期权定价的路径适度偏差

在小成熟度情况下，极限过程limε↓0Xε等于x=0，因此推论2.5和备注2.6意味着，当ε趋于零，并且将t识别为ε时，limt↓0h（t）log PXt公司√th（t）≥ k= -k2σ（0，y）。对于任何δ>0，则存在t*> 0，这样对于所有t∈ （0，t*], 出租kt：=k√th（t），exp-kt2σ（0，y）t（1- cδ）≤ P（Xt≥ kt）≤ 经验值-kt2σ（0，y）t（1+cδ）,其中常数c=2σ（0，y）不重要。让kt：=kt（1+cδ），买入价读数为提取- ekt公司+≥ 呃提取- ekt公司+Xt公司≥kti公司≥ 呃提取- ekt公司+Xt公司≥kti≥ekt- ekt公司+PXt公司≥~kt.关于第一学期，我们可以写ekt- ekt公司+= cδkt+O千吨级.第二项根据中度偏差原则处理，kt替换为▄kt:limt↓0h（t）log PXt公司≥~kt≥ -k（1+cδ）2σ（0，y），因此↓0h（t）日志E提取- ekt公司+≥ -k（1+cδ）2σ（0，y）。让δ趋于零会产生所需的下限。关于上限，fix p≥ 1注意，根据假设5.4，E（epXt）对于所有t∈ [0，t*p] 。Doob不等式[25，定理3.8]，impliesPXt公司*p≥ k≤ e-pkEhexpXpt公司*pi、 期权定价的路径中等偏差13，其中Xt：=sup0≤u≤tXu，以便Xt*palso有有限的p阶矩和hexpXpt公司*pi=pZ∞e（p-1） kP公司Xt公司*p≥ kdk是有限的。通过支配收敛，并且由于过程X具有连续路径，则E（epXt）收敛到epXas，因为t趋于零。最后，对于任何p，q∈ [1, ∞) 这样p-1+q-1=1，H¨older不等式屈服提取- ekt公司+= 呃提取- ekt公司+{Xt≥kt}i≤ Ehn公司提取- ekt公司+opipP（Xt≥ kt）q≤ EepXt公司pP（Xt≥ kt）q。因为第一项收敛于E前任, 然后我们获得了LIM支持↓0h（t）日志E提取- ekt公司+≤qlim支持↓0h（t）log P（Xt≥ kt）=-k2σ（0，y）。让p趋向于完整，因此q为1，得到定理的下界。5.3. 大时间行为。按照【13，24】中开发的方法，我们可以将中等偏差结果转化为期权价格的大时间渐近行为。

为了说明结果，让J表示定理3.3中给出的速率函数I到最后一点的（凸）收缩，即J（x）：=inf{I（φ）：φ（0）=0，φ（1）=x}。进一步介绍共享度量Q（A）：=EP外部{A}对于anyA∈ 在证明本节的主要结果之前，让我们陈述并证明一个有用的引理。引理5.7。在Q下，（10）中定义的过程X满足（27）dXt=σ（Yt）dt+σ（Yt）dWQt，X=X，dYt=fQ（Yt）dt+g（Yt）dZQt，Y=Y，dhWQ，ZQit=ρdt，其中fQ（·）：=f（·）+ρg（·）σ（·）。假设3.1和3.2满足（27）。通过重定标度（2），序列（Xε）ε>0满足速度为h（ε）的Q下的MDP和λQ=-λ、 λQ（·）=-λ（·），其中不变度量uQis是（27）中Y的度量。证据从（10）中，我们可以写出等式（A）=EP经验值-Ztσ（Yu）du+ρZtσ（Yu）dZu+ρZtσ（Yu）dZ>u{A},其中，我们将布朗运动W分解为W=ρZ+’ρZ>。Girsanov定理意味着两个过程ZQand zqd定义为zqt：=Zt- ρZtσ（Yu）du和ZQt：=Z>t- ρZtσ（Yu）du是Q下两个独立的标准布朗运动，我们可以将（10）改写为（27），fQ（·）：=f（·）+ρg（·）σ（·），WQ：=ρZQ+ρZQ。然后，在系数假设下，引理直接来自定理3.3。注意X in（27）漂移中的flippped符号。因此，我们可以将jqa定义为Q下Xε的速率函数iqq的收缩（到最后一点）。定理3.3中的最小化函数φ是线性的，形式为φt=αt，所以（28）J（X）=xt2qa和JQ（X）=xT2qQ，对于任何X∈ R、 提案5.8。Letβ∈ (0, 1/2). 当t趋于一致时，我们观察到以下渐近行为：t1/2+βlog EP外部β+1/2- 提取+≈x个- tβ-1/2J（x），x，如果x<0，如果x≥ 0，极限↑∞t2β对数EP提取- 外部β+1/2+=-JQ（x），0，如果x>0，如果x≤ 0.14 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS SPILIOPOULOSProof。我们遵循【24，定理13】中开发的方法，并做了一些修改。

对于所有t≥ 1和ε>0，不等式extβ+1/21.- e-ε{Xt/tβ+1/2<x-ε}≤外部β+1/2- 提取+≤ extβ+1/2{Xt/tβ+1/2<x}保持。取期望值、对数并除以t2β，我们得到xtβ-1/2+对数（1- e-ε） t2β+对数PXttβ+1/2<x- εt2β≤t2β对数E外部β+1/2- 提取+≤xtβ-1/2+对数PXttβ+1/2<xt2β。根据定理3.3中的中等偏差原则，并使用（28），我们可以编写↑∞t型-2βlog PXttβ+1/2<x= - infz<xJ（z）=-J（x），如果x<0,0，如果x≥ 0，因此，当t趋于完整时，命题中看跌期权价格的渐近行为成立。对于exp（X）上的看涨期权价格，我们可以使用不等式，对于t≥ 1和ε>0，外部1.- e-ε{Xt/tβ+1/2>x+ε}≤提取- 外部β+1/2+≤ eXt{Xt/tβ+1/2>x}。将期望值置于P之下，这将成为1.- e-εEP公司eXt{Xt/tβ+1/2>x+ε}≤ EP公司提取- 外部β+1/2+≤ EP公司eXt{Xt/tβ+1/2>x},使用共享度量Q，这转化为1.- e-εQXttβ+1/2>x+ε≤ EP公司提取- 外部β+1/2+≤ QXttβ+1/2>x.使用引理5.7和（28），命题随后来自计算极限↑∞t型-2βQXttβ+1/2>x= - infz>xJQ（z）=-JQ（x），如果x>0,0，如果x≤ 05.4. 已实现方差的渐近性。我们现在展示定理4.5如何应用于赫斯顿模型（9）中的实现变量。重缩放（2）产生与LargetTime情况相同的扰动系统（15）。同样，不变度量u（·）具有（16）中给出的伽马密度。带H（x，y）≡ y、 我们有qσ=qg=1/2和qH=1，因此假设4.3成立，定理4.5给出了过程（29）Rε的路径大偏差=√εh（ε）Z·Yεsds- θ.在这种情况下，泊松方程（23）满足uy（y）=-κ、 因此Q（x）≡ξθκ，得出速率函数（30）I（φ）=γκξθZT˙φsds，ifφ∈ AC（[0，T]，R）和φ=0+∞, 否则为简单起见，γ=1，即。

ε=δ，那么我们可以写，对于任何t≥ 0，Rεt=√εh（ε）中兴εsds- θ=√εh（ε）ZtYεsds- θε=√εh（ε）Zt/εYuds- θε=√εh（ε）Vt/ε- θε，其中表示θε：=θ√εh（ε）和Vt：=RtYudu表示在[0，t]期间实现的方差。因此，序列Rε的大偏差意味着，取t=1，应用收缩原理，对于任何固定的x>0，limε↓0h（ε）对数P√εh（ε）V1/ε- θε≥ x个= -infnI（φ）：φ≥ xo，或，以h（ε）=ε为例-β代表β∈ （0，1/2），并重命名ε7→ t型-1，限制↑∞t型-2βlog P及物动词≥ xtβ+1/2+θt= -infnI（φ）：φ≥ xo。期权定价的路径中等偏差15这里，这个最小值可以从（30）以封闭形式计算。对应的Euler-Lagrangeequation产生了线性最优路径φt=xt，对于任何x>0，因此jv（x）：=infnI（φ）：φ≥ xo=κx2ξθ=x2Q。注意，由于（9）中X的漂移和扩散不依赖于X本身，因此Q在这里是常数。在Heston案例（9）中，我们可以将此大时间MDP与相应的大时间LDP进行比较，以获得实现变量。事实上，从[4，命题6.3.4.1]中，已实现变量的矩母函数为所有u，使得右侧为有限，λ（u，t）：=log EeuVt公司=2κθξlog2γ（u）exp（κ+γ（u））tγ（u）eγ（u）t+1+ κeγ（u）t- 1.!+2uyeγ（u）t- 1.γ（u）eγ（u）t+1+ κeγ（u）t- 1.,式中γ（u）：=pκ- 2ξu。直接计算得出∧∞（u） ：=限制↑∞∧（u，t）t=κθξ（κ- γ（u）），对于所有u<κ2ξ。因此，我们可以使用G¨artner-Ellis定理的部分版本【7，第2.3节】来证明序列（t-1Vt）t>0满足大偏差原则，因为t趋于一致，速率函数∧*定义为∧的F-Legendre变换∞.

更精确地说，对于任何x>0，λ*（x） =supu<κ2σnux- Λ∞（u） o=κ（x- θ） 2ξx和xx∧*（x） | x=θ=κξθ=Q-我们再次观察到，中等偏差率函数表征了大偏差率函数在其最小值附近的局部曲率。在大偏差和中等偏差情况下，我们可以将这种行为转化为对已实现方差的期权的渐近性：命题5.9。Letβ∈ (0, 1/2). 当t趋于完整时，对于所有x>0的情况，我们有限制↑∞T日志E提取- eVt公司+= x个-Λ*（x） 和限制↑∞t2β对数EP外部β+1/2- eVt公司-θt+-xtβ-1/2= -JV（x）。备注5.10。请注意，再次将β=1/2正式设置为第二个极限，这是由中等偏差引起的，简化后得到，limt↑∞T日志Ee（x+θ）t- eVt公司+= x+θ- JV（x），再次如备注3.6所示，表明中等偏差率函数正好代表最大偏差的曲线，最小偏差为1。证据我们从第一个极限开始，它属于大偏差范围。模仿命题5.8的证明≥ 1和ε>0，我们可以写出不等式1.- e-ε{Vt/t<x-ε}≤提取- eVt公司+≤ 外部{Vt/t<x}。取期望值、对数和除以t并取极限，我们得到x+limt↑∞tlog PVtt<x- ε≤ 限制↑∞T日志E提取- eVt公司+≤ x+极限↑∞tlog PVtt<x.上述序列（Vt/t）t>0的大偏差，因为t趋于完整，从而得出结论。我们现在证明另一个极限，它是由适度偏差引起的。现在，模仿命题5.8的证明≥ 1和ε>0，我们可以写下下β+1/21.- e-ε{eVt/tβ+1/2<x-ε}≤外部β+1/2- eeVt公司+≤ extβ+1/2{eVt/tβ+1/2<x}，其中eVt：=Vt-θt，取期望值，对数，除以t2β，命题从xtβ开始-1/2+t2β对数PeVttβ+1/2<x- ε!≤t2β对数E外部β+1/2- eeVt公司+≤xtβ-1/2+t2βlog PeVttβ+1/2<x！。16 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS SPILIOPOULOS6。

定理4.5证明的控制表示在本节中，我们将定理4.5与某些随机控制表示和拉普拉斯原理联系起来。我们首先将It^o公式应用于（23）的解u。重新排列项，我们得到rεt=Δε3/2h（ε）（u（Xεt，Yεt）- u（x，y））-Δεh（ε）Zt（guy）（Xεs，Yεs）dZs-Δεh（ε）Zt（σux）（Xεs，Yεs）dWs-ρδ√εh（ε）Zt（σguxy）（Xεs，Yεs）ds+δ√εh（ε）Ztσux（Xεs，Yεs）ds-δ√εh（ε）Ztσuxx（Xεs，Yεs）ds。通过该表达式，我们将Rεt与（18）一起视为三元组（Rεt，Xεt，Yεt）。根据【10，第1.2节】，Rε的大偏差原理（速度为h（ε））等价于拉普拉斯原理，拉普拉斯原理表明，对于任何有界连续函数G映射C（【0，T】；R）到R，（31）limε↓0-h（ε）对数E经验值-h（ε）G（Rε）= infφ∈C（[0，T]；R）nI（φ）+G（φ）o，其中I（·）称为作用泛函。我们证明（31），然后证明定理4.5恒等式I（φ）。（31）的证明基于【3】中开发的适当随机控制表示。设A是Ft的空间，渐进可测的二维过程v=（v，v），使得ERT | v（s）| ds是有限的。从[3，定理3.1]，我们可以写出随机控制表示-h（ε）对数E经验值-h（ε）G（Rε）= infuε∈AE“ZT | uε（s）| ds+G（Rε，uε）#（32），其中受控过程（Rε，uεt，Xε，uεt，Yε，uεt）满足系统Rε，uεt=Δε3/2h（ε）u（Xε，uεt，Yε，uεt）- u（x，y）-Δεh（ε）Zt（guy）（Xε，uεs，Yε，uεs）dZs-ΔερZt（guy）（Xε，uεs，Yε，uεs）uε（s）ds-ΔερZt（guy）（Xε，uεs，Yε，uεs）uε（s）ds-ΔερZt（σux）（Xε，uεs，Yε，uεs）uε（s）ds- ρδ√εh（ε）Zt（σguxy）（Xε，uεs，Yε，uεs）ds+δ√εh（ε）Ztσux（Xε，uεs，Yε，uεs）ds（33）-δ√εh（ε）Ztσuxx（Xε，uεs，Yε，uεs）ds-Δεh（ε）Zt（σux）（Xε，uεs，Yε，uεs）dWs，dXε，uεt=-εδσ（Xε，uεt，Yε，uεt）dt+√εh（ε）σ（Xε，uεt，Yε，uεt）uε（t）dt+√εσ（Xε，uεt，Yε，uεt）dWt，dYε，uεt=εδf（Xε，uεt，Yε，uεt）dt+√εh（ε）δg（Xε，uεt，Yε，uεt）[ρuε（t）+ρuε（t）]dt+√εδg（Xε，uεt，Yε，uεt）dZt，带dhW，Zit=ρdt。

有了这个控制表示，我们继续分析（32）右侧的极限，因为ε趋于零。与[28]类似，我们定义了函数θ：R7→ R乘以θ（x，y，z，z）：=-γ-1g（x，y）uy（x，y）（ρz+ρz）。（34）设Z=R定义控制空间，Y定义Y的状态空间。我们的假设保证θ在x上有界，a ffne在z上有界，zgrowing在y上最多为多项式。下一步是引入一个适当的占用度量族，其作用是挑出极限中发生的正确平均值。出于这个原因，让0< = (ε) ↓ 0是一个参数，其作用是利用时间刻度分隔。设A，A，B，Γ分别是Z，Z，Y，[0，T]的Borel集。然后，确定职业测量值Pε，乘以（35）Pε，（A×A×B×Γ）：=ZΓ“Zt公司+tA（uε（s））11A（uε（s））11B（Yε，uεs）ds#dt，如果s>T，则假设uεi（s）=0。对于波兰空间S，设P（S）为S上的概率测度空间。接下来，我们回顾了中等偏差情况下可行对的定义。期权定价的路径适度偏差17定义6.1（定义4.1 in【28】）。设θ（x，y，z，z）：R×y×z×z→ R是一个在y中以线性方式增长大气的函数。对于每个x∈ R、 设Lx为二阶椭圆偏微分算子，用D（Lx）表示其定义域。

A对（ψ，P）∈ C（[0，T]；R）×P（Z×Z×Y×[0，T]）被称为关于（θ，Lx）的可行对，我们写（ψ，P）∈ V（θ，Lx），如果函数ψ是绝对连续的；o测度P在zz×Z×Y×[0，T]的意义下是可积的|z |+| z |+| y|P（dzdzdy ds）<∞;o 对于所有t∈ [0，T]（X在（21）中定义），（36）ψT=ZZ×Z×Y×[0，T]θ（Xs，Y，Z，Z）P（dzdzdy ds）；o对于所有t∈ [0，T]和每F∈ D（Lx），（37）ZtZZ×Z×YLXsF（y）P（dzdzdy ds）=0；o对于所有t∈ [0，T]，（38）P（Z×Z×Y×[0，T]）=T。最后一项等同于说明P的最后一个边缘是勒贝格测度，或者P可以分解为P（dzdzdy dt）=Pt（dzdzdy）dt。然后我们将建立以下结果：定理6.2。在假设4.1、4.2、4.3和4.4下，（22）中的过程族{Rε，ε>0}满足大偏差原则，作用函数（39）I（φ）=inf（φ，P）∈V（θ，Lx）（ZZ×Z×Y×[0，T]|z |+| z|P（dzdzdy ds）），约定空集上的最小值是有限的。如证明过程中所示，定理4.5直接源自定理6.2.7。定理4.5的证明在本节中，我们提供定理4.5的证明。如第6节所述，定理4.5的证明等同于定理6.2中拉普拉斯原理的证明。在第7.1和7.2小节中，我们证明了对（Rε、uε、Pε、，) 分别地在第7.3小节中，我们最终建立了拉普拉斯原理和定理4.5的表示公式。这些结果的证明利用了[28]的结果。下面我们给出了主要论点，强调了不同之处，并在适当的时候给出了[28]的确切指针。7.1. 对{（Rε，uε，Pε，), ε > 0}. 在本节中，我们将证明以下命题：命题7.1。

在假设4.1、4.2和4.3下，对于满足支持ε>0ZT | uε（t）| dt<N的控制族{uε，ε>0}，对于某些N<∞, 以下观点：（i）族{（Rε，uε，Pε，), ε>0}在C（[0，T]；R）×P（Z×Z×Y×[0，T]）上是紧的；（ii）有立根时：=n（z，z，y）∈ Z×Z×R：| Z |>M，| Z |>M，| y |>Mo，族{Pε，, ε>0}在limm意义下是一致可积的↑∞supε>0Ex，y“Z（Z，Z，y））∈BM×[0，T][z |+| z |+| y |]Pε，（dzdzdy dt）#=0.18 ANTOINE JACQUIER和KONSTANTINOS Spiliopoulos命题7.1的证明。{Pε）的紧密性，, ε,  > 关于P（Z×Z×Y×[0，T]），职业测度族的一致可积性是[28，第5.1.1节]的主题，这里不再重复。证明{Rε，uε，ε>0}在C（[0，T]；R）上的紧性。我们利用[2，定理8.7]的特征证明了它，如果我们确定ε>0，那么对于每个η>0，（i）存在N<∞ 使（40）Psup0≤t型≤TRε，uεt> N≤ η、 对于每个ε∈ (0, ε);（ii）每M<∞,（41）limα↓0supε∈（0，ε）Psup | t-t |<α，0≤t<t≤TRε，uεt- Rε，uεt≥ η、 支持∈[0，T]Rε，uεt≤ M！=基本上，这两种陈述都遵循控制表示法（33）以及定理A.1和引理A.2得出的泊松方程解增长的结果，并使用引理B.5处理（33）右侧的每个项。为了完整起见，我们证明第一个陈述（40）。第二条语句（41）后面同样使用通用引理B.5。

将（33）改写为（42）Rε，uεt=Xi=1Ri，εt，其中Ri，εt表示（33）右侧的ITH项，注意psup0≤t型≤TRε，uεt> N≤Xi=1Psup0≤t型≤TRi，εt>N.定理A.1和H¨older不等式的应用表明，对于qH<2- qg、Esupt∈[0，T]| R1，εT |！≤2Δε3/2h（ε）1+E支撑∈[0，T]| Yε，uεT | qH！≤2Δε3/2h（ε）1+E支持∈[0，T]| Yε，uεT |！qH/2≤ Kδε3/2h（ε）1+√εδ(1-ν） qH+h（ε）qH1-qg！=Kδε3/2h（ε）+δε2.-(1-ν） qHε1-(1-ν） qHh（ε）+Δε√εh（ε）qg+qH-11-qg！，（43）其中第三个不等式来自引理B.4。通过假设4.3，这当然保持有界（实际上，它变为零），因为对于任何qH<2-qgwe可以选择ν∈ (0, 1 -qg）使limε↓0ε1-(1-ν） qHh（ε）=0。因此，对于一些不重要的常数K<∞,Psupt公司∈[0，T]R1，εt>N≤千牛。对于随机积分项R2，εt，我们得到常数C<∞ 这可能会从一条直线变为另一条直线，并且对于足够小的ν>0，使得qguy（1+ν）<1（有一些滥用符号qguy是函数g（x，·）uy（x，·）的多项式增长度），我们有psupt∈[0，T]Ztguy（Xε，uεs，Yε，uεs）dZs>εh（ε）N9δ！≤≤CN2（1+ν）Δεh（ε）2（1+ν）Esupt∈[0，T]Ztguy（Xε，uεs，Yε，uεs）dWs2(1+ν)!≤CN2（1+ν）Δεh（ε）2（1+ν）Esupt∈[0，T]Zt公司拉线（Xε，uεs，Yε，uεs）ds公司(1+ν)!,期权定价的路径中等偏差19，在qguy<1的情况下，结果遵循引理B.5。类似地，我们得到了另一个随机积分项R9，εt的对应界。黎曼积分项R3，εt，R8，ε皮重同样使用引理B.5进行处理。假设4.3中关于qσ、q和qh的条件保证引理B.5适用于这些情况。这些考虑因素产生（40）。第二条语句（41）后面是类似的论点，再次使用引理B.5和所涉及函数关于| y |的增长性质。唯一可能需要讨论的术语是R1，εtterm。