随机动态效用和跨时间偏好

由于积分表示是点连续的（在一致有界序列上），我们有：EP[u（fn，·）]→ EP[u（f，·）]（4.11）现在让a∈ R使a0,1f，调用ε：=EP【u（f，·）】- u（a）>0。当（4.11）时，存在N∈ N使得| EP【u（f，·）】- EP[u（fn，·）]|<ε三角不等式意味着u（a）<EP[u（fn，·）]n>n，th为a0,1fn。相同的参数适用于0,1f。因此，（C.0）成立，结束了证明。5定理的归纳证明3.6本节完全用于证明本文的主要定理。论直接蕴涵(=>). 我们将进行入职培训。事实上，如果N=1，则定理3.6将简化为命题4.8，这在前面的第4节中得到了验证。假设5.1。[归纳法]我们假设该陈述符合i。特别是，我们可以保证概率πfti和状态依赖性{uk}ik=1的存在，其中uk（x，·）是Ftk可测量、可积、严格递增的x，连续，uk（0，·）=0和Gk-1，kf<==> 英国-1（克）≥ EPi[英国（f）| Ftk-1] Pi-a.s.gk-1，kf<==> 英国-1（克）≤ EPi[英国（f）| Ftk-1] Pi-a.s.对于任何k=1，i、 f级∈ L∞(Ohm, Ftk公司-1） ，g∈ L∞(Ohm, Ftk）。在此假设下，我们现在将证明报告可以向前更新到时间ti+1。备注5.2。我们指出N（Fti）={A |B∈ Fti，Pi（B）=0和A B} ，式中，n（Fti）是由关系导出的空集我-1，我，我-（3.5）中的ias。虽然条件偏好不是完全的，但下面的引理（由[7]中的引理3.2启发）表明，局部完备性允许对每两个行为进行可测量的划分，并在其上进行比较。引理5.3。考虑任何g∈ L∞（Fti），f∈ L∞（Fti+1）。

如果假设5.1成立，并且i、 i+1统计（T.i）那么存在一个成对不相交的事件a、B、C族∈ fti使Pi（A∪ B∪ C） =1和G1A~i、 i+1f1A，gBi，i+1fgCi，i+1f。证据修复g∈ L∞（Fti），f∈ L∞（Fti+1），定义E：={A∈ Fti:g1A~i、 i+1f1▄A}，S：=sup▄A∈EPi（￠A）。我们可以找到{An}n E使得Pi（An）→ S： 我们有Pi(∪nAn）≥Pi（An）表示每n个，这意味着Pi(∪nAn）=S（来自（T.i）和备注3.5∪南安∈ E） 。我们最终表明，u p到null事件∪Nan表示g在条件上等价于f的最大事件：let▄A∈ E和B=A \\(∪nAn）。然后B∪ (∪nAn）∈ E和Pi（B∪ (∪nAn））=π（B）+S。π（B）=0。因此，我们设置A：=∪NaNan考虑U：={B∈ Fti，￠B 交流：g1Bi、 i+1f1B}。请注意，从A的构造中，如果我们发现B∈ U使g1B~i、 i+1f1BthenPi（B）=0。按照与上一步相同的参数，我们构造了maximalB∈ U使得Pi（B）≥ Pi（▄B）适用于所有▄B∈ U： 需要的是，不可能找到B′ Pi（B′）大于0的B，使得g1B′i、 i+1f1B′，因此gBi，i+1f。最后，我们可以考虑D：={C∈ Fti，摄氏度 （A）∪ B） c:g1ci、 i+1f1C}根据同样的推理，我们可以找到C∈ D使得Pi（C）≥ Pi（▄C）适用于所有▄C∈ D和gCi，i+1f。按结构Pi（A∪B∪C） =1，相交概率始终为0。考虑任何g∈ L∞（Fti）上层和下层设置Cug={f∈ L∞（Fti+1）| gi、 i+1f}和Clg={f∈ L∞（Fti+1）| gi、 i+1f}和mapsV-i+1（f）=Pi- sup{ui（g）| f∈ Cug}=Pi- sup{ui（g）| gi、 i+1f}V+i+1（f）=Pi- inf{ui（g）| f∈ Clg}=Pi- inf{ui（g）| gi、 i+1f}引理5.4。假设5.1成立，且i、 i+1满意度（T.i）。映射V+i+1（f）：L∞（Fti+1）→ L(Ohm, Fti，Pi），V-i+1（f）：L∞（Fti+1）→ L(Ohm, Fti、Pi）定义良好。此外，当ui（ω，·）严格递增时- 连续（假设5.1），则V+i+1（f）=V-对于任何f，i+1（f）∈ L∞（Fti+1）。注释5.5。

我们将经常使用符号u-1iVi+1（f）表示函数映射ω→ u-1i（Vi+1（f）（ω），ω）。证据让g，g∈ L∞（Fti）使得Pi（g=g）=1。我们从备注3.5中得知，cug=Cugand Clg=Clgand因此V+i+1，V-i+1定义明确。从现在起，我们∈ L∞（Fti+1）：对于任何g，g∈ L∞（Fti）使gi、 i+1和gi、 i+1f然后是集合{g>g}∈ N（Fti）。从uiwe havePi（ui（g））的单调性看≤ ui（g））=1，因此为V-i+1（f）≤ V+i+1（f），皮亚尔几乎可以肯定。证明V-i+1（f）=V+i+1（f）我们需要找到g-, g级+∈ L∞（Fti）使得ui（g±）=V±i+1（f）Pi-a、 s。。我们证明了g+的存在性，那么同样的论点也适用于g-.取序列（gn）n∈N L（Fti）满足gni、 i+1f，gn+1（ω）≤ gn（ω）n∈ N、 ω∈ Ohm和ui（gn（ω），ω）↓ （V+i+1（f））（ω）对于每个ω∈ A对于某些事件A∈ fti，Pi（A）=1。由于ui（·，ω）对于任何ω都是严格增加的，因此该函数定义良好且可测量∈ Ohm.Pi的定义保证了此类序列的存在- inf和集合{g∈ L∞（Fti）：gi、 i+1f}向下。因为优先关系i、 i+1是非退化的，存在行为h∈ L∞（Fti）使hi、 i+1f影响事件{ω∈ Ohm : h（ω）>gn（ω）}∈ 每个n的值为空∈ N、 这意味着序列（gn）nis递减且d具有Pi- a、 s.有限下限，当存在事件B时∈ 具有Pi（B）=1和动作g的FTI+∈ L∞（Fti）使得gn（ω）↓ g+（ω）∈ R forallω∈ B、 The-uicontintuity确保gn（ω）和g+（ω）属于每个ω的ui（·，ω）的（右）连续点∈ C代表一些C∈ fti，Pi（C）=1。这导致每个ω的：（V+i+1（f））（ω）=limnui（gn（ω），ω）=ui（g+（ω），ω）∈ A.∩ B∩ C和Pi（A∩ B∩ C） =1。现在考虑“A”∈ F定义人：A：={g-< g+}。对于λ∈ （0，1）定义凸组合gλ：=λg++（1- λ） g级-.

实际上，A={gλ<g+}={ui（gλ）<ui（g+}={gλ>g-} = {ui（gλ）>ui（g-)}.注意，如果Pi（(R)A）=0，我们就得到了定理。否则，我们要求任何B\'A，B∈ Fti，Pi（B）>0或gλBi、 i+1f1Bnor gλBi、 发生i+1F1B。这一主张与（T.i）中的局部完备性相矛盾。为了证明这一说法，我们考虑了案例gλBi、 对于某些B，i+1F1B\'A，B∈ FtiandPi（B）>0，因为另一个遵循类似的方式。根据备注3.5，我们有gλB+g-卑诗省i、 i+1层。从构造B \\{ui（gλB+g-Bc）>V-（f） }为空，但从定义Pi- sup我们必然有{ui（gλB+g-Bc）>V-（f） }∈ N（Fti）。因此gλBi、 i+1F1B不能用于B的任何\'A，B∈ fti和Pi（B）>0。同样，我们可以得到gλBi、 i+1F1B不能用于B的任何\'A，B∈ fti和Pi（B）>0，得出该权利要求的证明结论。注释5.6。从现在起，我们将表示Vi+1：=V+i+1=V-i+1。提案5.7。假设5.1成立，且i、 i+1满意度（T.i）。那么对于任何f∈L∞（Fti+1）存在唯一的条件确定性等价物，由Ci给出，i+1（f）=u-VI+1（f）∈ L∞(Ohm, Fti，Pi）。此外，Vi+1表示过渡顺序，例如i、 i+1层<=> ui（g）≤ Vi+1（f）Pi-a.s.（5.12）克i、 i+1层<=> ui（g）≥ Vi+1（f）Pi-a.s.（5.13）和必要的Vi+1（f）∈ L(Ohm, Fti，Pi）。证据在这个p屋顶中，我们用Vi+1（f）表示其FTI可测量的任何版本。存在性和唯一性来自前面的引理5.4。如果对于任何f，g，集合A是向下的∈ A最小值f∧g级∈ A、 【13】的附录A.5证明了极小化序列的存在。我们只需证明Ci，i+1（f）=u-VI+1（f）∈ L∞(Ohm, Fti，Pi）。对于任何联轴器，g∈ L∞（Fti）使gi、 i+1f和gi、 i+1f我们可以观察到ui（g）≤Vi+1（f）≤ ui（g），Pialmost saulined，自动暗示Vi+1（f）∈ L(Ohm, Fti，Pi）（我们假设ui（·，x）对于任何x都是可积的）。

同时，从x中的UistrictlyinIncreasing可以推导出g≤ Ci，i+1（f）≤ g、 皮亚尔几乎可以肯定。为了显示表示性质p（5.12）和（5.13），我们考虑情况gi、 i+1f为gi、 i+1f以类似的方式出现。显然是gi、 i+1f表示Pi（ui（g））≤Vi+1（f））=1（从V+i+1=Vi+1的定义）。对于反向应用，请注意，在集合A={ui（g）=Vi+1（f）}上，我们需要g1A~i、 i+1f1A。如果我们考虑A={ui（g）<Vi+1（f）}，则Pi（A）=0或必要的g1Ai、 i+1F1和g1Bi、 对于任何B，i+1F1B A、 B类∈ Ftias Vi+1（f）是定义Pi- inf{ui（g）| gi、 i+1f}（这可以通过应用（T.i）轻松验证）。推论5.8。假设5.1成立，且i、 i+1满意度（T.i）。对于任何f∈ L∞（Fti+1）和A∈ fti我们有Vi+1（f1A）=Vi+1（f）1A，皮亚尔几乎可以肯定。证据从之前的结构来看，我们有u-1IV+1（f1A）~i、 i+1f1A。此外，我们还拥有-VI+1（f）~i、 i+1f imp lies u-VI+1（f）1A~i、 i+1f1A。因此，从及物性出发，我们推导出u-1IV+1（f）1A=u-6+1（f1A），Pialmost said，then the论文。备注5.9。假设5.1成立，且i、 i+1满意度（T.i）。对于任何f∈ L∞（Fti+1），克∈ L∞（Fti）和A∈ Ftiwe有gAi，i+1f（分别为gAi，i+1f）表示{ui（g）≥Vi+1（f）}∩ A.∈ N（Fti）（分别为ui（g）≤ Vi+1（f）}∩ A.∈ N（Fti））证明的最后一步(=>): 假设5.1成立，且i、 i+1统计所有的行为（T.i）、（M.i）、（ST.i）和（C.i）。为了得出结论，我们证明了存在一个概率Pi+1on(Ohm, 符合π介子Fti和态依赖性ui+1（ω，·）：R→ R严格递增ω ∈ Ohm, 使得VI+1（f）=EPi+1[ui+1（·，f）| Fti]Pi-a.s。。（5.14）我们定义了时间0和ti+1之间的跨期偏好关系0，i+1f（分别为a0，i+1f）当且仅当u（a）≤ EPi【Vi+1（f）】（分别为。

u（a）≥ anya的EPi[Vi+1（f）]）∈ R和f∈ L∞（Fti+1）。简单的检查表明0，i+1满意度（T.0），（M.0）和（ST.0）。我们现在验证了0，i+1：考虑任何一致有界序列ce{fn} L∞（Fti+1），使得fn（ω）→ 任意ω的f（ω）∈ Ohm. 考虑一个0，i+1f（情况a0，i+1f以类似的方式出现），因此我们必须有u（a）<EPi[Vi+1（f）]。有可能找到g∈ L∞（Fti）使得ui（g）<Vi+1（f）和u（a）<EPi[ui（g）]。自g起i、 i+1f我们应用（C.i）并找到索引序列{nk}∞k=1和分区{Ak}∞k=1 fti使得对于任何k，我们都有g1Aki、 i+1所有n的NAK≥ nk。对于BN=∪Ni=1aind=supnkfnk∞考虑CC E Ci，i+1(-d） 。序列{ui（g1BN+Ci，i+1(-d） 1BcN}N∈Nis由可积函数| ui（g）|+| ui（Ci，i+1）控制(-d） ）和逐点收敛到ui（g）。根据支配收敛理论，我们可以发现epi[ui（g1B+Ci，i+1(-d） 1Bc'N）]>u（a），因此从（T.i）我们可以推断出ui（g1B'N+Ci，i+1(-d） 1个基点）≤ Vi+1（fnB？N- d1Bc（N）用于N>N andEPi【Vi+1（fn）】≥ EPi[Vi+1（fnB'N- d1Bc'N）]>u（a）， n>n，表示（C.0）的0，i+1。鉴于此0，i+1满意度（T.0），（M.0），（ST.0）和（C.0）前提我们可以应用命题4.8，并确定Fti+1的概率和依赖于国家的公用事业eu，从而EPI[Vi+1（f）]=EeP[eu（f）]对于任何f∈ L∞（Fti+1）。注意（T.i）第3点，EP等同于πFti。ForeP | Fti是对Fti定义Z=dPideP | Fti的限制，这是一个Fti可测量的随机变量。对于任何A∈ Fti+1设置Pi+1（A）：=EeP[Z1A]，ui+1（ω，x）=dePdPi+1eu（ω，x），注意，对于任何A，Pi+1（A）=Pi（A）∈ Fti。我们有EPi[Vi+1（f）]=EeP[eu（f）]=EPi+1[ui+1（f）]=EPi[EPi+1[ui+1（f）| Fti]]，因此我们可以获得∈ FtithatEPi[Vi+1（f）1A]=EPi[Vi+1（f1A）]=EPi[EPi+1[ui+1（f1A）| Fti]]=EPi[EPi+1[ui+1（f）| Fti]1A]，这意味着表示（5.14）。我们最终展示了-ui+1的连续性。

至于无条件的情况，它足以表明对于每个f∈ L（Fti+1）认为Pi+1（LDf）=0，其中附录A中关于随机字段ui+1定义了LDf。注意，作为引理A.1的结果，f∈ L（Fti+1），然后LDf∈ Fti+1，因此Pi+1（LDf）=0或Pi+1（LDf）>0。通过矛盾，我们假设存在一个行为f*∈ L∞（Fti+1）为了证明这种g的存在，我们需要考虑任何ε>0，Ci，i+1（f）- ε使ui（Ci，i+1（f）-ε） <ui（Ci，i+1（f））=Vi+1（f）；观察ui（Ci，i+1（f）-ε） 单调增加到ui（Ci，i+1（f））（对于任何ω∈ Ohm) 我们可以找到一个ε，使得u（a）<EPi[ui（Ci，i+1（f）- ε）<EPi[ui（Ci，i+1（f））]=EPi[Vi+1（f）]。其中Pi+1（LDf*) > 0.为了简化符号，我们设置B：=LDfand，因为概率Pi+1为x，所以我们表示Pi+1- sup（A）仅适用于任何家庭 L∞（Fti+1）。定义f：=f*频带fn：=f-nB对于每个n∈ N、 显然fn→ 翅片L∞（Fti+1），kfnk≤ kfk+1<+∞ n和fn（ω）=f（ω）=0ω ∈ 不列颠哥伦比亚省。通过b的定义，对于Pi+1-a.e.ω，其方法是ui+1（f（ω），ω）>supnui+1（fn（ω），ω）∈ 我们有：PiEPi+1[ui+1（f，·）| Fti]>supnEPi+1[ui+1（fn，·）| Fti]> 0（5.15）EPi+1[ui+1（f，·）| Fti]≥ supnEPi+1[ui+1（fn，·）| Fti]Pi+1- a、 s.define现在gn：=Ci，i+1（fn）和g：=Ci，i+1（f）。观察到，随着{fn}的增加，{gn}是一个递增序列，根据假设5.1，ui（·，ω）对于每个ω都严格增加，并有g作为上限。如果gn（ω）→ g（ω）表示Pi-a.e.ω∈ Ohm 然后-ui的连续性，会发生ui（gn（ω），ω）→ Pi-a.e.ω的ui（g（ω），ω）∈ Ohm 与（5.15）相矛盾。因此，存在∈ 当Pi（A）>0时，使supngn（ω）<g（ω）foreachω∈ A、 现在取λ∈ （0，1）并考虑gλ：=λg+（1- λ） 支持。它认为：supngn（ω）≤ gλ≤ g（ω）表示Pi- a、 e。

ω ∈ Ohm每个ω的supngn（ω）<gλ<g（ω）∈ 因此，gλi、 i+1和gλAi，i+1fnn、 而gλi、 i+1f和d gλAi，i+1与axiom（C.i）相矛盾。论反向蕴涵(<=). 我们现在假设存在概率P和随机动态效用u（t，x，ω），形式为（3.6），性质为（a）（b）（c）和（d）。那么，对于任何i=1，N- 1，很容易显示时间间隔参考i、 i+1，i、 i+1根据条件期望的性质和S到随机动态效用的单调性，满足公理（T.i），（M.i），（ST.i）。唯一的关键点是显示属性（C.i）。为此，让{fn} L∞（Fti+1）是一致有界序列，如fn（ω）→ f（ω）f或任意ω∈ Ohm . 选择任意项i、 i+1f，然后必然是P（u（ti，g）≥ EP[u（ti+1，f）| Fti]=0。作为supnkfnk∞< d对于某些d>0，我们构建递增序列ln：=infk≥nfk公司∈L∞（Fti+1）和通知ln≤ fn和ln（ω）→ 任意ω的f（ω）∈ Ohm. 此外，klnk∞<d f或全部n∈ N，因此| u（ti+1，ln）|≤ |u（ti+1，d）|是可积的。我们可以应用条件期望的支配收敛定理，得到ep[u（ti+1，ln）| Fti]（ω）→ EP[u（ti+1，f）| Fti]（ω）对于任何ω∈ Ohm （通过选择条件期望的合适版本）。考虑集合序列{Bn}n∈N 由BK定义的Fti：={u（ti，g）<EP[u（ti+1，lk）| Fti]}。的确∪kBk=Ohm 根据逐点收敛，我们推断成对不相交族A：=B，Ak：=黑色\\(∪k-1i=1Ai）再次满足∪kAk=Ohm 并由此形成Ohm. 我们通过观察得出结论，对于任何n≥ k我们有fn≥ Lk然后u（ti，g）（ω）<EP[u（ti+1，fn）| Fti]（ω）对于任何ω∈ Ak。最后，对于每n≥ kwe推断g1Aki、 i+1fnAk，因为以下标识u（ti，g）1Bk=u（ti，g1Bk）和P[u（ti+1，fn）| Fti]1Bk=EP[u（ti+1，fnBk）| Fti]保持P-a.s。。

当gi、 i+1层。关于唯一性。为了总结证明，我们需要证明相对唯一性。以这对新人为例（P*, u*) 使得P等于P*在FtNand上，anyi=1，N我们有P（u*（ti，·，·）=δiui）=1，其中δiis是P | fti相对于P的氡Nikodym导数*|Fti。对于任意i=1，…，我们显示，N-1，克∈ L∞（Fti），f∈L∞（Fti+1）以下等效物的清单SU*（ti，g）≥ EP公司*[u*（ti+1，f）| Fti]P*-a、 s。<==> u（ti，g）≥ EP[u（ti+1，f）| Fti]P-a.s.u*（ti，g）≤ EP公司*[u*（ti+1，f）| Fti]P*-a、 s。<==> u（ti，g）≤ EP[u（ti+1，f）| Fti]P-a.s.，与第二个类似。为此，我们回顾了鞅性性质δi=EP*dPdP*| Fti公司= EP公司*|Fti+1[δi+1 | Fti]P*-a、 s。。和measureEP的条件变化*[δi+1ui+1（f）| Fti]EP*[δi+1 | Fti]=EP[ui+1（f）| Fti]P-a.s。。（5.16）此外，P和P之间的等效性*允许在P/P中分别写入以下不平等*几乎可以肯定我们得到了*（ti，g）≥ EP公司*[u*（ti+1，f）| Fti]<==> δiui（g）≥ EP公司*[δi+1ui+1（f）| Fti]<==> δiui（g）≥ EP[ui+1（f）| Fti]·EP*[δi+1 | Fti]<==> u（ti，g）≥ EP【u（ti+1，f）| Fti】。相反，假设（P*, u*) 对于i=1，N： EP公司*[| u*（ti，x，·）|]<∞, 对于所有x∈ R、 u型*（ti，·，ω）在x，u中严格增加*（ti，0，ω）=0表示所有ω∈ Ohm 安度*（ti-1，g）≥ EP公司*[u*（ti，f）| Fti-1] P*-a、 s。<==> u（ti-1，g）≥ EP[u（ti，f）| Fti-1] P-a.s.u*（ti-1，g）≤ EP公司*[u*（ti，f）| Fti-1] P*-a、 s。<==> u（ti-1，g）≤ EP[u（ti，f）| Fti-1] P-a.s.，对于任意，g∈ L∞（Fti），f∈ L∞（Fti+1）。P与P的等价性*立即跟进。此外，重要的是要观察偏好我-1，iinducedby（P，u）和（P*, u*) 都是相同的，并且满足所有公理（在证明的前一点中），这尤其意味着CC E总是存在的。

对于任何ω∈ Ohm 我们施加u（ti，0，ω）=u*（ti，0，ω）=0。对于i=1，我们已经知道（u*命题4.8中的（t，·，·）=δu）=1。设δi=EP*dPdP*| Fti公司与之前的数据一样，第一个i=2，N使得集合A={ω∈ Ohm | u*（ti，·，ω）>δiui（·，ω）}或A={ω∈ Ohm | u*（ti，·，ω）<δiui（·，ω）}具有正概率。让Ci-1，i（1A）是1A的CE，它等于（P，u）或（P*, u*). 因此*（ti-1，Ci-1，i（1A））=EP*[u*（ti，1A）| Fti-1] P*-a、 s.和（5.17）u（ti-1，Ci-1，i（1A））=EP[u（ti，1A）| Fti-1] P-a.s.通过执行（5.16）中的条件测量，第二个方程可以写成δi-1u（ti-1，Ci-1，i（1A））=EP*[δiu（ti，1A）| Fti-1] P*-a、 s。。减去最后一个等式和（5.17），将导致矛盾，因为左侧始终等于0（P-a.s.），而右侧则不等于0。因此P（A）必然为0。A打开-连续性在该部分中，我们定义一个概率空间(Ohm, G、 P）和ran dom fi fieldφ：R×Ohm →R s uch每个f∈ L∞（G） 映射ω7→ φ（f（ω），ω）是G-可测的，对于任何ω，x 7→ φ（x，ω）是非递减的。对于任何f∈ L∞（G） 我们设置φ（f（ω）+，ω）=infn∈Nφ（f（ω）+1/N，ω）和φ（f（ω）-, ω） =supn∈Nφ（f（ω）- 1/n，ω）并定义以下集合：RDf={ω∈ Ohm :φ（f（ω）+，ω）- φ（f（ω），ω）> 0}LDf={ω∈ Ohm :φ（f（ω），ω）- φ（f（ω）-, ω)> 0}Df={ω∈ Ohm :φ（f（ω）+，ω）- φ（f（ω）-, ω)> 0}我们现在证明了一个有用的引理，它可以给出随机场连续性的适定定义。引理A.1。对于每个f∈ L∞（G） 上面定义的RDf、LDf、Df集是可测量的。证据请注意，集合RDfcan可以写为：RDf=\\n∈N[米∈Nω ∈ Ohm :φf（ω）+n，ω- φ（f（ω），ω）>m级=\\n∈N[米∈Nφf（·）+n·- φ（f（·），·）-1.m+∞通过f函数ω的可测性G-可测→ φn（ω）=φf（ω）+n，ω- φ（f（ω），ω）。显然，类似的论点表明，LDf∈ G、 最后，Df=LDf∪ RDf公司∈ G、 定义A.2。