基于流动性的最优交易策略

（21）通过组合不等式（20）和（21），我们得到了结果。引理2。我们有[|τ- τ|] ≤ κ| | U- U | | p，κ=（1+3Tβ）β-.引理2的证明：首先，我们假设τ>τa.s，并考虑以下符号。对于每个状态u，我们写u2，+（分别为u2，-) 对于订单簿的新状态，当数量Q=1添加到（分别从中取消）Q时，同样的推理适用于Q。我们有- τ|]=EE[|τ- τ|/Fτ+]= EE[τ/Fτ+]= EE[^τ/U|τ]= Eh（Uuτ）,式中，^τ=τ-τ也是Uut的第一次再生时间，但从初始点Uuτ开始，h（x）=E[τ/Uu=x]，其中τ是Uut在Uu=x时的第一次再生时间。由于U0u在时间τ再生，那么Q01，uτ-≤ q或Q02，uτ-≤ q、 让我们考虑Q01，uτ的情况-≤ q、 案例Q02，uτ-≤ q使用相同的参数求解。自| | Uuτ起--U0uτ-|| = ||Uu-U0u| |（即在第一次再生之前，误差保持不变），我们有Q1，uτ≤ ||Uu- U0u| |≤ q.我们注意到u=uuτ。通过考虑过程Uu的可能转变，我们得到了1+λ1，+（U）h（u1，+）+λ2，-（u） h（u2，-) + λ2，+（u）h（u2，+）- λ*（u） h（u）=0，带λ*=πλi，++λi，-. 使用假设8和h（u）≤ 对于每个初始状态u，我们有h（u）≤1+λ1，+（u）h（u1，+）+λ2，-（u） h（u2，-) + λ2，+（u）h（u2，+）λ*（u）≤（1+3Tβ）β-= κ| | U- U | | p，κ=（1+3Tβ）β-. 这证明了结果。引理3。我们有[| | Uuτ-- U0uτ-||p]≤ κ| | U- U | | p，κ=κCβ+1。引理3的证明：通过遵循与引理2相同的方法，我们首先注意到e[| | Uuτ-- U0uτ-||p]≤ EE[| | Uuτ-- Uuτ-||p/Fτ]+ E||U0uτ-- Uuτ-||p= EE[| | Uuτ-- Uuτ-||p/Uuτ]+ ||U- U | | p≤^CβEE[|τ|/Uuτ]+ ||U- U | | p≤^CβEh（Uuτ）+ ||U- U | | p，其中^τ=τ- τ是Uut的第一次再生时间，但从初始点Uuτ开始，h（x）=E[τ/Uu=x]，其中τ是Uut的第一次再生时间，当Uu=x时。在引理2的证明中，我们表明EE【h（Uuτ）】≤ κ| | U- U | | p.因此，我们有【| | Uuτ-- U0uτ-||p]≤ κ| | U- U | | p，κ=κCβ+1。

这证明了结果。步骤3：假设| | U- U | |≤ q. 让我们展示一下e | | Uut- U、 ut | | p≤ κeCT | | U- U | | p，（22）对于任何t<∞, 式中，C=（β（κ- 1） ）+和κ=1∨ κ.不等式的证明（22）：设t<∞, 我们用NRegent（resp.N0Regent）表示随机变量，该随机变量表示t之前Uut（resp.U0ut）的再生次数。设t，···，tnregen为Uut和t的再生次数，··，tn0regen为U0ut的再生次数。我们构建序列▄tn，使▄t=t∨ 坦德tn=inf{ti>~tn；i∈ {1，···，NRegent}}}tn=inf{ti>％tn；i∈ {1，···，N0Regent}}tn+1=tn∨ tn.当其中一组Ohmn={ti>tn；i∈ {1，···，nRecent}}或Ohmn={ti>tn；i∈ {1，···，N0Regent}}为空。我们采用公约▄tn=t，n>~n代理。因此，我们有| | Uut- U、 ut | | p=E||铀试剂- U、 uИtnGent | | p≤(**)z} |{EκИnRecent | | Uu- U、 u| | p≤ ||Uu- U、 u| | pEκИn试剂,其中（**）通过使用不等式（19）和条件期望参数获得。当κ>1时，我们用N表示*具有恒定强度β的泊松过程。因此，我们有κИn试剂≤ Ee（N*t+1）对数（κ）= κe-βt（1-κ)< ∞.当κ≤ 1，我们有κnRecent≤ 1，因此，EκИn试剂≤ 这证明了不等式（22）。通过将不等式（18）和（22）结合起来，我们完成了定理5的证明，其中k=|κ∨ 3和C=~C∨ C、 E.4.1 sLet的存在首先考虑函数s-1= -【0，1】中定义的日志（a）。函数s-1在[0，1]中连续，在子区间[0，e]中双射-1]. 此外，它是一个满足| | s的H¨older函数-1（a）-s-1（b）| |≤ R | | a-b | | p，（a、b）∈ [0, 1]. 我们用s的倒数表示-1定义于[0，e-1]. 函数是连续的，在[0，1]中取值。

此外，ssatis fies | | a- b | | p≤ R | s（a）- s（b）|，（a、b）∈ [0，e-1].然后，我们定义归一化函数s:X→ [0，e-1] （x，···，x）→ （s（x），····，s（x），s（x），s（x）），其中s，sand是规范化定义的三个辅助函数，如ass（x）=xe-1^Qmax，s（x）=x+~Pmaxe-1▄Pmax和s（x）=x+^Qmax▄Pmax-1^QmaxPmax。很容易看出ssatis fies | | x- y | | p≤ R | | s（x）- s（x）| | p，（x，y）∈ 十、 R=最小值（^Qmax、~Pmax、^Qmax ~Pmax）。最后，我们定义s（x）=Pi=1 | s（s（xi））|。使用不等式ni=1 | xi-彝族|≤√2 | PNi=1 | xi|-PNi=1 | yi | |，我们有| | x-y | | p≤ RR（右后）√2 | s（x）-s（y）|，（x，y）∈ 十、 E.5值函数的正则性不等式证明（15）：我们为过程写入U1，ut（分别为U2，ut），使U1，ut=U（分别为U2，ut=U）。利用g是Lipschitz和不等式（14）的事实，我们得到了| VT（t，U）- VT（t，U）|≤ supuE|g（U1，uTt，uExec）- g（U2，uTt，uExec）|+cqa | Tt，uExec- Tt，uExec|≤ supuE|g（U1，uTt，uExec）- g（U2，uTt，uExec）|+| g（UTt，uExec）- g（UTt，uExec）|+cqa | Tt，uExec- Tt，uExec|≤ supuEg[唇]KeC（T-t） | | U- U | |+g[唇]C | Tt，uExec- Tt，uExec |+cqa | Tt，uExec- Tt，uExec|≤ ||U- U型||g[唇]KeC（T-t） +KC≤ AeC（T-t） | | U- U | |，其中C=g[Lip]C+cqa，C是常数，K=log（K），当U（resp.U）是起点且a=g[Lip]K+KC时，uOpti（resp.uOpti）是最佳控制。在倒数不等式中，我们使用不等式（17）来完成证明。不等式（16）的证明：利用动态规划原理和不等式（15）证明了不等式（16）。E、 6命题3的证明和4命题3的证明：We fix > 0并在n上通过递归证明结果≥ 0 forevery T∈ [0，n].o 初始化：情况n=0，在此情况下为Tt，uOptiExec=Tt，uOptiExec=0。o迭代：假设T的结果为真∈ [0，n]. 让T∈ [0，（n+1）]. WhenT公司∈ [0，n], 使用递归假设，结果是正确的。

当T∈ （n）, （n+1）],我们可以写入，uOptiExec=Tt，uoptiexect，uOptiExec≤+ （Tt，uOptiExec）- )1Tt，uOptiExec≥+ 1Tt，uOptiExec≥.设▄U▄u为遵循与Uu相同动态的过程，但具有初始值Uu在T处结束-  有一个控制？ut=ut+. 然后，我们得到了经典的TuExec=Tu，执行董事- 和V(, u） =VT-（0，u）。因此，我们可以写|Tt，uOptiExec- Tt，uOptiExec|=（1） z}|{E|Tt，uOptiExecTt，uOptiExec≤- Tt，uOptiExecTt，uOptiExec≤|+（2） z}|{E|Tt，￠uOptiExec- Tt，￠uOptiExec|+ （3） z}|{E|1Tt，uOptiExec≥- 1Tt，uOptiExec≥|.– 对于第（1）部分，我们有|Tt，uOptiExecTt，uOptiExec≤- Tt，uOptiExecTt，uOpti，tExec≤|≤ E|Tt，uOptiExecTt，uOptiExec≤|+ E|Tt，uOptiExecTt，uOptiExec≤|≤ ETuOptiExec≤+ ETuOptiExec≤≤ 2β.– 对于第（2）部分，使用递归假设和不等式（14），我们得到（TuOptiExec- TuOptiExec）≤ eC（T-（t+))E||U- U||+ K（T- t型- )≤ KeC（T-（t+))+C||U- U | |+K（T- t型- ).– 对于第（3）部分，使用第（2）部分的相同参数，我们有E|1Tt，uOptiExec≥- 1Tt，uOptiExec≥|≤ 2β.最后，因为C=log（K）+ C、 我们有Tt，uOptiExec- Tt，uOptiExec≤ 2.Qmaxβ+KeC（T-（t+))+C||U- U | |+K（T- t型- )≤ K（T- t） +千eC（T-（t+))+C||U- U | |=K（T- t） +eC（t-t） | | U- U型||.命题4的证明：利用命题3，我们有TuOpti，tExec- TuOpti，tExec≤ （| | U）- U | | eC（T-t） +K（t- t） （）~C||U- U | |+对数（K）||U- U | |+K（T- t）~K | | U- U | |。F最优控制问题的求解F。1定理2的证明首先，假设时间导数tV连续是每个子间隔（k, （k+1）).然后，我们可以通过应用定理2的“o”式，经典地证明V满足定理2的方程。因此，有必要展示一个解决方案，并使用验证参数得出结论。

让我们通过逐步求解定理2的方程来展示解决方案Vo步骤1-初始化：因为我们知道时间T的V值，并且V满足度0=-cqa1+～g+AV，t型∈ （k）, T），（23），其中k=bTc、 k级 第一个决策时间和向量g对执行时间影响进行编码。事实上，对于每一个q=（qbef，qa，qaft，q，i）∈ N、 q=qbef+qa+qaft，u=（q，q，p），z=（p，pexec）∈ R、 q=（q0bef、q0a、q0aft、q、i）∈ N、 q=q0bef+q0a+q0aft，u=（q，q，p）和z=（p，p0exec）∈ R、 我们有▄g=Pn≥0▄GN，其中▄GNI的定义为–当i 6=0且qbef+qa时≤ n<q▄gn（▄q，z）=λ1，-m（u，n）g（▄q，z），z=z且▄qs使得q0bef=0，q0a=0，q0aft=q- n、 q=q，i=0–当i 6=0和n时≥ q▄gn（▄q，z）=λ1，-m（u，n）Xd1，-（q，p），（q，p）g（～q，z）。用zandqsuch，q0bef=q，q0a=0，q0aft=0，i=0，p0exec=pexec+qa（p-ψ） 式中，q、q和由再生分布确定在其余的情况下，我们有▄gn（▄q，z）=0。我们明确地知道（23）Vt=e（T）的解-t） Qg+（t- t）- cqa1+~g, t型∈ （k）, T]，其中g是向量，使得gi=g（Ui），k=bTc、 o步骤2-迭代：在时间k, 代理人可以做出决定。因此，他比较了方程式（3）的表达式并取最大值。当最优控制为市场时，代理停止执行，否则，他用新的初始值重复步骤1。因为所展示的解决方案满足tV中，我们得出一个验证定理，如[29]中的定理4.1所示。F、 2定理3Let G=（[0，Qmax]）×的证明[-Pmax，▄Pmax]×[-~Imax，~Imax]，G=（[0，Qmax]）×{0}×[-Pmax，▄Pmax]×[-~Imax、~Imax]和g表示最终约束的Lipschitz函数。我们用Qmax=max（Qmax，▄Qmax）和▄Imax=▄PmaxQmax表示。

通过假设V是光滑的并使用动态规划原理，可以正式推导出V满足的方程最大值电视+Qv、Klv-v、 Kcv公司-v、 g级- v= 0在[0，T）×G上，v=G在[0，T）×G上，v（T，）=g上g，（24），Qf（u）=Rf（u）-f（u）dQ（u；u）状态过程的最小生成器，对于每个连续和有界函数f、状态u和控制r，Krf（u）=Rf（u）dkr（u；u）∈ {l，c}。由于控制r可能导致多个状态，我们在作出决定r后，用kr（u；u）表示从u开始到达状态u的概率。解的存在性、唯一性：解的唯一性来自标准比较原则，使用与[8，定理2.2]相同的参数。解的存在性也可以根据【8，定理2.3】导出。解的规律性：让我们证明tV是连续的，除了在{V=g}的边界上。我们用V表示（24）的连续和Lipschitz粘度解。设r为控件，该控件在代理存在时修改代理的状态。设O为开集O={V>max（KrV，g）}∪ {（t，u）；V>g，kr（u；u）=1}。在O上，我们有电视=-粘度意义上的QV。因此，通过考虑一系列向V均匀收敛的光滑函数，我们得到tV在O上是连续的，请参见[9，推论5.6]中的闭合构造。设O={KrV=V，V>g}和oOits内部假定为非空，否则没有什么可证明的。因为V是Lipschitz，电视本质上是有界限的。为了证明这一点电视是独一无二的oO、 我们假设相反，并考虑点x=（t，u），其中电视有两种可能的价值观。我们有v（x）=KrV=ZV（t，u）dkr（u；u）。至少存在一个用法kr（u；u）>0和（t，u）∈ O、 要看到这一点，让我们takeu=arg max{V（t，u），kr（u；u）>0}。自V（t，u）≥ V（x）>g，我们有（t，u）/∈ {V=g}。If（t，u）∈ O、 这正是需要的结果。

If（t，u）/∈ O、 那么V（t，u）=KrV=RV（t，u）dkr（u；u）≤ V（t，u）。因此，唯一的可能性是kr（u；u）=1，这提供了所需的矛盾。自u起∈ O、 那么tV（t，u）是唯一定义的tV在（t，u）附近连续。因此，功能tV，V=V- kr（u；）V（.，u），在x和V满意度V（x）=KrV=Xu，u6=uV（t，u）kr（u；u）中不是唯一定义的。由于上述等式中的和是有限的，我们可以多次应用之前相同的参数，以发现空函数不是唯一定义的，这提供了所需的矛盾。因此电视是独一无二的oO、 此外，由于tV是连续的onO，我们可以通过矛盾和使用相同的论点来证明电视持续打开oO因此在“O”上。设O=“O”∩\'O，其中\'Ois是oa的闭包，x是O上的一点。因此，x是（xn）n的极限点≥0和（xn）n≥0，这样（xn）n∈ O和（xn）n∈ O、 设l（resp.l）为limn的极限值→∞电视（xn）（分别为limn→∞电视（xn））。因此，我们可以检查L=limn→∞tV（xn）=limn→∞QV（xn）=QV（x）=limn→∞QKrV（xn）=Krlimn→∞QV（xn）=Krlimn→∞tV（xn）=l。因此，V在O=(R)O上连续∪\'\'O.在集合O={V=g}上，电视显然是连续的tV=0。最后，我们考虑集合O=O和x是O上的一个点。这里，x是（xn）n的极限点≥0和（xn）n≥0，这样（xn）n∈ Oand（xn）n∈ O、 设l（分别为l）为limn的极限值→∞电视（xn）（分别为limn→∞电视（xn））。因此，我们有l=l<=> Qg=0。该关系不一定满足。结论：方程式（24）几乎处处满足V。自从电视是连续的，在电视上例外O={V=g}，除O.F.3最优策略letτTi：=τi外，方程（24）逐点满足∧ Tu执行。

由于V满足方程（6），我们有e[g（UuTuExec）-cqaTuExec]=E[V（TuExec，UuTuExec）]=V（0，U）+Xi≥0EZτTi+1τTi[AV（s，Uus）-cqa]ds+hV（τi，（Uuτi-)βi）-V（τi，Uuτi-)我= V（0，U）。自，按结构，EV（τi，（Uuτi-)βi）- V（τi，Uuτi-)= 0和AV（，U）- cqa=0，这表明该策略满足例如（UuTuExec）-cqaTuExec]=V（0，U），因此，通过定义V（0，U）是最佳的。定理4G的证明。1不等式证明（9）让我们 并通过每T在n上的递归显示结果∈ [0，n].初始化：在这种情况下，我们有V=V=g。迭代：让我们假设n的结果为真。让T∈ [0，（n+1）).o 当T∈ [0，n]: 使用重复性假设，结果是正确的当T∈ （n）, （n+1）]: 让t∈ [0，T]。当t∈ (, T]，通过使用v（T，U）=VT，结果为真-t（0，U），~V（t，U）=VT-t（0，U）和复发假说。让我们开始吧∈ [0, , T）。利用动态规划原理，我们得到（t，u）- V（t，u）|≤supuEhcqa（[Tt，uExec- t] 1？Tt，uExec≤t型+- [Tt，uExec- t] 1Tt，uExec≤t型+)+ cqa（1？Tt，uExec>t+- 1Tt，uExec>t+) +VT-t型(,Uu，) - 及物动词-t型(, Uu)我.– 首先我们有|（▄Tt，uExec-t） 1？Tt，uExec≤t型+-（Tt，uExec-t） 1Tt，uExec≤t型+|≤ ETt，uExec≤t型++1Tt，uExec≤t型+≤ 2小时–其次，使用（4.4.3），我们有EVT-t型(,Uu，) - 及物动词-t型(, Uu)=徐Pu，uVT-t型(, u）- PU= u | u=u及物动词-t型(, u）≤徐Pu，u（￠V）T-t型(, u）- 及物动词-t型(, u）≤ R（T- t型- ).– 最后，我们有CQAE|1？Tt，uExec>t+- 1Tt，uExec>t+|≤ cqaE|1Tt，uExec≤t型++ 1？Tt，uExec≤t型+|≤ cqa2小时。通过组合上述不等式，我们得出T-t（t，u）- 及物动词-t（t，u）|≤ R（T- t型- ) + R≤ R（T- t）.备注5。我们可以证明有限差分格式的不等式（9）（即P=i+Q） 通过添加错误项C自e起Q- （一+Q）=Q+o().G、 2方程式（10）的证明，让uOpti，是与过程相关的分段常数最优控制Uu，t。

我们说，当确认n≥ n、 fn=f。证明大纲：首先，我们证明了子序列（φn）n的存在性≥0使uOpti，φ（n）（ω）→n→∞u（ω）是一个平稳的函数，其中u（ω）是一个分段常数函数。然后，使用▄V（t，U）→→0V（t，U）和稳态收敛uOpti，φ（n），存在n≥ n、 E[克（~Uφ（n），‘uОT’uExec）- cqa▄T▄uExec】=E[g（▄Uφ（n），uOpti，φ（n）~TuOpti，φ（n）执行）- cqaTuOpti，φ（n）执行]→→0V（t，U）。由于Uu是右连续的，(R)u是最佳值。平稳收敛的证明：首先，让我们证明存在 > 0个这样的值∈ [0，T]，我们可以找到一个子序列uOpti，φa（n）（ω），在[a，a+). 让a∈ [0，T]，由于空间C={l，C，m}是紧的，我们可以提取一个子序列φa（n），使得uOpti，φa（n）（ω）（a）向给定极限u（ω）（a）收敛。由于C是确定序列uOpti，φa（n）（ω）（a）是静止的。允许（ω） >0是[0，T]中两次连续跳跃之间的最小时间。因此，uOpti，φa（n）（ω）（a）在[a，a+). 因此，uOpti，φa（n）（ω）（x）→n→∞u（ω）（a），x个∈ [a，a+) 以固定的方式。让m= 英国电信c、 每一个我∈ {0，···，m}, 存在φi使uOpti，φi（n） （ω）（x）→n→∞u（ω）（i）), x个∈ [我, （i+1）).我们定义分段常数极限函数u（ω），使得u（ω）（x）=u（ω）（i), x个∈ [我, （i+1）)通过构造，存在φ（n）（由一定数量的φi构造（n） 成分），序列uOpti，φ（n）（ω）→n→∞u（ω）以固定方式。