随机动态效用和跨时间偏好

给定任意g，g，g，∈ L∞（Fti），f∈ L∞（Fti+1），A∈Fti+1（Fti+1）和g<g:g~i、 i+1gA+F1简单gBi，i+1gA+F1AC对于某些B∈ Fti\\N（Fti），g~i、 i+1gA+F1简单gBi，i+1gA+F1AC对于某些B∈ Fti（Fti）。（ST.i）确定原则。给定任意f，f，h∈ SFti（Fti+1），A∈ Fti+1（Fti+1）和g∈ L∞（Fti），这样gi、 i+1fA+H1A和gi、 i+1fA+h1Ac：对于任何k∈ SFti（Fti+1）存在g∈ L∞（Fti）使gi、 i+1fA+K1A和Gi、 i+1fA+k1Ac。（C.i）逐点连续性。考虑任意均匀有界序列{fn} L∞（Fti+1），使得fn（ω）→ 任意ω的f（ω）∈ Ohm, 那么对于任何gi、 i+1f（分别为gi、 i+1f）存在一个分区{Ak}∞k=1 fti使得对于任何k，我们都有g1Aki、 i+1fnAk（分别为g1Aki、 所有n的i+1fnAk）≥ nk。我们现在准备陈述本文的主要贡献：定理3.6提供了ITP在唯一概率P和随机场u（t，x，ω）方面的表示，它描述了偏好的随机波动。这些正是【14】中提出的元素，用于确定条件确定性等价物的动力学。定理3.6（表示）。假设3.1成立，对于每个i=1，2，…，任何FTI都包含三个基本不相交事件。跨期偏好i、 对于任何i=0，…的i+1满意度（T.i），（M.i），（ST.i）和（C.i）。

，N当且仅当ftn上存在概率和随机动态效用u（t，x，ω）=N-1Xi=0ui（x，ω）1[ti，ti+1）（t）+uN（x，ω）1tN（t）（3.6）满足（a）u（ti，x，·）是Fti可测量的，EP[| u（ti，x，·）|]<∞, f或所有x∈ R（b） 对于所有ω，u（ti，·，ω）在x上严格增加，u（ti，0，ω）=0∈ Ohm;这一额外要求实际上没有失去一般性，并允许在证明主体中进行有用的简化。（c） u（ti，·，·）为-连续（d）EP[ui+1（f）| Fti]∈ L（Fti；ui）表示任何f∈ L∞（Fti+1），克∈ L∞（Fti）和i、 i+1层<==> u（ti，g）≥ EP[u（ti+1，f）| Fti]P-a.s.gi、 i+1层<==> u（ti，g）≤ EP[u（ti+1，f）| Fti]P-a.s.相对唯一性：耦合（P，u）可替换为（P*, u*) 当且仅当P等于P*在FtNand上，对于任何i=1，N我们有P（u*（ti，·，·）=δiui）=1，其中δIi是P | fti相对于P的Radon-Nikodym导数*|Fti。示例3.7（正向性能）。将定理3.6中提供的ITP表示与有关远期表现的现有文献（例如，见[1、20、21]）进行比较，我们可能会立即注意到，我们的方法并不依赖于金融市场的存在。我们还记得，在固定概率空间上的适应过程U（x，t）(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）被称为正向性能，如果：i）它是每t x的函数，是递增和凹的；ii）U（x，0）=U（x）∈ Riii）对于所有T≥ 以及以π表示的每个自我融资策略，即相关的贴现财富Xπ满意度[U（Xπt，t）| Ft]≤ U（Xπt，t）；iv）对于所有T≥ t存在自我融资策略π*这样Xπ*满足第三点中的平等性）。因此，事后我们知道，这对夫妇（P，U（t，x））定义了一种跨时期关系s、 美国普通助教≥ EP【U（t，·）| Fs】P-a.s。。对于最优策略，我们有关系Xπ*s~s、 tXπ*t。

另一方面，并非所有跨期偏好都与现有金融市场存在必然的关联。关于贴现系数。贴现在动态选择理论中的作用可以从两个不同的层面来描述。第一层：在方程（1.1）、（1.2）中，我们看到了对与效用u相关的贴现因子的显式依赖，这是由u在时间上是齐次的这一事实驱动的。事实上，在我们的框架中，u（t，x，ω）随时间随机变化，因此不可能以独特的方式将贴现的贡献与u效用分开。此外，表示的唯一性取决于度量的等效变化，因此，折扣因子在任何情况下都对概率度量变化敏感。然而，在某些情况下，可以确定折扣流程。例如，假设决策者找到一对P，u，表示定理3.6（d）中的利润P。同时，决策者可以被赋予客观概率P*并决定在不改变测量值的情况下改变测量值。参见方程式（2.4）中的定义。这可以与引言中的讨论进行比较，参见方程式（1.3）。随机动态效用u。在这种情况下，适应过程{βt}t≥0定义为βt=EP[dPdP*|Ft]可以被解释为一个随机的贴现因子：确实是g∈L∞(Ohm, Fti），f∈ L∞(Ohm, Fti+1）克i、 i+1层<==> βtiu（ti，g）≥ EP公司*[βti+1u（ti+1，f）| Fti]P*-a、 s.g公司i、 i+1层<==> βtiu（ti，g）≤ EP公司*[βti+1u（ti+1，f）| Fti]P*-a、 s.第二层：在远期表现理论中【20，21】，ITPdoes的表示并没有显示出对（随机）贴现因子的任何明确依赖，但效用Ui是直接根据贴现财富过程计算的，假设参考数字先验存在。

设{Bt}t∈[0,+∞)是一个以g为基数的自适应随机过程，对于某些ε>0，P（Bt>ε）=1。如果P，u代表ITP，那么我们可以设置u*（t，x，ω）：=u（t，x·Bt（ω），ω）并获得i、 i+1层<==> u*（ti，g*) ≥ EP[单位*（ti+1，f*)|Fti]P-a.s.gi、 i+1层<==> u*（ti，g*) ≤ EP[单位*（ti+1，f*)|Fti]P-a.s.其中g*=GBT和f*=fBti+1是g和f的贴现值。跨期偏好的时间一致性。家庭{i、 跨期偏好的i+1}意味着在两个连续时间Tian和ti+1 Norder之间建立联系，以比较随机支付，其影响将在不同时间被了解和利用。过程e是一个逐步更新的过程，简单的检查表明，对于条件确定性等价物C，v（f）=Cs，t（Ct，v（f）），以下半群性质成立 0≤ s<t<v和f∈ L∞(Ohm, Fv）（3.7）其中，对于任何s<t的情况，算子Cs，t（·）是方程u（s，Cs，t（·））=EP[u（t，·）| Fs]的（P-a.s.唯一）解，u是定理3.6中获得的随机动态效用。作为直接的结果，我们可以将跨期偏好扩展到任何<t的对象，如下所示s、 tf公司<==> u（s，g）≥ EP[u（t，f）| Fs]P-a.s.gs、 tf公司<==> u（s，g）≤ EP[u（t，f）| Fs]P-a.s.其中g∈ L∞(Ohm, Fs）和f∈ L∞(Ohm, 英尺）。根据半群性质（3.7），我们使用符号获得了以下优先顺序的时间一致性：精确公式应为Cs，v（f）=Cs，t（g），其中g∈ L（Ft）是Ct的一个版本，v（f）。提案3.8。让0≤ s<t<v，设g∈ L∞(Ohm, Fs）和f∈ L∞(Ohm, Fv）如gs、 vf（分别为s、 vf）。然后gs、 th（分别为s、 th）对于任何h∈ L∞(Ohm, Ft）如此~t、 vf。由于定理3.6的证明将以归纳的方式进行，我们选择在更简单的无条件情况下给出该定理0,1（见第4节）。

因此，下一节中的结果对于证明定理3.6归纳论证中的初始s步骤是必要的。此外，我们强调相对唯一性比[4，30]中包含的表示结果更精确。这是因为uis具有先验性（与归一化条件u（ti，0，ω）=0一起），并起到初始（约束）条件的作用（有关更多详细信息，请参见命题4.8）。4无条件跨期偏好我们认为决策者比较某种商品的初始金额，其价值肯定是确定的（其收益是直接的），在固定时间内，根据有限的随机支付（如赌注、资产、商品的未来价值），由空间L中的元素表示∞（英尺）。我们说代理最初是天真的，因为初始信息由平凡的F={, Ohm} 因此空间L∞（F） 与实际直线等距。考虑过渡偏好0,1（或0,1），连接L∞（Ft）至L∞（F） 。正如在i=0的情况下已经观察到的，第一个公理（T.0）仅由四个要求组成：完备性、传递性、规范化和非简并性（这是我们将在引理4.3中使用的更多技术要求）。备注4.1。从符号3.4我们可以很容易地推断出符号的含义~0,1,0,1, 0,1. 我们还记得，由0,1由n（Ft）={A给出∈ 英尺：a~0,1f=> 一~0,1b1A+f1Ac，f∈ L∞（Ft）、a、b∈ R} 。定义4.2。如果a~0,1f那么我们将a称为（条件）确定性等价f，并将所有CCE的族表示为C0,1（f）。我们现在证明，在（T.0）下，CCE是存在的，并且是唯一的。请注意，确定性等价的概念与[14]中引入的动态推广相匹配。

CCE还将提供跨期偏好的自然表示0,1（参见下面的命题4.5）。考虑mapsV-（f） =sup{u（a）| a0,1f}和V+（f）=inf{u（a）| a0,1f}，其中uwill始终应完全满足假设3.1。我们注意到，在V±（f）的定义中，不需要固定。如果我们考虑L上的总序∞（Ft）由泛函V±（·）（即f）诱导fif和onlyif V±（f）≤ V±（f））这不会受到选择u的影响。然而，如上所述，我们更倾向于将uas视为表征决策者的初始数据，其优势在于获得更清晰的唯一性概念。引理4.3。在（T.0）和假设3.1下，映射V+，V-从∞（Ft）至R.M或V+（f）=V-（f） 对于任何f∈ L∞（英尺）。证据从完整性来看，V±是明确的，取R值∪ {±∞}. V±（f）对于任何f都是有限的∈ L∞（Ft）源自公理（T.0）中的非简并性。对于任何a、b∈ R使a0,1f和b0,1f我们有u（a）≤ u（b）及以上-（f）≤ V+（f）。现在假设为矛盾V-（f） <V+（f）：由于uis严格递增且连续，因此存在c such that u（c）∈ （五）-（f） ，V+（f））。从完整性来看，c0,1f或c0,1f在这两种情况下都得到一个矛盾sincesup{u（a）| a0,1f}<u（c）<inf{u（a）| a0,1f}。注释4.4。从现在起，当ver（T.0）和假设3.1生效时，我们应注意V：=V+≡ 五、-.提案4.5。让（T.0）和假设3.1保持不变。那么对于任何f∈ L∞（Ft）存在唯一的条件确定性，等价于C0,1（f）=u-1V（f）。MoreoverVtakes值在uan范围内，表示转换顺序，即a0,1f<=> u（a）≤ V（f）（4.8）a0,1f<=> u（a）≥ V（f）（4.9）证明。存在性和唯一性来自前面的引理4.3和假设3.1。a处的通知th0,1f（分别为a0,1f）显然意味着u（a）≤ V（f）（分别为u（a））≥V（f））。

对于相反的含义，我们可以观察到u（a）=V（f）imp等于a~0,1f。如果相反，u（a）<V（f）（相应的u（a）>V（f）），则需要a0,1f（分别为a0,1f）作为V（f）=inf{u（a）| a0,1f}（分别为V（f）=sup{u（a）| a0,1f}）。我们将考虑以下公理：单调性、确定原则和技术连续性，我们将在这种简单的无条件情况下阐明它们的含义。（M.0）Str ict单调性：适用于所有a、b、c∈ R、 f级∈ L∞（英尺）A∈ Ft\\N（Ft）和a<bwe有c~0,1a1A+F1电容c0,1b1A+f1Ac（分别为c~0,1b1A+F1电容C0,1a1A+f1Ac）。（ST.0）确定原则：考虑任意f，g，h∈ S（Ft），A∈ 英尺\\N（英尺）安达∈ R使a0,1f1A+H1A和a对于任何k，0,1g1A+h1Acthen∈ S（Ft）存在b∈ R使b0,1f1A+K1A和b0,1g1A+k1Ac。（C.0）逐点连续性：考虑任何一致有界序列{fn} L∞（Ft），使得fn（ω）→ 任意ω的f（ω）∈ Ohm, 那么对于所有a0,1f（分别为a0,1f）存在以下情况：0,1fn（分别为a0,1fn）表示n>n。备注4.6。在经典决策理论（见[22]）中，确定性原则是一个独立性原则：它说，两个行为f和g之间的偏好应该只取决于f和g的值，当它们不同时。如果f和g仅在事件A上发生差异，如果A没有发生，f和g会产生完全相同的结果。在我们的跨时框架中，解释是完全相同的，即使我们需要在时间0处理比较。备注4.7。在目前的上下文中，确定原则（ST.0）很容易暗示任意f，g∈ L∞（Ft）和A∈ 英尺：V（f1A）≤ V（g1A）和V（f1Ac）≤ V（g1Ac）然后V（f）≤ V（g）。在本节剩余部分，我们将证明以下命题4.8。假设Ft至少包含三个不相交的基本事件，并且假设3.1有效。

公理（T.0），（M.0），（ST.0）和（C.0）当且仅当存在概率Pon时成立Ohm 函数u（·，ω）：R→ R、 严格增加ω ∈ Ohm 和-连续，使功能VV（f）=ZOhmu（f（ω），ω）dP（4.10）表示偏好40,1（在（4.8）和（4.9）的意义上），并取u的范围内的值。以下唯一性适用于（4.10）：（P，u）可替换为（P*, u*) 当且仅当P等于P*和P（u*= δu+τ）=1，其中δ是pw相对于P的Radon Nikodym导数*和τ∈ L（Ft）带EP*[τ] = 0.备注4.9。即使命题4.8与定理B.5有许多相似之处，也需要做一些工作来证明公理（T.0），（M.0），（ST.0）和（C.0）能够有效地应用[4，30]中的结果。此外，正如通过固定u定义的那样，我们应说明定理B.5中出现的系数σ>0必然等于1。备注4.10。我们观察到，即使没有明确提及，随机变量u（x，·）对于任何x都是可积的∈ R、 此外，如果我们对每个ω施加归一化要求u（0，ω）=0∈ Ohm 那么τ等于0 P-a.s。。4.1命题4.8的证明观察到命题4.5的假设已满足。因此，表示a<0,1f<==> u（a）≥ V（f）在引理4.3中定义的地方成立。此外，对于任何f∈ L∞（Ft）CC E C0,1（f）存在，并且由u唯一给出-1（V（f））。每个动作f的CCE的存在直接意味着在u的证明范围内粘函数的范围内(=>) 我们在L上定义了弱订单∞（Ft）作为f g当且仅当V（f）≤ V（g）。（T.0）意味着 是完整的、可反映的和可传递的（即附录中的满意度（A1））。让f∈ L∞（Ft）和结果x>y：实际上（M.0）意味着V（x1A+f1Ac）>V（y1A+f1Ac），对于所有非空事件A∈ F因此 在（A2）的意义上是严格单调的。

同样（ST.0）也适用于 满意度（A3）。现在让{fn} L∞（Ft），使得fn（ω）→ 任意ω的f（ω）∈ Ohm 和kfnk∞< k代表所有N∈ N、 现在让我们g∈ L∞（Ft）使g f并考虑a=C0,1（g）（由命题4.5存在）。然后a0,1f和（C.0）我们可以找到n，这样对于所有n≥ 我们有一个0,1fn。因此，V（g）=u（a）>V（fn）（与Opposite不等式类似），表明（A4）适用于 .因此，我们可以应用定理B.5，并找到d esir ed表示（4.10），命名为V（f）=ROhmu（f（ω），ω）dP=EP[u（f）]及其唯一性。因此，让P*和u*（·，·）=τ+σδu（·，·），由定理B.5获得。观察V（0）=u（0）=0表示EP*[τ] = 0.此外，当u（C0,1（f））=V（f）=EP时*[u*（f） ]=EP[σu（f）]，我们有n个必要的σ=1。现在，我们展示了依赖于状态的实用程序UI-连续打开(Ohm, 英尺，P）。为此，考虑任何f∈ L∞（英尺）。有必要证明P（LDf）=0，其中LDf是附录A中定义的集合，将φw替换为u。事实上，使用类似的参数，1可以得到P（RDf）=0。最后，本文根据P（Df）=P（LDf∪ RDf）=0和f的任意性。作为引理A.1的结果，LDf∈ Ft，h表示P（LDf）=0或P（LDf）>0。通过矛盾假设存在f*∈ L∞（Ft）使P（LDf*) > 0、立根：=L Df*设f=f*频带fn=（f-n） 1B。按构造f，fn∈ L∞（Ft）foreach n∈ N、 fn（ω）→ 每个ω的f（ω）∈ Ohm 和supnkfnk∞≤ kf k∞+ 此外，对于每个ω，通过定义B，u（f（ω），ω）>supnu（fn（ω），ω）∈ B而u（f（ω），ω）=u（fn（ω），ω）f或每个ω∈ 不列颠哥伦比亚省。因为P（B）>0和x 7→ u（x，ω）是递增的，通过单调收敛定理我们得到：limnEP[u（fn，·）]=EP[supnu（fn，·）]<EP[u（f，·）]通过u的连续性和严格单调性，存在∈ R使得supnep[u（fn，·）]<u（a）<EP[u（f，·）]，即0,1fnn而a0,1f。

这与公理（C.0）相矛盾，因此我们得出P（B）等于零的结论。证明(<=) 反之，我们假设偏好<0,1由：a<0,1f给出<==> u（a）≥ V（f）表示a∈ R、 f级∈ L∞（Ft），其中V（f）=EP[u（f，·）]，其中u和Pare在第4.8节中给出。我们想证明<0,1满足公理（T.0），（M.0），（ST.0）和（C.0）。让a∈ R和f∈ L∞（英尺）。很明显，u（a）≤ V（f）或u（a）≥ V（f）因此<0,1是完整的。考虑a、b∈ R和f∈ L∞（Ft）满足a 40,1f和b<0,1f。这意味着u（a）≤ V（f）≤ u（b）。从uis严格增加的事实来看，它遵循标准b≥ a、 也就是说<0,1是可传递的。显然是0~0,10，因为u（0）=0=EP[u（0，·）]。最后，让f∈ L∞（英尺）。假设在uso范围内的Vis范围存在b∈ R使得u（b）≥ V（f）和（等效）b<0,1f。出于同样的原因，存在∈ R使得u（a）≤ V（f），即40,1f。这意味着<0,1是非退化的，从而得出公理（T.0）成立的证明。让a、b、c∈ R，a<b，f∈ L∞（Ft）和A∈ Ft不为空。假设是C~0,1a1A+f1AC，即u（c）=EP[u（a1A+f1AC，·）]=EP[u（a，·）1A+u（f，·）1AC）]。现在，由于u（·，ω）对于每个ω都严格递增，那么EP[u（a，·）1A]<EP[u（b，·）1A]。然后u（c）<EP[u（b，·）1A+u（f，·）1AC）]=EP[u（b1A+f1AC，·）]，表示c0,1b1A+f1AC。相同的参数可用于c~0,1b1A+F1A加载至c0,1a1A+f 1AC。因此，<0,1满意度（M.0）。（ST.0）源自一个简单的事实，即EP【u（f1A+h1Ac，·）】≤ EP[u（g1A+h1Ac，·）]当且仅当EP[u（f1A+k1Ac，·）]≤ EP[u（g1A+k1Ac，·）]，无论选择什么∈ Ft\\N（Ft）和f、g、h、k∈ L（英尺）。最后，让（fn）n∈N L∞（Ft）对于每个ω一致有界并逐点收敛到ffo∈ Ohm. 设K：=supnkfnk∞∈ R+。