随机动态效用和跨时间偏好

随机场φ为-如果每f P（Df）=0，则连续∈ L∞（G） 。备注A.3。观察引理A.1中定义的集合Df可以解释为：Df={ω∈ Ohm : f（ω）是函数φ（·，ω）}的不连续点，特别是对于任何序列{fn}n∈N L∞（G） 使fn（ω）→ f（ω）我们有φ（fn（ω），ω）→ 任意ω的φ（f（ω），ω）∈ Df。此外，以下定义如下：-连续性是由引理A.1度量的集DFI适定的。还要注意，取f≡ x个∈ R然后Dx={ω∈ Ohm : φ（·，ω）在x}中是不连续的。因此，条件P（Dx）=0意味着对于P-a.eω∈ Ohm 映射φ（·，ω）在x上是连续的。另一方面，如果φ是P- a、 s.连续且满足引理a.1的可测性条件，则它也是-不断的因此-连续性是一个与概率空间（尤其是σ-代数）密切相关的连续性概念，它弱于轨迹的P-a.s.连续性，但强于固定点的P-a.s.连续性。B论文其余部分所述的依赖于状态的效用(Ohm, F） 表示可测空间，L∞（F） 是所有行为的空间，由实值F-可测且有界的随机变量表示。我们这里使用“法案”一词是为了与本附录所依据的[30]中采用的术语相匹配。为了避免与安斯库姆·奥曼法案的一般概念混淆，必须谨慎使用该法案。事实上，在【2】中，行为是来自状态空间的功能(Ohm, F） 结果集上的彩票凸集。在本附录中，偏好关系为二元关系 在L上∞（F） ：对于F，g∈ L∞（F） ，如果F优先于g，则写F g、 偏好关系满足以下公理：（A1）偏好顺序：如果它是反射的(f∈ L∞（F） ，F~ f） ，完成(f、 g级∈ L∞（F） ，F g或f g） 和可传递的(f、 g，h∈ L∞（F） 使F g和g h然后F h） 定义B.1。

偏好关系的一个表示函数是一个函数V:L∞（F）→ R是保序的，即f g级<==> V（f）≥ V（g）。我们使用标准约定：f g如果g ff~ f如果两个g f和f g；g级 f如果g f或f g；g级 f如果g f但f g、 定义B.2。A事件A∈ 如果f1A+g1Ac，则F为空~ g级f、 g级∈ L∞（F） 。N（F）表示空事件的集合。因此a-原子是元素A∈ F使得每B∈ F带 6=B A B或A\\B为空。如果事件属于F（F），则它是必需的。我们可以考虑以下附加公理：（A2）如果x1A+f 1Ac，则为三次单调 y1A+f 1Ac，对于所有非空事件A∈ F、 对于所有F∈ L∞（F） 结果x>y.（A3）不变原理：考虑任意F，g，h∈ L∞（F） 和A∈ F使F1A+h1Ac g1A+h1Acthen每c∈ L∞（F） 我们有f1A+c1Acg1A+c1Ac。（A3）如果我方在上一份声明中声明L，则S（F）保持不变∞（F） 带S（F）（见段落注释）。（A4’）标准连续性，如果f∈ L∞（F） 集合{g∈ L∞（F） ：g f}和{g∈ L∞（F） ：F g} 都是k·k∞-关闭定理B.3（Debreu 1960，有限状态空间的状态相关预期效用）。让我∞（F） 法案集和 它的偏好关系。让状态空间Ohm ={ω，…，ωn}，其中至少三个状态为非空。那么以下两种说法是等价的：（i）存在n个连续函数Vj:R→ R、 j=1。。。，n、 对于所有非空状态严格递增，对于所有空状态为常数，并且 isrepresented byV（f）=nXj=1Vj（f（ωj））。（B.18）（二） 是一个范数连续、严格单调的偏好顺序，满足确定性原则。以下唯一性适用于（1）：W（f）=Pnj=1Wj（f（ωj））重新出现 如果且只有i f存在τ。。。，τn∈ R和σ>0，使得Wj=τj+σVjj、 这意味着对于τ=τ+，w=τ+σV。。。

+τn.In【30】将前面的定理推广到有限状态空间Ohm 什么时候Ohm不含原子。在此，我们回顾了在点态连续性下，在[4]中给出的德布鲁表示的积分形式。定义B.4。对于任意u形式有界序列{fn}，优先序是（A4）逐点连续的 L∞（F） ，例如fn（ω）→ 任意ω的f（ω）∈ Ohm 然后g级∈ L∞（F） 这样g f（分别为g f）J∈ N这样g fj（分别为 fj）j>j.定理B.5（【30】、定理12和【4】、定理5）。让我∞（F） 成为行为和 它的偏好关系。假设F至少包含三个不相交的本质事件。那么以下两种说法是等价的：（i）xi在Ohm 函数（状态依赖性）u（ω，·）：R→ R严格递增ω ∈ Ohm, 因此 由逐点连续积分F表示→ZOhmu（ω，f（ω））dP。（二） 满意度：（A1）、（A2）、（A3）关于S（F）、（A4）。以下唯一性适用：耦合（P，u）可以由（P）替换*, u*) 如果且仅当P和P*与P（u）相等*= τ+σδu）=1，其中τ：Ohm → R是F-可测的，σ>0，δ是P的Radon-Nikodym密度函数，对P有响应*.参考文献[1]Angoshtari，B.、Zariphopou lou，T.和Zhou X.Y.（2018）《可预测的远期绩效过程：二项式案例，预印本》。[2] Anscombe，F.J.和Aumann，R.J。（1963），《主观概率的定义》，《数理统计年鉴》，34（1），199-205。[3] 伯努利（Bernoulli，D.）（1954年），《风险衡量新理论的阐述》，trans。五十、 S omm er，《计量经济学》，22，23-36。翻译自1738年最初发表的一篇文章。[4] Castagnoli，E.和LiCalzi，M.（2006），《实值行为、博弈和经济行为的基准》，第57236-253页。[5] Debreu，G。

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