股息和利率的期限结构模型

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英文标题：
《A Term Structure Model for Dividends and Interest Rates》
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作者：
Damir Filipovi\\\'c, Sander Willems
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Over the last decade, dividends have become a standalone asset class instead of a mere side product of an equity investment. We introduce a framework based on polynomial jump-diffusions to jointly price the term structures of dividends and interest rates. Prices for dividend futures, bonds, and the dividend paying stock are given in closed form. We present an efficient moment based approximation method for option pricing. In a calibration exercise we show that a parsimonious model specification has a good fit with Euribor interest rate swaps and swaptions, Euro Stoxx 50 index dividend futures and dividend options, and Euro Stoxx 50 index options.
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中文摘要：
在过去十年中，股息已成为一种独立的资产类别，而不仅仅是股权投资的副产品。我们引入了一个基于多项式跳跃扩散的框架，对股息和利率的期限结构进行联合定价。股息期货、债券和股息支付股票的价格以封闭形式给出。我们提出了一种有效的基于矩的期权定价近似方法。在校准实践中，我们表明，节约型模型规范与欧元银行同业拆借利率掉期和掉期期权、欧洲斯托克50指数股息期货和股息期权以及欧洲斯托克50指数期权具有良好的拟合性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：利率的期限结构 期限结构 结构模型 Quantitative Mathematical

股息和利率的期限结构模型*Damir Filipovi+Sander Willems+2020年5月22日即将出版的《数学金融文摘》过去十年来，股息已成为一种独立的资产类别，而不是股权投资的边际产品。我们引入了一个基于多项式跳变的框架，对股息和利率的期限结构进行联合定价。分割期货、债券和股息支付股票的价格以封闭形式给出。我们提出了一种有效的基于矩的期权定价近似方法。在校准实践中，我们表明，节约型模型规范与Euribor利率掉期和掉期期权、Euro Stoxx 50指数股息期货和股息期权以及EuroStoxx 50指数期权具有良好的匹配性。JEL分类：C32、G12、G13MSC2010分类：91B70、91G20、91G30关键词：股息衍生品、利率、多项式跳跃差异、期限结构、基于矩的期权定价1近年来，对直接面临股息风险的交易衍生品合约的兴趣不断增加。Brennan（1998）认为，股息激励市场可以促进股票市场的理性定价。在场外交易（OT C）市场中，自2001年以来，股息掉期就以股息掉期的形式进行了交易，在这种交易中，流动分支支付在预定时间段内实现的股息。场外交易市场还容纳了种类繁多的更奇特的股息相关产品，如淘汰股息掉期、股息收益掉期和掉期期权。

2008年末，欧洲期货交易所推出了交易所交易期货合约，参考了*我们感谢洛桑金融动态模型研讨会、阿姆斯特丹第八届金融高级数学方法大会、里斯本第二届计算金融国际会议、布鲁塞尔第十一届精算和金融数学会议、2018年瑞士金融研究所格尔岑西研究日的与会者，在都柏林举行的第十届学士世界大会、2018年康奈尔大学青年研究者数据驱动决策研讨会、2019年剑桥洛桑新工场、麦克马斯特大学、纽约大学、普林斯顿大学、加州大学伯克利分校和都柏林大学学院的研讨会，以及彼得·卡尔、杰罗姆·德坦普尔（讨论者）、阿列克西·伊瓦什琴科（讨论者）、马丁·莱托（Martin Lettau、，克里斯·罗杰斯（讨论者）、拉杜·图纳鲁和三位匿名裁判的评论。根据欧盟第七框架计划（FP/2007-2013）/ERC赠款协议（编号307465-POLYTE），导致这些结果的研究获得了欧洲研究理事会的资助+EPFL和瑞士金融研究所。电子邮件：damir。filipovic@epfl.chEPFL和瑞士金融研究所。电子邮件：willems。gmail上的sand er。欧洲斯托克50指数的组成部分。随后不久，为其他主要股指（如富时100指数和日经225指数）创建了一个期货市场，并在已变现的股息上引入了交易所上市期权，期限最长可达10年。除了种类繁多的相对较新的股息工具外，自金融成立以来，还有另一种重要的股息衍生工具：简单的股息支付股票。事实上，股票的份额包括对股票生命周期内支付的所有股息的要求。

因此，任何股息的定价模型也应该能够有效地为支付股息的股票上的衍生品定价。更重要的是，利率-股息混合产品的存在、股息期权相对较长的到期日以及股票的长期负债性质都促使人们使用随机利率。尽管有其明显的可取性，但迄今为止，文献中仍缺少一个可处理的利率和股息期限结构联合模型以及相应的STOCK。我们填补了这一差距，并制定了一个综合框架，以有效地为股息、股票和利率衍生产品定价。我们首先指定股息和贴现因子的动态，然后在第二步中，我们将封闭形式的股价恢复为基本股价（所有未来股息的现值）和可能的剩余泡沫成分之和。间接股息率是多元因素过程的线性函数。利率的建模方法是直接将贴现系数指定为系数中的线性，类似于Inflipovi'c等人（2017）。正如Infipovi'c和Larsson（2020）所研究的那样，因子过程本身被指定为一般多项式跳跃差分。由于因子的所有条件矩都是以闭合形式已知的，因此这种规格使得模型可跟踪。特别是，我们有股票价格和分割期货和利率掉期的期限结构的封闭式表达式。通过矩匹配法对其贴现收益可写为系数中多项式函数的任何衍生工具进行定价。

具体而言，我们确定了唯一的概率密度函数，其中最大Boltzmann-Shannon熵匹配多项式的有限个矩，如inMead和Papanicolaou（1984）。然后通过数值积分得到导数的价格。特别是，这允许我们对互换期权、股息期权和股息支付股票的期权进行定价。我们表明，我们的多项式框架还允许将季节性行为纳入dividenddynamics。在我们的多项式框架内，我们引入了线性积分微分（LJD）模型。我们表明，LJ D模型允许因素之间存在灵活的依赖结构。这有助于建立股息和利率之间的依赖关系模型，也有助于建立利率或股息期限结构内的依赖关系模型。我们根据欧元银行同业拆借利率掉期和掉期期权、欧洲斯托克50指数股息期货和分割d期权以及欧洲斯托克50指数期权的市场数据，对LJD m模型的节约型规范进行了校准。我们的模型将指数期权相对较大的隐含波动率与股息期权和掉期期权相对较小的隐含波动率进行了协调，两者之间存在负相关。将模型成功校准为三个不同的衍生类别（利率、股息和股本），说明了我们的框架具有高度的灵活性。我们的论文涉及各种各样的文献。在有关股票期权定价的文献中，股息通常被假定为确定性的（例如，Bos和Vand er mark（2002）、Bos et al.（2003）、Vellekoop和Nieuwenhuis（2006））、股票价格的固定部分（例如，Merton（1973）、Korn和Rogers（2005）），或两者的组合（例如，Kim（1995）、Overhu s et al.（2007））。

Geske（1978）和Lioui（2006）将股息建模为股票价格的随机分形。他们推导出了欧式期权价格的Black-Scholes型方程，然而，在这两种情况下，股息不一定是非负的。Chance等人（2002年）直接指定了股票T远期价格的对数正态动态，以及期权的到期日。假设今天的第一个远期价格是可观察的，则获得的封闭式期权价格如Black（1976）所示。这种方法很容易使用，因为它不需要对d-ividends的分布进行任何建模假设。然而，对于不同的到期日，它不会产生一致的期权价格。Bernhart和Mai（2015）采取了类似的方法，但建议确定一个足够长的时间范围，以涵盖所有待定价的期权到期日。T-远期价格采用非负鞅建模，股票价格定义为T-远期价格加上从现在到时间T的股息现值。因此，到期日小于T的期权的价格将取决于未来股息支付和T-远期价格之间的联合分配，这在一般情况下是未知的。Bernhart和Mai（2015）采用数值树近似方法对期权进行定价。他们的模型对固定时间范围的依赖仍然会导致时间不一致，因为时间范围必须在某个时间点扩展。我们通过构建一个股票期权定价模型，该模型保证非负股息，具有时间一致性，并保持易处理性，为这一文献做出了贡献。另一部分文献研究股票和股息衍生品联合定价的随机模型。Buehler等人（2010年）假设股票价格在已知股息支付日期跳跃，并在支付日期之间遵循对数正态动力学。

跳跃幅度是由Ornstein-Uhlenbeck过程驱动的，因此stock价格保持对数正态分布，并且该模型具有股票欧洲看涨期权的封闭式价格。通过Orns-tein-Uhlenbeck过程与股票价格极端负相关，股票价格的高波动性与股息支付的低波动性得以调和(-95%). 该模型的一个主要缺点是股息可能为负。此外，虽然该模型有一个可跟踪的股票价格，但股息本身是不可跟踪的，需要蒙特卡罗模拟来为股息衍生产品定价。在最近的研究中，Buehler（2015）将股票价格分解为基本成分和剩余泡沫成分。股息被定义为二次驱动过程的函数，二次驱动过程意味着围绕风险泡沫成分的回归。该模型具有股息期货的封闭式表达式，但仍然需要蒙特卡罗模拟来预测非线性风险。Guennoun和Henry Labord\'ere（2017）考虑了一个随机局部波动模型，用于股票和股息衍生品的定价。他们的模型保证了对观察到的期权价格的完美拟合，但所有定价都基于蒙特卡罗模拟。Tunaru（2018）提出了两种不同的股息衍生品估值模型。第一个模型与Buehler等人（2010）的theone相似，但用β分布对跳跃幅度进行建模。这保证了积极的股息支付。然而，股票的不同噪音被认为取决于ord er中的跳跃幅度，从而可以对股息未来精神进行易于处理的表达。因此，不可能像Buehler等人（2010）那样，通过股票价格和跳跃幅度之间的负相关性来平滑分割的ds。

在第二种方法中，Tun aru（2018）直接利用不同的物流增长过程对累积股息进行建模。然而，这个过程不能保证是单调递增的，这意味着负红利可能频繁发生。Willems（2019b）联合规定了股票价格和股息率的动态，使得股票价格为正，股息率为非负过程平均值，围绕股票价格的恒定分数进行回复。Willems（2019b）模型实际上是本文介绍的一般框架的一个特例，尽管它不同于LJD模型，并且没有纳入随机利率。我们通过考虑随机利率来补充这篇文献，随机利率对于利率股息hybr id产品或长期divid end衍生工具（例如，dividendpaying股票）的估值很重要。我们的模型生成股息期货的封闭式价格，并具有期权价格的有效近似，其速度明显快于蒙特卡罗模拟。特别是，我们给出了一个在我们的框架中可以有效定价的股息利差混合操作的示例。通过股息和利率之间的负相关，股息和利率的低波动与股票价格的高波动相协调。我们的工作还涉及构建股息和利率综合框架的文献。以前的方法主要基于有效过程，参见Bekaert和Grinadier（1999）、Mamaysky等人（2002）、d\'Addona和Kind（2006）、Lettau和Wachter（2007、2011）、andLemke和Wer-ner（2009）。在最近的研究中，Kragt等人。

（2020年）通过估计四个不同股票市场中股票指数股息期货的两状态空间模型，从股息衍生品中提取投资者信息。他们没有单独建模股息和利率，而是选择在一个称为“贴现风险调整股息增长率”的单一变量中建模股息增长、无风险贴现率和风险溢价。Yan（2014）使用从看跌期权平价关系中提取的零息票债券价格和现值债权进行分割，以估计利率和股息的一个有效期限结构模型。Suzuk i（2014）使用Nelson-Siegel方法，通过股息期货和欧元银行同业拆借利率（Euribor swap rates）来估计Stoxx 50欧元的基本价值。我们通过使用多项式过程类构建股息和利率的综合框架来补充这一文献，其中包含传统的a ffne过程作为特例。最后，我们的工作还涉及基于矩的期权定价的文献。Jarrow和Rudd（1982）、Corrado和Su（1996b）以及Collin Dufresne和Goldstein（2002b）使用Edgeworth展开来近似可用时刻期权支付函数的密度。与之密切相关的是Gram-Charlier展开式，例如Corrado和Su（1996a）、Jondeau和Rockinger（2001）以及Ackerer等人（2018）对其进行了期权定价。尽管这些级数展开式允许获得一个积分为一的函数，并通过构造匹配任意数量的矩，但它不能保证为正。在本文中，我们找到了具有最大Boltzmann-Shannon熵的唯一概率密度函数。受到一定数量的力矩约束。然后通过数值积分得到期权价格。Fusai和Tagliani（2002）也采用了类似的方法来研究ice亚洲期权。

最大熵原理也被用于从期权价格中提取风险中性分布，参见Buchen和Kelly（1996）、Jackwerth和Rub instein（1996）、Avellaneda（1998）、andRompolis（2010）。为了找到满足一定数量的力矩约束的密度函数，有许多方法可以最大化熵。例如，可以最大化密度函数的平滑度（参见Jackwerth和Rubinstein（1996）），或者直接最大化（最小化）期权价格本身，以获得价格的上限（下限）（参见Lasserre et al.（2006））。不同方法的比较超出了本文的范围。本文其余部分的结构如下。第二节介绍了因子过程，并讨论了分割期货、债券和分红股票的定价。在第3节中，我们解释了如何使用最大熵矩匹配有效地近似期权价格。第4节描述了L JD模型。在第5节中，我们根据实际市场数据校准了节约型模型规范。第6节讨论了框架的一些扩展。第7节结束。所有证据和技术细节可在ap pendix中找到。2多项式框架我们考虑一个基于过滤能力空间的金融市场(Ohm, F、 金融时报，Q），其中合格中介机构是风险中性定价措施。此后，Et[·]表示Ft条件期望。我们通过一个因子过程来模拟经济中的不确定性，在一些状态空间中取值 Rd.我们假设Xtis是一个多项式跳变差（cfr.Filipovi\'c和Larsson（2020）），动力学（1）dXt=κ（θ- Xt）dt+dMt，对于某些参数κ∈ Rd×d，θ∈ Rd和一些d-维鞅使得XT的生成元G将多项式映射到相同次数或更少次数的多项式。