收入不平等的指数结构：来自67个国家的证据

最后，我们指出，其他学者（Foley 1994；Chakrabarti and Chakrabarti 2009；Venkatasubramanian、Luo和Sethuraman 2015）也应用了罗尔斯的公平、效用和最大熵的概念来推导收入分配；然而，我们的推导有一个优势，即基于ADGEM并规定了理论分布的适用范围。3、对67个国家的实证检验我们可以估计μ  和θ  通过将经验收入数据拟合到公式（3）中给出的累积概率分布。本文使用的数据集来自国家一级的许多来源，包括大量百分位数样本的收入数据。利用多年的数据，我们获得了全球67个国家的数据集，在新古典经济学中，垄断权力意味着企业之间的行为是高度异质的。有趣的是，Lux和Marchesi（1999）还表明，经济主体之间的异质行为可能导致金融市场中的幂律。6“尤其是欧洲和拉丁美洲国家。附录F中充分描述了数据来源。因为我们的模型基于ADGEM，它描述了一种理想的市场经济，我们希望指数分布适用于发达的市场经济。为此，我们主要关注OECD国家，也更容易找到详细的以及可靠的收入分配数据。在经合组织以外，通常很难以适当的格式获得足够详细、可靠的数据。因此，本文分析的67个国家是我们从附录F中列出的来源中找到数据的国家。

希望在今后的工作中进一步努力扩大国家名单。根据每个国家的家庭收入数据（分类为宏观收入分位数数据），我们计算了收入的累积分布P t ≥ x , 即收入大于x  占总人口的比例。在理论构建之后，实证分析分两步进行。首先，我们将日志记录到累积分布方程的值，并对样本进行逐步普通最小二乘（OLS）回归。由于我们研究了累积收入分配与收入水平之间的关系，根据指数收入分配的适用范围，我们需要剔除高收入样本，因为它们遵循幂律（Axtell 2001；Tao 2015）。借助拟合优度标准，我们根据调整后的最大值选择样本R!  值标准。具体来说，我们首先将日志带到等式（3）中，ln  P t ≥ x = y = βx + α + ε,                                          （4） 在哪里β = -1.θ,  α = μ θ,  然后我们回归y  在…上x  使用OLS方法。第二步，根据第一步得到的回归结果，我们计算边际劳动资本回报值μ,  等于截距与斜率系数之比的倒数，即μ = -α β.  此外，通过理性代理假设，我们剔除了价值小于μ, 我们再次对“新”样本进行OLS回归。为了说明我们的测试过程，我们首先将上述实证策略应用于英国。

在1999-2000年至2013-2014年期间R! 规则，我们先放弃超高收入数据。根据我们的理论公式，高收入人群不符合ADGEM的假设。事实上，这些人的数量相对较少，但他们的总收入却相当大。当去除最高收入样本时，根据方程（3）的回归参数，我们得到μ,  然后，我们进一步删除值小于μ. 我们再次对清除的数据进行OLS回归，以使数据符合我们的指数分布。为了进行比较，我们还对全样本数据进行了拟合；详见图1中的两个面板。同样，同样的实证检验程序也适用于世界各地的其他国家。拟合结果如图所示。2和3。图2显示了欧盟统计局数据可用的34个主要欧洲国家，图3显示了其他地区的33个国家。人们可以直观地观察到，理论和经验数据之间的一致性非常好。此外，表S1-S3中报告了67个国家指数收入分配（3）的拟合优度参数（见附录F）。我们表明R!  在几乎所有这些国家中，我们在这里指出，使用最大化R!  可以看作是一个过滤过程。根据我们的模型，指数函数拟合收入分布的中间区间，因此有必要过滤掉分布高端和低端的数据，以揭示指数模式。

在从噪声或混合数据中提取信号的任何数据分析中，滤波总是不可避免的，因此这不是数据完整性的绝对问题，而是滤波过程是否合理的实际问题。我们相信，我们的上述程序是合理可靠和令人信服的，因为它在删除相当小部分数据后收敛。稍后，我们将观察到μ  由最大化的过滤程序生成R!  确实与经验数据一致。尽管如此，我们仍然无法验证μ  所产生的过滤程序是一致的。事实上，由于我们只收集了家庭收入的样本数据，我们必须证明μ  当样本数足够大时，充分接近真值；否则，我们无法保证μ  我们提出的建议是一致的。在下一节中，我们将显示μ 所产生的过滤程序是一致的。4、一致估计μ    在第3节中，我们已经表明指数分布（3）非常适合67个国家家庭收入数据的中低部分。唯一的问题是，我们不知道拟合过程是否会产生一致的μ.  对于完整数据（即总体），方程式（4）可以写成：y!= β*x!+ α*+ ε!,                                                                                                    （5） 在哪里β*= -!!*,  α*=!*!*,  和ε!~N 0, σ!  对于j = 1,2, … , ∞.  在这里x!!!!!  和y!!!!! 表示完整数据。β*  和α*  通过回归得到y!!!!!  在…上x!!!!!.

必须注意的是，由于x ≥ μ, 方程式（3）与方程式（5）略有不同。因此，我们无法确保μ*= μ.  事实上，方程式（3）暗示x!!!!!  应为严格单调递增序列x!≥ 0用于j = 1,2, … , ∞. 更重要的是，它表明存在一个正整数g*  保证x!≥ μ  对于k = g*, g*+ 1, … , ∞. 这意味着，对于完整数据，方程式（3）应写成：y!= βx!+ α + ε!x!≥ μ,                                                                                            （6） 在哪里β = -!!,  α =!!,  和ε!~N 0, σ!  对于k = g*, g*+ 1, … , ∞ .  在这里β   和α   通过回归得到y!!!!*!  在…上x!!!!*!. 通过附录E中的引理4，我们证明了如果g*< ∞, 然后一个有β = β*,  α = α*. 因此，方程式（6）可以改写为：8“”y!= β*x!+ α*+ ε!x!≥ μ*,                                                                                            （7） 在哪里k = g*, g*+ 1, … , ∞  和g*< ∞.    显然，我们的目的是μ. 方程式（7）提醒我们，如果可以收集完整的数据x!!!!!  和y!!!!!, 然后μ  可通过计算获得μ*. 不幸的是，没有人能够收集完整的数据，因此不可能得到方程式（7）。然而，根据样本数据x!!!!!  和y!!!!!, 我们可以考虑以下统计估计方程：y!= β!x!+ α!x!≥ μ!,                                                                                                      （8） 在哪里i = g , g + 1, … , n  和n  表示样本大小。值得强调的是g = g n  尚未确定。

在这里β!=!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!,                                                                                         (9)    α!= y!- β!x!,                                                                                                     (10) μ!= -!!!!,  (11)     x!=!!!!!!x!!!!!,                                                                                                  (12)                                         y!=!!!!!!y!!!!!.                                                                                           （13） 由于缺乏完整数据，我们无法获得μ. 然而，我们希望μ!→ μ  如果n → ∞. 在附录E中，我们证明了以下命题：命题3：对于严格单调递增序列x!!!!!, 如果存在整数g = g n   保证：（A）。x!!!< μ < x!  或x!= μ, 哪里i = g < n  和lim!→!!!= 0;    （B） .！！>δ > 0表示任何n; 然后有：lim!→!μ!= lim!→!x!-!!!!= μ,                                               （14） 在哪里g  由唯一确定n  和g < ∞. 这意味着：lim!→!g = g*.                                                                     （15） 证明。见附录E。□9英寸提案3表明μ!  如果（a）和（B）保持不变，则是一致的估计。也就是说，如果样本量n  足够大，我们预计μ!  非常接近μ. 因为没人能得到μ, 我们的目的可以改变，以找到接近μ. 显然，命题3意味着μ!  将提供这样的价值。接下来我们证明（B）可以与x!!!!!  和y!!!!!.  引理5：如果y!< 0用于i = 1, … , n, 如果r!< 0表示任何n , 然后一个有！！！！>0表示任何n , 哪里r!=!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!o !!!!!!!!!!!!!!  表示之间的相关系数x!!!!!  和y!!!!!.

证据根据方程式（9），我们得到：r!= β!o!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.                                                                                       （16） 因此，如果r!< 0表示任何n,  其中一个结论是β!< 0表示任何n,  我们使用附录E中的假设（b）和（c）。自y!< 0个潜在客户y!< 0，我们得出结论3！！！！>0表示任何n. □     通过引理5，命题3得出以下推论。推论1：对于严格单调递增序列x!!!!!, 如果y!< 0用于j = 1, … , n, 如果存在一个整数g = g n   保证：（C）。x!!!< μ < x!  或x!= μ, 哪里i = g < n  和lim!→!!!= 0;    （D） 。r!< γ < 0表示任何n; 然后有：lim!→!μ!= μ,                                                                                       哪里g  由唯一确定n  和g < ∞. 这意味着：lim!→!g = g*.  我们在这里考虑了3个lim!→!y!≠ 0.10英寸校样。利用命题3和引理5，我们完成了这个证明。□     显然，方程式（3）暗示y!< 0用于i = g, g + 1, … , n.  因此，我们可以使用推论1来寻求μ!. 步骤如下：首先，我们寻求最小l  满足r!< 0用于x!!!!!  和y!!!!!. 第二，我们倒退x!!!!!  和y!!!!!  获取h  和μ!. 第三，我们测试r!: 如果r!< 0成立，我们得出结论，回归结果μ!= μ!  是有效的估计值；如果r!≥ 0，我们使用x!!!!!  和y!!!!!  重复步骤1-3。计算过程应以有限步结束；否则x!!!!! 和y!!!!!  不符合方程式（3）。很容易检查第3节中的过滤程序是否符合上述三个步骤，前提是r!< 0保留。

为简单起见，我们仅列出“相关系数r! 对于表1中的英国，这些都是负数。读者可以测试其他国家，这些国家也表现出负相关系数（见图2-3）。因此，我们认为μ  表S1-S3中的计算结果令人信服。值得一提的是ε!~N 0, σ!  当且仅当高收入样本可以充分移除时，方程（6）成立。这是因为遵守幂律的高收入样本会导致系统误差，因此ε!~N 0, σ!  故障。在第3节中，我们根据最大化规则去除高收入样本（系统误差）R! 获取估算值μ!. 然而，最大化规则R!  不是唯一的方法。事实上，图1暗示，对于英国，我们可能只删除高收入样本中的三个分位数，以获得μ!. 值得注意的是，命题3暗示μ!  应接近μ!  如果样本量足够大。就我们的数据而言，英国数据的分位数最多，因此产生的样本量最大（大约等于100）。因此，最好比较估计值μ!  和μ!  根据英国的数据。我们在表1中列出了结果，读者可以在表中检查差异是否仅产生0.01的数量级。讨论上述实证结果表明，指数收入定律在世界大多数国家普遍适用。由于我们调查了来自不同地区的67个国家，指数收入法的有效性似乎很强。

与对数正态分布和伽马分布相比，对数正态分布和伽马分布有两个或多个拟合参数，指数律本质上只有一个拟合参数1θ, 并生成更节省的数据拟合。更重要的是，我们的指数定律（3）与现代经济学的标准模型（即ADGEM）兼容；因此，拟合参数μ  和θ  具有明确的经济意义。事实上μ  表示边际劳动资本回报，与最低工资成比例（Tao 2017）。具体而言，我们可以获得（Tao 2017）：μ = σ o ω - σ o r o MRTS!“，（17）11”“，其中σ  表示边际就业水平，ω  表示最低工资，r  表示利率，以及MRTS!“表示劳动力和资本的边际技术替代率。方程式（17）的简要推导见附录D。边际就业水平σ  代表企业进入市场后就业人数的增加（Tao 2017）；因此，很容易理解σ ≥ 因此，方程式（17）意味着边际劳动资本回报μ  理论上与最低工资成比例ω. 显然，最低工资ω, 与失业补偿金一样，失业补偿金也可以被视为劳动力进入或退出市场的关键收入水平。因此，我们不妨确定ω   失业补偿金。测试μ  和ω,  我们收集了2011年至2014年26个欧洲国家的失业补偿数据。

使用的计算值μ  对于表S2中的欧洲国家，我们可以通过OLS回归直接检验边际劳动力资本回报与失业补偿之间是否存在正相关关系。经验结果如图4和表S4所示（见附录F）。从这些结果中我们发现，边际劳动资本回报率μ  （即图4中的MLCR）与失业补偿金呈强正相关（即图4中的UC），皮尔逊相关系数分别为0.864、0.904、0.899和0.880（2011年至2014年）。值得注意的是，相关系数的置信度非常高，因为p-所有四年的值均<0.001，如表S4所示。值得一提的是，等式（17）意味着μ   与成反比r   if4MRTS!“>0（Tao 2017）。最近，Tao（2017）收集了利率的真实数据r  要在μ,   ω 和r. 陶的实证结果表明，边际劳动资本收益率μ  实际上与利率成反比r  （Tao 2017）。由于我们的研究结果稳健，可以提出一些重要的政策建议：通过适度提高失业补偿水平，可以减少中低收入阶层的收入不平等，因为指数分布的基尼系数等于G = 1 2 1 + μ θ , 参见Tao等人（2017）中的详细推导。为了在竞争激烈的市场中保持效率和公平，我们建议支付失业补偿金的来源应来自对高收入阶层征税。