期权定价的路径适度偏差

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英文标题：
《Pathwise moderate deviations for option pricing》
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作者：
Antoine Jacquier and Konstantinos Spiliopoulos
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We provide a unifying treatment of pathwise moderate deviations for models commonly used in financial applications, and for related integrated functionals. Suitable scaling allows us to transfer these results into small-time, large-time and tail asymptotics for diffusions, as well as for option prices and realised variances. In passing, we highlight some intuitive relationships between moderate deviations rate functions and their large deviations counterparts; these turn out to be useful for numerical purposes, as large deviations rate functions are often difficult to compute.
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中文摘要：
我们为金融应用中常用的模型和相关的集成泛函提供了路径中等偏差的统一处理。适当的标度允许我们将这些结果转换为扩散的小时间、大时间和尾部渐近，以及期权价格和实现的方差。同时，我们强调了中等偏差率函数与其大偏差对应函数之间的一些直观关系；由于大偏差率函数通常很难计算，因此这些结果对于数值计算非常有用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：期权定价 Applications Quantitative Mathematical Differential

选项PRICINGANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS SPILIOPOULOSAbstract的路径中度偏差。我们为金融应用中常用的模型和相关的集成函数提供了路径中等偏差的统一处理。适当的缩放使我们能够将这些结果转换为小时间、大时间和尾部渐近，以进行区分，以及期权价格和实现变量。同时，我们强调了中等偏差率函数与其大偏差对应函数之间的一些直观关系；这些结果对于数值计算非常有用，因为大偏差率函数通常很难计算。1、简介我们为（多尺度）It^o差异的路径中度偏差开发了一个统一的框架，并将其应用于小时间、大时间和尾部渐近的差异和相关的集成函数。最初的动机是对[17]中证明的适度偏差的一种路径延伸，仅在小时间期权定价的背景下。更具体地说，我们考虑（1）dXt=-σ（Yt）dt+σ（Yt）dWt，dYt=f（Yt）dt+g（Yt）dZt，dhW，Zit=ρdt，起点（X，Y）=（X，Y）。对于0<ε，δ≤ 1，重定标过程Xε由（2）Xεt定义：=（Xεt，Yεt）：=δXεδt，Yεδt,是多尺度系统的解（3）dXεt=-εδσ（Yεt）dt+√εσ（Yεt）dWt，dYεt=εδf（Yεt）dt+√εδg（Yεt）dZt，从Xε=（δX，Y）开始，再加上dhW，Zit=ρdt。有人合理地认为，如果δ=1，（3）的小ε渐近对应于（1）的小时间渐近。等效地，如果我们允许ε和δ都趋于零，使得limεδ=γ∈ (0, ∞), 然后，（3）的小（ε，δ）渐近对应于（1）的标度大时间渐近。

因此，通过适当选择δ，可以通过（3）的小ε渐近来描述（1）的小时间渐近和大时间渐近。这样的渐近结果可以转化为期权定价的相应估计，这是数学金融中的一个有趣的数量。此外，金融应用中的另一个有趣的数量与适当函数H的formRtH（Xεs，Yεs）ds的积分泛函的渐近性有关。特别是，H（X，Y）=Y对应于所谓的实现方差。本文的重点是通过中等偏差镜头（MD）对这种近似进行量化，我们将分析三种情况。首先，考虑Xt：=limε↓0Xεt（在某种适当的意义上）和正函数h（·），使得limε↓0h（ε）=∞ 带limε↓0√εh（ε）=0，我们对ηεt的大偏差性质感兴趣：=Xεt- Xt公司√εh（ε），或Xε的等效中等偏差性质，以及作为推论的Xε，及其对eX期权价格的后果估计。Xε的中等偏差已在文献日期：2018年12月4日制定。K、 NSF DMS 1550918.2 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS Spiliopoulos在δ=1的情况下（1，14），以及在ε，δ↓ 0例【1、14、20、28】；我们在这里分别精确地将这些结果与（1）的小时间和大时间中等偏差结果联系起来，并为期权定价提供精确的结果。在过去十年中，数学金融文献中出现了大量大偏差的应用【8、9、12、13、16、24、31】，但中等偏差只是最近才被【17】引入。然而，[17]只考虑了小时间行为，这不是路径行为，并且基于假设X在任何时候都允许连续密度膨胀，小时间具有特定行为。

我们这里的方法允许我们在不需要这样的假设的情况下得出路径结果。其次，我们得到了一些积分泛函的中偏差原理，更精确地说，对于形式rε的量，我们得到了大偏差原理：=√εh（ε）Z·H（Xεs，Yεs）- H（Xεs）ds，对于某些函数H，其中H围绕其关于过程Y的不变分布的平均行为。我们还允许SDE（1）的系数既依赖于（x，y），也允许相对于y的一定增长（即我们不强加全局有界假设）。这构成了本文的主要理论结果，在第4节中介绍，并在第6-7节中得到证明。例如，当nh（x，y）=y时，这对应于实现方差的渐近性，并产生期权的估计值。文献[22]中也建立了相关的中等偏差结果，但H一致有界，这在许多应用中是不够的。我们的证明基于【10】到仓促控制表示的弱收敛方法，这使我们能够考虑潜在SDE模型和H的系数增长。最后，我们展示了如何将路径中等偏差应用于定量金融中使用的模型，并推导出期权价格的渐近性。同时，我们得到了大偏差和中偏差率函数之间有趣的联系。后者实际上表征了围绕其最小值的大偏差率函数的局部曲率。尽管这是直观的预期，但它表明可以使用中等偏差来获得大偏差渐近的近似值，并且在实践中是有用的，因为中等偏差率函数通常以二次方的闭合形式可用，而大偏差率函数通常不显式。

最后，我们提到，尽管本文中的结果主要针对X∈ R、 实际定理适用于任何有限维，如[1、5、14、28]。我们将自己限制在这种环境中，完全是因为财务动机。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了文献中的小噪声路径中度偏差结果，并将其与金融模型的小时间中度偏差渐近性联系起来。在第3节中，我们回顾了limεδ=γ的慢-快系统（3）的小噪声中度偏差∈ (0, ∞), 并将其与相应的大偏差估计值联系起来。在第4节中，我们给出了关于积分泛函的中度偏差的主要新理论结果。第5节包含了我们的结果对期权价格渐近性的财务影响，第6-7节收集了综合函数模型偏差的证据，而附录A和B陈述了本文中使用的一些独立利益的结果。2、小噪声扩散的路径中等偏差我们首先考虑小噪声It^o扩散的路径中等偏差，如下【1、14、28】。通过适当的重定标度，我们可以统一和概括数学金融学中关于小时间中等偏差的几个最新结果，尤其是[17]中的结果。然而，在继续之前，让我们回顾一下大偏差原则的定义。定义2.1。

设P是波兰空间，P是（P，B（P））上的概率测度，我们称集合（Zε）ε∈P值随机变量的（0,1）具有率函数S的大偏差原理：P→ [0, ∞]和速度1/εif（1）对于每米≥ 0，集Φ（M）={ξ∈ P:S（ξ）≤ M} 是P.（2）的紧致子集 P、 lim-infε↓0εln P（Zε∈ G）≥ - infξ∈GS（ξ）期权定价的路径中等偏差3（3）对于每个闭合F P、 lim supε↓0εln P（Zε∈ F）≤ - infx公司∈FS（ξ）。本文将大量使用的一个事实是，定义2.1意味着对于正则集Γ B（P），即Γ是这样的，闭合cl（Γ）上的S的最大值与内部Γo上的S的最大值相同，我们有thatlimε↓0P（Zε∈ Γ) = - infξ∈cl（Γ）S（ξ）。现在考虑Rd值SDE（4）dXεt=bε（t，Xεt）dt+√εaε（t，Xεt）dWt，Xε=X∈ Rd，其中每个ε∈ （0，1），bε：R+×Rd→ Rd，aε：R+×Rd→ Md×m（实值d×m矩阵的空间）和W是一种标准的多维布朗运动，其值在经过适当过滤的概率空间上确定。我们还将确定一些任意时间范围T>0。

我们将使用具有独特强解且满足以下假设的形式（4）的差异：假设2.2。（i） 当ε趋于零时，系数bε、aε和Dbε分别收敛于一些函数b、a和Db，在R+×Rd的有界子集上一致。（ii）系数bε、b∈ C0,1，aε，a在x中是局部Lipschitz，在ε中是一致的∈ （0，1）和t∈ [0，T]。（iii）存在C>0，因此对于所有t∈ [0，T]和x∈ Rd，最大值Tr公司aεaTε（t，x）, hx，bε（t，x）i, 最大值Tr公司aaT（t，x）, hx，b（t，x）i≤ C1+| x|,根据假设2.2，SDE（4）具有唯一的非爆炸性溶液和supt∈[0，T]| XεT-Xt |当ε趋于零时，概率收敛到零，其中X满足Xt=X+Rtb（s，Xs）ds。设h（·）为（0，1）上的连续函数，发散至原点处的单位，limε↓0√εh（ε）=0。将中度偏差过程ηε路径定义为（5）ηεt：=Xεt- Xt公司√εh（ε），对于所有t≥ 我们对C中{Xε，ε>0}的中偏差原理（MDP）感兴趣[0，T]；研发部, 这意味着在C中建立{ηε，ε>0}的大偏差原理（LDP）[0，T]；研发部. 下面的定理符合[1，5，14，28]的精神，后面的论点与[5，28]中的论点相似。定理2.3。在假设2.2下，族{ηε，ε>0}满足C（[0，T]；Rd）中的LDP（或{Xε，ε>0}满足TDP），速度h（ε）和速率函数（ξ）=inf（ZT | us | ds:u∈ L[0，T]；研发部, ξ=Z·Db（s，Xs）ξs+a（s，Xs）usds）。注意，如果aaT（t，x）在{Xs，s的路径上一致非退化∈ [0，T]}，那么我们可以写（ξ）=ZT公司˙ξs- Db（s，Xs）ξsTaaT（s、Xs）-1.˙ξs- Db（s，Xs）ξsds，ifξ∈ AC（[0，T]，Rd），ξ=0+∞, 否则其中AC（[0，T]，Rd）表示从[0，T]到Rd.2.1的绝对连续函数类。小时间中等偏差。

我们现在展示如何使用定理2.3来证明一类满足微分方程（6）dXt=-σ（Xt，Yt）dt+σ（Xt，Yt）dWt，dYt=f（t，Xt，Yt）dt+g（Xt，Yt）dZt，dhW，Zit=ρdt，4 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS Spiliopoulos，起点X=（X，y）。由于我们对小时间渐近性感兴趣，我们根据δ=1的（2）重新缩放（6），即我们考虑Xεt：=（Xεt，Yεt）：=（Xεt，Yεt）。这将产生系统dxεt=-εσ（Xεt，Yεt）dt+√εσ（Xεt，Yεt）dWt，dYεt=εf（εt，Xεt，Yεt）dt+√εg（Xεt，Yεt）dZt，起点Xε=（X，Y）。极限过程X：=limε↓0Xε是常数，几乎肯定等于（x，y）。现在定义（5）中的过程ηε，其中√εh（ε）趋于零，而h（ε）随着ε趋于零而趋于一致。在（4）的符号中，我们有（7）bε（t，x，y）=ε-σ（x，y）f（εt，x，y）和aε（t，x，y）=σ（x，y）0ρg（x，y）ρg（x，y）,其中，为方便起见，我们表示ρ：=p1- ρ. 然后，利用定理2.3，我们得到以下结果：命题2.4。如果（7）中的bε和aε满足假设2.2，σ（·），g（·）在（x，y）上不为零，则（xε）ε>0满足速度h（ε）和速率函数（φ，ψ）的路径MDP=2(1 - ρ） ZT公司˙φsσ（x，y）-2ρ˙φs˙ψsσ（x，y）g（x，y）+˙ψsg（x，y）ds，ifφ，ψ∈ AC（[0，T]，R）和（φ，ψ）=（0，0）+∞, 否则证据矩阵aa>（x，y）是可逆的，因为根据假设σ（·），g（·）在（x，y）上是非零的，所以定理2.3适用。我们主要对Xε分量的MDP感兴趣，这是通过收缩原理：推论2.5获得的。在命题2.4的假设下，{Xε，ε>0}满足速度h（ε）和速率函数i（φ）的路径MDP=2σ（x，y）ZT |˙φs | ds，如果φ∈ AC（[0，T]，R）和φ=0+∞, 否则证据

根据命题2.4和收缩原理【7，第4.2.1节】，（Xεt，Yεt）的第一个分量的MDP速率函数isI（φ）=inf{S（φ，ψ）：ψ∈ C（[0，T]，R），ψ=0}，可作为变分问题求解。对于固定的绝对连续轨道φ，对于某些常数C，静态路径ψ的欧拉方程为¨ψt=ρg（x，y）σ（x，y）¨φt，或|ψt=ρg（x，y）σ（x，y）˙φt+C。将其插入命题2.4中S（·）的表达式中，并在C上最小化，我们得到最小值在C=0，从而得出证明。备注2.6。设置T=1，并将ε理解为时间，推论2.5立即为我们提供了概率的小时间渐近。当x>0时，最小化问题在[0，1]上产生φt=xt作为最优路径，因此limε↓0h（ε）对数PXε√εh（ε）≥ x个= -x2σ（x，y）。2.2. 示例。期权定价的路径适度偏差52.2.1。局部随机波动率模型。考虑形式（6）的局部随机波动率模型，σ（t，Xt，Yt）=σL（t，Xt）ξ（Yt），并假设当ε趋于零时，局部波动率分量σL（εt，·）一致收敛于σL（·）。这与扩散型模型一致，但不适用于跳跃模型【18】。应用时间重新校准转换t 7→ εt屈服强度dxεt=-εσL（εt，Xεt）ξ（Yεt）dt+√εσL（εt，Xεt）ξ（Yεt）dWt，dYεt=εf（εt，Xεt，Yεt）dt+√εg（Xεt，Yεt）dZt，起点（Xε，Yε）=（X，Y）。很明显，当ε趋于零时，Xε=（Xε，Yε）几乎肯定会收敛到常数过程，等于tox=（X，Y）。选择h（ε）≡ ε-β、 带β∈ （0，1/2），然后我们在假设2.2和命题2.4的假设下得到，特别是假设σL（x）ξ（x）6=0，ηε：=εβ-1/2（Xε- x） 根据定理2.3，当ε趋于零时，满足LDP，因此xε满足速率函数i（φ）的推论2.5的MDP=σL（x）ξ（y）ZT˙φsds，如果φ∈ AC（[0，T]，R）和φ=0+∞, 否则2.2.2. 斯坦·斯坦。

考虑Stein-Stein[33]随机波动率模型：（8）dXt=-Ytdt+YtdWt，X=X，dYt=（a+bYt）dt+cdZt，Y=Y，d hW，Zit=ρdt。时间刻度为t 7→ εt，系统（8）读数Sdxεt=-ε（Yεt）dt+√εYεtdWt，Xε=X，dYεt=（a+Xεt）εdt+√εcdZt，Yε=Y，d hW，Zit=ρdt。很明显，当ε趋于零时，Xε=（Xε，Yε）几乎肯定会收敛到等于X=（X，Y）的常数过程。选择h（ε）≡ ε-β、 带β∈ （0，1/2），我们得到ηε：=εβ-1/2（Xε- x） 根据定理2.3，满足度a LDPasε趋于零，因此xε满足率函数i（φ）的推论2.5中的MDP=2yZTφsds，如果φ∈ AC（[0，T]，R）和φ=0+∞, 否则2.2.3. 赫斯顿。考虑赫斯顿随机波动率模型：（9）dXt=-Ytdt+pYtdWt，X=X，dYt=κ（θ- Yt）dt+ξ√YtdZt，Y=Y，d hW，Zit=ρdt，应用时间重缩放t 7→ εt，系统（9）变为dxεt=-εYεtdt+√εpYεtdWt，Xε=X，dYεt=κ（θ- Yεt）εdt+√εξpYεtdZt，Yε=Y，d hW，Zit=ρdt。很明显，当ε趋于零时，Xε=（Xε，Yε）几乎肯定会收敛到常数过程X=（X，Y）。再次选择h（ε）≡ ε-β、 带β∈ （0，1/2），我们得到ηε：=εβ-1/2（Xε- x） 满足度a LDPasε趋于零，xε满足率函数i（φ）的推论2.5的MDP=2yZTφsds，如果φ∈ AC（[0，T]，R）和φ=0+∞, 否则6 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS Spiliopoulos以及备注2.6，这对应于[17，定理6.2]中Heston模型的中度偏差状态，β=1/2- β.3、大时间中等偏差前一节考虑了随机It^o微分的小噪声扰动，这使他能够通过缩放完美地对系统的解进行小时间分析。我们在此研究（3）形式的适当多尺度差分，并展示其行为如何产生解的大时间渐近性。