收入不平等的指数结构：来自67个国家的证据

这是因为，与高收入阶层不同，中低收入阶层演变为一种结合了效率和罗尔斯公平的竞争均衡。传统税收政策人为改变中低收入阶层的收入结构，可能损害市场效率和公平。结论我们已经表明，标准的Arrow-Debreu一般均衡模型与罗尔斯的公平原则相结合，自然会产生收入的指数分布，这与全球67个国家的经验数据非常吻合。这些结果在人工时提供了一个稳定的4L  和资本K  相互替换，我们有MRTS!主流经济框架内指数收入分配的理由为“>0.12”。此外，我们的发现可能具有更广泛的社会经济影响，因为指数收入法则实际上是最有可能的自然选择的结果（Whitfield 2007；Tao 2016），即最可能的分布。阿罗·德布鲁的一般均衡模型描述了一个理想的制度环境（类似于生态环境），允许不同的收入结构。相对于其他结构，指数收入分布出现的概率最高，因此它代表了“最有可能的结构，也被称为“自发秩序”（Tao 2016）。这些结果与进化经济学相关（Mackmurdo 1940；Nelson和Winter 1982Potts 2001；霍奇森2004；Doffer 2004；Foster和Metcalfe，2012），关注社会进化的方向。

通过熵最大化得到指数分布（2）lnΩ  （见附录D），指明了进化的方向。根据新古典经济学，我们模型中的熵被解释为技术进步（Tao 2016），如附录D所述，因此，更高的技术进步是社会进化最可能的方向：“在所有可能的社会系统中，那些技术水平碰巧最高的系统将被“选中”作为幸存者。换言之，那些技术水平较低的社会系统更有可能在社会进化过程中被淘汰。我们的见解似乎符合现有的历史事实。13英寸图1。指数拟合英国完整和截断的收入数据。纵轴以对数刻度显示人口的累积百分比。横轴通过除以每年的θ值来显示重新调整的年收入。为清晰起见，每个国家的数据和拟合均垂直移动；每一条拟合线与垂直轴在100%总体上相交。表S1中给出了配合参数和有关配合的辅助信息。HMRC SPI指英国税务和海关、个人收入调查。14\"\" “图2。欧盟及其邻国2014年截短收入数据的指数拟合。纵轴显示对数标度的累积人口百分比。横轴显示通过除以每个国家相应的θ-值重新调整的收入。为了清晰起见，每个国家的数据和拟合都垂直移动；拟合的每一行以100%累积人口百分比横切纵轴。

拟合参数和辅助信息见表S2。EU-SILC指欧盟关于收入和生活条件的统计数据。15英寸图3。指数拟合不同国家不同年份的截断收入分配数据。纵轴以对数刻度显示人口的累积百分比。横轴显示通过除以每个国家相应的θ-值重新调整的收入。为清晰起见，每个国家的数据和拟合均垂直移动；每一条拟合线与纵轴相交的总人口百分比为100%。表S3.16“图4中给出了配合参数和有关配合的辅助信息。边际劳动资本收益率（MLCR）与失业补偿（UC）之间关系的统计拟合。纵轴显示MLCR，横轴显示UC。2011年、2012年、2013年和2014年的横断面数据集来自26个欧洲国家。一些国家的当地货币单位（LCU）不是欧元（EUR），因此从欧盟统计局收集的年平均汇率用于将UC值从LCU转换为欧元。随后四年的斜率系数分别为0.290、0.315、0.331和0.320，两个变量之间的皮尔逊相关系数分别为0.864、0.904、0.899和0.880，详见表S4。斜率参数和皮尔逊相关系数都非常显著。17“年r!μ!μ!1999-2000-0.9988692000-2001-0.9987952001-2002-0.9988892002-2003-0.9988722003-2004-0.9986552004-2005-0.9991932005-2006-0.9993412006-2007-0.9992752007-2008-0.9991742009-2010-0.9993332010-2011-0.999462011-2012-0.999282012-2013-0.9992012013-2014-0.99898表1。

相关系数和估计μg  对于英国。所使用的数据报告了1999-2000至2013-2014纳税年度的税后个人年总收入。μ!  是的估计值μ  基于去除高收入样本中的三个分位数，以及μ!  是的估计值μ  基于最大化R!  如附录A表S1.18所述。N-人非合作博弈Arrow-Debreu的一般均衡模型（ADGEM）基于新古典经济学的两个著名标准：效用最大化和利润最大化。如果有N 每个运营公司的消费者，描述其最佳行为的ADGEM使用以下原则（Tao 2015，2016）：（a）。利润最大化：针对每个公司i = 1, … , N,  y!*∈ Y!  使利润最大化，从而P o y!≤ P o y!*  对于所有人y!∈ Y!.    （b） 。效用最大化：针对每个消费者i = 1, … , N ,  x!*∈ X!  是最大化优先权的解决方案i~在预算设置下：x!∈ X!: p o x!≤ p o ω!+ θ!\"p o y!*!!!!.    （c） 。市场清算：x!*!!!!= ω!!!!!+ y!*!!!!.    在这里x!  和X!  表示的消耗向量和消耗集ith消费者；y!  和Y!  表示的生产向量和生产集i 分别为th公司（Mas Collel、Whinston和Green 1995）；θ!“代表每家公司的所有权份额j = 1, … , N  支付给i第个消费者。分配x!*, … , x!*; y!*, … , y!*  和价格向量p = p!, … , p!  构造ADGEM（a）-（c）的Pareto最优解。B、 罗尔斯“两人分配”的公平性为了说明这一点，让我们考虑一个简单的“两人社会”，其中GDP以2美元表示，每个人都可以赚取0美元、1美元或2美元的可能平衡收入。

对于“2人社会”，方程式（1）可以用以下形式表示：I!= 0,1,2   for   i = 1,2I!!!!!= 2.（B.1）根据方程式（B.1），“二人社会”将有三个均衡收入分配（EIA）：A!= 0,2 ,  A!= 2,0和A!= 1,1 . 如下所示：案例1(A!)                        案例2(A!)                          案例3(A!)                       $0$2$1$2$0$119“根据罗尔斯公平机会平等原则，每个EIA应以相同的概率进行（Tao 2015，2016）；因此，每个人的预期收入为1美元。具体计算如下：概率(A!)=1/3，概率(A!)=1/3，概率(A!)=1/3女性的预期收入=0×13+2×13+1×13=1（B.2）。男性的预期收入=2×13+0×13+1×13=1（B.3）。这意味着每个人都拥有平等的赚钱机会。如果我们用a  收入分配不均b, 我们确实有a = A!  和b = A!, A!. 根据罗尔斯的公平机会平等原则，a  概率为1和3b  将以2 3的概率发生。遵循“最有可能生存”的规则，b   将是自然选择的结果。C、 收入“分配”的密度函数N-“人员分配”，Tao已经证明，通过将罗尔斯的公平性应用到等式（1）中N  和Y  如果足够大，则会出现概率最大的指数收入分布（Tao 2015，2016）：a!= g!e!!!!!!  ,                                                                    （C.1）ε!< ε!< ··· < ε!.

在这里μ   和θ   分别表示边际劳动资本回报和边际技术回报（Tao 2016）；读者可以在附录D中找到这两个参数的来源。公式（C.1）表明a!  每个消费者都获得ε!  收入单位，以及k  从1运行到n. 由于收入分配（C.1）发生的可能性最大，陶称之为“自发经济秩序”（陶2016）。公式（C.1）可以用连续函数的形式重写。要了解这一点，让我们首先观察：a!!!!!= N,                                                                         （C.2）导致：！！！！！！！=（C.3）这里！！！表示每个人收入的人口比例ε!  收入单位。现在我们写！！！以连续函数的形式：f x . 为此，让我们订购：f x = w o e! !!!!,                                                                （C.4）其中x ,  取代ε!,  表示一个持续的收入水平，根据理性代理假设，一个人拥有（Tao 2010）x ≥ μ.    在这里w  是一个待定常数，由求和公式（C.3）确定。20“让我们更换！！！通过（C.4），将公式（C.3）的求和运算转换为积分运算：w o e! !!!!!!!dx = 1，（C.5）导致w =!!.    最后，我们得到了收入分配的密度函数：f x =!!e! !!!!.                                                                                              （C.6）D。

技术进步和熵由于企业由劳动力和资本组成，新古典经济学的柯布-道格拉斯总生产函数（或GDP）可以写成以下形式（Tao 2010，2016）：Y = Y N L, K , H ,                                                                          （D.1）其中L  和K  表示劳动力和资本，而N 和H  表示公司数量和技术进步。（D.1）收益率的完全微分[另见Banerjee和Yakovenko（2010）中的公式（9）]：DY N L, K , H = μdN L, K + θdH,                                           （D.2）其中μ = Y N  和θ = Y H  分别表示边际劳动资本回报和边际技术回报（Tao 2016）。在这里，Tao确定了熵lnΩ  随着技术的进步H  （陶2010、2016）：H = lnΩ,                                                                                         （D.3）其中Ω  表示给定收入分配包含的均衡收入分配数量（此外，Ω  还衡量了社会成员的选择自由（Tao 2016））。例如，对于附录B中描述的2人社会，我们有Ω a = 1和Ω b = 2、通过最大化（Tao 2010、2015、2016）Ω  可以得到指数收入分布（2）。因此，技术进步H   可以看作是社会经济系统的熵。此外，方程（D.1）的完全微分可以改写为以下形式：dY = ωdL + rdK + θdH,                                                                                （D.4）其中ω = Y L  和r = Y K  分别表示边际劳动回报和边际资本回报（Tao 2017）。

一方面，我们不妨假设资本市场表现出完全竞争，因此r  也表示利率。另一方面，根据新古典经济学的边际收益递减原则，ω   表示最低工资。比较方程式（D.2）和（D.4），我们可以得到（Tao 2017）：μ = ω o σ - r o σ o MRTS!“，（D.5）其中σ = dL dN  和MRTS!\"= - dK dL. 在这里σ  表示边际就业水平和MRTS!“表示劳动力和资本的边际技术替代率（Tao 2017）。21”“E.获得一致估计的主要命题μ, 我们根据两种情况进行估计分析：全样本和截断样本。在本文中，lim!→!a!= a  方法lim!→!P a!= a = 1，其中P ξ   表示ξ  发生。完整示例让我们先放弃约束x ≥ μ.  对于完整数据（即总体），方程式（4）可写成以下形式：y!= β*x!+ α*+ ε!,                                                                                            （E.1）μ*= -!*!*,                                                                                                                    （E.2）其中β*= -!!*,  α*=!*!*,  和ε!~N 0, σ!  对于j = 1,2, … , ∞.  在这里x!!!!!  和y!!!!! 表示完整数据。β*  和α*  通过回归得到y!!!!!  在…上x!!!!!.    对于完整样本5，方程式（E.1）和（E.2）的样本估计得出：y!= βx!+ α,                                                                                                （E.3）μ = -!!,                                                                                                          （E.4）其中i = 1,2, … , n.

由于缺少约束x ≥ μ, 方程式（E.1）与方程式（3）略有不同；因此，我们不能确保μ*= μ.  在E2节中，我们将讨论μ  什么时候x ≥ μ  持有。在本节中，我们主要研究估计值的一致性（E.4）。根据方程（E.3）的最小二乘估计，我们得到：β =!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!,                                                                                       （E.5）α = y - βx,                                                                                                 （E.6）其中x =!!x!!!!!  和y =!!y!!!!!.    由于指数分布（3）只适用于收入数据的中低部分，我们应该放弃高收入数据。此外，由于x!  在方程式（3）中，x!!!!!  应该是单调递增序列。因此，我们可以做出以下假设。假设：（a）。x!< ∞  和y!< ∞  对于i = 1,2, … , n.             （b） 。x!!!!!  是严格单调递增序列x!≥ 0用于i = 1,2, … , n.   “5个完整样本”表示x!, … , x!, 哪里n  表示样本大小。22“（c）。ε!  是i.i.d。N 0, σ!.     接下来，我们验证β  和α  是一致的估计。定理1：假设ε!  是i.i.d。N 0, σ!. 如果有lim!→!X!X!!= 0, 然后有：lim!→!β = β*,                                                                                                   （E.7）lim!→!α = α*,                                                                                                     （E.8）其中X =x!··· x!1.··· 1.证据见赖、罗宾斯和魏（1979）。□  为了验证方程（E.7）和（E.8），我们只能证明以下命题。提议1：lim!→!X!X!!= 0.

证据计算起来很容易：X!X!!=!!!!!!!!!! !!!!!!!n - x!!!!!- x!!!!!x!!!!!!,   所以证明lim!→!X!X!!= 0  等同于验证：lim!→!!!!!!!!!!! !!!!!!!n - x!!!!!- x!!!!!x!!!!!!=0 00 0.                       （E.9）显然，证明方程式（E.9）等同于验证以下三个方程式：lim!→!!!!!!!!!!! !!!!!!!= 0，（E.10）lim!→!!!!!!!! !!!!!!!! !!!!!!!= 0，（E.11）lim!→!!!!!!!!! !!!!!!!! !!!!!!!= 0。（E.12）可以计算：n x!!!!!!- x!!!!!!= n!!!x!!!!!!- x!.                                             （E.13）此外，我们还有以下结果：！！x!!!!!!- x!=!!x!!!!!!- 2.x!+ x!=!!x!- x!!!!!.                      （E.14）假设（b）我们必须x!- x!!!!!≠ 0; 否则x!= x  对于i = 1,2, … , n, 与严格的单调性相矛盾。另一方面，根据严格的单调性，最多应该有一个数字x!  导致x!= x.  因此，如果我们订购min！！！x!- x = A,  那么我们有x!- x!!!!!≥ 0 + n - 1.o A!.    因此，通过方程式（E.14），我们可以得到：！！x!!!!!!- x!=!!x!- x!!!!!≥!!!!o A!.                                        （E.15）使用方程式（E.13）和（E.15）可以得到！！！！！！！！！！！！！！！=！！≤!!!o!!!!o!!=!!o!!! o!!.                         （E.16）另一方面，根据假设（a），我们可以订购max!x!= B; 因此，我们有：x!!!!!= x!!!!!≤ n o B,                                                                               （E.17）x!!!!!!= x!!!!!!≤ n o B!.                                                                           （E.18）使用方程（E.16）-（E.18），我们可以得到：！！！！！！！≤!!o!!! o!!=!!!! o!!.                                                       （E.19）！！！！！！！≤!o!!o!!! o!!=!!!! o!!.