基于流动性的最优交易策略

让Unbe转移矩阵由p（q，p），（q，p）=p定义的马尔可夫链U= （q，p）| U=（q，p）,使用第2.2节规定的工艺。给定U的最小生成元Q，可以很容易地计算过渡矩阵P，因为P=（eQ） ，见附录C。在此近似值中，Unis被视为没有代理人干预的市场演变。针对这一新市场，我们引入受控离散时间马尔可夫链U,un=QBef，un，Qa，un，QAft，un，Q2，un，Iun，Pun，PExec，un采用与第3.1节相同的结构。此外，我们还可以计算Pu∞在这种离散时间近似中，遵循第4.1节中的相同方法。在离散框架下数值求解最优控制问题。V的Wedenote（n，u）与离散控制问题相关的值函数，n为周期，u为订单状态。动态规划原理readsV（i，u）=supu∈UE公司五、（i+1），Uui+1- cqa|Uui=U.因此，我们有（i，u）=最大值PuPul，紫外线（i+1，u）- cqa 控制lPuPuc，uV（i+1，u）- cqa 控制cg（u）控制m，（8）终端约束V（nf，u）=g（u），其中uri是控件r之后的新订单状态∈ {l，c，m}和NFI为最终期限。方程（8）提供了计算V的数值格式（0，u）。在最后的时间T，我们可以计算V（nf，u）表示每个可达状态。利用后向方程（8），我们可以计算V（i，u）知道V（i+1，u）获得初始值V（0，u）。第5节给出了模拟的数值结果。为了高效地计算值函数，动态规划方案可以并行化。备注4。请注意，将有限差分格式应用于定理3的方程，可以得到与马尔可夫链U给出的离散时间近似相同的结果n过渡矩阵▄P=I+Q.

什么时候 由于P=e，我们的离散时间近似值与有限差分格式几乎相等Q=I+Q + o().最后，每k≥ 0，我们定义分段常数过程U关联到Unsuchthat：▄Ut=英国，t型∈ [k], （k+1）).我们用▄V表示（t，U）状态过程为▄U的控制问题的值函数. 然后我们得到以下误差估计结果。定理4。对于每个州u=qbef、qa、qaft、q、i、p、pexec, 我们有| V（t，u）- V（t，u）|≤ R（T-t）, （9） R=4cqaH，H在假设2中定义。这确保了离散近似的收敛性：~V（t，u）→→0V（t，u）。此外，序列uOpti，与工艺相关的？Uutsatis fiesuOpti，→→0uOpti，a.s，（10），其中uOpti是与连续时间控制问题相关的最佳控制。附录G中给出了该结果的证明。当 很小，上述误差估计值对P=I+Q有效 （即有限差分方案），见附录G.5数值试验在本节中，我们展示了两种框架中最优策略的相关性：当以固定频率进行决策时-1以及在任何时候拍摄的时间。为了做到这一点，我们比较了我们的策略和标准策略给出的最佳收益加入竞价：以最佳竞价保持在订单中，直到最后一刻。在这里，我们写下Q（resp.Q）来表示最佳出价（resp.ask）限制。5.1最佳增益的计算：在给定频率下作出的决定-1图4显示，对于大小为1的订单，最优策略的平均收益（即初始值函数）与加入初始Qand Q不同值投标的策略之间的差异。最优策略的收益显然总是高于订单中保留的策略的收益。

然而，由于优先级值（这是限制订单与位于同一队列后部的另一限制订单相比的优势）很重要，当不平衡为正时比负时更有用的是激活（即取消订单或发送市场订单）。最后，请注意，最优策略达到了2.4个刻度的最大值（因为刻度δ=0.01）。5.2最佳收益的计算：在任何时间做出的决策图5显示了最佳策略inred在时间零点的价值函数（即交易者的收益），并且其中一个策略保持在最佳出价（蓝色），使用离散近似值，以刻度δ=0.01的百分比表示。点的颜色表示策略给出的初始决策：绿色点表示在开始时留在订单簿中是最佳决策，红色点表示取消是最佳初始决策，黑色点表示发送市场订单是最佳初始决策。当不平衡为高度负时，最好取消订单以避免逆向选择，当不平衡为高度正时，最好发送市场订单或留在订单簿中。在我们的案例中，由于优先级值很重要（即Qbefix等于1），所以当不平衡度为正时，保持在订单簿中是很有趣的。在中间情况下（即不平衡接近0），最好发送市场订单以降低等待成本。我们注意到，最优策略的收益明显优于加入投标的策略。确认。作者衷心感谢ERCgrant 679836 Staqamof和监管分析与模型主席的财政支持。10 20 30 40 50 60投标规模102030405060 ASK size0.0000.0030.0060.0090.0120.0150.0180.0210.024图4：最佳策略的最佳收益与保持最佳投标的策略之间的差异。

初始参数固定如下：时间频率等于 = 10秒，最终时间T=100秒，到达率和消耗率根据数据进行估计（见附录A），在投标（分别要求）限制完全耗尽后，新投标（分别要求）设置为5，新投标（分别要求）设置为3，数量qa=1，等待成本c=0，当ask限制（分别为bid限制）完全消耗且函数f等于恒等式时，价格增加（分别为减少）δ=0.01。参考文献【1】Fr“ed”eric Abergel和Aymen Jedidi。订单建模的数学方法。《国际理论与应用金融杂志》，16（05）：13500252013。[2] eric Abergel神父和Aymen Jedidi神父。基于霍克斯过程的limitorder book的长时间行为。《暹罗金融数学杂志》，6（1）：1026–104320015。[3] 罗伯特·阿尔姆格伦和尼尔·克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，第5-39页，2000年。[4] 马可·阿维拉内达和萨沙·斯托伊科夫。限额指令簿中的高频交易。《定量金融》，8（3）：217–2242008年。[5] 尼古拉斯·巴拉德尔、布鲁诺·布查尔德、大卫·伊万杰利斯塔和奥特曼·穆尼吉德。优化库存管理和订单建模。在eprint arXiv中：1802.08135，2018年。[6] 克里斯蒂安·拜耳、乌尔里希·霍斯特和金鸟球。具有状态相关价格动态的limitorder图书的一个泛函极限定理。《应用概率年鉴》，27（5）：2753–28062017。[7] Dimitris Bertsimas和Andrew Lo。执行成本的最优控制。《金融市场杂志》，1（1）：1–501998年。[8] Imran H Biswas、Espen R Jakobsen和Kenneth H Karlsen。积分方程系统的粘度解决方案，以及与跳跃微分过程的最佳切换和控制的连接。

《应用数学与优化》，62（1）：47–802010。-0.5 0.0 0.5初始不平衡-0.50-0.250.000.250.50平均价格变动静态战略最优战略初始决策：静态初始决策：取消初始决策：市场图5：针对初始不平衡的不同值，以红色表示的最优策略和以蓝色表示的策略合并的策略的每勾收益。初始不平衡由QBef=0、Q=11和Qfrom 1至11、Q=11和Qfrom 10至1获得。初始参数如下：时间步长等于 = 1秒，有10个周期，到达土地消耗率为常数λ1，+=λ2，+=0.06和λ1，-= λ2,-= 0.12，当全部消耗了投标（响应ask）限额，数量qa=1，等待成本c=0.0085，当完全消耗了ask限额（响应bid限额）且函数F为标识时，新投标（响应ask）设置为5，新投标（响应bid）设置为3。[9] 布鲁诺·布查尔德和尼扎尔·图齐。粘性解的弱动态规划原理。《暹罗控制与优化杂志》，49（3）：948–9622011。[10] \'Alvaro Cartea、Sebastian Jaimungal和Jos\'e Penalva。算法和高频交易（数学、金融和风险）。剑桥大学出版社，2015年10月。[11] Rama Cont和Adrien De Larrard。马尔可夫限价订单书签集中的价格动态。《暹罗金融数学杂志》，4（1）：1-252013年1月。[12] Rama Cont、Sasha Stoikov和Rishi Talreja。订单动态的随机模型。运筹学，58（3）：549–56320010。[13] Khalil Dayri和Mathieu Rosenbaum。大刻度资产：隐式排列和最佳刻度大小。《市场微观结构与流动性》，1（01）：155000320015。[14] 蒂埃里·福柯。动态限额订单市场中的订单流量构成和交易成本。

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考虑到买卖对称关系，我们可以聚合数据，只关注出价方。图6：。a、 6。b、 6。c和6。dshow分别为λ1、+、λ1、，-, τ1，+和τ2，+表示不同的Q值。正如预期的那样，我们可以看到，当不平衡为负值时，参与者插入更多的限制指令（见图6.A当Q为负值时 Q） 当不平衡为正时，它们会抵消更多（参见图6.b whenQ Q） 。最后，图6。c（对应图6.d）表明，当不平衡为负（对应正）时，τ1，+（对应τ2，+）较高，当不平衡为正（对应负）时，τ1，+（对应τ2，+）较低，这意味着当Q 当Q Q、 （a）λ1，+（b）λ1，-10 15 20 25 30 35 40 45 ASK SIZE1015250354045投标尺寸3.64.86.07.28.49.610.812.013.210 15 25 30 35 40 ASK SIZE1015250354045投标尺寸3691215182124（c）τ1，+（d）τ2，+10 15 20 25 30 35 40 ASK SIZE1015250354045投标尺寸0.540.660.780.901.021.141.261.3810 15 20 30 30 35 40 ASK SIZE1015250354045投标尺寸0.540.540.540.660.780.901.021.141.261.38图6：（a）λ1，+，（b）λ1，-, （c） τ1，+和（d）τ2，+，表示（Q，Q）的不同值。Qand Qare除以平均事件大小。消耗后的数量。当一个极限耗尽时，我们写下QNew，1（分别为QNew，2）作为新的最佳出价（分别为ask）。图7：。a、 7。b和7。c分别显示QNew、1、QNew、2和比率r+（Q、Q）=QNew、1QNew、2，用于中间价格变动前Qand Qn的不同值。由于我们聚合数据，出价队列始终是耗尽队列，而询问限制则是非消耗限制。图7：。a和7。b表明QNew，1主要依赖于q2，而QNew，2同时依赖于q1和Q。然而，有趣的是，r+在两种情况下达到最大值，见图7。c

第一种情况下，当出价低而要求高时，可以用均值回归效应来解释，而第二种情况下，当两个队列最初都很高时，是由于大量订单的到来消耗了市场流动性。（a） QNew，1（b）QNew，225 30 35 40 45 50 55 ASK SIZE250354555555 BID size17.522.527.532.547.552.557.525 30 35 40 45 50 55 ASK SIZE250354555555 BID size812162024283236（c）r+25 30 35 40 45 50 55 ASK SIZE25035455 BID SIZE510152503540图7：（a）QNew，1，（b）QNew，2和（c）r+表示Qand Q的不同值。Qand平均事件大小。EU近似值[P∞]. 图8显示了EU[P∞] 第4.1节定义并使用命题1计算，初始状态U=（Q，Q，P）的不同值。图8显示了不平衡的预测能力：当不平衡为正时，价格平均上涨，反之亦然。我们还注意到，买卖对称关系得到尊重。短期内的模型近似。图9：。a、 9。b、 9。c和9。d分别显示了20个事件后QA和QA的经验和理论分布。我们选择20个事件，因为它与我们控制的持续时间一致。理论分布的估计基于订单簿的蒙特卡罗模拟。我们可以看到，这两种分布都很接近，因此我们的模型与经验顺序一致，即在单位10 20 30 40 50投标规模1020304050 ASK规模下的理论平均中间价变动-0.008-0.006-0.004-0.0020.0000.0020.0040.0060.008图8：单位价格的理论平均中间价变动。Qand Qare除以平均事件大小，tickδ=0.01。至少在控制持续时间内预订动态。

该模型在长期范围内也与经验数据一致，见[19]。（a） 20个事件后的经验QD分布（b）20个事件后的理论QD分布10 15 20 25 30 35 40 45 ASK规模101520530354045投标规模41220 283644526015 20 25 35 40 45 ASK规模1015250354045投标规模41220 2836445260（c）20个事件后的经验QD分布（d）20个事件后的理论QD分布10 15 20 25 30 35 40 45 ASK规模1015250354045投标规模391523339455110 20 25 3035 40 45 ASK SIZE1015250354045 BID SIZE3915212733394551图9：（a）（分别（c））20次事件后Q（分别（Q）的经验分布和（b）（分别（d））Q（分别（Q）的理论分布。Qand Qare除以平均事件大小。B过程遍历性（Qt）B.1证明概述Ztbe是概率空间上定义的马尔可夫过程(Ohm, F、 Ft，P），并在（W，W）和Pt（x，A）中取值Zt的概率转移。定义1（遍历性）。如果存在满足极限的不变概率测度π，则过程zt是遍历的→∞||Pt（x，.）- π(.)||T V=0，其中| |u- u| | T V=supA∈F |u（A）- u（A）|。设Q为Qt的最小生成元。为了证明qt是遍历的，我们设计了一个lyapunov函数V:R+→ (0, ∞), 对于某些c>0和D>0，满足负漂移条件：QV（q）≤ -cV（q）+d。然后，利用文献[26]中的定理6.1，马尔可夫过程qt是非爆炸的，V-uniformlyergodic。此外，根据[26]中的定理4.2，它是哈里斯正递归的。B、 2证明在假设1、2、3和4中定义了常数δ、z、z、Cbound、H、cdisc和L。让0< < δ、 1<z<最小值（z，z，z），q=（q，q）∈ （N）*).