基于流动性的最优交易策略

存在一个正常数H，使得对于任何u=（q，q，p）∈ （N）*)×R，Xn≥0λ1，+（u，n）+λ1，-（u，n）≤ H、 假设2确保系统中没有爆炸：订单到达速度在订单簿的任何给定状态下保持有界。利用对称关系，我们还得到了xn≥0λ2，+（u，n）+λ2，-（u，n）≤ H、 对于状态u=（q，q，p）和i∈ {1，2}，我们为arandom变量写出UDisc，i，u=（Q1，i，u，Q2，i，u，PDisc，i，u）和规律diu。假设3（再生界限）。存在三个大于1的正常数CDisc、L和z，对于任何u=（q、q、p）∈ （N）*)×R和i∈ {1，2}，EPj=1z | UDisc，i，uj-CDisc公司|+< 五十、 其中，UDisc，i，ujis是UDisc，i，u的第j个坐标。假设3通过假设发现大量的概率迅速趋于零来确保不发生爆炸。例如，当有一个数量▄qmax时，对于anyq∈ （N）*)而我∈ {1，2}，Q1，i，u≤qmax和Q2，i，u≤Qmaxa。s、 假设3已满足。假设4（跳跃边界）。存在两个正常数LJand z>1，因此对于任何状态u=（q，q，p）∈ （N）*)×R和i∈1, 2,Xnznλi，+（u，n）<LJ。最后，假设4意味着当n较高时，非常大跳跃的到达率λi，+（u，n）迅速趋于零。假设1、2、3和4与[20]中使用的假设接近。我们得到以下结果。定理1（遍历性）。在假设1、2、3和4下，当到达率、消费率和再生分布不依赖于中间价格时，过程Qt=（Qt，Qt）是遍历的（即收敛到唯一不变分布）。

此外，我们还有以下收敛速度：| | Ptq（.）- π| | T V≤ B（q）ρt，带| |||T v总变化定额，Ptq（.）从初始点q=（q，q）开始的过程QT的马尔可夫核∈ （N）*), π不变分布，ρ<1，B（q）a恒定于初始状态q，见附录B。该定理是第2.1节中订单动态渐近研究的基础，因为它确保订单状态向不变概率分布收敛。因此，在市场数据上观察到的程式化事实可以用这种不变分布的大数型现象定律来解释。为了完整起见，附录B中给出了这一结果的证明，尽管它受到了[19，20]的启发。3最优策略控制问题3.1随机控制框架的介绍我们表达了一个规模为qa的采购订单的控制问题。它可以以一种明显的方式更改为销售订单。订单簿动态。订单簿状态由processUut建模=QBef、ut、Qa、ut、QAft、ut、Q2、ut、Iut、Put、PExec、ut其中，Qa，ut为代理商以最佳出价插入的限额订单的大小，QBef，ut为Qa前插入的数量，ut，QAft，ut为Qa后插入的订单，ut（见图3），PExec，ut为Qa的收购价格- Iut，Iu是试剂的库存，也是试剂的对照品。我们记得，第2季度，ut是最好的询价限额，Put是中间价。然后，Q1，ut=QBef，ut+Qa，ut+QAft，ut是最佳出价下的总体积。考虑到订单安排，它分为三个数量。代理过帐的限额订单的大小等于整个库存，如果订单簿中插入了部分库存，我们不会处理拆分问题。

我们对订单动态进行了一些小的修改：o为了获得最佳报价，我们将市场订单消耗率λ1，-mfrom limit orderscancellation rateλ1，-c、 取消订单消耗QAft，ut first和市场订单QBef，ut first。oUutca的再生过程可以从（Q1，ut，Q2，ut，Put）的再生过程推断出来，该过程不变。再生Qa后，当最佳出价完全耗尽时，ut=0，否则保持不变。此外，数量QAft，u+QBef，u由生成的最佳出价和Qa的位置给出，ut从分布中提取，取决于再生前的订单状态和耗尽侧（即我们的情况下的最佳分配）。自然的选择是，当价格变动时，将QAft，u=0和QBef，u设置为新的最佳出价，并在最佳ask耗尽且没有价格变动时，保持数量（QBef，ut，Qa，ut，QAft，ut）不变。（Q1，ut，Q2，ut，Put）满足的对称关系（1）保持不变。附录C中提供了工艺Uu的微型发电机Qu的详细说明。|投标AskQBef、utQa、utQAft、utQ2、utPtP riceλ1、+λ1，-λ2,+λ2,-图3：影响订单模型的流程图。交易员控制。在每个决策时，交易者都不能做任何事情或做出三个决策：ol：如果尚未插入数量Iu，他可以在出价队列的顶部插入数量Iu。oc：他可以取消已经存在的限额订单Qa，u。通过这种方式，交易者可以等待更好的订单状态。这种控制主要用于避免逆向选择，即在价格下跌之前获得交易m：他可以发出市场指令，以便立即执行。因此，交易者的控制u={ut，t≤ T}是一个分段常数c ` adl ` ag过程，值为{l，c，m}。

如果代理没有在订单簿中插入订单，并且在开始时什么都不做，则初始控制是c.Trader的库存和清算价格。由于我们考虑的是具有初始库存qa的买方，因此我们确定Iu=qa。让qm是另一个市场参与者在时间t以最佳出价发送的市场订单的大小。当qm>QBef时，ut-, 最小数量（qm-QBef，ut-, Qa，ut-) 当然，这种建模是保守的，因为我们尽可能长时间延迟订单执行。它对应于用户的最坏情况。订单以最低价购买--ψ. 因此，当u=l时，可以写入Qa、utand、PExec、utca的动态Qa，ut=Qa，ut-- 1qm>QBef，ut-最小值（qm- QBef，ut-, Qa，ut-)Iut=Qa，utPExec，ut=PExec，ut-- Qa，ut（Put--ψ） ，带有Xt=Xt-Xt公司-对于任何c\'adl\'ag流程X。当发送市场订单（即u=m）时，数量iut-以最好的价格购买。当最佳任务不足以吸收Iut时，会增加线性临时价格影响-. 在这种情况下，Qa、utand、PExec、utwrites的动态Qa，ut=0Iut=0PExec，ut=PExec，ut-+ Iut-Put-+ψ+α（Iut-- Q2，ut-)+,其中，参数α表示线性临时价格影响，（x）+=最大值（x，0）。最后，在控制u=c下，我们设置Qa，ut=0，并保持Iu和PExec，u不变，因为代理的订单不在订单簿中。我们添加了最终时间限制Qa，uT=0IuT=0PExec，uT=PExec，uT-+ IuT-PuT-+ψ+α（IuT-- Q2，uT-)+.最优控制问题。我们确定了有限的地平线时间T<∞ 我们要计算vt（0，u）=supuEfE类[Pu∞/FTuExec]- CQAuExec,其中，u=（qbef、qa、qaft、q、i、p、pexec）是订单簿的初始状态TuExec=inft型≥ 0，s.t Iut=0∧ T表示最终执行时间Pu∞= 限制→∞Put-PExec，uTuExec表示价格影响。

我们将看到EPu∞/FTuExec公司定义明确，下一节将给出该数量的明确计算c是表示等待成本的非负均匀化常数，Qa是订单大小，f:R→ R是一个Lipschitz函数。我们在两种情况下解决了代理的控制问题：当决策以既定频率作出时-1以及在任何时候拍摄的时间。4理论结果在本节中，我们计算Pu∞, 讨论控制问题解的存在性、唯一性和正则性，并给出值函数满足的方程。4.1计算Pu∞计算E[Pu∞/FTuExec]，我们将假设3和4替换为稍微不太一般的假设。假设5（插入界限）。存在一个正数qmax，使得对于anyu=（q，q，p）∈ （N）*)×R和n≥ 0,λ1，+（u，n）=0，当q+n>Qmaxλ1时，-（u，n）=0，当q>Qmax时。这一假设没有限制性，因为最佳限度内的可用数量基本上仍然是有边界的。使用对称关系，我们也有，对于任何u=（q，q，p）∈ （N）*)×R和N≥ 0λ2，+（u，n）=0，当q+n>Qmaxλ2时，-（u，n）=0，当q>Qmax时。对于状态u=（q，q，p）和i∈ {1，2}，我们为具有分布diu的arandom变量编写UDisc，i，u=（Q1，i，u，Q2，i，u，PDisc，i，u）。我们现在给出一个最终有界性假设。假设6（再生界限）。中间价格Put在空间τZ中存在，其中τ∈ R+刻度值。

此外，存在两个正常数▄Pmax和▄qmax，因此▄PDisc，i，u▄≤Pmax，Q1，i，u≤qmax和Q2，i，u≤Qmaxa。s、 长期价格影响的计算：对于执行结束时的每个州，我们将Pu∞分两个数量Pu∞= P、 u∞+PuTuExec- PExec，uTuExec,其中oPuTuexec是执行时的中间价格（即PuTuexec和PExec，uTuexec在执行时已知）。oP、 u∞= 限制→∞Put- PuTuExec是执行后的长期中间价格变动。因此，我们只需要计算P、 u∞. 由于我们在执行Iu之后进行定位，因此我们有Qa，ut=0和QAft，ut=0。然后我们可以编写Ui=Qi，Qi，Pi通过使用轻微的旋转，忘记对控件的依赖。让t>tuexece为在最终执行时间后第一次完全消耗最佳出价的时间，t>tuexece为第一次耗尽最佳ask的时间。当最佳出价（分别为ask）全部用完时，价格平均移动α-i=EUiPt公司（分别为α+i=EUiPt公司) 订单簿根据度量di（resp.di）重新生成。索引i与状态Ui相关联。我们定义oq-ii=PUi[{t<t}∩{Ut-= Ui}]和q+ii=PUi[{t≤ t}∩{Ut-= Ui}]。它们分别代表了最佳出价在最佳提问或对话之前被消费的概率，退出状态为Uidi，k（resp.di，k）是当消耗了最佳出价（resp.ask）时，从Uit状态到Uk状态的转移概率qi=Piq+iiα+i+q-iiα-我和pi，k=piq+iidi，k+q-iidi，k分别表示第一次再生后的平均中间价变动和从第一次再生后的初始点Ui开始达到状态Uk的概率Usym=（q，q，-p） 是U的对称状态=（q，q，p）。oD是满足Di=EUi的向量[P] 对于每个状态Ui=（q，q，P），使得P>0或P=0和q≥ q、 请注意，EUi[P] =-尤西米[P] 。对于状态Ui，isym是对称状态Usymi的索引。

我们得到以下结果。提议1（平均中间价变动）。对于不可约过程Ut，见第2.2节，满足假设5和6，向量D满足=（I- （A）-1F。矩阵A由Ai定义，k=pi，k-pi，ksym1-（pi，i-pi，isym）当i 6=k和Ai，i=0，向量fsaties Fi=qi1-（pi，i-pi，isym）。矩阵I- A是可逆的。附录D.1中给出了该结果的证明。为了计算D，我们需要估计再生分布D.，D.，α±。和q±。。数量d.、d.和α±。可根据消耗后订单状态的经验分布进行估计。然后，我们只需要估计q±ii。我们现在给出q±ii的计算结果。引理1（q±ii的计算）。设R=[R-, R+]是矩阵，使得R-ii=q-iiandR+ii=q+ii。那么，R是方程Q的解*R=-zand R=M▄R，其中▄Q*, 附录D.2中定义了zand M，见方程式（12）和（13）。该方程的解自▄Q以来是唯一的*是可逆的，见附录D.3。当最佳出价的动态独立于最佳提问的动态时，~Q*是均匀对角化的。在[11]中恒定强度的简单情况下，~Q*可使用封闭式公式轻松计算对角化，见附录D.3。附录D.2给出了这个引理的证明。附录A图8.4.2最优策略的存在性和唯一性，正则性，给出了向量P的数值计算。在本文的其余部分，假设2、5和6有效。在本节中，我们讨论了最优策略的存在性和唯一性，并给出了状态过程Uu和值函数的正则性结果。首先，对于有限的水平时间T，我们定义了值函数vt（T，u）=supuEfEPu∞/FTt，uExec- cqa（Tt，uExec- t） | Uut=U,使用0≤ t型≤ T，u∈ N×Rand Tt，uExec=infs≥ t、 s.t Ius=0∧ T最优控制的存在唯一性。

最佳策略存在于两个框架中（即在固定频率和任何时间做出的决策），但原因不同。以固定频率做出决策时-1由于我们有一定数量的可用策略，因此存在最佳策略。当在任何时候做出决策时，最优控制序列（τi，νi），其中τiis为最优决策时间，νi为最优决策，满足度τ=0，ν=argmaxr∈{l，c，m}EVT（0，Ur）当代理做出决策时，新的状态τi+1=inft>τi；VT（t，U^ut-) = H-νiVT（t，U^ut-)νi+1=argmaxr∈{l，c，m}，Дi6=rnEVT（τi+1，（U^uτ-i+1）r）o、 （2）其中，对于给定状态u和控制r，H-rVT（t，u）=最大值∈{l，c，m}，o6=rEVT（t，uo）和^u=（τj，Дj）j≤i、 由于VTI是连续的，因此最佳控制得到了很好的定义，见方程式（15）和（16）。附录F给出了（2）的证明。然而，在这两个框架中，最优策略的先验不唯一性。问题的正规化。为了保证最优策略的唯一性，我们提出了一个实用的准则。我们定义了交易者决策c<l<m之间的顺序关系。这种关系背后的推论是，m是风险最小的决策，因为我们直接执行，s的风险高于m，但风险低于c，因为执行没有延迟。因此，我们可以在上述意义上的最优决策中选择风险最小的决策。状态过程和价值函数的规律性。时间上的值函数vtilispchitz，见附录E。附录E的结果在更一般的框架中提供，其中我们允许状态过程以R+×R值。

在这种情况下，我们研究了过程Uu的规律性，见定理5，这使我们能够恢复VT.4.3在固定频率下做出的决策的Lipschitzproperty-1： 动态规划方程在本节中，我们提供并求解由最优控制问题的值函数VO满足的方程组。我们得到以下结果。定理2。设u=（qbef，qa，qaft，q，i，p，pexec）为初始状态，t∈ [0，T]。然后V（t，u）满足度：o当i>0时：–在决策时间t=k < T:V（k, .) = 最大值Vl（（k)+, .)Vc（（k)+, .)g（.）, （3） 式中V（t，.），g（.），Vc（t，.）和Vl（t，.）向量V（t，.）i=V（t，ui），g（.）i=fE[欧洲货币单位[P∞]], Vc（t，.）i=E[V（t，uci）]和Vl（t，.）i=V（t，uli），其中Uri是决策r∈ 取{l，c，m}。我们要记住，由于重新生成，控件c和m可能会导致多个订单状态。方程3应逐坐标理解t 6=k时 < T：0=-cqa1+AV（t，.），（4） 其中A=t+Q是过程Uut的微型发生器。Q的表达式在附录C中给出。当i=0（执行时间条件）：V（t，U）=g（U），t<t，g（u）=fE[欧洲货币单位[P∞]].o 终端条件为：V（T，u）=g（u）。（5） 附录F备注1给出了该结果的证明。在每个决策时，只要不执行命令，代理就会比较每个控件给出的值函数，并取最高的值函数，见等式（3）。执行theorder时，代理增益为g（U）。如果在时间T之前未执行订单，代理商将发送市场订单以立即执行并赚取g（U）。备注2。在没有控制c和l的情况下，方程（3）、（4）和（5）在维度1上等价于有限水平Bermudean期权的经典问题。

上述系统可以方便地解决，见附录F.4.4第二种方法：在任何时间做出的决定。我们现在考虑代理在任何时间做出决定的情况。在本节中，我们提供了值函数满足的方程组，我们还介绍了一个简单的控制问题，其值函数可以很容易地用数值计算，并向初始最优控制问题收敛。4.4.1动态规划方程我们保留与定理2中相同的符号。此设置中的值函数有以下结果。定理3。设u=（qbef，qa，qaft，q，i，p，pexec）为初始状态，t∈ [0，T]。然后V（t，u）在粘度意义上和几乎所有地方都满足o当i>0时：最大值AV（t，.）- cqaVl（t，.）- V（t，.）Vc（t，.）- V（t，.）g（.）- V（t，.）= 0。（6）o当i=0（执行时间条件）：V（t，u）=g（u），t型≤ T、 o终端条件为：V（T，u）=g（u）。（7） 结果证明见附录F。自tV是一个先验的不连续的，我们使用粘度解的概念。然而，我们表明除{V=g}边界外，tV是连续的，除此边界外，上述方程在点方向上满足，见附录F。备注3。当没有控制c和l时，方程（6）和（7）在维度1上等价于有限期美式期权的经典问题。4.4.2最优执行问题的数值求解为了数值求解前面的最优控制问题，我们考虑一个离散框架。我们在这里展示了如何使用这个离散框架来近似连续控制问题的解。此外，还提供了误差估计。离散时间马尔可夫链近似。设q=（q，q）∈ （N）*), p∈ R、 n个∈ N、 e=（1，0），e=（0，1）和i∈ {1, 2}.