基于流动性的最优交易策略

使用假设1和4，存在如下情况Xk>kλi，±（q，k）zk<, 我∈ {1，2}Xn≤k（zn- 1） （λi，+（q，n）- λi，-（q，n）zn）≤ -δ, 气≥ Cbound公司，我∈ {1, 2}.设Cbound=max（Cbound，CDisc）和QDisc，i，q=（UDisc，i，q，UDisc，i，q），对于任何i∈ {1, 2}. We def neV（q）=Xi=1z | qi-Cbound |+。为了简化符号，我们不写λ1，±（k）和λ2，±（k）对q的依赖关系。QV（q）=Xq6=qQq，q[V（q）- V（q）]=Xi=1X1≤k≤k（1）小跳跃sz}{hλi，+（k）（z}qi+k-Cbound公司|+- z |齐-Cbound |+）+λi，-（k） （z | qi）-k-Cbound公司|+- z |齐-Cbound |+）i+Xi=1Xk>k（2）大极限指令插入z}{hλi，+（k）（z | qi+k-Cbound公司|+- z |齐-Cbound |+）i+Xi=1Xk<k<ui（3）大限额订单消耗z}{hλi，-（k） （z | qi）-k-Cbound公司|+- z |齐-Cbound |+）i+Xi=1Xk≥ui（4）订单簿再生Z}|{λi，-（k） （式[V（QDisc，i，q）]- V（q））.当用户界面≤ kwith i公司∈ {1，2}，我们只需要使用假设2和4向上面的表达式添加一个常量。我们注意到第（3）项≤ 0和（4）≤ λi，-（k） L.此外，对于项（1），我们有（1）=λi，+（k）（z | qi+k-Cbound公司|+- z |齐-Cbound |+）+λi，-（k） （z | qi）-k-Cbound|+- z |齐-Cbound |+）=λi，+（k）1界+k≥qi（z | qi+k-Cbound公司|+- z |齐-Cbound |+）+λi，+（k）1Bound+k<qiz | qi-Cbound |+（zk- 1） +λi，-（k） 1绑定+k≥qi（z | qi-k-Cbound公司|+- z |齐-Cbound |+）|{z}≤0+λi，-（k） 1界限+k<qiz | qi-Cbound |+（zk- 1)≤（1.1）z}|{λi，+（k）1界+k≥qi（z2k- 1） +（1.2）z}{（zk- 1） z |齐-Cbound |+Cbound+k<qi（λi，+（k）- λi，-（k） zk）。使用（1.1）的假设2，我们得到（1.1）≤ H（z2k- 1). 使用（1.2）的假设2，我们也可以得到（1.2）≤ （zk）- 1） z |齐-Cbound |+（λi，+（k）- λi，-（k） zk）- （zk）- 1） z |齐-Cbound |+Cbound+k≥qi（λi，+（k）- λi，-（k） zk）≤ （zk）- 1） z |齐-Cbound |+（λi，+（k）- λi，-（k） zk）+（zk- 1） zk（λi，+（k）+λi，-（k） ）。我们用M（k）表示（zk- 1） zk。

最后，通过组合上述不等式，我们得到了qv（u）≤Xi=1X1≤k≤k（zk- 1） z |齐-Cbound |+（λi，+（k）- λi，-（k） zk）+M（k）（λi，+（k）+λi，-（k） （）+xi≤2.k> kλi，+（k）（zk- 1） z |齐-Cbound |++Xi≤2.k> uiλi，-（k） L≤Xi=1（z | qi-Cbound |+）X1≤k≤k（zk- 1） （λi，+（k）- λi，-（k） zk）+ 2HM（k）+Xi=1（z | qi-Cbound |+）+2HL=Xi=1（z | qi-Cbound |+）假设1z}{X1≤k≤k（zk- 1） （λi，+（k）- λi，-（k） zk）++ d≤ -δ（3）V（q）+d，其中δ（3）=（δ- ) d=2HM（k）+2HL。自从 < δ、 δ（3）>0。这是完全的证据。C过程Uu的微型发生器为了充分描述Uut的动态，我们需要在不进行干预的情况下定义过程Uut的微型发生器Qu。我们将订单簿和代理放置的联合再生密度写为▄diu=diuιIU。事实上，在再生之后，代理的顺序被放置在一个位置qbef，概率为ιiu（qbef）。Qu说明：对于▄Q=（qbef、qa、qaft、Q、i）∈ N、 p∈ R、 ~z=（p，pexec）∈ R、 n个∈ N、 q=qbef+qa+qaft，u=（q，q，p）∈ （N）*), q=（q0bef、q0a、q0aft、q、i）∈ N、 q=q0bef+q0a+q0aft，u=（q，q，p）∈ （N）*), ~z=（p，p0exec）∈ 兰德λ1，-（英国）=λ1,-c（u，k）1qa=0+λ1，-m（u，k）,我们有：o当以最佳出价插入大小为n的限制订单时：Qu（~Q，~z）；（▄q，▄z）=λ1，+（u，n）+Xi=1Xk≥qiλi，-（u，k）~di（▄q，▄z）（▄q，▄z），其中▄q=（qbef，qa，qaft+n，q，i）和▄z=▄z。o当在最佳ask插入大小为n的限制顺序时：qu（▄q，▄z）；（▄q，▄z）=λ2，+（u，n）+Xi=1Xk≥qiλi，-（u，k）~di（▄q，▄z）（▄q，▄z），其中▄q=（qbef，qa，qaft，q+n，i）和▄z=▄z。o当从最佳投标1中删除大小为n的取消订单时。当n>qbef+qaft时：Qu（～Q，～z）；（▄q，▄z）=λ1，-c（u，n）1qa6=0+Xi=1Xk≥qiλi，-（u，k）~di（▄q，▄z）（▄q，▄z），其中▄zand▄q满足p0exec=pexecq0bef=q0befqa=0q0a=qai=iq0aft=（q- q0bef）1qa=0，且p、q、q0bef和qa由再生定律确定。2.

当n<qbef+qaft时：Qu（～Q，～z）；（▄q，▄z）=λ1，-c（u，n）+Xi=1Xk≥qiλi，-（u，k）~di（▄q，▄z）（▄q，▄z），其中▄z=▄z和▄qsatiesq0bef=qbefn≤qaft+（qbef+qaft- n） 1n>qaf tq0a=qai=iq0aft=（qaft- n） 1n≤qaftq=q.o当n号市场订单发送给最佳出价1时。当n>qbef+qa+qaft时：Qu（~Q，~z）；（▄q，▄z）=Xi=1Xk≥qiλi，-（u，k）~di（▄q，▄z）（▄q，▄z），其中▄zand▄q满足p0exec=pexec+qa（p-ψ） q0bef=q0befq0a=0i=i1qa=0q0aft=0，其中p、q、q0bef和qa由再生定律确定。2、否则，我们有：Qu（~Q，~z）；（▄q，▄z）=λ1，-m（u，n）+Xi=1Xk≥qiλi，-（u，k）~di（▄q，▄z）（▄q，▄z），其中▄zand▄q满足p=pp0exec=pexec+最小值（n- qbef、qa）（p-ψ） 1n>qbefq0bef=（qbef- n） 1n≤qbefq0a=qa- 最小值（n- qbef，qa）1n>qbefi=i1qa=0+q0aqa>0q0aft=qaftn<qbef+（qaft+qbef+qa- n） 1n≥qbef+qaq=q.o当在最佳ask1出现流动性消耗事件时。当n>q时：qu（～q，～z）；（▄q，▄z）=Xi=1Xk≥qiλi，-（u，k）~di（▄q，▄z）（▄q，▄z），其中▄zand▄q满足p0exec=pexecq0bef=q0befq0a=qai=iq0aft=0，其中p、qq0bef和qa由再生定律确定。2、否则，我们有：Qu（~Q，~z）；（▄q，▄z）=λ2，-（u，n）+Xi=1Xk≥qiλi，-（u，k）~di（▄q，▄z）（▄q，▄z），其中▄z=▄z和▄q=（qbef，qa，qaft，q- n、 i）。D计算Pu∞D、 1命题证明1在假设5和6下，可达状态的数量是有限的，我们可以编写UI[P∞] = EUi公司[P∞t型≤t] +EUi[P∞t<t]=EUi[E[P∞/英尺]1吨≤t] +EUi[E[P∞/Ft]1t<t]=Xiq+iiα+i+NXk=1di，kEUk[P∞]+Xiq公司-二α-i+NXk=1di，kEUk[P∞]=Xiq+iiα+i+q-iiα-i+NXk=1Xi（q+iidi，k+q-iidi，k）EUk[P∞] = qi+NXk=1pi，kEUk[P∞].（11） 此外，利用对称关系，我们得到了EUiP∞= -尤西米P∞. 我们为集合D={（q，q，p）；p>0}写数据∪{（q，q，p）；p=0，q≥ q} 。

因此，方程式（11）readsEUi[P∞](1 - （pi，i- pi，isym））=qi+Xk∈D（pi，k- pi，ksym）EUi[P∞].假设0≤ pi，i<1（当一个限额被完全占用时，价格以非零概率移动），我们有（1- （pi，i- pi，isym））>0。这证明了命题1的结果。D、 2引理证明1对于简化，我们将添加/取消的数量q=1。为了考虑到非均匀跳跃，我们可以简单地填充矩阵Q的零值*如果概率正确，请参见等式（12）。为了计算矩阵R，我们首先确定价格P=0，因为在限额总消耗之前没有价格变动，并通过u=（q，q）和q（分别为q）的最佳出价（分别为ask）数量对订单状态进行建模。然后，我们引入吸收态U0，q（分别为Uq，0）和q≥ 1与情况u=（0，q）（对应u=（q，0））相关，其中q（对应q）在q（对应q）之前消耗。我们要计算访问U0，qan和Uq，0和q的概率≥ 1从Ui开始。为此，我们考虑微型发电机Q*马尔可夫过程（Q，Q）（价格P=0是固定的）Q*=2Q最大值第一季度，-第一季度+Q*,其中02Qmaxis是大小为2Qmax，Q1的零平方矩阵，-编码到吸收状态U0、qand Q1的转换，+用1编码到吸收状态Uq、0的转换≤ q≤ Qmax和▄Q*类似于无再生工艺UT的微型发生器。矩阵Q*具有以下形式：▄Q*=Q*,（1） Q*,(1)0 0 . . .Q*,（2） Q*,（2） Q*,(2)0 . . ................. . . 0 0Q*,（Qmax）~Q*,（Qmax）, （12） 式中▄Q*,（l） 对从级别Q=l到级别Q=l+1的转换进行编码，矩阵▄Q*,（l） 从级别Q=l到Q=l的编码转换- 1和矩阵Q*,（l） 在levelQ=l范围内对转换进行编码。Qmaxis是每个限制上可用的最大数量。每个子矩阵内▄Q*,（l） i与i∈ {0，1，2}，Qis等于l，Qmax在1到Qmax之间变化。

子矩阵Q*,（l） i，对于i=0，1，可以写入Q*,（l）=λ1，+（l，1）。。。λ1，+（l，Qmax）和▄Q*,（l）=λ1,-（l，1）。。。λ1,-（l，Qmax）.Letλ*（l，l）=Pi=1λi，+（l，l）+λi，-（l，l）每l，l∈ {1，···，Qmax}。对于l≤ Qmax，我们有▄Q*,（l）=-λ*（l，1）λ2，+（l，1）0 0。λ2,-（1、2）-λ*（l，2）λ2，+（l，2）0。0 0 λ2,-（l，Qmax）-λ*（l，Qmax）.最后，我们定义了矩阵Q1，-这样Q1，-ii=λ1，-（1，i）对于1≤ 我≤ qmax和0，以及矩阵Q1，-Q1，+iQmax+1，i+1=λ2，-（i，1）对于0≤ 我≤ 最大尿流率- 否则为1和0。使用[28]中的定理3.3.1，对于每个吸收态Ui，我们有q-U0，q，U0，q=1，q+U0，q，Ui=0，q-Uq，0，Ui=0，q+Uq，0，Uq，0=1，带q∈ {1，Qmax}，PjQ*i、 jq±j，i=0我∈ [2Qmax+1，（Qmax）+2Qmax]。在上述等式中，我们使用了轻微的符号滥用，并且没有区分状态Ui和索引i。其读数为Q*R=-zand R=MR，（13），其中Rii=qii对于每个吸收状态Ui，z=[Q1，-, Q1，+]，R=[R-, R+]是矩阵，如R-ii=q-i和R+ii=q+ii，M=[M，M]是矩阵，因此Mi，i=di，i和i，i=di，i。数量di，i和di，i在第4.1节中定义。该方程的解是唯一的，因为▄Q*是可逆的。队列独立时Q*是可对角化的，请参见下一小节。在恒定强度的简单情况下，Q*对角化是明确可计算的。D、 3▄Q的对角化*D、 3.1▄Q的对称化*在独立队列的假设下，想法是找到一个矩阵P，使得P-1Q*P与P=LH对称。首先，我们考虑块对角矩阵H=diag{H，H，…HQmax}，其中每个Hi是一个大小为qmax的平方矩阵，因此H=I，Hi+1=HirQ*,（一）Q*,（一）-1)-1.我≥ 1、这里√. 指矩阵的平方根。

在这种情况下，这样一个矩阵的存在性是重要的，因为▄Q*,（i） 和▄Q*,（一）-1） 具有严格正系数的对角线。接下来，我们考虑块对角矩阵L=对角{L，L，…L}，其中，Lis是一个对角系数为L（1，1）=1且L（i+1，i+1）=L（i，i）r▄Q的对角矩阵*,（0）（i+1，i）~Q*,（0）（i，i+1）表示所有≥ 1、假设队列是独立的，我们有Q*,（0）=Q*,（0）对于所有i≥ 1、最后，我们注意到P-1Q*P=LH时，P是对称的。D、 3.2对称矩阵P的对角化-1Q*P：常数系数在常数系数的简单情况下，附录D.3.1中定义的矩阵P满足-1Q*P=A（A，b）V 0 0 V A（A，b）V 0 0。。。。。。。。。。。。0 0 V A（A，b）和A（A，b）=a b 0 0。b a b 0。0 0 b a,其中，V=βI，β>0，a和b是一些固定常数。在这样的框架下，P-1Q*P是λk，ja，b，β=a+2b cos（kπn+1）+2βcos（jπn+1），1.≤ k、 j≤ n、 关联的特征空间由特征向量Xk，j生成=VJVXK，VJVXK···，VJVQMAXXK,其中vj。satis fiesvjr=sin（rjπn+1），1.≤ r、 j≤ n、 Xkis是一个向量，使得xkl=sin（lkπn+1），1.≤ k、 l≤ n、 关于状态进程Uu和值函数的概述在本节中，我们允许状态进程Uu从值为U={U的初始状态开始∈R+×R；Pi=1ui>0，u>0}。为了简化，我们还假设跳跃的大小为1。通过将下面的假设7和8替换为假设2，当状态过程取N×rhower的值，而不是常数的值时，本节的结果仍然有效。E.1再生过程的规律性Uut再生过程的规律性不是微不足道的。

事实上，如果我们考虑两个过程Uu和U0u满足相同的订单动态（见第3.1节），但从两个不同的点U和U开始，只要没有再生，对于每个订单流轨迹，错误Uu-U0u| |等于初始误差| | u-u | |。然而，当两个进程中的一个在另一个之前重新生成时，重新生成的进程从随机位置开始一个新的周期，并且错误| | Uu- U0u| |不再以| | u为边界- u | |。因此，不规则性主要来自再生。在我们的案例中，由于再生定律取决于基林状态，它可能会引入强烈的不规则性。因此，我们需要一个假设，以确保当出口点足够近时，再生分布是相似的。在两个一般假设下，我们给出了状态过程正则性的结果。假设7（再生平滑度）。存在四个正常数K，q，q≤ 1.∨ qa和β，使得对于每个u=（qbef，qa，qaft，q，i，p，pexec）和u=（q0bef，q0a，q0aft，q，i，p，p0exec）∈ U||diu-diu | | T V≤ K（| | u）- u | | p）pdiu（u）=0，当q≤ qor q≤ qXiλi，+（u）+λi，-（u） 1qi>q≤ β、 式中，q=q0bef+q0a+q0aft，| | p-p | | T V=supA∈F | p（A）-p（A）|是总变化范数| |||pis带p的Lpnorm≥ 假设7是一个Lipschitz型不等式，以确保当出口状态足够接近时，再生分布几乎相似。此外，我们考虑了有界性假设和支持度约束，以确保重新生成的限制的大小大于最大数量q。我们还添加了以下假设。假设8（退出动态）。

u=（q，q，p）∈ R+×R和i∈ {1，2}，存在正常数β-因此 > 0, q> 0，λi，-（u） 1合格中介机构≤q≥β-.对于小型队列（即qi≤ q), 假设8确保耗尽强度较高（即λi，-≥) 而其他强度是有界的。这样的假设避免了订单簿过于接近退出状态而远离退出状态的关键情况。这也与经验证据相一致，因为当极限低于给定的界q时，它几乎瞬间消失. 我们在附录E.4中证明了以下结果。定理5（状态过程的正则性）。在假设7和8下，过程Uutsatis（| | Uut- U0ut | | p）p≤ KeCT（| | U- U | | p）p，U、 U型∈ Ut型∈ [0，T]，（14）式中=| |||p的Lpnorm≥ 1，Uut（分别为U0ut）是从初始状态U（分别为U）开始的马尔可夫过程，t是附录E中定义的最终时间和护理常数。4.E.2值函数的正则性在本节中，我们用x p=1并写| |||p=| |.| |。假设函数g（u）=f（Eu[Pu∞]) 是Lipschitz。当状态过程在N×Rwe中取值时，只需要g有界，这总是满足假设5和6。然后，我们在附录E.5中证明了以下正则性。提案2。空间中的值函数V为oLipschitz：| VT（t，U）- VT（t，U）|≤ AeC（T-t） | | U- U | |，U、 U型∈ Ut型∈ [0，T]，（15）用T表示最终时间，A常数在附录E.5中定义，Cde在理论5中定义Lipschitz时间：| VT（t，U）- VT（t，U）|≤ L | t- t |，U∈ Ut、 t型∈ [0，T]，（16），L=cqa+AeC（T-t） C和C是附录E.4中规定的常数。E、 3执行时间不平等这里我们还将x p=1并写入| |||p=| |.| |。我们记得，对于任何控制u，第4.2节定义了Tt，uExec。我们在这里提供了两个执行时间不等式。

首先，当代理以固定的频率做出决策时-我们有以下不等式。提案3。让U，Ube两个初始状态和uOpti（分别uOpti）为从U（分别U）开始的过程的最佳策略。然后，我们有了Eh | Tt，uOptiExec- Tt，uOptiExec | i≤ eC（T-t） | | U- U | |+K（T- t） ，则，U、 U型∈ Ut型∈ [0，T]，C=对数（K）+ Cand K=2Qmaxβ。命题3表明，初始状态和代理的延迟 影响最佳执行时间。在任何时候做出决定时，我们都有第二个不平等。提案4。让U，Ube两个初始状态和uOpti（分别uOpti）为从U（分别U）开始的过程的最佳策略。然后，我们有了Eh | Tt，uOptiExec- Tt，uOptiExec | i≤ K | | U- U | |，U、 U型∈ Ut型∈ [0，T]，（17），K=对数（K）。常数Kis在定理5中给出。命题3和命题4的证明见附录E.6。E、 4定理5的证明符号：设U，U∈ U={U∈ R+×R；Pi=1ui>0，u>0}，uut（分别为U0ut）从u（分别为u）开始的过程，t为最终时间范围，且^Qmax=max（Qmax，~Qmax）。设τ1，-（分别为τ1，-) 是第一次完全消耗最佳出价（分别为ask），τ1，+（分别为τ1，+）是第一次耗尽最佳出价（分别为bid），τ=τ1，-∧ τ1，+（分别为τ=τ1，-∧ τ1，+）过程的第一次再生时间Uut（分别为U0ut）。最后，我们为τ=τ写τ∨ τ. 允许 = （| | U）- U | | p）p>0，存在0<q≤ Q满足假设8的条件。We fix p公司≥ 1并写| |||p=| |.| |。步骤1：假设| | U- U | |>q. 让我们展示一下sup0≤t型≤T | | UuT- U0ut | | p≤ 3 | | U- U | | peCT，（18）带| C=^Cβqp,^C=5（^Qmax）p+（2Pmax）p+（2Pmax^Qmax）pβ在假设8中定义。公式（18）的证明：我们写出δUut=Uut- UandδU0ut=U0ut- U

那么，我们有| | Uut- U0ut | | p=3p-1.||δUut | | p+| |δU0ut | | p+| U- U | | p.自E起sup0≤t型≤T | |δUuT | | p≤5（^Qmax）p+（2Pmax）p+（2Pmax^Qmax）pβT，我们有sup0≤t型≤T | | UuT- U0ut | | p≤ CT+B，C=3p-1^Cβ和B=3p-1 | | U- U | | p.此外| | U- U | |>q因此B>3p-1qp我们有以下不等式：Esup0≤t型≤T | | UuT- U0ut | | p≤ CT+B≤ Be▄CT，带▄C=^Cβqp. 最后一个不等式来自ax+b≤ bea/BX当b>b时。步骤2：假设| | U- U | |≤ q. 首先，让我们展示e | | Uuτ- U0uτ| | p≤ κ| | U- U | | p，（19），其中κ=κCβ+2√2κRK，κ=（1+3Tβ）β-, κ=κ^Cβ+1，K在假设7中定义，r为常数。不等式证明（19）：我们假设τ>τa.s.一般情况下使用相同的参数行。我们有| | Uuτ- U0uτ| | p=| | Uuτ- U0uτ| | p≤（1） z}|{| | U0uτ- U0uτ| | p+（2）z}{| | Uuτ- U0uτ| | p.o第（1）部分满足[| | U0uτ- U0uτ| | p]≤^CβE[|τ- τ|] ≤^Cβκ| | U- U | | p.（20）在第二个不等式中，我们使用E[|τ- τ|] ≤ κ| | U- U | | p，见下面的引理2。o对于第（2）部分，设X=[0，Qmax]×[-Pmax，▄Pmax]×Q最大值[-Pmax，▄Pmax]. 存在值为的Borel函数[-1，1]，见证明末尾的附录E.4.1，以及正常数R，以便| | x- y | | p≤ R | s（x）- s（y）|，（x，y）∈ 十、 让我们用dx表示Uut的再生分布（即当最佳出价（分别为ask）完全耗尽时，dx=dx（分别为dx=dx））。最后，我们用M表示X上取值的borelfunction集[-1, 1]. 在这种情况下，我们有||Uuτ- U0uτ| | p≤ R E公司|s（Uuτ）- s（U0uτ）|= R E公司E[Z[| s（x）- s（y）|]dUuτ-（x） dU0uτ-（y） dxdy/Fτ]≤√2R EE类[Z | s（x）| dUuτ-（dx）-Z | s（y）| dU0uτ-（dy）/Fτ]≤√2R EE类[supg公司∈MZgdUuτ-（dx）-ZgdU0uτ-（dx）/Fτ]= 2.√2R E(*)z}|{| | dUuτ-- dU0uτ-||电视≤ 2.√2RK E||Uuτ-- U0uτ-||p.在（*）中，我们使用了总变化范数属性2 | |u-ν| | T V=supg∈MRgdu-Rgdν。给定E[| | Uuτ-- U0uτ-||p]≤ κ| | U- U | | p，见下面的引理3，我们有[| | Uuτ- U0uτ| | p]≤ 2.√2RKκ| | U- U | | p。