通过税收控制易发生故障系统的人员利用率

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网络物理系统中互连链路的优化分配：相互依存、级联故障和可靠性。IEEE并行和分布式系统交易，23（9）：1708–1720，2012。附录a纯纳什均衡和社会最优的特征在本节中，我们首先证明了税收不足的脆弱CPR博弈中PNE的存在性和唯一性。我们进一步说明，在社会最优条件下，CPR的总投资是如何达到PNE的最大值的。具体而言，我们介绍了几个有用的符号和初步结果，这些对于后续分析至关重要。A、 1 PNEW的存在性和唯一性首先描述我们分析背后的方法。我们将参与者i的最佳响应定义为Bi（x-i） ：=argmaxxi∈[0,1]Eui（xi，x）-i） ，其中Eui（·）在（3）中定义。设B（x）：=[B（x-1） ，B（x-2), . . . , Bn（x-n） 】。我们依赖于联合战略的特点*= {x*i} 我∈Nis是PNE当且仅当它是最佳响应图的固定点，即x*∈ B（x*)[确定，2007年]。我们通过应用Brouwer的不动点定理证明了一个PNE的存在性。为此，有必要证明BI在x中是单值且连续的-i、 随后的分析就是沿着这个方向进行的。我们首先介绍一些相关的符号。考虑一个固定税率的脆弱CPR游戏∈ [0，t）。然后，PNE（如果存在）h作为非零CPR投资，总投资必须为r（xT）- t型≥ 0（从（4），我们有fi（xT，t）≥ 0 ==> r（xT）- t型≥ 0). 因此，我们的大多数分析将集中于位于St子集内的总投资范围 [0，1]使得r（xT）- t型≥ xT为0∈ 当r（xT）严格递减时，我们有St：=[0，bt]，其中bt：=（1，如果r（1）≥ t、 r-1（t），如果r（1）<t，（9），其中r-1（t）={y∈ [0，1]| r（y）=t}。

另一方面，当r（xT）严格增加时，我们有st：=[at，1]，其中：=（0，如果r（0）≥ t、 r-1（t），如果r（0）<t.（10），请注意，对于t∈ [0，\'t），STI定义良好且非空。我们从以下引理开始。虽然证明主要来自于与[Hota et al.，2016]中引理1的证明相同的论证（我们认为脆弱的CPR游戏没有税收），但我们在这里将其作为证明，正式定义了在本文分析中有用的几个重要数量。回想一下“x”-IDE注意到除i.Lemma 1之外的所有参与者的总投资。考虑一个固定税率t的脆弱CPR博弈∈ [0，\'t）。那么，对于任何玩家i，以下是正确的。1。存在唯一的yti∈ [0，1]如果'x-我≥ yti，然后是B（x-i） ={0}。此外，如果0∈ B（x-i） ，然后是“x”-我≥ yti公司。2、当yti＞0时，fi（yti，t）=0，且存在区间Iti [0，yti） 如果'x-i<yti，然后每个最佳响应bi∈ Bi（x-i） （i）为正值，以及（ii）满足bi+(R)x-我∈ Iti。3、对于xT∈ Iti，我们有fi（xT，t）>0和fi，x（xT，t）：=fi（xT，t）xT<0.0.2 0.4 0.6 0.8 1利用率（xT）-3-2-1t=0t=1（a）R（xT）=3下的有效回报率- xT，p（xT）=0.2+0.8xT，α=1，k=1.5。其中y=0.835 9，y=0.616 6.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1利用率（xT）-1-0.50.51.5有效收益率（f（xT））t=0t=1.5t=3.21（b）R（xT）=3xT+1，p（xT）=0.2+0.8xT，α=1，k=0.05下的有效收益率。其中Y=0.9961，z=0.6083，y1.5=0.9845，z1.5=0.6952，y3.21=0，z3.21=0.85.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1利用率（xT）-3-2-1有效回报率（f（xT））=1，k=1.1=0.3，k=1.5（c）两名球员的有效回报率a t=1.583，r（xT）=3xT+1，p（xT）=0.2+0.8xT是的。这里f（xT，t）≤ 0表示所有xT∈[0，1]，且yt=0。

Fur thermore，yt=0.666 3和zt=0.447 6。图4：不同CPR特征、风险偏好和税率下的有效回报率函数形状。第二个参数t被抑制。证据我们首先在案例1中证明了所有三种降低r（xT）的CPR陈述，然后在案例2中考虑增加r（xT）的CPR。情况1：r（xT）正在减小。根据btin（9）的定义，我们得到（4）中的fi（bt，t）<0。直接计算表明，当xT时，fi（xT，t）在xT中严格递减∈ [0，bt]。Iffi（0，t）≤ 0，我们定义yti=0。另一方面，如果fi（0，t）>0，我们定义∈ STA是唯一的投资，其中fi（yti，t）=0。如果'x-我≥ yti，玩家i的投资>0将导致fi（+(R)x-i、 t）<0，因此为负效用。因此，Bi（x-i） ={0}在本例中。另一方面，如果'x-i<yti，存在δ>0 s，如δ+(R)x-i<yti，因此，fi（δ+(R)x-i、 t）>0。因此，最佳CPR投资X*iis非零和x*i+(R)x-i<yti。因此，我们定义它：=[0，yti）。由于fi（xT，t）在xT中严格递减，因此在这种情况下，fi（xT，t）>0，而fi，x（xT，t）<0∈ Iti。情况2：r（xT）正在增加。如果fi（xT，t）≤ xT为0∈ [at，1]，我们定义yti=0，Bi（x-i） ：={0}对于每个x-i、 现在假设存在xT∈ [at，1]其中fi（xT，t）>0。直接计算表明，当xT为时，fi（xT，t）在xT中是严格凹的∈ [第1页]。在此之前，存在由zti给出的fi（xT，t）的唯一最大值：=argmaxxT∈[at，1]fi（xT，t）。注意，由于fi（1，t）<0，我们必须使zti<1。根据fi的严格凹度，我们有fi，x（xT，t）：=fi（xT，t）xT<0表示xT>zti。因此，存在一个独特的投资yti∈ （zti，1）使得fi（yti，t）=0。

在这种情况下，我们定义Iti：=（zti，yti）。由于fi（xT，t）在xT中是严格凹的，并且ztis是其唯一的最大化子，因此对于xT，fi（xT，t）>0，而fi，x（xT，t）<0∈ Iti。现在假设除i saties'x之外的其他参与者的总投资-我≥ yti公司。那么任何大于0的xi都意味着fi（xi+(R)x-i） <0，d 0是唯一的最佳响应。另一方面，如果'x-i<yti，存在δ>0，使得fi（δ+(R)x-i） >0，因此，所有最好的回答都不能是肯定的。注意，我们必须有δ+(R)x-i> 位于。现在假设x*我∈ Bi（x-i） 。然后必须满足最优的一阶条件E（用户界面）对于（3）中的实用程序，xi=0，导致tox*ifi，x（x*i+(R)x-i、 t）+αifi（x*i+(R)x-i、 t）=0。（11） 自fi（x）起*i+(R)x-i、 t）>0，我们必须有fi，x（x*i+(R)x-i、 t）<0，因此x*i+(R)x-我∈ Iti。备注4。图4说明了上述引理中引入的量；为了方便起见，删去了第i分节。图4a显示，对于具有adec回报率的CPR，y=0.8359和y=0.6166。从图中可以看出，在这两种情况下，f（yt，t）=0。图4B和4C显示了不同的利率和风险偏好下，R（xT）=3xT+1和p（xT）=0.2+0.8xT的CP R的ytiand Ztif的v值。从图中可以看出，ztiis是fi（xT，t）的最大值，fi（yti，t）=0。最后两个图中的扭结发生在各自的ATValue处。现在，我们在上述讨论的基础上，介绍一些其他重要数量。对于玩家i，我们定义i（xT，t）：=αifi（xT，t）-fi，x（xT，t），xT∈ （12）根据（11）中的一阶最优性条件，非零最佳响应x*我∈ Bi（x-i） 满意度x*i=gi（x*i+(R)x-i、 t）。请注意，gi（xT，t）是g（xT）definedin函数的自然延伸【Hota等人，2016年】。因此，在固定税率t下，我们得到了函数gi（xT，t）相对于xT的单调性的以下结果。引理2。

对于固定t>0，gi（xT，t）xT<0表示xT∈ Iti。该证明类似于[Hota et al.，2016]中引理4的证明，因此我们省略了它。然而，gi（xT，t）在t中并不总是减少，我们将在后面探讨。作为上述两个引理的结果，我们得到以下结果。命题1的证明。在Lemm a 1中，我们证明了当一个玩家i有一个非零的最佳响应时，CP R的总投资位于区间Iti。当xT∈ 返回函数的速率是单调的、凹的和正的。因此，【Hota et al.，2016】中引理2和引理3关于最佳反应的唯一性和连续性的结果延续到目前的税收不足情况。根据Brouwer的定点定理【Ok，2007】，存在一个定点X*∈ B（x*) 对应于PNE。PNE的唯一性遵循引理2中非零最佳响应的单调性；其证明遵循了与[Hota et al.，2016]中第1项证明相同的论点。A、 2在社会最佳状态下的利用和命题的预防2。回想一下假设1，t<t。因此，存在一个具有maxxT的playerk∈[0,1]fk（xT，t）>0。因此，ψ（xtOPT，t）>0。在其余的证明中，为了更好的可读性，我们省略了超级脚本t和来自f和dψ的第二个参数。现在，假设xOPT>xNE。当存在一个球员i，其各自的CPR投资满足xi，OPT>xi，NE>0。首先我们声称fi（xOPT）>0。假设另一种情况，让j是不同的参与者，fj（xOPT）>0。Let∈ [0，xi，OPT），并考虑不同的战略方案^xOPT=（x1，OPT，…，xi，OPT-, . . . , xj，OPT+，xn，OPT），总利用率xOPT。然后（xi，OPT）αifi（xOPT）+（xj，OPT）αjfj（xOPT）<（xi，OPT）- ）αifi（xOPT）+（xj，OPT+）αjfj（xOPT）==> ψ（xOPT）<ψ（^xOPT），自fi（xOPT）≤ 0和fj（xOPT）>0。这与xOPT的最优性相矛盾。

因此，我们必须使fi（xOPT）>0。由于xOPT>xNEand fi（xOPT）>0，xOPT∈ Ii，其中Ii是引理1中定义的间隔。从PNE（11）处游戏者i的一阶最优性条件中，我们得到xi，NEfi，x（xNE）+αifi（xNE）=0注意，这样的游戏者总是存在的；否则我们有fj（xOPT）≤ 每个游戏者j为0，表示ψ（xOPT）≤ 0.==> xi，OPT>xi，NE=αifi（xNE）-fi，x（xNE）>αifi（xOPT）-fi，x（xOPT）==> αifi（xOPT）+xi，OPTfi，x（xOPT）<0，其中fi，x（xT）=金融机构第二行中的第二个不等式来自引理2。我们现在证明，对于除i以外的每个参与者j，xαjj，OPTfj，x（xOPT）≤ 对于收益函数的递减率，这是正确的，因为fj（·）在总投资中是严格递减的。另一方面，对于递增收益率函数，我们有以下两种情况。案例1：maxxT∈[0,1]fj（xT）>0。在引理1中的讨论之后，我们得到了xNE>zjin这个例子。因此，fj，x（xNE）<0。此外，fj（·）是凹的（在引理1之后），xOPT>xNE，这意味着fj，x（xOPT）<0。案例2：maxxT∈[0,1]fj（xT）≤ 0、根据与标题第二段相同的参数，我们得到了xj，在本例中OPT=0。我们现在准备完成证明。根据社会最优的一阶最优性条件f，我们得到0=Ψxix=xOPT=xαi-1i，OPT[xi，OPTfi，x（xOPT）+αifi（xOPT）]+nXj=1，j6=ixαjj，OPTfj，x（xOPT）<0，根据上述讨论。这与我们最初的主张相矛盾，我们必须有xOPT≤ xNE。A、 3 PNE的支持和初步结果我们现在定义PNE的支持。定义1。游戏的PNEΓ的支持，表示为Supp（Γ），是指在CPR中具有非零投资的一组玩家。特别是，在税率t下，Supp（Γ）：={i∈ 引理1之后的N | xtNE<yti}。因此，PNE Satisfextne的总投资=Xi∈SUP（Γ）gi（xtNE，t）。

（13） PNE投资或利用的这种特征将在我们随后的许多证明中加以利用。对于p层i∈ Supp（Γ），她对CPR的投资为非零。因此，从引理1，我们有xtNE∈ Iti。回想一下，对于r回程函数的增长率，Iti=（zti，yti），因此，对于每个i∈ 补充（Γ）。现在我们给出两个引理，它们将在几个后续证明中起作用。设Γ和Γ分别是具有相同资源特征和税率t的脆弱CPR博弈的两个实例。让PNE投资总额分别为Xtnean和xtNE。我们证明了以下结果，即在r（xT）增大和减小的情况下，CPR均成立。引理3。如果t>t≥ 0，我们有yti≤ ytifor every player i withαi∈ （0，1）和ki∈ (0, ∞). 此外，如果t>和xtNE>xtNE，我们有Supp（Γ） 补充（Γ）。证据让maxx∈Stfi（x，t）>0；否则，yti=0，第一条语句基本成立。当nyti>0时，从引理1得出fi（yti，t）=0。当t<t时，很容易看出（从（9）和（10））St 此外，从（4）中可以看出，在第二个参数t中，对于回归函数的增长率和下降率，Fi的值都在下降。因此，fi（yti，t）>0，因此，yti≤ yti公司。对于证明的第二部分，让j∈ 补充（Γ）。从定义1来看，我们有==> xtNE<xtNE<ytj≤ yti公司。因此，j∈ 补充（Γ）。证据到此结束。下一个引理显示了ztiin t对于某些风险参数的单调性。引理4。考虑一个r（xT）增加的脆弱CPR图，以及一个αi=1的玩家i，并设0≤ t<t<t。如果ki<1，则zti≤ zti，反之亦然。证据当xT∈ St，（4）中玩家i的有效收益率函数由fi（xT，t）=r（xT）（1）给出- p（xT））-基普（xT）-t（ki-1） p（xT）-t、 （14）让zti>at>0；否则，结果将直接出现。

根据zti的一阶最优性条件，我们有fi，x（zti，t）=金融机构xT（zti，t）=0。由于ki<1，且p（xT）严格增加，很容易看出fi，x（zti，t）>0意味着zti≤ zti。同样的推理也适用于匡威。事实上，在图4b中观察到，根据上述引理，Ztii在t中增加。在结束这一节之前，我们先陈述一下Berge的极大值定理，它被用来证明我们随后关于效用连续性的结果。A、 4 Berge最大定理定理3（摘自【Ok，2007】）。设Θ和X是两个度量空间，设C：Θ=> X是一个紧值对应关系。设函数Φ：X×Θ→ R在x和Θ中共同连续。定义σ（θ）：=argmaxx∈C（θ）Φ（x，θ），Φ*（θ） ：=最大值∈C（θ）Φ（x，θ），θ ∈ Θ.如果C在θ处连续∈ Θ，然后1。σ : Θ => X是紧值的，上半连续的，在θ处闭合。2. Φ*: Θ → R在θ处连续。在许多情况下，对应C采用参数化的约束集的形式，即C（θ）={x∈ X | lj（X，θ）≤ 0，j∈ {1，2，…，m}}。对于这类约束，我们对C的上半连续性和下半连续性有以下充分条件【Hogan，1973，定理10,12】。定理4。让C：Θ=> 十、 Rkbe gi ven由C（θ）={x∈ X | lj（X，θ）≤ 0，j∈ {1，2，…，m}}。1、设X是闭合的，所有lj在X上是连续的。那么，C在Θ上是上半连续的。设lj对于每个θ在x上是连续且凸的。如果所有j都存在lj（x，θ）<0的（x，θ），那么C在θ处和θ的某个邻域是下半连续的。B与具有网络效应的CPR相关的证明本节的目标是证明定理1和推论1。我们从证明税率使用的单调性和连续性的一些预备步骤开始。下面的引理证明了（7）中引入的函数qi的一些有用性质。引理5。

（7）中定义的函数QI具有以下特性。1、让xT∈ [0，1]和t∈ {t≥ 0 | xT∈ （at，1）}。如果ki>qi（xT，t）>0，则gi（xT，t）t<0.2。设z的qi（z，t）>0∈ （at，1）。那么，qi（xT，t）为正，并且在xTforxT中严格递减∈ [z，1]。证据当上下文清楚时，为了更好的可读性，我们在下面的分析中省略了参数xT、t和i。现在，我们陈述了税收下的有效收益率函数，并计算了其相对于XT和t的导数。让t∈ [0、\'t）和xT∈ （at，1）。回想一下假设1，r（·）是严格递增和凹的，p（·）是严格递增和凸的。从（4）中，我们得到f（xT，t）=（r- t） α（1- p）- k（1+t）αp（15）==> fx（xT，t）=fxT（xT，t）=α（r- t） α-1r′（1- p）- （r）- t） αp′- k（1+t）αp′。（16） 区分f（xT，t）与t的关系∈ {t≥ 0 | xT∈ （at，1]}，我们得到ft（xT，t）=ft（xT，t）=-α（r）- t） α-1(1 - p）- αk（1+t）α-1p和（17）fx，t（xT，t）=fxT公司t（xT，t）=-α(α - 1） （r）- t） α-2×r′（1- p）+α（r- t） α-1p′型- αk（1+t）α-1p′。（18） 自g级t=ffx，t-fxftfx，我们现在计算fx，t=-α(α - 1） （r）- t） 2α-2r′（1- p）+α（r- t） 2α-1(1 - p）p′- αk（r- t） α（1+t）α-1p′（1- p）- αk（r- t） α-1（1+t）αpp′+α（α- 1） k（r- t） α-2r′（1+t）αp（1- p） +αk（1+t）2α-1pp′。类似地，fxft=-α（r- t） 2α-2r′（1- p）+α（r- t） 2α-1(1 - p）p′- αk（r- t） α-1r′（1+t）α-1p（1- p） +αk（r- t） α（1+t）α-1pp′+αk（r- t） α-1（1+t）αp′（1- p）+αk（1+t）2α-1pp′。通过以上分析，我们得到了ffx，t- fxft=α（r- t） 2α-2r′（1- p）- αk（r- t） α-1（1+t）αp′型- αk（r- t） α（1+t）α-1p′+αk（r- t） α-1r′（1+t）α-1p（1- p） +α（α- 1） k（r- t） α-2r′（1+t）αp（1- p） （19）=α（α- 1） k（r- t） α-2r′（1+t）αp（1- p）- αk（r- t） α-1（1+t）α-1p′（r+1）+α（r- t） α-1r′（1- p）×[（r- t） α-1(1 - p）+αk（1+t）α-1p]。（20） 由于α<1，且r′>0，（20）中的第一项为负。