通过税收控制易发生故障系统的人员利用率

图2是我们设置的示意图。根据这项税收计划，一名球员i与投资xi∈ CP R中的[0，1]收取txias税。我们将在第6节中考虑球员特定税率的影响。每个玩家都是前瞻理论的，有一个特定的玩家损失厌恶指数ki∈ (0, ∞ ) 和灵敏度参数αi∈ （0，1）。当玩家完全投资于安全资源时，我们将其参考效用定义为其效用，即选择xi=0。根据gly，每个p层的参考效用为1。现在考虑一个策略文件{xj}j∈N总投资xT。在CPR失败的情况下，每一个XI非零的层i都会发生损失-（1+t）xi，包括未将xi投资于安全资源的损失收入和税款。如果CPR成功，则参考值取决于【El Rahi et al.，2016】的作者将微电网运营商模型作为前景理论代理人，其效用定义非常不同，其目的是研究参考点变化的影响。返回值为xi（~r（xT）- 1.- t） ，可以是正（表示增益）或负（表示损失），具体取决于t和xT的值。为了便于说明，我们定义r（xT）：=~r（xT）- 1，此后将r（xT）称为收益率函数。利用前景理论效用函数（1），玩家i对收益和损失的感知为UI（xi，x-i） :=xαii[（最大值（r（xT））- t、 0））αi-ki公司(- 最小值（r（xT）- t、 0）αi]，w.p.1- p（xT），-ki（1+t）αixαii，w.p.p（xT）。（2） 玩家i最大化了关于上述效用函数的预期效用（ui（xi，x-i） ）=xαiifi（xT，t），（3），其中FI（xT，t）：=（r（xT）- t） αi（1- p（xT））- ki（1+t）αip（xT），当r（xT）- t型≥ 0,-ki[（t- r（xT））αi（1- p（xT））+（1+t）αip（xT）]，否则。（4） 我们将fi（xT，t）称为球员i的有效回报率。

不同参数的fi（xT，t）的形状如附录A中的图4所示。我们将这类脆弱的CPR游戏表示为Γ（N，{ui}i∈N） 。在本文中，我们在以下假设下考虑脆弱CPR对策。假设1。脆弱CPR对策类Γ（N，{ui}i∈N） 具有以下属性。1、失效概率p（xT）是凸的，严格递增，并且对于xT是连续可微的∈ [0，1）和p（xT）=1表示xT≥ 1.2. 收益率r（xT）是凹的、正的、严格单调的、连续可微的。3、定义：=支持≥ 0 |最大值∈NmaxxT∈[0,1]fi（xT，t）>0}。（5） 我们假设t>0，税率t∈ [0，\'t）。这些假设捕获了相当广泛的资源类别，同时保留了分析的可跟踪性。为了解释假设1中的第三点，请从\'t的定义中注意，对于任何税率≥对于每个p层和每个xT，有效回报率都是非正的∈ [0, 1]. 因此，所有玩家在任何PNE的CPR投资均为0。另一方面，对于t<\'t，存在进行非零投资的参与者，从而导致非平凡的PNE投资。备注1。这里介绍的税收方案可以看作是对安全资源的补贴（将安全资源的回报率提高到1+t）。该补贴下的参考依赖效用与（2）相同。【Delaney和Jacobson，2015年】在行为决策的背景下研究了这种补贴计划。我们现在在税收下的脆弱CPR博弈中证明了PNE的存在性和唯一性。提案1。考虑一个固定税率t满足假设1的脆弱CPR博弈。然后存在一个独特的联合战略文件{x*i} 我∈N是PNE。该证明类似于【Hota等人，2016年】中确定的PNE表征。详情见附录A。

PNE存在性的证明基于Brouwer的执行点定理，而唯一性结果来自最佳响应映射的某些结构特性。在给定税率t下，我们表示相应PNEas xtNE的CPR总投资，并将其称为CPR的利用率。此外，我们将相应的失效概率p（xtNE）称为其脆弱性。通过稍微滥用符号，我们有时将Xtnea定义为t的函数，即，我们让xNE：[0，\'t）→ [0，1]表示一个函数，使得xNE（t）：=xtNE。4.1社会福利正如导言中所述，这项工作背后的一个关键动机是确定在通过税收进行分散决策的情况下可以实现社会期望利用水平的条件。在博弈论文献【Nisan等人，2007年】中，通常用来衡量社会期望利用水平的一个指标是资源利用率，它最大化了所有参与者的效用总和（也称为社会福利）。正式而言，ajoint的社会福利战略文件x∈ [0，1]和给定税率t∈ [0，(R)t）定义为ψ（x，t）=Xi∈NEui（xi，x-i） =Xi∈Nxαiifi（xT，t），（6），其中uis在（2）中定义。由于ψ的连续性，始终存在一组社会福利最大化投资。以下结果表明，PNE的CPR利用率和脆弱性高于社会福利最大化战略项目的CPR利用率和脆弱性。提案2。对于t∈ [0，(R)t），让xtOPT成为一个最大化ψ（x，t）的联合投资文件。然后，在社会最优xtOPTsatis xtOPT下的总CPR投资≤ xtNE。结果在用户的一般（异质）前景理论偏好下成立。我们参考附录A进行证明。

特别是，我们有xOPT≤ xNE。在拥挤博弈和CPR博弈的背景下，在没有税收的情况下实现社会福利最大化的利用率，即xOPT，通常被视为一个特别需要的利用水平。事实上，在运输网络的情况下，这个数量代表了使所有用户的总拥塞最小化的流量。现有文献，如【Brown和Marden，2018年，Fotakis等人，2010年，Swamy，2012年】主要研究了轴的存在和计算，以便在没有资源故障和行为决策的情况下，PNE的税收利用率等于xoption。在下一节中，我们将在前景理论偏好下研究脆弱CPR游戏中的这种情况。5主要结果从导言中回顾，我们的目标是通过适当的税率选择，确定PNE可以实现的利用范围（包括xOPT）。我们在本节中提供此特征。5.1具有网络效应的CPR首先调查回报率不断增加的CPR。回想一下，像aspeer-to-peer文件共享系统这样的在线平台是展示网络效应的CPR的实例。注：（3）税率（t）0.150.1550.160.1650.170.175资源脆弱性（p（XtNE））（a）在例1中，脆弱性不是单调的w.r.t。税率（k=1.2和α=0.15）税率（t）-0.20.40.60.8利用率（XtNE）xtnew当n=8xtnew在例2中n=2xOPT（b）时，利用率在税率中不连续。

不存在能够实现社会最佳利用水平的税率。0 1 2 3税率（t）0.20.40.60.8利用率（xtNE）xt1，NExt2，NExtNE（c）在实施例3中，由于具有异质偏好的顶层，存在两个不连续点。图3：网络效应下税率缺乏单一性和连续性以及脆弱性的说明。在税率为t的博弈中，博弈方的效用与无税博弈中的效用相等，但回报率函数较小（r（xT）-t） ，以及更大的损失厌恶指数ki（1+t）αi。因此，直觉表明，税率的提高将导致利用率和脆弱性的降低。然而，下面的例子表明，根据前景理论和网络效应，提高税率可能会导致高利用率和脆弱性（在PNE）。示例1。考虑一个n=3人的脆弱CPR游戏。设r（xT）=8xT+5，p（xT）=xT。让所有参与者的α=0.15和k=1.2，即所有参与者都是损失厌恶者，与风险中性行为（α=1和k=1）的偏差是显著的。如图3A所示，当t从0增加到4.9时，脆性不是单调递减的。由于p（xT）=xT，在这种情况下，脆弱性等于利用率。备注2。在上述和后续示例中，我们通过顺序最佳响应动力学计算PNE策略，如【Hota et al.，2016】中所述，该动态收敛于此类游戏中的PNE。在收敛后，我们还验证了策略满足必要的最优性条件。回想图1，α<1会导致损失中的风险寻求行为和收益中的风险厌恶行为。当α值接近0时，修正后的损失厌恶指数k（1+t）α在较高税率下不会增加太多。这鼓励玩家增加对CPR的投资。

这种行为并不局限于α非常小的情况。在这篇论文的会议版本【Hota和Sundaram，2016年】中，我们表明，当α=1且k<1时，税率越高，利用率越高。在这两种情况下，p层都会增加投资，以从CPR中获得更高的回报，并补偿税款（以增加资源故障风险为代价）。除了普遍缺乏单调性外，我们现在还说明了利用率在税率上可能是不连续的。示例2。考虑一个脆弱的CPR游戏，p（xT）=0.2+0.8xT，r（xT）=3xT+1。我们考虑α=1，k=0.05的同质参与者。如图3B所示，对于n=2，XtneI随着t的增加而不断增加，直到\'t=3.21，然后下降到0。另一方面，当n=8时，xtNEis在t中减少，并且再次在't处有不连续的跳跃。如图所示，在任何税率下都无法实现社会最佳利用xopt=0.7351。在上面的例子中，k<1的玩家是同质的。请注意，xtNEremained continuousfor t∈ [0，\'t），但不存在能够在一个地区实现社会最佳利用水平的税率。我们现在表明，前景理论P参考中的异质性可能会导致税率低于\'t\'的不连续性。示例3。考虑一个脆弱的CPR模型，P（xT）=0.2+0.8xtandr（xT）=3xT+1，如前所述。设两个参与者，前景理论参数α=1，k=1.1，α=0.3，k=1.5。在这种情况下，(R)t=2.19。图3c显示，对于t<1.583，参与者1的投资大于参与者2。当t略大于1.583时，玩家1的投资下降到0，而玩家2增加了她的投资。然而，总投资从0.5612不连续跃升至0.4667。

当t从1.583增加到2.19时，玩家2的投资持续增加，当t=2.19时，她的投资下降到0。受上述观察结果的启发，我们现在确定了t中xtNEis单调且连续的条件。我们首先介绍了一些符号。如果r（0），则设at=0≥ t；否则，letat∈ [0，1）b e唯一投资，使得r（at）=t∈ [0，\'t），xT∈ （at，1），letqi（xT，t）：=r′（xT）（1- p（xT））（r（xT）+1）p′（xT）- αir′（xT）（1- p（xT））p（xT）×1+tr（xT）- t型1.-αi.（7）我们表明，如果在下面确定的适当值xTand t下，每个参与者i的损失厌恶指数都大于qi（xT，t），那么利用率在t中是单调的。此外，让ti=sup{t≥ 0 |最大值∈[at，1]fi（xT，t）>0}，即“t”是最高税率，因此玩家i在孤立投资时对CPR进行非零投资。回想一下附录A中的zti：=argmaxxT∈[at，1]fi（xT，t）被定义为网络效应下fi（xT，t）的唯一最大化子。我们现在陈述以下主要结果。定理1。考虑一个脆弱的CPR游戏，满足假设1，r（xT）和玩家特定的前景理论偏好不断增加。1、让0≤ t<t<t，xNE（t）>在。假设每个玩家i的ki>qi（xNE（t），t）>0。然后，xNE（t）≤ xNE（t）。2、对于t，xNE（t）在t中连续∈ [0，迷你∈不适用）。对于所有连续函数w（xNE（t），t）和常数δ∈ （0，迷你型∈N'ti），存在t*∈[0，迷你∈N'ti- δ] 最大化w（xNE（t），t）超过[0，mini∈N'ti- δ].4、让j∈ argmini∈N'ti，让'xj：=极限↑(R)tjztj。如果xNE（0）>xj（分别为xNE（0）<xj），则对于任何给定的利用率水平x*∈ （(R)xj，xNE（0）]（分别为x*∈ [xNE（0），\'xj））存在税率t，因此x*= xNE（t）。5、如果'xj<xOPT，则存在税率t*使xNE（t*) = xOPT公司。证明见附录B。

我们现在描述上述结果的几个含义。第一个陈述是我们可以检查的一个条件，以确保更高的税率将导致自t<\'t起，存在一个参与者i，这样maxxT∈[0,1]fi（xT，t）>0。因此，我们必须有r（1）≥ t、 利用率更低。此外，当所有玩家都有相同的α时，我们只需要检查损失厌恶指数最小的玩家的条件。第二个语句保证在使用率为非零的税率子集上使用率保持连续。当所有玩家都有相同的α时，在dex h中损失最大的p层作为最小的ti。当所有玩家都有相同的α和k时，每个玩家的“t”都是相同的，因此“t=mini”∈不适用。因此，上述结果的结论适用于PNE利用率为非零的整个税率范围，如示例2所示。相比之下，在样本3中，参与者的偏好不同，t=1.583，而t=2.19。如图3C所示，t的利用率是连续的∈ [0，1.583）根据上述结果，在t=1.583时，一个dha是一个不连续的跳跃。最后，让所有玩家都有α=1和k的同质偏好≥ 1、回想一下，在这种情况下，前景理论效用（1）要么是线性的，要么是分段凹的，反映了风险中性或风险规避偏好。我们有以下推论，其证明见附录B。推论1。让所有玩家都有α=1和k∈ [1, ∞). 让0≤ t<t<t。然后，xNE（t）≤xNE（t）。此外，存在税率t*使xNE（t*) = xOPT公司。因此，可以得出结论，早期观察到的单调性缺失是前瞻性风险偏好的结果。5.2具有拥堵效应的CPR对于具有拥堵效应的CPR，定理1的对应项更强。

与上述小节中的观察结果相比，对于r（xT）降低的资源，我们在此表明，税率的增加总是导致CPR的利用率降低。此外，PNE的总投资是连续的∈ [0，\'t]，即使用率不为零的整个税率范围。当ki∈ (0, ∞) 和αi∈ （0，1）是特定于玩家的。定理2。考虑一个脆弱的CPR游戏，满足假设1，r（xT）和特定于玩家的前景理论偏好递减。1、让0≤ t<t<t。然后，xNE（t）≤ xNE（t）。2、函数xNE（t）在t中连续t∈ [0，\'t]。3、对于所有连续函数w（xNE（t），t），存在税率t*∈ [0，\'t]最大化w（xNE（t），t）超过[0，\'t]。4.对于任何给定的利用率水平x*∈ [0，xNE]，存在税率t∈ [0，\'t]这样X*= xNE（t）。具体而言，存在税率t*使得xOPT=xNE（t*). 此外，对于任何x*> xNE，不存在实现这一目标的正税率。换句话说，任何所需的利用率x*∈ [0，xNE]可以通过选择适当的税率来实现。我们在附录C中给出了形式证明。到目前为止，我们的讨论假设中央当局对每个p层征收相同的税率。在下一节中，我们将中央当局对不同参与者征收不同税率时的利用率与所有参与者在统一税率下的利用率进行比较。在【Hota等人，2016年】中，我们展示了当参与者具有相同的α时，损失厌恶指数最小的参与者在PNE的投资总是最大的。6统一税率与差异税率为了隔离不同税率的影响，我们假设所有参与者都有相同的厌恶指数k∈ (1, ∞ ) α=1。

Letγi∈ [0，1]是参与者i的税务敏感性，andlet^ti≥ 0是中央当局对玩家i征收的税率。税收敏感性是参与者的一个相关属性：一个具有敏感性γi的参与者i征收的税率为γi^ti。我们定义ti：=γi^tias玩家i所经历的有效税率。预期效用仅取决于以下所示的有效税率tias。让Sti [0，1]是r（xT）的间隔- ti公司≥ xT为0∈ Sti。根据等式（3），参与者i在具有xT的策略文件中的预期效用∈ StiisE（ui（xi，x-i） ）=xi（r（xT）- γi^ti）（1- p（xT））- k（1+γi^ti）xip（xT）=xifi（xT，t）=：xi[^f（xT）- tiv（xT）]，（8），其中^f（xT）：=r（xT）（1- p（xT））- kp（xT）和v（xT）：=1+（k- 1） p（xT）表示xT∈ [0, 1].最近，在【Brown和Marden，2018年】中，在行为风险态度的背景下，研究了税收敏感性对拥堵博弈中无政府状态的影响。根据前景理论，当参与者具有不同的参考效用时，可能会产生特定于参与者的税务敏感性。特别是，如果游戏者i的参考效用为1，则会出现（8）中的效用- (1 - γi）^tixi。在这种情况下，player i将她的纳税视为其参考实用程序的一部分，而不是将其视为全部损失。如果γi=0，则纳税额包含在参考效用中，因此，结果与不纳税的情况相同。备注3。我们关于PNE存在唯一性的结果依赖于最佳响应的唯一性、连续性和单调性。