随机动态效用和跨时间偏好

关于L（G）和L∞（G） 我们应该考虑通常的逐点顺序f≤ g当且仅当f（ω）≤ g（ω）表示每个ω∈ Ohm类似地，对于每个ω，f<g当且仅当f（ω）<g（ω）∈ Ohm. 给定两个元素f，g∈ L∞（G） 我们使用符号f∨ g、 f级∧ g分别表示f和g之间的最小值和最大值。对于可数的行为族{fn}n∈N L∞（G） 我们考虑f族的infn，supnfn点方向上的上下确界，并回顾如果族是一致的，则infn，supnfn是L∞（G） 。L∞（G） 具有sup范数k·k∞成为Banach晶格，其中kfk∞= supω∈Ohm|f（ω）|。通过1A，A∈ G表示L的元素∞（G） 如果ω，则1A（ω）=1∈ A和0，否则。对于f∈ L∞（G） 和A∈ G、 F1将f限制为A；对于任何一对f，g∈ L（G）和事件A∈ G、 f 1A+g1ac表示A上与f一致，Ac上与G一致的随机变量。设G Gbe二西格玛代数。对于有限分区{a，…，An} Gof公司Ohm 和{gj}nj=1 L∞（G） ，Pnj=1gjAjdenotes指定Gjon Aj的元素，j=1。。。，n、 这种类型的随机om变量可以解释为简单actconditional to Gand，SG（G）表示空间条件简单Act。当G={, Ohm} 对应的空间用S（G）表示。每当给定概率P时(Ohm , F、 P）成为一个度量空间，通常我们会说概率eP由P（eP）控制<< P） 如果P（A）=0，则表示A的ep（A）=0∈ F、 类似地，概率eP等于P（eP~ P） 如果P<<eP和eP<< P、 如果属性失败的集合的概率为0，则属性几乎保持P（P-a.s.）。对于任何给定的西格玛代数G F我们用L表示(Ohm, G、 P）G可测随机变量的等价类P几乎肯定相等且byL∞(Ohm, G、 P）（P a.s.）有界随机变量的子空间。

正式任何f∈ L（G）将代表X类：=[f]P∈ L(Ohm, G、 P）。此外，任意随机变量族{Xλ}λ的本质（Pa.s.）上确界∈Λ L(Ohm, G、 P）将由P表示- sup{Xλ|λ∈ ∧}，以及类似的基本信息（参考[13]第A.5节）。让我们来看看(Ohm, G、 P）：给定一个随机场φ：Ohm ×R→ R使得对于每个f∈ L∞（G） 映射ω7→ φ（ω，f（ω））是G-measurable（更多详细信息，请参见[26]），我们介绍了总数（G；φ）={[φ（·，f（·））]P | f∈ L∞（G） }。（2.4）实际上，L（G；φ）表示空间L中的随机域φ的范围(Ohm, G、 P）。为了解决偏好条件表示的连续性问题，我们需要引入随机领域连续性的特殊定义。考虑(Ohm, G、 P）和φ：Ohm ×R→ 对于（2.4），我们认为φ是-连续iff∈ L∞（G） 它认为，对于P-a.eω，atf（ω）属于φ（·，ω）的连续点∈ Ohm （见附录A f中的定义A.2或正式声明）。最后，P可积随机变量的空间将用L表示(Ohm, G、 P）。我们使用标准符号，并用EP[X]表示X的Lebesgue积分∈ L(Ohm, G、 P）。此外，如果H是一个包含在G中的西格玛代数，则EP[X | H]表示给定H和P的X的条件期望。概率P对较小的西格玛代数H.2.2状态依赖效用和信息的作用的限制：一个玩具示例两个兄弟E，Y继承自他们年老而富有的祖母。这位兄长被要求在立即获得100万欧元（时间t=0）或等待两年（时间t）之间做出选择，因为他的祖母将搬到撒丁岛的疗养院，并在科莫湖附近拥有一栋漂亮的别墅。

或者，E可以等到中间时间再做出决定，但无论如何，在做出决定后，弟弟Y必须接受E留下的东西。时间0时v illa的价值等于100万，但今天比较这两个价值当然没有什么意义，因为别墅只在时间t时可用。现在假设届时意大利新政府将进行电话会议，意大利离开欧洲联盟的灾难性事件（其经济体系随之违约）可能会发生。调用此事件A并设置Ft={, Ohm, A、 Ac}。BrotherE知道，如果发生Acwill，别墅的价值将增加到1.11·10，但如果发生默认情况，别墅的价值将下降到2·10。违约事件A的概率很低，但不可忽略，例如P（A）=0.01。最后，在知道A发生的情况下，在时间t（称为该事件D）违约的概率几乎可以忽略不计，例如P（D | Ac）=10-6（在这种情况下，别墅的价值将再次达到2·10）。如果在时间t或时间t均未发生违约，则此时别墅的价值将跃升至1.8·10。因此，时间信息由{A，D}生成的西格玛代数描述。就意大利未违约而言，代理人E被假定为风险中性，即u（x）=x。如果发生违约（无论是在时间还是时间t），如果x≥ 如果x<0，则0或▄u（x）=2x。一种天真的想法是，一旦违约发生，代理在避免损失方面的重要性就更大了，而不是赚钱。

我们可以通过引入s-tochastic动态效用来综合这一推理，如下u（t，x，ω）=如果t=0u（x）1A（ω）+如果t=1u（x）1A，u（x）1Ac（ω）∪D（ω）+u（x）1Ac∩Dc（ω）如果t=2，我们将考虑以下因素：如果代理人E比较了在今天获得10或在时间t获得别墅之间的选择，那么他将效用u（10）=10与在时间t获得的预期收益的预期效用进行比较，预期收益=1.8·10·（1- 10-2.- 10-6) +· 2 · 10· (10-2+ 10-6).这一预期回报严格地说大于10，事实上，如果E忽略了中间时间T，他将选择别墅而不是立即付款。但这种冲动的策略不会带来最佳解决方案假设代理人首先将10与t时别墅的价值进行比较，然后预期收益=1.11·10·0.9+·2·10·0.01=10。这意味着当时别墅的预期价值与现金金额相同，这意味着E在今天（t=0）或明天（t）做出决定之间是不同的。因此，他有更好的等待，直到选举发生，并区分事件A或Ac。在前一种情况下，E将选择事实上优于别墅价值的项目。在第二种情况下，他宁愿在时间策略上获得v illa，也不愿在时间策略上获得10。显然，第二种策略提供了最佳的最终结果，因为它利用了额外的中间信息。备注2.1。请注意，如果哥哥计算P（A）=0，则推理将发生变化。在这种情况下，额外的中间信息不会在决策过程中发挥作用。3跨期偏好的公理化。我们考虑一个时间间隔[0+∞), 将更新时间t=0<t<…<tn<，。在每一次交易中，代理人都会根据观察到的信息重新考虑自己的偏好关系。

特别是在时间t=0时，没有可用的信息，即F={, Ohm}. 每次t的信息都由一个sigmalgebra fta表示，由于信息随着时间的推移而增加，我们将得到Fs Ftfor every s≤ t、 在整篇论文中，ACT是作为实值随机变量，与[30]中使用的框架相匹配。假设3.1。在整篇文章中，我们总是假设代理是由一些初始效用函数u：R赋予的→ 严格递增且连续的R（不一定是凹的）。为简单起见，我们将考虑u（0）=0的情况。在假设3.1中，无需对uas进行筛选，即可编制本论文。这种选择的优点有两个：一方面，在定理3.6中，将一个U形标记为一个更清晰的唯一结果（另请参见备注4.9）。另一方面，强调了“初始值”的作用，这源于uis从对待行为的态度中继承下来的观点。他的选择不是“没有普遍性的损失”。尽管如此，正如导言中所述，本研究的灵感来自潜在的社会应用，因此我们更倾向于选择一种财务上更友好的设置。代理人过去作出的决定。效用的形状：例如，它允许了解代理人在最初的时候是否是风险厌恶者或风险寻求者，以及她如何评估自己拥有的钱的数量的变化（引用[3]“因此，毫无疑问，对于一个穷人来说，上千达卡的收益比对于一个富人来说更为重要，因为两者的收益是相同的。”）。时间树表示决策者观察到可能影响其决策的可用信息的第一个瞬间。由L中的随机变量描述的时间段的随机支付∞（Ft），代理将这些随机支付与R中元素表示的初始确定位置进行比较。

在第4节中，我们将介绍跨期偏好0,1将初始时间t=0连接到t。在命题4.8中，我们将显示以下内容：如果0,1是完整的、传递的、单调的、连续的，并且满足任何f∈ L∞（Ft）和a∈ R我们有一个0,1f是且仅当u（a）≥ROhmu（f（ω），ω）dP（ω）。该表示基于Wakker和Zank的定理B.5，并显示了新的输入将如何影响代理对决策的态度，产生新的效用，这将取决于实现的自然状态。一旦达到时间，决策者将开始考虑下一个未来的新目标，比如t，并将时间t时已知的ran dom PAYOFF与将取决于时间t时发生的事件的ran dom PAYOFF进行比较。从t的角度来看，新的跨期对比1,2将是一种条件偏好关系，它包含了在时间t时获得的进一步知识。因此，我们将遵循[7]提出的想法，并利用在条件设置中开发的类似技术。这个过程将从tito ti+1开始，每隔一段时间重复一次，因此我们的主要结果将通过归纳更新时间来证明。tito ti+1的每个更新步骤都将以首选互连为特征i、 i+1（或i、 i+1）满足条件转换公理。当然，由于过程是通过归纳进行的，我们将假设我们达到了步骤Tian所需的表示，并在接下来的时间ti+1显示表示。这将保证西格玛代数Fti上存在概率Pionly，我们需要按照贝叶斯范式将其更新为更大的西格玛代数Fti+1。对于T heorem 3.6的陈述，我们定义了一个任意N和一系列跨时期参考关系i、 i+1对于i=0。

N- 1具有以下含义：对于任何g∈L∞（Fti）和f∈ L∞（Fti+1）我们说gi、 i+1f，如果代理人在时间ti时宁愿持有赌金而不是在时间ti+1时持有赌金f，并且知道时间ti时提供的所有信息（类似于gi、 i+1f）。像往常一样，我们说g∈ L∞（Fti）相当于f∈ L∞（Fti+1），即g~i、 i+1f，如果两个gi、 i+1f和gi、 i+1f，并为每个i=1定义空事件族，NasN（Fti）={A∈ Fti：g~我-1，如果=> g级~我-1，ig1A+f 1Ac，f∈ L∞（Fti），克，克∈ L∞（Fti-1)}.（3.5）事件A∈ 在时间tiif A时称为基本∈ Fti（Fti）转换公理。我们现在准备介绍描述跨时期偏好的第一条公理。在这种情况下，首选项排序i、 i+1并不像人们通常理解的那样是一种二元关系。为此，我们需要一个公理的公式，将其与更经典的公理进行比较。此外，我们在有条件的环境中工作，这意味着i、 i+1根据ti时可用的账户信息进行评估。信息由可测量集A建模∈ 此外，决策者对相关的设置有主观信念（a∈ Fti（Fti））和那些不相关的（A∈ N（Fti））。为了理解空集的核心作用，我们参考了第2.2节中包含的示例（具体参见备注2.1）。（T.i）夫妻转移公理i、 i+1，i、 i+1。让A、B∈ Fti，g∈ L∞（Fti）和F∈ L∞（Fti+1）那么我们需要i、 i+1，i、 i+1为1。本地完成：存在∈ Fti\\N（Fti）如g1A处的thi、 i+1F1或g1Ai、 i+1f1A。2、及物性：if gi、 i+1f和hi、 i+1f然后{g<h}∈ N（Fti）；3、归一化：如果A、B∈ N（Fti）然后1A~i、 i+1B。4、非退化：对于任何f∈ L∞（Fti+1）存在g，g∈ L∞（Fti）su ch th atgi、 i+1f和gi、 i+1层。5、一致性：如果g1Ai、 i+1f1A（分别为。

i、 i+1）和B A然后g1Bi、 i+1f1B（分别为。i、 i+1）；6、稳定：如果g1Ai、 i+1f1A（分别为。i、 i+1）和g1Bi、 i+1f1B（分别为。i、 i+1）然后G1A∪Bi、 i+1f1A∪B（分别为。i、 i+1）；在解释（T.i）的全部一般性之前，我们将其专门化为无条件情况（i=0）。（T.0）过渡偏好关系0,1.1. 完成：对于∈ R和f∈ L∞（Ft）a0,1f或a0,1f；2、及物动词：a0,1f和b0,1f表示≤ b3、归一化：0~0,10（即00,10和d 00,10).4、非退化：对于任何f∈ L∞（Ft）存在y，z∈ R使得y0,1和x0,1f。Axiom（T.0）仅由f或r要求组成，这种显著简化的原因在于假设f={, Ohm}. 为了理解为什么完整性和及物性是weakorder的经典定义所建议的自然对应物，我们观察到命题4.5保证在（T.0）下，对于任何∈ L∞（Ft）存在唯一的C0,1（f）∈ R使得C0,1（f）0,1f或C0,1（f）0,1f保持。因此，我们可以考虑以下诱导排序: 对于任何f，g∈ L∞（英尺），fg if和on ly if C0,1（f）≤ C0,1（g）。的确是反射的，并继承了0,1.现在我们来解释公理（T.i）：属性1、5和6与[7]中的条件偏好概念有着深刻的关联和启发。（T.i）的第一个正确性指出，更新过程必然会导致在条件意义上完全的偏好。特别是我们将在引理5.3中看到（引理是[7]中引理3.2的对应物），局部完备性允许比较三个可测事件上的两个行为。

一致性和稳定性可以通过所获得的信息来理解：例如，一致性指出，如果代理更喜欢g∈ L∞（Fti）时间大于f∈ L∞（Fti+1）在时间ti+1时，知道事件A∈ FTI已发生，对于任何条件B，她应选择g∈ Fti，B A、 （T.i）中的性质2是（T.0）中其计数器部分的条件推广。规范化（prop er ty 3）表示在一步更新中保留Ftinull事件。特别是，代理在随机支付之间是不同的，随机支付通过一个不可靠的FTI可测量集与0不同（粗略地说，“持有任何东西在整个时间内都是不同的”，直到零事件）。非简并性（属性4）是更具技术性的一种，并保证了我们的论点中的一些简化，因为它意味着ti+1时的任何随机p ayo fff都会接受Fti可测量的g，这或多或少是首选的（这是一个在所有感兴趣的情况下都能满足的非常弱的要求）。示例3.2。在导言（第3-4页）中，我们提出了效用最大化的经典框架，这有助于理解xi om（T.i）1、5、6的含义。实际上，引用关系Xt、 TVT（t，X，α）定义为Ft可测随机变量之间的不等式v（t，X）≥ EP[u（VT（t，X，α））| Ft]，并继承了那些表征条件期望的属性（即公理（t.i）1,5,6，用t替换ti，用t替换ti+1）。条件确定性等价物的定义是我们表示结果的基础，并遵循[14]中的思想。在第5节中，我们将通过归纳每个时间步的条件确定性等价物的存在性（和唯一性）来说明如何。定义3.3。我们说g~i、 i+1f当且仅当gi、 i+1f和gi、 i+1层。

如果g~i、 i+1然后我们将g称为f的条件确定性等价物（CCE），并将所有CCE的族表示为Ci，i+1（f）。注释3.4。在下文中，我们将使用这些符号f或任何g∈ L∞（Fti）和F∈ L∞（Fti+1）：og~i、 i+1f，如果两个gi、 i+1f和gi、 i+1f保持；og级i、 如果g，i+1fi、 i+1f，但g1A6~i、 i+1f1AA.∈ Fti（Fti）；og级i、 如果g，i+1fi、 i+1f，但g1A6~i、 i+1f1AA.∈ Fti（Fti）；og级Ai，如果g1A，i+1fi、 i+1F1但g1B6~i、 i+1f1BB∈ 带B的Fti（Fti） A、 og级Ai，如果g1A，i+1fi、 i+1F1但g1B6~i、 i+1f1BB∈ 带B的Fti（Fti） A、 备注3.5。我们观察到，一致性共同影响i、 i+1（类似于i、 i+1）表示以下粘贴属性：o对于任何A、B∈ Fti，g，g∈ L∞（Fti）和f，f∈ L∞（Fti+1）。如果gAi、 i+1FA和gBi、 当（g+g）1A时，i+1FBT∩Bi、 i+1（f+f）1A∩B、 gA\\Bi、 i+1fA \\频带gB\\Ai、 i+1fB\\A.o对于家庭{An}n∈N 不相交事件的FTI和A=∪nAnwe有G1Ai、 i+1f1A<=> g1Ani、 对于每个n，i+1F1。公理（T.i）是获得我们目标的升级结构的关键因素。特别地，假设在时间tit时，代理以一对（Pi，ui）为特征，其中Pi是可测量事件的主观概率Fti，ui是状态依赖性，使得ui（x，·）是Fti可测量的。我们将在命题5.1中证明，如果i、 i+1满意度（T.i），然后对于任何f∈ L∞（Fti+1）存在唯一的条件确定等价性，由Ci给出，i+1（f）=u-1VI+1（f），其中Vi+1（f）=Pi- inf{ui（g）| gi、 i+1f}。此外，Vi+1表示过渡顺序，例如i、 i+1层<=> ui（g）≤ Vi+1（f）Pi-a.s.gi、 i+1层<=> ui（g）≥ Vi+1（f）Pi-a.s.跨时间偏好的积分表示。我们将考虑以下公理：单调性、确定原则和技术连续性，适用于此条件设置，这将导致以所需的积分形式表示ITEP。（M.i）严格单调性。