跳跃VaR：跳跃的顺序统计波动率估计

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英文标题：
《Jumping VaR: Order Statistics Volatility Estimator for Jumps
  Classification and Market Risk Modeling》
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作者：
Luca Spadafora, Francesca Sivero, Nicola Picchiotti
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper proposes a new integrated variance estimator based on order statistics within the framework of jump-diffusion models. Its ability to disentangle the integrated variance from the total process quadratic variation is confirmed by both simulated and empirical tests. For practical purposes, we introduce an iterative algorithm to estimate the time-varying volatility and the occurred jumps of log-return time series. Such estimates enable the definition of a new market risk model for the Value at Risk forecasting. We show empirically that this procedure outperforms the standard historical simulation method applying standard back-testing approach.
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中文摘要：
在跳扩散模型的框架下，提出了一种新的基于顺序统计量的综合方差估计。模拟试验和经验试验都证实了该方法能够将综合方差从总过程二次方差中分离出来。出于实用目的，我们引入了一种迭代算法来估计对数收益时间序列的时变波动率和发生的跳跃。这种估计能够为风险价值预测定义新的市场风险模型。我们的经验表明，该方法优于应用标准回测方法的标准历史模拟方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Jumping_VaR:_Order_Statistics_Volatility_Estimator_for_Jumps_Classification_and_.pdf (3.35 MB)

2022-6-9 19:39:29 上传

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关键词：VaR 波动率 R statistics Quantitative Applications

例如，Ait Sahalia（2004）已经证明了最大似然估计的渐近能力，以估计从跳跃分量噪声中清除的对数收益的波动性，考虑到泊松跳跃扩散过程（有限跳跃活动），并将结果扩展到柯西跳跃扩散过程（有限跳跃活动的特定情况）。Shephard et al.（2003）基于已实现的功率和双功率变化，提出了在有限活动跳跃情况下随机波动率模型二次变化的连续和跳跃部分的无模型估计。Barndorff-Nielsen等人（2006年）对realizedmultipower变异估计量的研究也扩展到了有限活动跳跃过程的情况，证明了这种估计量在有限活动L'evy过程中的稳健性，活动不太高，并在有跳跃时提供了realizedmultipower变异的渐近分布。Mancini（2009）提出了具有有限或无限跳跃活动的跳跃扩散模型的综合方差的非参数阈值估计，还提供了渐近结果，并在跳跃活动有限的情况下给出了跳跃时间的非参数估计。我们主要将本文和Mancini et al.（2011）作为我们贡献的起点。有关该估算值的更多详细信息，请参见Spadafora et al.（2017）。虽然几位作者将研究重点放在跳跃扩散模型上，以描述资产回报动态，但值得注意的是，Carr et al。

（2002）和Geman（2002）指出，纯跳跃式L’evy过程可用于以更现实的方式建模资产回报，由于L’evy过程的有限活动跳跃部分，用有限的小跳跃代替连续部分。过去几年，在多篇论文中探讨了将资产收益率跳跃纳入风险价值预测的问题。这些工作的范围很广，目的是通过参数化方法计算VaR，假设资产日志回报的跳跃差异动态。例如，Pan et al.（2001）建议通过对通过delta gamma方法近似的投资组合对数回报过程的特征函数应用傅立叶逆变换来计算VaR，而Szerszen（2009）则基于跳跃差异模型进行VaR预测，包括随机波动率和有限和有限活动跳跃分量，以及通过BayesianMCMC（马尔可夫链蒙特卡罗）进行模型规格估计。此外，进一步的相关工作包括Guan等人（2004）和Chen（2010）在跳跃扩散模型框架中提出分析VaR计算。关于VaR预测的研究较少，包括通过历史模拟的非参数方法进行跳跃。在这方面，Gibson（2001）提出了一种基于方差协方差和历史模拟方法计算VaR的算法，对由三项式分布描述的普通成分和跳跃成分的损失过程进行建模，并指出需要增加跳跃时间之间的相关性，以更好地捕捉实际资产回报动态。3波动率估值器3.1简介从Mancini（2009）介绍的非参数阈值估值器开始，我们提出了基于顺序统计的跳跃扩散随机过程综合方差的估值器。

因此，可以通过迭代方法获得过程时变波动率的估计值，这些估计值可用于实际目的，例如用于市场风险建模。在本节中，我们将简单介绍估计器，描述其背后的直觉。作为一个序列，为了更好地描述总体思路，我们有意避免方法的准确性。在以下各节中，我们将提供要介绍的statisticalestimator的正式数学描述。简而言之，我们希望获得跳跃的定义，即相对于时间序列中的其他实现而言，跳跃是异常和异常的实现。因此，我们需要考虑参考分布（在本文的其余部分中，我们考虑高斯分布，即使该方法可以很容易地扩展到其他分布），并且我们需要评估给定的实现是否与它兼容。这种情况下的典型方法是将远离分布中心的所有实现分类为跳跃（异常实现）。例如，一种非常天真的方法可能是考虑时间序列标准偏差的倍数，并假设所有大于（或小于）此（负）阈值的实现都是异常值。在我们看来，这种方法相当粗糙，因为高于（或低于）（负）阈值的所有实现都被归类为跳跃。相反，可能发生的情况是，许多实现离分布中心不太远，但它们对于参考分布来说过于频繁。如果考虑T-Student分布作为实现，高斯分布作为参考，则可以得到一个非常简单的示例。

由于T-Student分布具有厚尾，一旦确定了一个足够大（绝对值）的阈值，许多实现将位于阈值以下，即使其频率与高斯分布不兼容。换句话说，对于给定的阈值，只有真正极端的实现才会被归类为跳跃，但分布的尾部仍将比高斯分布所暗示的尾部更胖。在任何情况下，都可以证明存在一种确定该阈值的智能方法，以获得满足典型统计收敛要求的估计量Mancini（2009）。在本文中，我们希望开发一种不同的方法，能够超越阈值定义所给出的截断效应，同时保持Mancini（2009）中介绍的代表我们主要参考的大部分理论框架。本质上，本文的主要思想基于两个关键点：o将阈值定义问题映射为概率阈值问题o引入极值理论作为识别跳跃的统计工具。关于第一点，我们将阈值问题转化为一个统计问题，我们希望估计观察到如此大（或如此小）的实现的概率。

即使这两个问题等同于我们刚刚应用的映射，我们认为这一步骤从实际角度来看是相关的，因为概率阈值的定义通常比随机变量的阈值更容易理解和解释。关于第二点，我们将统计问题从给定参考分布时观察到实现的概率转换为什么？对于这个问题，获得ak的概率是多少-如果我们可以对n个实现的时间序列进行多次采样，则最大值为观察到的值？通过这种方法的变化，我们质疑每个有序实现是否可以比观察到的更大（或更小）；这样，可能会出现最大值不够大，无法归类为跳跃，这与k不同-th最大值。这样，在上面的T-Student示例中，可以减少最大（最小）观测值的频率，避免引入分布截断的问题。在以下各节中，我们将通过数值和实证示例对这些简单想法进行正式描述。3.2框架根据L'evy It^o分解，L'evy过程的特征是由漂移项和布朗运动形成的连续部分和独立泊松过程的叠加，如Tankov et al.（2015）所述，可能有很多独立泊松过程。因此，将库存日志返回建模为L'evy流程的实现，我们考虑以下设置。Let{Yt}t∈R+是一个动态随机过程（dYt=σtdWt+dJt=dYct+dJtt>0Y=y∈R（1）式中，WT是标准布朗运动，σ是Yt（命名为Yct）连续部分的波动率，JT是纯跳跃过程。纯跳跃过程可以具有有限的活动（FA），即在有限的时间内可以发生无数的“大”跳跃，也可以具有有限的活动（IA），即。

在有限的时间间隔内，可能会出现有限数量的“补偿小”跳跃。注意，我们假设漂移项可以忽略不计，因此我们不将其包含在Ytdynamics inEq中。1、过程Yt的二次变化对应于连续部分的二次变化（称为综合方差（IV））和跳跃分量的二次变化之和（Tankov et al.（2015））。形式上，[Y，Y]t=[Yc，Yc]t+Xs6tJs6=0|Js |=Ztσsds+Xs6tJs6=0|Js |（2）假设在n个离散等距时间δt，…，记录YT过程的实现，nδt=t，我们的目标是估计过程的综合方差，将其与跳跃部分的二次方差分离。命名Yδt，Y2δt，Y（n+1）δt n+1随机变量在采样时间内获得，表示为iY：=Y（i+1）δt-iδt对于i=1，n Ytand的离散增量，同样，iYc：=Yc（i+1）δt-Yciδtas Yt连续部分的离散增量。这些随机变量的相应实现用小写字母表示，即{y纽约}，一方面{yc，另一方面，纽约}。这一符号将贯穿整篇论文。3.3阈值估计器Mancini（2009）提出的非参数阈值估计器定义为^IVT hr=nXi=1(iY）n|iY | 6√θ（δt）o（3），其中θ（δt）是必须满足limδt的阈值函数→0θ（δt）=0和limδt→0δtlogδtθ（δt）=0。Levy连续模定理（Sato（1999））是证明该估计量一致性的关键结果。它说Lim→0sup0<t<10<s<|Wt+s- Wt | q2slogs=1（4）几乎可以肯定。因此，考虑到时间网格0，δt。

，nδt=t，如Mancini（2010）和Mancini（2009）所述，Plimδt→0supi=1，。。。，n | W（i+1）δt- Wiδt | q2δtlogδt6 1= 1（5）因此，记住随机积分的定义，随机积分关于布朗运动的任何路径的绝对值几乎肯定会趋于零，就像函数q2δtlogδt一样。因此，如果(iY）>θ（δt）>2δtlogδt然后，在时间间隔δt内，当δt接近零时，yt过程必须发生一些跳跃。根据Mancini（2009），在上述论文中所述的漂移、差异和阈值函数的假设下，阈值估计器在有限和有限活动跳跃部分的情况下都是一致的。此外，考虑到只有有限活动跳跃成分的过程，在一致性所需的同一组假设下，阈值估计器具有正态渐近分布（即δt→ 0，固定了网格时间范围T），平均值对应于综合方差，方差与记录随机过程的时间步数的倒数成比例，固定了网格的时间范围。因此，估计量收敛到真参数的速度取决于时间步数的平方根。阈值函数的假设对于估计器的一致性是必要的，尽管在实践中，我们只能在离散时间观察到y的实现，因此时间步长δt是固定的。在此设置中，阈值函数的选择并不那么容易。例如，θ（δt）形式的阈值函数：=（δt）β与β∈ ]0，1[Mancini（2009）中建议的]由2δtlogδtonly控制，在δt的限制范围内→ 因此，如果δt足够高，则(iY）>θ（δt）>2δtlogδtdoes不再保持，一些跳跃无法被估计器检测到。

此外，作为Iy取决于尺度参数σ，为了确保关系成立，必须考虑适当的重整化程序，以中和尺度参数的影响。根据这一推理，在我们实现公式3中的估计器时，我们选择正好等于θ（δt）：=2logδt（6）的阈值函数，该函数由{YnY}（与δt成比例），获得与δtlogδt成比例的阈值。值得注意的是，该阈值函数的选择与FigueroaL'opez等人（2017）通过均方误差技术证明的关于最佳阈值定义的结果一致。3.4从最大到订单统计由于等式5在极限范围内，如果δt固定，则以下关系必须为真最大值=1，。。。，n | W（i+1）δt- Wiδt | q2δtlogδt>1= \'\'p<==> Pmaxi=1，。。。，n | W（i+1）δt- Wiδt |>r2δtlogδt！=\'p（7），其中\'p∈ [0，1]是指随机变量maxi=1，…，的某个概率值，。。。，n | W（i+1）δt-Wiδt |。公式7提供了Mancini（2009）中利用的阈值之间的联系，以确定公式3中报告的估计值和概率阈值p。特别是，通过该公式，选择阈值θ（δt）将导致确定与跳跃检测中的误差相对应的置信水平（\'p），人们愿意接受该误差。更一般而言，可以将此方法扩展到通用公差水平p（不考虑绝对值）p最大值=1，。。。，nW（i+1）δt- Wiδt> θW= p（8）表示阈值θW。由于在我们的方法中，我们想要反转公式8，以获得概率p固定值的阈值，我们使用符号θW（p；n，n）明确表示这种依赖关系，其中双n表示公式中的最大运算符。

8可以解释为-一个样本的最小值为n个实现。在下一节中，我们将利用此符号，在这里我们将概括此设置。此外，我们将我们的选择考虑高斯累积分布函数（c.d.f.）作为参考分布，得到以下结果θW（p；n，n）=√δtθ（p；n，n）θ（p；n，n）=F-锌：氮（1- p） （9）式中，FZn:n（x）=（Φ（x））是n个标准正态随机变量最大值的c.d.f.，Φ（x）是标准正态随机变量的c.d.f.（有关此类推导的详细信息，请参阅附录a.1）。如第3.1节所述，这里我们假设我们的参考分布是正态分布，但该方法可以很容易地扩展到其他参考分布。符号Zk:js表示k-在j元素的（递增）有序样本上的实现。值得注意的是，由于正态分布是对称的，随机变量Zn:nand-Z1:n（其中Z1:nis是n个标准正态随机变量的最小值）具有相同的分布。在下文中，我们将等式8作为定义新波动率估值器的起点。根据附录A.2中规定的近似值，θ（p；n，n）乘以{YnY}可以设置为阈值函数，以便在公式3中插入，一旦公差水平p固定，就可以估计L'evy过程Yt的theIV（注意，这里我们假设波动率在时间上是恒定的，而在下一节中我们将放宽这一假设）。此选择意味着集合中的所有实现{yny}大于绝对值，大于IV计算中排除的Yctare离散增量可接受的最大值。然而，这种选择没有考虑到在集合中实现的可能性{y