期权定价的路径适度偏差

考虑（10）dXt=-σ（Yt）dt+σ（Yt）dWt，dYt=f（Yt）dt+g（Yt）dZt，dhW，Zit=ρdt，起点X=（X，y）。对于0<ε，δ<1，一般重标度（2）产生（11）dXεt=-εδσ（Yεt）dt+√εσ（Yεt）dWt，dYεt=εδf（Yεt）dt+√εδg（Yεt）dZt，dhW，Zit=ρdt，如果δ=ε，那么（Xεt，Yεt）=（εXt/ε，Yt/ε），但更一般的时空变换（2）允许我们考虑εδ的情况→ γ ∈ [0, ∞). 对于0<ε，δ 1这在【20】的设置中，如果我们允许εδ的可能性，则更相关→ γ ∈ (0, ∞) 相关系数ρ6=0，即[28]的设置。为此，让我们做出以下长期假设：假设3.1。（i） 函数σ（·）∈ Cα（R）对于某些α>0且存在常数0<K<∞, 0≤ qσ<1，使得|σ（y）|≤ K（1+| y | qσ）。（ii）函数f（·）是局部有界的，我们可以写出f（y）=-κy+τ（y），其中τ（·）是一个具有Lipschitz常数Lτ<κ的globallyLipschitz函数。此外，lim | y|↑∞f（y）y | y |=-κ.（iii）函数g要么是一致连续的，从上到下有界，要么是形式g（y）=ξyqgf或qg∈ [1/2，1），ξ为非零常数。在后一种情况下，我们还假设f（y）=κ（θ- y） 。（iv）常数qσ和qg满足qσ+qg≤ 1、假设3.2。SDE（10）具有独特的强大解决方案。让LY表示时间/空间重定标之前Y过程的最小生成元，即LYh=fh+gh，（12），并让u（·）为LY对应的不变度量，在假设3.1下存在且唯一。带LIMε↓0εδ=: γ ∈ (0, ∞),设λ（y）：=-γσ（y）和λ：=ZRλ（y）u（dy）。然后，当ε趋于零时，Xε以概率收敛到X，这是一个经典结果，其中xt：=X+λt。最后，我们引入函数Φ，求解泊松方程（13）LYΦ（y）=-γ（λ（y）- λ) =σ（y）- σ, 其中zyΦ（y）u（dy）=0，其中σ：=RRσ（y）u（dy）。

在有界和非退化g的情况下，假设3.1意味着[29]中的定理1和2成立，提供了Φ的存在性和适当的光滑性，以及期权定价7增长的多项式路径中等偏差（In | y |）。在g仅与指数qg H¨older连续的情况下∈ [1/2，1）并且只能在零处变为零，引理A.2也持有相同的结论。为了说明定理3.3，我们需要知道δ、ε和1/h（ε）消失的相对速率。特别是，（14）ζ：=limε↓0ε/δ - γ√εh（ε）规定了ε/δ收敛和h（ε）趋于一致的相对速率。为了保持MDP，我们要求ζ是有限的。在特殊情况下，εδ=γ，然后ζ=0。以下观点成立：定理3.3（文献[28]中的定理2.1）。在假设3.1和3.2下，来自（11）的序列{Xε，ε>0}满足速度h（ε）和速率函数i（φ）=inf（ZT | us | ds:u的MDP∈ L（[0，T]；R），φ=Z·α+q1/2usds），其中α=-ζZRσ（y）u（dy）和q=ZRhσ（y）+Φ（y）g（y）+2ρσ（y）g（y）Φ（y）iu（dy），其中有限常数ζ在（14）中定义，Φ是泊松方程（13）的解。关于定理3.3如何与[28]中的定理2.1进行比较的一些评论是一致的。备注3.4。定理3.3对应于[28]中区域2的设置，在快速运动位移的特殊情况下，Yε在Y中最多线性增长，即在[28]的符号中r=1。此外，我们想指出的是，与当前假设3.1相比，在系数增长的条件稍强的情况下，证明了[28]中的定理2.1。这有两个原因。首先，在[28]中，考虑了一般的多维情况。相反，在本文中，我们考虑一维情况，这意味着我们可以获得关于泊松方程（13）解增长的更精确信息，参见引理A.2。

反过来，这些更精确的增长率会导致更宽松的条件。其次，在（10）的设置中，与[28]的一般设置相比，系数只是y的函数，而不是x的函数。这意味着PDE（13）的解也只是y的函数。因此，在[28]中需要考虑的许多项，见附录C，这里基本上为零（因为Φ不依赖于x）。这两种情况意味着我们可以放宽模型系数的增长条件。然后，使用与[28]中完全相同的方法得出定理3.3的证明。此处不重复完整论点，因为其与[28]中的论点相似。示例3.5（赫斯顿模型）。对于赫斯顿模型（9），重新校准（2）产生系统（15）dXεt=-ε2δYεtdt+√εpYεtdWt，Xε=δX，dYεt=κ（θ- Yεt）εδdt+√εδξpYεtdZt，Yε=Y，d hW，Zit=ρdt。在这种情况下，不变度量u具有伽马密度【19，第33.4节】（16）m（y）=（2κ/ξ）2κθ/ξ（2κθ/ξ）y2κθ/ξ-1e级-2κy/ξ，对于y>0。此外，很容易通过【25，第5章，定理2.9】检查假设3.1和假设3.2是否满足，因此定理3.3适用于α=-ζθ和q=ZRy1+|ξΦ（y）|+2ρξΦ（y）u（dy）。泊松方程（13）可显式求解为Φ（y）=-2κ，产生（17）q=θ1 +ξ4κ-ρξκ> 0.8 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS Spiliopoulosreck 3.6（大偏差连接）。对于例3.5中的Heston模型，考虑ε=δ，因此γ=1，ζ=α=0。取h（ε）=ε-β与β∈ （0，1/2）表示过程序列的LDP（ηε=εβ-1/2Xε·）ε>0，或者，就原始工艺而言，εβ+1/2X·/ε的LDP。设置t=1，映射ε7→ t型-当t趋于完整时，1产生Xt/tβ+1/2的LDP。

因此，定理3.3中的MDP意味着，对于任何x>0:limt↑∞t型-2βlog PXttβ+1/2≥ x个= -inf{I（φ）：φ=0，φ≥ x} 。该最小化问题的Euler-Lagrange方程-q¨φt=0，在边界条件下，得出最佳路径φt=xt。因此，我们获得了↑∞t型-2βlog PXttβ+1/2≥ x个= -x2q，q在（17）中给出。现在，大时间大偏差制度在[13，24]中得到了证明，但有限制↑∞t型-1日志Pt型-1Xt≥ x个= -Λ*（x） ，和速率函数∧*可用闭合形式∧*（x） ：=u*（x） x个- ∧（u*（x） ），适用于所有x∈ R、 带∧（u）：=κθξκ - ρξu- d（u）和d（u）：=p（κ- ρξu）+ξu（1- u） ，适用于所有u∈ （u）-, u+，u*（x） ：=ξ-2κρ+（κθρ+xξ）bζxξ+2xκθρξ+κθ-1/22ξ(1 - ρ） ，u±：=ξ-2κρ±bζ2ξ（1- ρ） ，和bζ：=p4κ+ξ- 4κρξ. 这里再次证明，中等速率函数是大偏差速率函数最小值的二阶泰勒展开。更准确地说，很容易证明∧*在以下位置达到其最小值：-θ/2，对应于当ε趋于零时Xε的极限行为（t=1）。实际上，由于遍历性，我们得到了dXt=-θdt。我们也可以证明xx∧*(-θ/2）=q-1，其中常数q由中等偏差区域（17）给出。因此，中等偏差率函数表征了大偏差率函数在其最小值附近的局部曲率。图1：。比较赫斯顿模型中的MDP速率函数（黑色，实心）和LDP速率函数（蓝色，破折号）。MDP速率函数已移动，以便最小匹配。参数为κ，θ，σ，ρ=2.7609，0.7，-0.6, 0.8.4. 积分泛函的极限行为我们现在考虑将以前的结果推广到扩散过程的泛函，并证明其存在适度偏差。

这个问题已经在[22]中得到了解决，但，使用弱收敛路径中等偏差的期权定价技术，我们能够放松他们的一些假设，使结果适用于数学金融中的应用，另请参见备注4.6。我们考虑模型（18）dXεt=-εδσ（Xεt，Yεt）dt+√εσ（Xεt，Yεt）dWt，dYεt=εδf（Xεt，Yεt）dt+√εδg（Xεt，Yεt）dZt，dhW，Zit=ρdt，当系数不依赖于Xε时，其对应于使用一般重标度（2）的原始系统（1）（如在大时间范围内）。对于给定集合A、B、i、j∈ N和α>0由Ci表示，j+αb（A×b），函数空间在x中有i个有界导数，在y中有j个导数，所有偏导数都是关于y的α-H¨older连续的，在x中是一致的。对于任何x∈ R、 当 = δ=1（即，在空间/时间重新校准之前）：LYxh（y）=f（x，y）h（y）+g（x，y）h（y），（19），并设ux（dy）为对应于最小生成器LYx的不变度量，该度量由下面的假设4.1保证存在。

带（20）limε↓0εδ= γ ∈ (0, ∞),设λ（x，y）：=-γσ（x，y）和λ（x）：=ZRλ（x，y）ux（dy）。经典结果[29]是，当ε趋于零时，Xε以概率收敛于X，其中（21）Xt：=X+Ztλ（Xs）ds。对于适当的函数H（x，y），设H（x）：=RRH（x，y）u（dy）；我们对（22）Rε的LDP感兴趣：=√εh（ε）Z·H（Xεs，Yεs）- H（Xεs）ds。以下假设与更一般配置中的假设3.1相对应，系数完全依赖于x和y。假设4.1。（i） α>0使得f，g∈ C1、α（R）和H∈ C2,1+α（R），或f，g∈ C1,2+α（R）和H∈ C2，α（R）。（ii）存在常数0<K<∞ 和0≤ qσ<1，使得|σ（x，y）|≤ K（1+| y | qσ）。此外，σ在x上局部一致地关于y是Lip*****z连续的。（iii）我们可以写出f（x，y）=-κy+τ（x，y），其中κ>0，τ（x，y）是y中的全局Lipschitz函数，与x一致，Lipschitz常数Lτ<κ，supx∈Rf（x，y）y≤ -κ| y |表示| y |足够大。（iv）函数g要么是一致连续的，从上到下有界，要么是形式g（y）=ξyqgf或qg∈ [1/2，1）和ξ是一个非零常数。在后一种情况下，我们还假设f（x，y）=κ（θ- y） 。（v） 存在常数0<K<∞ 和qH≥ 0使得| H（x，y）|+|xH（x，y）|+|xH（x，y）|≤ K（1+| y | qH）。假设4.2。SDE（18）具有独特的强大解决方案。让我们进一步考虑u（x，·）是泊松方程（23）的解LYxu（x，y）=H（x，y）- H（x），ZYu（x，y）ux（dy）=0。根据定理A.1和引理A.2，u是一个定义良好的经典解，它最多可以增长多项式yin | y |。接下来，由于紧性问题，我们将在第7.1节的紧性证明中看到，我们需要10 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS Spiliopoulos来限制常数qσ，qg，qhts的值，这些值分别决定了系数σ，g和hr的增长。

我们在以下假设中收集这些约束：假设4.3。（i） 如果（19）给出的算子lyx通常依赖于（x，y），我们假设max{qσ+qH，qg+qH}<1。（ii）如果（19）中的运算符采用特殊形式h（y）=κ（θ- y） h（y）+ξy2qgh（y），（24）带qg∈ [1/2，1），H（x，y）=H（y）只是y的函数，那么我们假设qσ<1，qg+qH<2，其中常数qg，qH和函数H（·）是limε↓0√εh（ε）qg+qH-11-qg=0。注意，对于假设4.3（ii），如果qH=1，则假设h（ε）=ε-β与β∈ （0，1/2）收益率√εh（ε）qg/（1）-qg）=ε1/2-βqg/（1）-qg），因此假设4.3满足当且仅当qg<1/（2β+1）∈ (1/2, 1).为了说明主要结果，我们需要一个额外的假设，仅出于技术原因。给定泊松方程（23）的解u（·，·）和（20）中定义的常数γ，引入以下内容：Q（x）：=ZRQ（x，y）u（dy）和Q（x，y）：=γ| uy（x，y）g（y）|。（25）假设4.4。集合的Lebesgue测度s∈ 【0，T】：Q（Xs）=0等于零。在这一点上，我们提到，我们之所以选择运算符（24），是因为在这种情况下，我们可以获得有关相应泊松方程（23）的解的行为的更详细信息。引理A.2对此进行了详细讨论。具体而言，在（24）和H（x，y）的特殊情况下≡ H（y），偏微分方程（23）的解增长为| y | qH，其中导数增长为| y | qH-1用于qH≥ 1、另一方面，在一般情况下，只能保证溶液和DE（23）溶液的衍生物都像| y | qH一样增长。然后，我们得到了以下结果，在第6-7节中得到了证明：定理4.5。满足假设4.1、4.2、4.3和4.4。

然后，来自（22）的序列{Rε，ε>0}满足LDP（相当于R的MDP·H（Xεs，Yεs）-H（Xεs）ds），速度h（ε）和速率函数i（φ）=inf（ZT | vs | ds:v∈ L（[0，T]；R），φ·=Z·Q1/2（Xs）VSD）。备注4.6。我们指出，使用不同的方法，在[22]中也建立了类似于定理4.5的结果。然而，[22]的结果并不适用于我们的目的，因为他们假设函数g和H都有界（H甚至被假设为以K（1+| y）为界|-（2+η）），对于某些η>0）。在我们的工作中，我们允许系数根据假设4.1和4.3增长。反过来，这使我们可以考虑更广泛的模型类别。我们在下面看到一些示例。5、金融应用：期权价格的渐近行为我们可以对短期渐近使用推论2.5，对长期渐近使用定理3.3，以获得类似于【17】中定理6.2和6.3的看涨期权价格报表。定理4.5用于获得已实现方差的渐近估计。5.1. 尾部估计。我们在这里展示了定理2.3中的一般结果，以及它在Proposition 2.4和推论2.5中的较轻版本，对于一些合适的缩放，如何产生概率的尾部估计。我们应考虑SDE系数的以下形式（6）：假设5.1。存在（a、b、cg、cσ）∈ R、 连同νσ∈ （0，1）和νg∈ [0, 1 - νσ]使得f（t，x，y）=a+by，g（x，y）=cgyνg，σ（x，y）=cσyνσ，对于所有的t，x，y。期权定价的路径中等偏差11这些假设可能看起来有限制性，但实际上对于许多金融应用来说是有效的，详情如下。注意，我们排除了平凡情况νσ=0，因为X的SDE与Y无关，可以直接手动处理。提案5.2。在假设2.2和5.1下考虑模型（6）。

然后，ζ：=1-νg+νσ2（1-νg），序列（εζX）满足速度h（ε）和速率函数i（φ）下C（[0，T]，R）的中等偏差原则=2σ（y）ZT |˙φs | ds，如果φ∈ AC（[0，T]，R）和φ=0+∞, 否则证据选择α>0。在假设5.1下，模型（6）readsdXt=-cσY2νσtdt+cσYνσtdWt，dYt=（a+bYt）dt+cgYνgtdZt，dhW，Zit=ρdt，起点X=（X，Y）。所有t的重缩放Xδt=（Xδt，Yδt）：=（δXt，δαYt）≥ 0表示系统dxδt=-δ1-2ανσcσ（Yδt）2νσdt+cσδ1-ανσ（Yδt）νσdWt，dYδt=aδα+乘以δtdt+cgδα（1-νg）（Yδt）νgdZt，dhW，Zit=ρdt，起点Xδ=（Xδ，Yδ）=（δX，δαY）。将扩散系数1中的δ幂进行等值- ανσ= α(1 - νg），或α=（1- νg+νσ）-1> 0，因此dxδt=-δ1-2ανσcσ（Yδt）2νσdt+cσδγ（Yδt）νσdWt，dYδt=aδα+乘以δtdt+cgδγ（Yδt）νgdZt，dhW，Zit=ρdt，其中γ：=1- ανσ. 背景√ε：=Δγ最终给出系统dxεt=-ε(1-2ανσ）/（2γ）cσ（Yεt）2νσdt+cσ√ε（Yεt）νσdWt，dYεt=aε2（1-νg）+乘以εtdt+cg√ε（Yεt）νgdZt，dhW，Zit=ρdt，起点Xε=（ε1/（2γ）X，εα/（2γ）Y）。当γ>0和1时，定理2.3适用-2νσα ≥ 0，相当于νg≤ 1.- νσ，命题后面是设置ζ：=1/（2γ）。示例5.3.o在赫斯顿案例（9）中，假设5.1成立，a=κθ，b=-κ、 cσ=1，cg=ξ，νσ=1/2=νg，因此命题5.2适用于ζ=1；o在Stein-Stein案例（8）中，假设5.1适用于a=a，b=b，cσ=1，cg=c，νσ=1，νg=0，因此命题5.2适用于ζ=1。在这两种情况下，对于任何x>x，我们都可以写imε↓0h（ε）对数PXεt√εh（ε）≥ x个= limε↓0h（ε）对数PXt公司≥xh（ε）√ε= -x2σ（y）t。同样，中等偏差制度为速率函数提供了一种封闭形式的表示，与【8、9、23】中提出的因大偏差而产生的更抽象的速率函数相反。12 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS SPILIOPOULOS5.2。小时间行为。

以下定理是基于渐近行为（为简单起见，假设x=0）（26）P（Xt）对[17，定理6.3]和[12，推论2.1和定理2.2]的重新表述≥ kt）~ 经验值-kt2σ（0，y）t,当t趋于零时，根据命题2.4和推论2.5，kt：=k√th（t）>0。这种行为实际上直接源于我们上面的主要结果；在模型（6）中，第一部分的路径适度偏差原则（推论2.5）概括了（路径且假设较弱）来自【17】的结果，并直接得出（26）。更准确地说，根据提议的标度（Xεt，Yεt）：=（Xεt，Yεt），推论2.5和备注2.6意味着，当t趋于零时，当k>X=0时，limε↓0h（ε）对数PXε√εh（ε）≥ k= -k2σ（0，y），这反过来意味着（26），将t识别为ε，并设置kt：=kh（t）√t、 为了说明主要结果，我们需要以下假设：假设5.4。对于任何p≥ 1存在t*p> 0，以便EepXt公司对所有人来说都是有限的∈ [0，t*p] 。备注5.5。该定理中的矩假设在与期权定价的大偏差和中偏差相关的数学金融文献中是经典的。可以在【17，定理6.3】和更一般的框架【15，假设（A2）】中找到。从本质上讲，这一假设确保了股票价格的某些可积性得到保证（否则可能无法确定买入价格），而这并不是由大偏差和中等偏差结果自动得出的。我们让读者参考[15，引理4.7]，了解一些易于检查的条件。定理5.6。根据假设5.4和命题2.4的假设，认购价格满足↓0h（t）日志E提取- ekt公司+= -k2σ（0，y），对于所有k>0。证据在此，我们对[17，定理6.3]的证明进行了一些小的修改。