一种分数驱动的噪声和异步条件相关模型

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运算符vec[·]应用于m×n矩阵A，将A的列堆叠为mn×1向量。应用于n×n矩阵的运算符diag[·]将其对角线元素堆叠成n×1向量。当应用于n×1向量时，它给出了一个对角线n×n矩阵，其中向量的元素位于主对角线中。我们还引入了交换矩阵Cmn，即mn×mn矩阵，使得每个m×n矩阵A的cminveca=vecA\'。m×nmatrix函数F（X）相对于p×q矩阵X的导数定义如Abadir和Magnus（2005）所述，即mn×pqmatrix计算为vec（F（X））/向量（X）′。计算˙vt和˙FtLet我们定义为=Et-1[Xt]和Pt=Covt-1[文本]。由于异步交易，Ytis是一个带有nt的向量≤ n组件。我们将nt×n选择矩阵Γ定义为与观察价格相关列中的矩阵。局部水平模型（3）、（4）的卡尔曼滤波器递归由以下公式给出：vt=Yt- Γtatat+1=at+KtvtFt=Γt（Pt+Ht）Γ′tPt+1=Pt（In- KtΓt）′+Qt（A.1），其中Kt=PtΓ′tF-1吨。如果在时间t时，所有观测值均缺失，我们将其设置为+1=at和Pt+1=Pt+Q，如inDurbin和Ko op m an（2012）所述。可以方便地引入时变p参数的辅助向量：￠ft=diag[Ht]diag[Dt]φt（A.2）后者通过以下链接功能与ft相关：￠ft=L（ft）=实验f（1）t。。。实验f（2n）tf（2n+1）t。。。f（k）t（A.3）变换的雅可比矩阵为：JL=英尺英尺\'=Htn×nn×qn×nDtn×qq×nq×nIq（A.4）注意，使用链式法则，承受它| t-1可表示为：t=JL▄t、 It | t-1=JLIt | t-1JL（A.5），其中：▄t型=对数p（Yt |ft，ft-1, Θ)f′t′,It | t-1=E【】t▄′t] （A.6）可按（12）、（13）计算，但推导时应考虑˙ft而非ft。因此，我们重点关注˙vt=vt公司/f′tand˙Ft=vec（英尺）/作为Delle Monache et al。

（2016），我们获得：˙vt=-Γt˙at（A.7）˙Ft=（Γt Γt）（˙Pt+˙Ht）（A.8），其中：˙at+1=˙at+（v′t In）˙Kt+Kt˙vt（A.9）˙Pt+1=˙Pt- （KtΓt In）˙Pt- （英寸 PtΓ′t）Cnnt˙Kt+˙Qt（A.10）˙Kt=（F-1tΓt In）˙Pt- （F）-1吨 Kt）˙Ft（A.11）˙Qt=[（DtRt 英寸）+（英寸 DtRt）]˙Dt+（Dt Dt）˙Rt（A.12）此处˙Ht=vec（Ht）f′t，˙Dt=vec（Dt）~f′皮重n×k矩阵由以下公式给出：˙Ht=1 0 . . . 0 0 . . . 0......0 1 . . . 0 0 . . . 0............0 . . . 0 1 |{z}n0。0 |{z}n+q（A.13）˙Dt=0 . . . 0Dt，110。0 0 . . . 0.........0 . . . 0 0Dt，22。0 0 . . . 0..................0 . . . 0 |{z}n0。Dt，nn{z}n0。0 |{z}q（A.14）˙Rt的计算取决于参数化。我们区分了使用超球坐标的情况和使用等相关参数化的情况。在第一种情况下，我们有：˙Rt=[（Z′t In）Cnn+（In Z′t）]˙Zt（A.15）元素Zij，t相对于超球面角θlm的导数，由下式得出：Zij公司θlm=0 i>j，j 6=m，l≥ m、 l>i-Zijtanθiji<j，l=iZijtanθiji≤ j、 l<i（A.16）注意，为了便于记法，时间指数被抑制。在第二种情况下，我们有：˙Rt=[0n×2n，˙ρtvec(-In+Jn）]（A.17），其中：˙ρt=1+n- 1.coshθt（A.18）