学管理学院技术报告。Marchioro，M.（2016）。股息点指数的季节性。

Statpro定量研究系列。米德、L.R.和N.帕帕尼科劳（1984年）。矩问题中的最大熵。《数学物理杂志》25（8），2404–2417。默顿，R.C.（1973）。理性期权定价理论。贝尔经济学杂志4（1），141–183。Nelson，D.B.（1990年）。作为差异近似的ARCH模型。《计量经济学期刊》45（1），7–38。Overhau s，M.、A.Berm\'udez、H.Buehler、A.Fer raris、C.Jordinson和A.Lamnouar（2007年）。股票混合衍生工具。John Wiley&S on S.Pilipovi\'c，D.（1997年）。能源风险：评估和管理能源衍生品。麦格劳·希尔。Rockinger，M.和E.Jondeau（2002年）。熵密度及其在自回归条件偏度和峰度中的应用。《计量经济学杂志》106（1），119–142。Rompolis，L.S.（2010）。基于最大熵原理从欧式期权价格中提取风险中性密度。《经验金融杂志》17（5），918–937。Sorensen，C.（2002年）。农产品期货的季节性建模。《未来市场杂志》22（5），393–426。Suzuki，M.（2014）。通过股息期货价格衡量股票指数的基本价值。工作文件。Tunaru，R.S.（2018年）。股息衍生品。定量金融18（1），63–81。Vellekoop，M.H.和J.W.Nieuwenhuis（2006年）。对具有离散股息的资产的衍生品进行有效定价。应用数学金融13（3），265–284。韦伯，M.（2018）。C灰烬流持续时间和股权回报的期限结构。《金融经济学杂志》128（3），486–503。Willems，S.（2019a）。用正交多项式进行亚洲定价。定量金融19（4），605–618。Willems，S.（2019b）。线性随机红利模型。工作文件。Yan，W.（2014）。估计股票和债券共同定价的统一框架。

工作文件。2月-3月-3月（oos）4月-4月（oos）股息期货（以%计）1年0.602 1.460 1.156 1.770 0.8212y 0.982 0.743 0.949 0.941 2.3443y 0.577 0.898 1.013 0.704 1.4884y 0.434 0.437 0.456 0.784 0.9265y 0.549 0.466 0.434 0.506 0.3437y 1.052 0.884 1.140 0.784 2.4679y 0.901 0.738 0.843 1.129 3.819利率掉期（AE in%）1年0.003 0.004 0.005 0.005 0.0042y 0.021 0.032 0.011 0.037 0.0113 Y 0.0280.038 0.017 0.047 0.0074y 0.025 0.029 0.032 0.042 0.0205y 0.021 0.025 0.047 0.026 0.0407y 0.029 0.030 0.067 0.028 0.06910y 0.044 0.043 0.061 0.063 0.073独立期权（AE in%）0.407 0.871 0.912 0.365 0.531期权（bps中的AE）1.063 2.092 2.331 1 1 1 142 3.516股票期权（AE in%）1.868 0.932 3.482 1.089 1.129指数水平（ARE in%）0.038 0.028 0.065 0.023 0.059表1：绝对误差（AE）和绝对相对误差（ARE）。使用前一个月校准的参数计算样本外（oos）误差。参数二月至三月至四月β0.0045 0.0043 0.0016κD0.018 0.018 0.022θD0.0013 0.0015 0.0015κI3.1e-04 2.7e-04 2.4e-04κI0.17 0.16 0.22γ0.053 0.047 0.035σD0.12 0.10 0.11σI0.34 0.32 0.45ρ0.97 0.80 0.99表2：使用2015年2月、3月和4月的每日价格校准模型参数。N=2 N=3 N=4 N=5 N=6 mcswoption 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 1.01股息期权0.03 0.06 0.14 0.41 1.24 25.88股票期权0.02 0.03 0.06 0.07 0.11 3.49表3：使用a）匹配N矩的最大熵法和b）具有10个样本路径和每周离散化的蒙特卡罗模拟对掉期期权、股息期权和股票期权进行定价所需的计算时间（以秒为单位）。掉期期权的到期日为3个月，次级掉期的到期日为10年，股息期权的到期日为2年，股票期权的到期日为3个月。所有选项都有ATM罢工。

所有计算均在配备Intel Xeon 3.50GHz CPU和16GB RAM内存的台式计算机上执行。2015年5月15日至2015年4月15日Y5Y7Y9Y（a）股息未来2015年3月15日至2015年5月15日指数期权分割期权（b）股票期权和股息期权2015年3月15日至2015年3月15日股票期权和股息期权2015年5月150.10.20.30.40.60.70.81y5y7y10y（c）利率掉期2015年3月15日至2015年5月15日（d）掉期2015年3月15日至2015年5月15日（e）指数水平图1：校准工作中使用的数据。日期范围为2015年2月至2015年4月，每天一次。图e 1a显示了插入的欧元Stoxx 50股息期货价格，到期时间为1年、5年、7年和9年。到期时间为2年、3年和4年的合同未明确划分。图1c显示了期限为1年、5年、7年和10年的Euriborspot起始掉期的票面掉期利率。为清晰起见，未绘制期限为2年、3年和4年的掉期利率。图1b分别显示了ATM Euro Stoxx 50指数和股息期权的Black-Scholes和Black隐含波动率。股票期权的到期时间为3个月，股息期权为2年。图1d显示了到期时间为3个月且基础掉期期限为10年的掉期期权的正常隐含可用性。图1e显示了E uro Stoxx 50.2 3 4 5 6匹配的矩数65.265.465.665.866.266.466.666.8最大熵CMC 95%置信区间（a）交换选项2 3 4 5 6匹配的矩数10.610.6510.710.7510.810.8510.910.95最大熵CMC 95%置信区间（b）股息期权2 3 4 5匹配的矩数15.415.4515.515.5515.615.6515.715.7515.815.8515.9最大熵CMC 95%CI（c）股票期权2 3 4 56匹配的矩数47.247.447.647.848.248.448.648.8最大熵CMC 95%CI（d）混合期权图2：不同匹配矩数的最大熵期权价格。

期权到期时间为3个月，期限为10年，股息期权到期时间为2年，股票期权到期时间为3个月，混合期权在1年内有单一现金流。所有期权都有ATM履约，我们将利差s视为混合期权的履约价格。2015年5月15日至2015年4月15日Y5Y7Y9Y（a）股息未来2015年3月15日至2015年5月15日指数期权分割期权（b）股票期权和股息期权2015年3月15日至2015年5月15日股票期权和股息期权150.10.20.30.40.60.70.81y5y7y10y（c）利率掉期2015年3月15日至2015年5月15日（d）掉期2015年3月15日至2015年5月15日（e）指数水平2015年3月15日至2015年5月1540.541.542.543.5（f）混合期权价格图3：市场价格（实线）和型号使用二月参数的隐含价格（虚线）。垂直线表示2015年2月的最后一天。混合期权价格没有可观察的市场价格。2015年2月15日-2015年4月15日（a）股息率DT2015年2月15日-2015年4月15日-2015年5月150.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2（b）短期利率rtFigure 4：使用二月参数的股息率和短期利率。垂直线表示2015年2月的最后一天。2月15日—3月15日—4月15日—5月1522.622.722.822.923.123.223.323.423.5图5：使用Febr uary参数的库存持续时间。垂直线表示2015年2月的最后一天。2009年2010年2011年2013年2014年2015年2016年2017时间图6：2009年1月至2016年12月期间，欧元S toxx 50成分（指数点）的月度股息支付。资料来源：Blo omberg，Euro S toxx 50 DVP指数。

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