跳跃VaR：跳跃的顺序统计波动率估计

23、在实践中，就OS估计器而言，我们使用了第3.6小节中提出的迭代算法，而对于阈值估计器，我们适当地将所考虑的算法调整为阈值估计器，并将其应用。我们考虑了以下默顿模型动力学（dXt=bdt+σdWt+γdNtX=0（24），其中wt是标准布朗运动，σ是连续部分的波动性，nti是具有恒定强度λ的泊松过程，并且在发生跳跃的条件下，γ是跳跃大小~ Nu, δ平均u和方差δ。WT和NTA是独立的。选择一个参数集（在图2和图3的标题中报告），我们模拟了这种过程的M=1000个轨迹，并计算了相对增量，Xt，以估计每条路径的波动率σ。我们将OS估计器和阈值估计器应用于增量时间序列，并记录检测到跳跃的实现大小。例如，图2a和2b分别显示了阿默顿模型轨迹及其增量。OS估计器和阈值估计器执行的相应跳跃检测分别如图3a和3b所示。红色点代表应用估计器确定为跳跃的实现。图4a显示了根据两个估计器提供的模拟数据重新生成的卷积（即包括布朗运动和纯跳跃实现）跳跃大小频率分布，这两个估计器考虑了所有样本。OS累积跳跃大小直方图中的峰值是由于跳跃检测中的错误（类型I），即人们愿意接受公差水平p。

这种行为通过图4a和图4b之间的比较得到证实，图4a和图4b显示了通过将OS估计器应用于从复合泊松过程贡献中清除的相同模拟而获得的卷积跳跃大小直方图。更准确地说，在将OS估计器应用于重新标度的布朗运动增量时间序列的情况下，跳跃检测中的错误出现在（a）（b）图3的p%中：在左面板中，报告了OS估计器在图2所示的默顿过程模拟增量时间序列上检测到的跳跃和波动性估计，而在右面板中，显示了阈值估计器提供的相同结果。模型参数：b=0，σ=0.5，λ=10，δ=1.5，u=0。仿真参数：每个仿真的时间步数NT=5000，仿真时间范围T=20。估计器参数：OS估计器容差水平p=5%，带宽h=100。关于第3.6小节中提出的递归算法的最大值（或最小值，取决于起点，即有序实现的最大值或最小值）的情况。在图5中，我们报告了将OS估计器应用于高斯噪声时观察到的概率。与我们的预期相反，概率并不固定且等于p，但移动到顺序统计的中心区域后，概率会减小。这种影响主要是由于我们在计算公式11时忽略了有序实现之间的相关性。尽管概率有所降低，但图4中的峰值明显在0左右，这是由于在0左右观察到实现的概率较高。

因此，即使在跳跃检测中犯下I类错误的概率在零左右较小，误分类实现的数量也相当高，这解释了峰值的存在。为了控制这一误差，估计器确定为跳跃的所有实现（绝对值小于估计波动率）都被重新归类为普通观测值。新的卷积jumpsize直方图如图6所示。该图显示了识别非布朗实现中的阈值估计器极限许多跳跃的大小与连续零件加工增量（隐藏跳跃）中的一个相当，而它显示为OS估计器，基于顺序统计，试图减少这种偏差。红蓝线之间的区域表示OS估计器产生的隐藏跳线识别中的增益。此外，从累积跳跃大小的经验特征函数（e.c.f.）出发，我们分离出了纯跳跃大小的分布，以便在两个估计结果之间进行更深入的比较。图7报告了获得的分布，并证实了OSestimator在跳跃检测中产生的改进。附录B.1中描述了用于过滤和分离跳跃大小分布与其与高斯分布卷积的技术。最后，图8中报告了两个估计器产生的平均时变波动率估计值，这两个估计器通过平均交叉M模拟获得。

正如预期的那样，OS估计器产生的波动率估计值更接近真实波动率值，因为它能够检测到跳跃，即使跳跃的大小与过程连续部分的实现之一相当。关于有限活动，由布朗运动和VG过程（VG+BM过程）之和组成的过程具有以下动力学dXt=dXct+dXV Gt=bdt+σdZt{z}dXct+αdVt+βdWVt{z}dXV GtX=0（25）（a）（b）图4：在左面板中，使用真实跳跃影响的实现创建的累积跳跃大小（即包括布朗运动和纯跳跃实现）直方图（黑线），显示了OS估计器（蓝线）和阈值估计器（红线）确定的跳跃实现，而在右面板中，通过OS estimator应用程序在从CompoundedPoisson贡献中清除的过程增量时间序列上识别的跳跃实现创建的累积跳跃大小直方图（绿线）显示在前面描述的数据的基础上。模型参数：b=0，σ=0.5，λ=10，δ=1.5，u=0。仿真参数：每个仿真的时间步数NT=5000，仿真时间范围T=20，仿真次数M=1000。估计器参数：OSestimator容差水平p=5%，带宽h=100。图5：应用于默顿过程增量时间序列的OS估计器（蓝线）将高斯实现错误分类为跳跃的频率。红色虚线表示OS估计器可以提交的I类错误的最大频率，即M p=50。模型参数：b=0，σ=0.5，λ=10，δ=1.5，u=0。仿真参数：每个仿真的时间步数NT=5000，仿真时间范围T=20，仿真次数M=1000。

估计器参数：OS估计器容差水平P=5%，带宽h=100。其中Vt~ Γtk、 k级是方差为kt的Gamma从属过程，因此，XV gt是参数为α和β的VarianceGamma过程，而σ是连续部分过程（Xct）的波动率，zt和wt是两个独立的布朗运动。与默顿模型一样，我们设置模型参数（如图9标题所述图6：累积跳跃大小（即包括布朗运动和纯跳跃实现）直方图，该直方图使用真实跳跃影响的实现（黑线），OS估计器识别的跳跃实现，包括I型控制误差（蓝线）和阈值估计器识别的跳跃实现（红线）。模型参数：b=0，σ=0.5，λ=10，δ=1.5，u=0。仿真参数：每个仿真的时间步数NT=5000，仿真时间范围T=20，仿真次数M=1000。估计器参数：OS估计器容差水平p=5%，带宽h=100。请注意，对I型误差的控制对应于对所有被确定为跳跃的变现进行重新分类，但其规模绝对值小于普通观测值估计的波动率。图7：真实跳跃大小分布（黑线）和跳跃大小分布，从模拟增量时间序列上通过OS估计器（蓝线）和阈值估计器（红线）应用程序获得的累积跳跃大小分布中分离出来。模型参数：b=0、σ=0.5、λ=10、δ=1.5和u=0。仿真参数：每个仿真的时间步数NT=5000，仿真时间范围T=20，仿真次数M=1000。

估计器参数：OS估计器容差水平p=5%，带宽h=NT S和10），我们模拟了这种过程的M=1000个轨迹，并计算了相对增量XT以估计波动率σ。对于得到的时间序列，我们应用了两个估值器获得局部波动率估值。图8：OS估计器（蓝线）和阈值估计器（绿线）应用程序在模拟默顿过程增量时间序列上提供的平均时变波动率估计值与真实值（红线）之间的比较。模型参数：b=0、σ=0.5、λ=10、δ=1.5和u=0。模拟参数：每个模拟的时间步数NT=5000，模拟时间范围T=20，模拟次数M=1000。估计器参数：OS估计器容差水平p=5%，带宽h=100。请注意，必须与估计值进行比较的真实波动率值为σ√在我们的实施过程中，t=TNT S=0.004。（a） （b）图9：在左侧面板中，显示了方差伽马（VG）过程模拟轨迹（绿线）、布朗运动（BM）模拟轨迹（蓝线）以及它们的总和（VG+BM）（红线）产生的轨迹。在右面板中，分别报告了使用VG+BM和BM模拟轨迹计算的增量时间序列。模型参数：b=0，σ=0.5，α=0，β=1.5，k=0.004。

仿真参数：每个仿真的时间步数NT=5000，仿真时间范围T=20。例如，图9a和9b分别显示了该模型的轨迹及其增量。而OS估计器和阈值估计器执行的相应跳跃检测分别如图10a和10b所示。此外，图11a中报告了两个不同估计器在整个模拟过程中识别为跳跃的实现直方图，而图11b中显示了从累积分布中分离出来的相应跳跃大小分布。（a） （b）图10：在左侧面板中，报告了OS估计器在图9所示的VG+BM过程模拟增量时间序列上提供的检测到的跳跃和波动性估计，而在右侧面板中，显示了阈值估计器提供的相同结果。模型参数：b=0，σ=0.5，α=0，β=1.5，k=0.004。仿真参数：每个仿真的时间步数NT=5000，仿真时间范围T=20。估计器参数：OS估计器容差水平p=5%，带宽h=100。（a） （b）图11：在左侧面板中，报告了OS估计器在图9所示的VG+BM过程模拟增量时间序列上提供的检测到的跳跃和波动性估计，而在右侧面板中，显示了阈值估计器提供的相同结果。模型参数：b=0，σ=0.5，α=0，β=1.5，k=0.004。仿真参数：每个仿真的时间步数NT=5000，仿真时间范围T=20，仿真次数M=1000。估计器参数：OS估计器容差水平p=5%，带宽h=NT S。从两个估计器在M个模拟中平均得到的波动性估计如图12所示。

与有限活动跳跃情况一样，OS估计器能够识别更多的非布朗实现，并产生比阈值更好的波动率估计。然而，在这种过程中，波动率估计的误差非常大。4.2实际数据示例我们还测试了我们的估计器在实际数据样本上的性能。详细地说，我们应用OSALGOTHM来估计IBM股票每日对数收益时间序列的局部波动率。我们通过图12将获得的结果与时变波动率估计提供的结果进行了比较：OS估计器（蓝线）和阈值估计器（绿线）应用程序在模拟默顿过程增量时间序列和真实值（红线）上提供的平均时变波动率估计之间的比较。模型参数：b=0，σ=0.5，α=0，β=1.5，k=0.004。模拟参数：每个模拟的时间步数NT=5000，模拟时间范围T=20，模拟次数M=1000。估计器参数：OS估计器容差水平p=5%，带宽h=100。请注意，必须与估计值进行比较的真实波动率值为σ√在我们的实施过程中，t=TNT S=0.004。具有t-Student创新的GARCH模型。出于实际目的，我们使用了demeaned时间序列。图13显示了OS估计器提供的波动率估计，而图14报告了GARCH波动率估计。红点代表OSestimator确定为跳跃的实现。此外，在图13b、13c中，报告了整个样本重整化实现的经验c.d.f.（红线）、OS估计器确定为非跳跃的重整化实现的经验c.d.f.（蓝线）和标准正态随机变量c.d.f.（黑色虚线），均采用线性和对数标度。

相反，图14b、14c显示了整个样本的经验c.d.f.（红线）、GARCH残差的经验c.d.f.（蓝线）和t-Student随机变量的c.d.f.（自由度、位置和尺度参数均假定为GARCH模型创新（黑色虚线））以及线性和对数尺度。比较图13a和图14a，OS估计器估计的波动率结果比考虑GARCH模型得到的波动率结果更平滑。此外，值得注意的是，总体而言，OS估计的波动率小于GARCHones，因为前者评估高斯过程波动率，过滤检测到的跳跃，而后者提供整个过程波动率的估计。5健全性检查：经验结果为了对OS估计器进行健全性检查，我们将其大量应用于真实数据日志返回时间序列，并测试被归类为非跳跃的重整化实现是否真的来自OS估计器模型所假设的标准正态分布。5.1数据集描述和诊断程序用于剩余诊断的数据集包括2001年1月1日至2016年12月期间2000多个观测值的标准普尔500股票每日日志返回时间序列，共307个时间序列。使用收盘价计算股票对数收益。（a） （b）（c）图13：在第一个面板（13a）中，报告了应用OS估计器得到的IBM股票每日日志回报时间序列和波动率估计时间序列。红点代表OS估计器确定为Jumpsb的实现。而在其他面板（13b和13c）中，整个重整化样本的经验c.d.f.（红线），重整化观测值的经验c.d.f.（蓝线）和c。d、 f。

分别以线性刻度和对数刻度显示标准正态随机变量（黑色虚线）的。时间序列参数：观测次数N=9180（1980年3月17日至2016年8月9日），每日记录频率。估计器参数：OS估计器容差水平p=5%，带宽h=100。对于每个时间序列，我们通过应用Anderson-Darling（AD）检验，检查theOS估计器未分类为跳跃的重整化实现是否作为标准正态随机变量分布。粗略地说，AD测试将理论分布与经验分布进行比较，用适当的度量标准测量它们之间的距离。如果距离太大，则必须拒绝分析样本来自理论分布的无效假设。有关AD测试的更多详细信息，请参阅Anderson等人（1954）。我们强调，在这种情况下，由于我们有兴趣改进零假设，即无跳跃分类回报率是高斯的，因此密度越高，测试越严格。为了提供一致性检查成功的有力证据，我们将AD testequal的置信水平设置为15%，允许I型错误发生概率的15%（即，在15%的案例中，我们可以拒绝无效假设，即使它是真的）。（a） （b）（c）图14：在第一个面板（14a）中，报告了IBM股票每日日志收益时间序列和波动率估计时间序列，这些时间序列是通过考虑具有T-Student创新的GARCH模型得出的。而在其他面板（14b和14c）中，整个样本的经验c.d.f.（红线）、GARCH残差的经验c.d.f.（蓝线）和c.d.f。