期权定价的路径适度偏差

特别是，我们需要证明，对于每一个η>0，都存在ε>0，使得supε∈（0，ε）Psupt∈[0，T]R1，εt> η!≤ η.但接下来是对E的估计支持∈[0，T]| R1，εT|以及假设4.3。这就完成了命题的证明。7.2. 对{（Rε，uε，Pε，), ε > 0}. 在第7.1节中，我们证明了过程族{（Rε，uε，Pε，), ε>0}很紧。因此，对于ε收敛到0的任何子序列，都存在（Rε，uε，Pε，) 在分布上收敛到某个极限（R，P）。根据定义6.1，本节的目标是证明（R，P）相对于（θ，Lx）是一对可行的。为了证明极限点（R，P）是一对可行的，我们必须证明它满足（36）、（37）和（38）。（37）和（38）的证明可在【28，第5.2节】中找到，而语句（36）的证明则通过SkorokhodRepresentation定理【2，定理6.7】和鞅问题公式进行。为完整起见，我们提出以下论点。我们将调用斯科罗霍德表示定理，该定理允许我们假设存在一个概率空间，其中期望的收敛以概率1发生。让我们定义ψε，uεt：=Rε，uεt-Δε3/2h（ε）u（Xε，uεt，Yε，uεt）- u（x，y）.如（43）中的证明，limε↓0Δε3/2h（ε）Esupt∈[0，T]u（Xε，uεt，Yε，uεt）- u（x，y）!= 0，所以考虑族{ψε，uε·，ε>0}的分布极限就足够了。其余的论证现在是经典的。考虑一个任意函数G，它是实值的，光滑的，在R上有紧支集。固定两个正整数pand pand letφj，j=1，p、 是Z×Z×Y×[0，T]上紧支撑的实值光滑函数。设S，S和ti，i=1，p、 是带ti的非负实数≤ S<S+S≤ T设ζ为Rp×Rpp上具有紧支集的实值有界连续函数。

给定测量值P∈ P（Z×Z×Y×[0，T]）和T∈ 【0，T】，定义（P，φj）T：=ZZ×Z×Y×【0，T】φj（Z，Z，Y，s）P（dzdzdy ds），经验测量ε，t（dzdzdy）：=Zt公司+tdz（uε（s））11dz（uε（s））11dy（Yε，uεs）ds，以及运算符Lε，tasbLε，tG（ψ）：=ZZ×Z×YG（ψ）θ（Xt，y，Z，Z）Pε，t（dzdzdy）。基于鞅问题公式，证明（36）等价于证明（44）limε↓0E“ζψε，uεti，（Pε，, φj）ti我≤p、 j≤p“G（ψε，uεS+S）- G（ψε，uεS）-ZS+SSbLε，tG（ψε，uεt）dt##=0,20 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS SPILIOPOULOSand（45）limε↓0（ZS+SSbLε，tG（ψε，uεt）dt-ZZ×Z×R×[S，S+S]G（Rt）θ（Xt，y，Z，Z）P（dzdzdy dt））=0。首先注意，对于每个实值连续函数φ，具有紧支撑和t∈ [0，T]，Pε，, φt收敛到P，φt当ε趋于零时，概率为1。现在（45）紧接着是[28，引理5.1]的第一句话。为了证明（44），我们首先将It^o公式应用于G（ψ）。然后很容易看到，除了表达式（42）中的ΔεZtG（ψs）（guy）（Xε，uεs，Yε，uεs）（ρuε（s）+ρuε（s））dS之外的所有项都将在极限内消失。这个在极限中生存的项与[28，引理5.1]的第二条语句一起直接产生（44）。这就是（36）的证明。7.3. 拉普拉斯原理与水平集的紧性。本文证明了行动泛函I（·）的拉普拉斯原理的上下界和水平集的紧性。我们从下界开始，也就是说，我们需要证明，对于所有有界的连续函数，G映射C（[0，T]；R）到R，lim infε↓0-日志E经验值-h（ε）G（Rε）h（ε）≥ inf（φ，P）∈V（θ，Lx）Z|z |+| z|P（dzdzdy ds）+G（φ）.沿着任何子序列证明它是足够的，这样-h（ε）对数Ehe-h（ε）G（Rε）i收敛，其存在于测试函数G上的一致界。此外，通过引理B.1，我们可以假设supε>0EZ | uε（s）| ds≤ N、 对于某些常数N。

对于这种控制，我们构造了职业测度Pε族，根据（35），andper命题7.1，族{（Rε，uε，Pε，), ε>0}很紧。这表明，对于任何子序列，还有一个子序列（Rε，uε，Pε，) 在分布中收敛到（R，P），其中（R，P）∈ 根据定义6.1，V（θ，Lx）是一个可行的对。然后利用Fatou引理，我们得出了下边界infε的证明↓0-日志E经验值-h（ε）G（Rε）h（ε）≥ lim infε↓0（EZT | uε（s）| ds+G（Rε，uε）！- ε)≥ lim infε↓0EZTZt公司+t | uε（s）| dsdt+G（Rε，uε）！=lim infε↓0EZZ×Y×[0，T]|z |+| z|Pε，（dzdzdy dt）+G（Rε，uε）！≥ EZZ×Y×[0，T]|z |+| z|P（dzdzdy dt）+G（R）！≥ inf（ξ，P）∈V（θ，Lx）（ZZ×Y×[0，T]|z |+| z|P（dzdzdy-dt）+G（φ））。接下来我们要证明水平集的紧性。也就是说，我们想表明，对于每个s<∞, 集合Φs：={ξ∈ C（[0，T]；R）：I（φ）≤ s} 是C（[0，T]；R）的一个紧子集，相当于表明它是重新压缩且闭合的。该证明类似于使用（39）给出的I（·）形式的Fatou引理证明下限，因此省略了细节；有关更多详细信息，请参见【11】。期权定价的路径适度偏差21仍需显示上限。从[28]我们可以写出I（φ）=RTLo（Xs，φs，˙φs）ds，其中lo（x，η，β）：=inf（v，u）∈Aox，η，βZY | v（y）|ux（dy），Aox，η，β：=v=（v，v）：Y→ R、 u∈ P（Y），使得zylyxf（Y）ux（dy）=0，对于所有F∈ C（Y），ZY|v（y）|+| y|ux（dy）<∞,β=ZYθ（x，y，v（y），v（y））ux（dy）。然后，应用[28，定理5.1]我们得到，如果（25）中定义的Q（x）处处都是非退化的，那么（46）Lo（x，η，β）=β2Q（x），并且在u（y）=-ρβg（x，y）uy（x，y）γQ（x）和u（y）=-ρβg（x，y）uy（x，y）γQ（x）。这种表述实质上给出了定理4.5和6.2之间的等价性。现在，我们有了证明拉普拉斯原理上界所需的所有工具。

我们需要证明，对于所有有界连续函数，G将C（[0，T]；R）映射到R，lim supε↓0-h（ε）对数E经验值-h（ε）G（Rε）≤ infφ∈C（[0，T]；R）[I（φ）+G（φ）]。设ζ>0并考虑ψ∈ ψ=0的C（[0，T]；R），使得i（ψ）+G（ψ）≤ infφ∈C（[0，T]：R）[I（φ）+G（φ）]+ζ<∞.由于G是有界的，这意味着I（ψ）是有限的，因此ψ是绝对连续的。因为Lo（x，η，β）是连续的，并且在每个（x，η，β）处是有限的∈ R、 molli fication参数允许我们假设˙ψ是分段连续的，如【10，第6.5节】。给定ψdeneu（t，x，y）：=-ρg（x，y）uy（x，y）˙ψtγQ（x）和u（t，x，y）：=-ρg（x，y）uy（x，y）˙ψtγQ（x）。以反馈形式定义控制，单位为ε（t）：=u（t，Xt，Yεt），u（t，Xt，Yεt）.然后Rε，uε在分布中收敛到R，其中rt=Zt锆-γ-1ρg（Xs，y）uy（Xs，y）u（s，Xs，y）+γ-1ρg（Xs，y）uy（Xs，y）u（s，Xs，y）uXs（dy）ds=Zt锆γ-2 | g（Xs，y）uy（Xs，y）|uXs（dy）Q-1（Xs）˙ψsds=ZtQ（Xs）Q-1（Xs）˙ψsds=Zt˙ψsds=ψt，概率为1。如果Q（x）在可数个点处变为零，我们定义Q-1（x）：=1/Q（x）如果Q（x）6=0，否则为0（回忆假设4.4）。同时，成本满意度ε↓0EZT | uεs | ds-ZTZR | u（s，Xs，y）|uXs（dy）ds！=此外，关系式（46）表示Eztzy | u（s，Xs，y）|uXs（dy）ds！=EI（R）= I（ψ）。22 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS Spiliopoulos那么，我们最终可以编写supε↓0-日志E经验值-h（ε）G（Rε）h（ε）=lim supε↓0infu∈AE“ZT | u（t）| dt+G（Rε，u）#≤ lim supε↓0E“ZT | uε（t）| dt+G（Rε，uε）#=E”ZTZR | u（s，Xs，y）|uXs（dy）ds+G（R）#=[I（ψ）+G（ψ）]≤ infφ∈C（[0,1]；R）[I（φ）+G（φ）]+ζ。由于ζ>0是任意的，因此证明了上界。证明还表明，我们有定理4.5给出的显式表示。附录A.泊松方程的正则性结果以下定理收集了本文中使用的[29]和[30]的结果。定理A.1。在假设4.1下，设置F（x，y）=H（x，y）- H（x）。

如果存在K，qF>0，使得| F（x，y）|+KxF（x，y）k+kxxF（x，y）k≤ K（1+| y | qF），则在| y | toLYu（x，y）=-F（x，y），其中zyu（x，y）u（dy）=0。此外，解决方案满足u（·，y）∈ C每y∈ Rxxu型∈ C、 存在K>0，使得| u（x，y）|+Kyu（x，y）k+kxu（x，y）k+kxxu（x，y）k≤ K（1+| y |）qF，定理A.1讨论了一般泊松方程解的正则性和增长特性，引理A.2专门讨论了泊松方程，其算子对应于数学金融中广泛使用的所谓的EV模型，其中右侧H（x，y）≡ H（y）只是y的一个函数。在这种情况下，我们有更精确的关于溶液及其衍生物生长的信息。引理A.2。考虑泊松方程（23），算符为（24），H（x，·）=H（·）∈ C2，α，对于一些K>0和qH≥ 1，| H（y）|≤ K（1+| y | qH）成立，那么函数类中有一个唯一的解，它在| y | toLYu（y）=H（y）中最多多项式增长- H、 zyu（y）u（dy）=0。此外，该解决方案满足u∈ C、 存在一个正常数Ksuch | u（y）|≤ K（1+| y | qH），和|yu（y）|≤ K（1+| y | qH-1).如果qH=0，则| u（y）|≤ K（1+对数（1+| y |））。证据如果生成器Ly与CIR模型相对应，即当qg=1/2时，我们将读者参考[19，引理3.2]。

我们对更一般的情况qg证明了这一点∈ （1/2、1）和qH≥ 1使用更直接的参数。不变测度具有由扩散速度测度给出的密度：m（y）=ξy2qgexpZy2κ（θ- z） ξz2qgdz,快速计算表明，泊松偏微分方程解的导数满足u（y）=ξy2qgm（y）ZyH（z）- Hm（z）dz=-ξy2qgm（y）Z∞yH（z）- Hm（z）dz，期权定价的路径中等偏差23，其中我们使用居中条件来获得最后的等式。现在，在不丧失一般性的情况下，我们假设ξ=θ=κ=1。对于某个正常数C，它可能会随着行的变化而变化，我们可以写| u（y）|≤y2qgm（y）Z∞yzqHm（z）dz≤ Cey2-2qg1-qgZ公司∞yzqH公司-2qge-z2型-2qg1-qgdz公司≤ CeR（y）y1+qH-2qgZ∞g（x）e-y2（1-qg）R（x）dx，其中g（x）：=xqH-2qgand R（x）：=x2（1-qg）1-qg。自1起- qg>0，函数R（·）在[1]上光滑且严格递增，∞]. 此外，由于qH- 2qg∈ （0，1），函数g（·）在[1，∞]. 由于Y很大，该积分完全是拉普拉斯型的，尽管R（·）没有鞍点，其最小值在域的左边界处达到。使用[27，第3.3节]，我们可以写，对于大的y，Z∞g（u）e-y2（1-qg）R（u）du~g（1）e-y2（1-qg）R（1）y2（1-qg）R（1）=y2（qg-1） e类-y2（1-qg）R（1），因此，当y趋于完整时，| u（y）|=OyqH-1., 引理随之而来。备注A.3。从引理A.2的证明中可以清楚地看出，它的陈述在qg=0的情况下也是正确的，f（算子LY中的漂移分量）在y中线性增长最多。附录B。有关受控过程的初步结果在本节中，我们回顾了[28]中的一些结果，并证明了与涉及受控过程的某些边界相关的一些附加推论（33）通过弱收敛控制表示出现。引理B.1（引理B.1 of[28]）。在假设4.1和4.2下，设（Xε，uεt，Yε，uεt）为（33）的强解。

然后（32）中表示的上限可以接管所有控制，使得zt | uε（s）| ds<N，几乎可以肯定，其中常数N不依赖于ε或δ。引理B.2（引理B.2 of[28]）。根据假设4.1和4.2，对于N∈ N、 设uε∈ 几乎可以肯定的是，这种情况下，supε>0ZT | uε（s）| ds<Nholds。然后存在足够小的ε>0，使得supε∈（0，ε）EZT | Yε，uεs | ds！≤ K（N，T），对于某些可能依赖于（N，T），但不依赖于ε，δ的有限常数K（N，T）。引理B.3-B.4源自引理B.2，但由于它们的证明没有包含在[28]中，所以我们将它们包含在这里。引理B.3。假设4.1和4.2满足N∈ N、 设uε∈ 几乎可以肯定的是，这种情况下supε>0ZT | uε（s）| ds<N。定义εt：=√εδ中兴通讯-εδκ（t-s） g（Xε，uεs，Yε，uεs）dZs。然后，对于0≤ qg<1，且对于每ν∈ (0, 1 -qg），有一个常数C=C（T，ν）<∞ 这与ε，δ无关，因此∈[0，T]| MεT |！≤ C√εδ2(1-ν).24 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS Spiliopoulossproof Lemma B.3。为了简化符号，让我们设置η=√ε/δ.

通过因式分解参数（参见[6]第229页的示例），我们得到了任何α的因式分解参数∈ （0，1/2），存在常数Cα，使得mεt=ηCαZt（t- s） α-1e级-ηκ（t-s） Aεα（s）ds，其中εα（s）=Zs（s- r）-αe-ηκ（s-r） g（Xε，uεr，Yε，uεr）dZr。然后对于任何p>1/α>2，我们得到∈[0，T]| MεT | p≤ ηpCpαZTs（α-1） 聚丙烯-1ds！p-1ZT | Aεα（s）| pds=ηpCpp，αTαp-1ZT | Aεα（s）| pds。通过Burkholder-Davis-Gundy不等式，我们得到了εα（s）pds≤ 中兴通讯Zs（s）- r）-2αe-2ηκ（s-r）g（Xε，uεr，Yε，uεr）博士p/2ds。使用任何ν>0的不等式，e-λt≤νeνt-νλ-ν、 对于λ，t>0，我们得到-2ηκ（s-r）≤νeν（s）- r）-ν(2ηκ)-ν=K（ν，κ）（s- r）-νη-2ν.因此，我们得到了εα（s）pds≤ CpK（ν，κ）p/2ZTEZs（s）- r）-2α-νη-2νg（Xε，uεr，Yε，uεr）博士p/2ds。然后选择2α+ν<1和p>1/α，我们通过杨氏不等式Ezt | Aεα（s）| pds得到≤ CpK（ν，κ）p/2η-νpZTs-2α-νds！p/2EZTg（Xε，uεs，Yε，uεs）pds≤ CpK（ν，κ）p/2η-νp1.- 2α - νT1-2α-νp/2EZT1 +Yε，uεspqg公司Dthen，引理B.2，如果我们选择pqg≤ 2（这是可能的，因为p>1/α>2，qg<1）我们得到了一些常数C=C（p，T，α，ν，κ）<∞EZT | Aεα（s）| pds≤ Cη-νp。将后一个界放在一起，我们就得到了一些与η无关的常数C=√ε/δ：Esupt∈[0，T]| MεT | p！≤ Cηp（1-ν).把α，ν，p，qg上的所有限制集合起来，我们得到了需要p的条件∈ （2，2/qg），由于关系式p>1/α，意味着α∈ （qg/2、1/2） (0, 1/2). 那么限制2α+ν<1给出了ν<1-qg。然后，对于p>1/α>2，我们得到一些不重要的常数C<∞ 这可能会随着生产线的变化而变化∈[0，T]| MεT |！≤Esupt公司∈[0，T]| MεT |！p/22/p≤Esupt公司∈[0，T]| MεT | p！！2/p≤ Cη2（1-ν） =C√εδ2(1-ν） ，与引理的证明相竞争。期权定价的路径适度偏差25Lemma B.4。假设4.1和4.2满足N∈ N、 设uε∈ 几乎可以肯定的是，这种情况下，supε>0ZT | uε（s）| ds<N。

然后，对于0≤ qg<1，对于任何ν∈ (0, 1 - qg）对于ε>0足够小，我们有∈[0，T]| Yε，uεT |！≤ K（N，T，ν）1+√εδ2(1-ν） +h（ε）1-qg！，对于某些不依赖于ε和δ的有限常数K（N，T）。引理B.4的证明。根据假设4.1，我们可以写出f（x，y）=-κy+τ（x，y），我们可以假设τ在y中是全局Lipschitz，Lipschitz常数Lτ<κ，其中κ来自假设4.1。为了演示的目的，在不丧失一般性的情况下，我们只证明ρ=0的情况，即当布朗运动是独立的时。很容易看出yε，uεt=e-εκδty+εδ中兴通讯-εδκ（t-s） τ（Xε，uεs，Yε，uεs）ds+Qεt+Mεt，其中Qεt：=√εh（ε）δ中兴通讯-εδκ（t-s） g（Xε，uεs，Yε，uεs）uεsds和Mεt：=√εδ中兴通讯-εδκ（t-s） g（Xε，uεs，Yε，uεs）dZs。设∧εt：=Yε，uεt- Qεt- Mεt，因此d∧εt=-εΔκ∧εtdt+εΔτ（Xε，uεt，Yε，uεt）dt。因此，我们有ddt∧εt |=d∧εt·∧εt=-εΔκ∧εt |+εΔτ（Xε，uεt，Yε，uεt）∧εt≤ -εδκ∧∧εt |+εδτ（Xε，uεt，∧εt+Qεt+Mεt）- τ（Xε，uεt，Qεt+Mεt）∧εt+εΔτ（Xε，uεt，Qεt+Mεt）∧εt≤ -ε2δ(κ - Lτ）|∧εt |+Kεδ1+| Qεt |+| Mεt|,对于一些不重要的正常数K，在最后一行中，我们使用了τ的Lipschitz和增长性质以及Young不等式。然后我们得到，对于某些有限常数K>0，|∧εt|≤ e-εδ(κ-Lτ）t | y |+KεδZte-εδ(κ-Lτ）（t-s）1+| Qεs+| Mεs|ds。我们现在将每个术语单独绑定。

我们有一些常数K，它可能会随着行的变化而变化∈[0，T]| QεT |！≤εh（ε）δE支撑∈[0，T]中兴通讯-εδκ（t-s） g（Xε，uεs，Yε，uεs）uεsds≤εh（ε）δE支撑∈[0，T]中兴通讯-2εΔκ（t-s）g（Xε，uεs，Yε，uεs）dsZT | uεs | ds≤εh（ε）δNKE supt∈[0，T]中兴通讯-2εΔκ（t-s）1 +Yε，uεs2qgds公司≤εh（ε）δNK supt∈[0，T]中兴通讯-2εΔκ（t-s） ds1+E支持∈[0，T]Yε，uεt2qg！≤ K（N，T，κ）h（ε）1+E支持∈[0，T]Yε，uεt2qg！。利用引理B.3，我们得到了任何ν∈ (0, 1 - qg），Esupt∈[0，T]| MεT |！≤ C√εδ2(1-ν).26 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS Spiliopoulos因此，对于一些适当的常数K，我们得到∞,Esupt公司∈[0，T]|∧εT |！≤ K（1+h（ε）+√εδ2(1-ν） +h（ε）Esupt∈[0，T]Yε，uεt2qg！）因此，回顾∧εt=Yε，uεt的原始定义- Qεt- Mεt，对于ε>0足够小，以至于h（ε）>1，对于某些常数K<∞ 每行都在变化，Esupt∈[0，T]| Yε，uεT |！≤ K1+h（ε）+√εδ2(1-ν） +h（ε）Esupt∈[0，T]Yε，uεt2qg！！≤ K1+h（ε）+√εδ2(1-ν） +h（ε）Esupt∈[0，T]Yε，uεt2qg！！≤ K1+h（ε）+√εδ2(1-ν） +h（ε）1-qg+Esupt公司∈[0，T]Yε，uεt!,在最后一步中，我们使用了杨的广义不等式。因此，通过重新安排条款，我们获得了UPT∈[0，T]| Yε，uεT |！≤ K1级+√εδ2(1-ν） +h（ε）1-qg！，完成引理的证明。引理B.5（引理B.3 in【28】）。假设4.1成立，N∈ N、 uε=（uε，uε）∈ 几乎可以肯定的是，这种情况下，supε>0ZT | uε（s）| ds<Nholds。