股息和利率的期限结构模型

请注意，该模型能够捕获股票和股息期权的隐含波动率水平，但无法捕获随时间的变化。这是由模型的波动性结构造成的，其中股息因子XD1的相对波动性是恒定的。用更多的因素丰富模型规范有助于解决这个问题，但我们将此留作将来的研究。图4绘制了数据和RTU的过滤值，以及根据Febr uary数据校准的参数。使用March-orApril参数时，绘图看起来很相似。图5使用二月参数绘制了库存持续时间。随着时间的推移，库存相当稳定，平均为23年左右。Dechow et al.（2004）an d Weber（2018）基于资产负债表数据构建了一个股票存续期衡量指标，并发现大截面股票的平均存续期分别约为15年和19年。使用三月或四月参数时，绘图看起来很相似。表3包含计算期权价格的计算时间。大部分计算时间是由于（17）中g（XT）的矩的计算。驱动导数收益的随机因素的数量和必须匹配的矩的程度因此强烈影响计算时间。我们观察到，maximumentropy方法的所有计时都远远低于运行基准蒙特卡罗模拟所需的时间。互换期权的定价要比股息和股票期权的定价快得多，尤其是当矩数增加时。这是因为贴现掉期支付取决于二维过程（XI0t，XI1t）, 而被分割股票期权的贴现支付取决于整个四维过程Xt=（XI0t，XI1t，XD0t，XD1t）.

此外，股息和股票期权的贴现支付在因素中是二次的。所以，为了计算折扣支付的N阶矩，我们需要计算因子的2N阶矩。股息期权的计算因其支付的路径依赖性而更加复杂。事实上，股息选择权的支付取决于在Tand T时因子的实现。为了计算ζT（CT）的动量- 我们必须应用力矩公式两次。因此，它需要计算两次amatrix指数，与股票期权相比，这会导致额外的计算时间。6扩展6.1季节性众所周知，一些股票市场在股息支付方面表现出强烈的季节性。例如，图6显示，欧元Stoxx 50的组成部分在每年4月至6月期间支付的股息占其股息的很大一部分。在我们的框架中引入季节性的最简单方法是引入时间δ（t）的确定函数，并将累积股息过程重新定义为：Ct=Ztδ（s）ds+eβtpH（Xt）。（25）之前的函数δ（t）为瞬时股息率增加了一个确定性偏移：（26）Dt=δ（t）+eβtp（βId+G）H（Xt）。除了考虑季节性，δ（t）的选择也可以使观察到的分割期货价格完全匹配。在附录a中，我们展示了如何使用Lipovi\'c和Willems（2018）的自举方法来找到这样一个函数。我们没有失去（25）中规定的任何可跟踪性，因为CT时刻-Ct仍然可以很容易地计算出来。或者，我们也可以在Xt规范中引入时间依赖性。一般来说，这样做的代价是失去易处理性，因为我们离开了多项式跳跃的类别。

然而，有可能引入一种特定类型的时间依赖性，这样我们就可以停留在多项式的类中。定义Γ（t）为正弦和余弦函数的向量，其f频率为2π的整数倍（因此它们都有周期1）Γ（t）=sin（2πt）cos（2πt）。。。sin（2πKt）cos（2πKt）∈ R2K，K∈ N、 t型≥ 0、叠加z+zΓ（t），（z，z）∈ R1+2K，参见Marchioro（2016）等关于其他市场股息季节性的研究。是建模年度重复周期的灵活函数，是pricingcommodity衍生品的标准选择（见Sorensen（2002））。事实上，从傅立叶分析中我们知道，任何光滑的周期函数都可以表示为正弦波和余弦波的和。现在请注意，Γ（t）是以下线性常微分方程dΓ（t）=blkdiag的解0 2π-2π 0, . . . ,0 2πK-2πK 0Γ（t）dt。因此，函数Γ（t）可以被视为（1）中形式的（确定性）过程，并可以添加到因子过程中。例如，（23）中（XD0t，XD1t）的规格可以由（dXD0t=κD）代替XD1t- XD0tdtdXD1t=κD（z+zΓ（t）- XD1t）dt+σDXD1tρdB1t+p1- ρdB2t,其中，第一个因子平均值在第二个因子周围恢复，第二个因子平均值在时间相关平均值附近恢复。过程Xt不属于多项式跳变函数类，但增广过程（Γ（t），Xt）属于多项式跳变函数类。在第5节的校准工作中，我们没有在分区中包括任何季节性beh-avior，因为估算中使用的仪器不受季节性的直接影响。事实上，校准中使用的所有股息衍生工具都参考了整个日历年的股息总额。因此，一年内分期付款的时间安排不起任何作用。

理论上，股票价格应该继承股息支付的季节性模式，因为它的下跌幅度正好与支付的股息数额相同。然而，在实践中，股价的波动掩盖了这些价格下跌，因为股息支付通常只占总股价的一小部分。股息季节性仅在不同于整数日历年的时间段内实现的股息债权定价中发挥作用。6.2股息远期股息远期，也称为股息掉期，是交易所交易的股息期货的场外等价物。远期股息的买方在未来日期收到一定时间段（T，T）内与固定付款相对应的股息。股息远期与股息期货不同，因为它们不按每日市值计价。分割远期价格Dfwd（t，t，t），t≤ T≤ T、 定义为固定付款，使其具有零初始值fwd（T，T，T）=p（T，T）ζtEt[ζT（CT- CT）]=Dfut（t，t，t）+Covt[ζt，CT- 如果利率和股息是独立的，那么我们有Dfwd（t，t，t）=Dfut（t，t，t）。然而，如果利率和股息之间存在正（负）依赖关系，则存在凸度调整，股息远期价格将小于（大于）股息期货价格。下面的命题推导出了多项式框架下的股息远期价格。提案6.1。股息远期价格由byDfwd给出（t，t，t）=eβTweG（T-t）- eβTweG（T-t）H（Xt）qeG（T-t） H（Xt），其中w，w∈ r唯一的坐标向量是否满足WH（x）=pH（x）qeG（T-T） H（x），wH（x）=pH（x）qH（x）。7结论我们引入了一个综合框架，旨在对股息和利率的期限结构进行联合定价。

经济中的不确定性用多变量多项式跳变差来建模。该模型易于处理，因为我们可以以闭合形式计算因子过程的所有条件矩。特别是，我们推导出了债券、股息期货和股息支付股票价格的封闭式公式。期权价格是通过将贴现支付函数与最大化Boltzmann-Shannon熵的矩匹配密度函数积分得到的。我们引入了LJD模型，其特征是鞅部分对因子线性加载。LJD模型允许在因素之间建立灵活的依赖结构，这提供了一种有价值的非负跳差模型。我们假设股息是连续支付的，忽略了违约的可能性。当考虑股票指数上的衍生品时，这些假设是合理的，但对于单只股票上的衍生品来说，这些假设变得可疑。因此，一个有趣的未来研究方向是将我们的框架扩展到离散的分期付款和违约风险。加性季节性函数的自举在本节中，我们将解释如何自举平滑曲线T 7→ 与瞬时股息率DT相对应的（未观测到的）未来收益的ft（T）。该曲线应完美再现观察到的股息期货价格，此外还应包含季节性影响。一旦我们有了这个函数，我们将函数δ（T）定义为δ（T）=ft（T）- p（βId+G）Et[H（XT）]，T≥ t、 因此，（25）中的规定完美地再现了已观察到的期货合约和非公司理性。假设今天是时间0，我们观察一个日历年内实现的股息的期货价格- 1，i]，i=1，我

除以日历年inJ≥ 1桶，并分配季节权重wj≥ 0到每个铲斗，w+····+wJ=1。例如，可以根据股息支付的时间序列来估计这些季节权重。我们研究在定价和季节性约束下具有最大平滑度的两次连续可微曲线F:minf∈C（R）f（0）+f′（0）+ZIf′（u）dus。t、 Zi公司-1+jJi-1+j-1Jf（u）du=wjFi，i=1，一、 j=1，J、 这可以在适当的希尔伯特空间中转换为具有线性约束的凸变分优化问题。特别是，它有一个独特的解决方案，可以使用与目前的Inflipovi'c和Willems（2018）类似的技术以封闭形式解决。

通过将优化问题离散化，也可以在f上添加非负性约束。B证明本节包含本文中命题的所有证明。B、 1命题证明2.2使用t的矩公式（3）≤ TEt[CT]=eβTpeG（T-t） H（Xt）。关于T给定的差异dT=βeβTpeG（T-t） H（Xt）+eβTpGeG（T-t） H（Xt）。现在的结果如下：fr omDt=dEt[CT]dTT=T.B.2证明ζtand Dtin（11）规范中的命题2.3给出：S*t=ζtZ∞te公司-(γ-β） 设置HP（βId+G）H（x）H（Xs）qH（Xs）ID。由于XT是一个多项式过程，我们可以找到积分中期望值的闭合形式表达式：Ethp（βId+G）H（Xs）qH（Xs）i=veG（s）-t） H（Xt）。因此，基本股价变为：S*t=eβtvqH（Xt）Z∞te公司-(γ-β） （s）-t） eG（s）-t） ds H（Xt）=eβtvqH（Xt）（G- (γ - β） Id）-1exp{（G- (γ - β） Id）（s- t） }s=∞s=tH（Xt）=eβtvqH（Xt）（（γ- β） Id号- G）-1H（Xt）<∞,我们使用了矩阵G的特征值- (γ - β） 我有消极的部分。B、 3命题证明2.4当且仅当衰减收益过程（27）Gt=ζtSt+Ztζsdsdsds是非负局部鞅时，市场是无套利的。如果STI是（13）中的形式，那么我们有gt=EtZ∞ζsDsds+ 这显然是一个非负的局部鞅，因此市场是无套利的。相反，假设市场是无套利的，因此（27）成立。直接结果是，过程ζtSt- ζtS*t=Gt- Et公司Z∞ζsDs必须是局部鞅。

要显示非负性，请注意，从下面导出的局部鞅是一个上鞅，因此我们对所有T≥ tζtSt- ζtS*t型≥ Et公司燃气轮机-Z∞ζsDs= Et公司ζTST-Z∞TζsDsds≥ Et公司-Z∞TζsDsdsT→∞----→ 0，其中我们使用了上一个不等式中的股份有限责任。B、 4命题证明2.6与命题证明2.3相似，我们得到∞t（s）- t） Et[ζsDs]ds=vZ∞t（s）- t） e（β-γ） seG（s）-t） dsH（Xt）=e（β-γ） 电视Z∞t（s）- t） e[克]-(γ-β） Id]（s）-t） dsH（Xt）。应用部件集成givesZ∞t（s）- t） Et[ζsDs]ds=e（β-γ） 电视[(γ - β） Id号- G]-1Z∞te[克-(γ-β） Id]（s）-t） dsH（Xt）=e（β-γ） 电视[(γ - β） Id号- G]-2H（Xt）=e（β-γ） tw公司[(γ - β） Id号- G]-1H（Xt）。结果现在遵循fr om（12）和（15）。B、 5命题证明4.1我们首先证明存在一个唯一的强解Xtto（21），其值为（0，∞)d、 由于系数的全局Lipschitz连续性，在（21）中的SDE在Rdfor every X中有一个唯一的strongsolution∈ Rd，见定理III.2.32 inJaco d和Shiryaev（2003）。它仍然显示Xtis（0，∞)所有t的d值≥ 如果X，则为0∈ (0, ∞)d、 首先，我们证明了分歧案件的陈述。引理B.1。考虑SDEdXt=κ（θ- Xt）dt+diag（Xt）∑dWt，（28）对于一些d维布朗运动，如命题4.1中所假设的，和κ，θ，∑。IfX公司∈ (0, ∞)d、 然后是Xt∈ (0, ∞ )D对于所有t≥ 0.证明。将（28）漂移中的Xtin替换为X+t分量，并考虑SDEdYt=κ（θ- Y+t）dt+diag（Yt）∑dWt，（29），Y=X∈ (0, ∞)d、 函数y 7→ y＋分量是s直到Lipschitz连续的，存在唯一解Ytto（29）。现在考虑SDEdZt=-diag（d iag（κ））Z+tdt+diag（Zt）∑dWt，（30），Z=X∈ (0, ∞)d

其唯一的解决方案是（0，∞)zt=Zexp给出的d值过程-诊断（κ）-诊断（∑∑）)t+∑Wt.通过假设，（29）的漂移函数总是大于或等于（30）的漂移函数：κθ- κx+≥ -diag（d iag（κ））x+，x个∈ Rd.根据（Geiss和Manthey，1994，定理1.2）的比较定理，我们几乎可以肯定≥ Zt，t≥ 0。因此，Yt∈ (0, ∞)因此，dAD也可以求解SDE（28）。通过唯一性，我们得出结论，对于所有t，xt=yt，这证明了这一说法。定义τ是n的第i个跳跃时间，τ=0。我们通过归纳法进行论证，并假设对于某些i=0，1，…，Xτi>0。由于过程Xt是右连续的，我们对过程X（τi）t=Xt+τ离子区间[0，τi+1]有以下影响动力学- τi）dX（τi）t=κθ +-κ - ξ诊断ZSz dF（dz）X（τi）tdt+diag（X（τi）t）∑dB（τi）t，其中X（τi）=Xτi，B（τi）t=Bτi+t- Bτi.在过程B（τi）之前的停止时间τiis a.s.定义了一个关于其自然过滤的d维布朗运动，s定理6.16 inKaratzas和Shreve（1991）。通过引理B.1，我们得到X（τi）t∈ (0, ∞)dfor allt公司∈ [0，τi+1- τi）。因此，我们有Xt∈ (0, ∞)D对于所有t∈ [τi，τi+1）.跳跃大小xτi+1- Xτi+1-时间τi+1满足τi+1- Xτi+1-= diag（Xτi+1-)Zi+1>-Xτi+1-,其中Zi+1是分布为F（dz）的i.i.d.随机变量。重新排列条件给定xτi+1∈ (0, ∞)d、 通过归纳，我们得出以下结论：∈ (0, ∞)D针对t∈ [0，τi），i∈ N、 索赔如下，因为τi→ ∞ 因为我→ ∞ a、 接下来，我们证明了Xt是一个多项式跳差。

Xton ACF功能发生器的动作：Rd→ R由gf（x）=tr给出诊断（x）∑∑诊断（x）f（x）+ f（x）κ(θ - x） +ξZSf（x+诊断（x）z）F（dz）- f（x）- f（x）diag（x）ZSz F（dz）,（31）其中S den ote是F的支撑，我们假设F是这样的，即积分是有限的。现在假设f∈ Poln（Rd）并假定f是一个单项式，f（x）=xα=xα···xαdd，|α|=n。我们现在将生成器应用于此函数。紧接着，（31）中的前两项也是n次或更少的多项式。事实上，第二项（第一项）中的梯度（hessian）降低了一（2）度，而其余因素最多增加了一（2）度。（31）中的第三项变成（我们稍微滥用符号α来表示多指数和向量）：ξxαZSdYj=1（1+zj）αjF（dz）- xα- xααZSz F（dz）=ξxαZSeα对数（1+z）- 1.- αzF（dz），（32），其中对数按分量entwise应用。因此，我们得出结论，G将多项式映射为相同次数或更少次数的多项式。B、 6命题的证明4.2该证明类似于Filipovi\'c等人（2017）中定理5的证明。从（5）开始，我们有≥ 0当且仅当（33）β≥ supx公司∈(0,∞)d-pGH（x）pH（x），前提是它是有限的。使用（2）我们有（34）-pGH（x）pH（x）=-pκθ+Pdj=1pκjxjp+Pkj=1pjxj。使用假设κij≤ 0对于i 6=j（cfr，命题4.1），对于所有j>k，我们有（35）~pκj=dXi=1piκij=kXi=1piκij≤ 0、将（34）与（35）组合得到（36）supx∈(0,∞)d-pκθ+Pdj=1pκjxjp+Pkj=1pjxj=supx∈(0,∞)k-pκθ+Pkj=1pκjxjp+Pkj=1pjxj。如果p>0，则（36）右侧的分数可以看作-pκθp，~pκp，pκkpk,系数p，px，pkxk。因此，在这种情况下，我们有SUPX∈(0,∞)d-pGH（x）pH（x）=最大值-pκθp，~pκp。