跳跃VaR：跳跃的顺序统计波动率估计

, ny}，即使小于最大可接受值，也过于频繁，无法beGaussian，因此无法实现Yctonly的离散增量。根据这一推理，阈值θ（p；n，n）可以替换为实现变化的阈值θ（p；k，n），其值取决于{y纽约}。更准确地说，从公式8开始，用大小为n的数据集中的k-thorder统计量代替n个观测值的最大值，可以定义更一般的阈值函数θ（p；k，n）。形式上，数据集中的P（k阶统计量W（i+1）δt- Wiδtni=1>θW（p；k，n）= pmθW（p；k，n）=√δtθ（p；k，n）和θ（p；k，n）=F-1Zk:n（1- p） （10）式中，fzk:n（x）=IΦ（x）（k，n- k+1）=n！（k）- 1)! （n）- k） 哦！ZΦ（x）英国-1(1 - u） n个-kdu（11）是非标准正态随机变量数据集中k阶统计量的c.d.f.，Ix（a，b）是一个参数为a，b的不完全β函数。（附录a.1中报告了阈值θ（p；k，n）的整个推导过程）。此外，由于正态分布的对称性，Zk:nHas的分布与-Z（n-k+1）：n。因此，程序可总结如下：{yny}是有序的，该集中最大的观测值与阈值θ（p；n，n）进行比较，阈值θ（p；n，n）由{y纽约}；根据最大观测值是否被归类为跳跃，阈值本身可以更新为θ（p；n- 1，n- 1） 或θ（p；n- 1，n），始终使用{y纽约}。这样获得的新阈值可以与样品中的第二大元素进行比较，依此类推。

下文报告了基于顺序统计理论的IV新估计量的形式定义。3.5阶统计量估计首先，我们将YT过程离散增量的有序集表示为{n： 纽约，1： nY}带i： n个-1年6月（i+1）：nY i=1，n、 此外，我们引入了集{Gi}mi=0和ngiomi=0的递增序列，其中m=n和m=n. 假设n，即使为了简单起见，我们也定义了neG=oGi={I，…，Ii}I=1，mG=oGi=nI，Iioi=1，m（12），其中iII和iII是逐步定义的随机变量asIi=（1如果（n）-i+1）：nY>θi、 Gi公司-1，Gi-1.0其他方式I=1，mIi=（1如果- i： nY>θi、 Gi，Gi-1.0其他方式I=1，m（13）当阈值函数|θi、 Ga，Gb具有以下定义|θi、 Ga，Gb:=√^σ·θ（p；n，n）如果a=0，b=0θpn-Paj=1Ij，n-Paj=1Ij如果a 6=0，b=0θpn- i+1-Pbj=1Ij，n-Paj=1Ij-Pbj=1Ij如果a 6=b且b 6=0θpn- i+1-Paj=1Ij，n-Paj=1Ij-Pbj=1Ij否则（14），其中^σ表示{YnY}和θ（p；k，n）根据等式10和等式11中的公式计算，给定p。固定公差水平p∈ [0，1]，订单统计（OS）估计量定义如下：IVOS=mXi=1（n）-i+1）：纽约{（n）-i+1）：nY 6￠θ（i，Gi-1，Gi-1） }+mXi=1(i： 纽约）{-i： nY 6°θ（i，Gi，Gi-1） }（15）应该注意的是，在OS估计器公式中，与根据新信息流到达更新的适当阈值相比，与过程Ytis增量相对应的每个随机变量，而^σ用于适当地重新缩放实现变化阈值。基本上，更新信息以确定阈值的算法从最大观测值开始，然后移动到最小观测值，然后移动到第二大实现值，依此类推。

序列{Gi}mi=1和ngiomi=1允许考虑信息历史来更新阈值，引入第二个序列ngiomi=1的目的是在定义新估计量时利用正态分布的对称性。在估计量的实际使用中，应注意观察值应代表正和半负，以避免可能的失真，这显然与分布的对称选择一致。为了直观地了解这种新估计量的行为，我们在下文中提出了一个简化设置。在图1中，标准正态随机变量（蓝色段）及其保留水平（虚线）的可能实现按降序显示。三阶观测由高斯实现和小跳跃实现（红色间隔）组成。二阶和三阶观测值之间的比较强调了在跳跃检测过程中考虑实现频率及其大小的必要性。事实上，如果设定公差水平p后，使用与正态随机变量的最大容许值相对应的已执行阈值来区分是否受跳跃污染的观察结果，则图1的第三个实现不会被检测为跳跃。相反，使用RealizationVariable阈值可以识别跳跃组件感兴趣的这类实现。

粗略峰值，在有序统计量的第二和第三大值附近出现异常高的观测频率▄θ（p；n，n）▄θ（p；n- 1，n）～θ（p；n- 2，n）～θ（p；n- 3，n- 1） θ（p；i，n- i） n：n（n- 1） ：n（n- 2） ：n（n- 3） ：ni:n图1：在简化的框架中，标准正态随机变量（蓝色）的一些可能的有序实现，以及跳跃组件实现加法（红色）及其相对操作系统阈值水平（虚线）。算法1：通过OS估计器计算IV的基本算法。输入：(n： 纽约，1： ny）有序观测向量，p公差水平，实现样本方差估计结果：sIVIV估计，（jn，…，j）与向量相关的布尔跳跃指标向量(n： 纽约，1： ny）初始化（jn，…，j）=（0，…，0），n=n，k=1，k=1；对于i=n，n- 1.ndocuteθ（p；n- k+1，n）根据式10和式11；计算￠θ=√sθ（p；n- k+1，n）；如果i： ny>θthenji← 1.n← n- 1.埃尔塞克← k+1；计算θ（p；n- k+1，n）根据式10和式11；计算￠θ=√sθ（p；n- k+1，n）；如果-（n）-i+1）：ny>θthenjn-i+1← 1.n← n- 1.埃尔塞克← k+1；评估sIV=Pni=1(i： ny）·我们的估计员将这些观察结果解释为一个信号，表明这些实现不能来自阿高斯随机变量。

显然，我们的估计器无法弄清哪一种实现真正受到跳跃的影响。此外，为了完整性，OS估计器还可以以一定的概率（其最大水平为p%）将纯高斯实现检测为跳跃。该估计器实际上是通过算法1中报告的简单迭代算法实现的。为简单起见，如前所述，我们考虑偶数n个观测值的情况。3.6局部波动率估计的迭代算法关于OS估计器的进一步扩展是其在迭代算法中的应用，以估计YT过程的时变波动率。YT过程的局部波动率σtof的估计并不完全直接，它涉及一个迭代的两步估计过程。首先，必须通过相应的局部波动率估计对过程实现进行重新规范化，然后，OS估计（包括核函数）必须应用于此类重新规范化的观测集，以获得新的时变波动率估计。正式定义如下。首先，带宽为h的核函数定义为asKh（s）：=hK上海（16） 其中K（s）是非负加权函数，即r+∞-∞K（s）ds=1且K（s）>0s、 考虑到迭代j>1且letns（j）ioni=1是与集合中每个随机变量的记录时间相关的局部波动率估计的第j个序列{Y然后我们考虑重整化随机变量的第j集ni'Y（j）oni=1：=(i Y（j）：i Y（j）=iYs（j）ifor i=1，n） （17）一旦命名n： 年（j）。

, 1： 年（j）对于这些变量的有序集，我们引入函数f（j），它映射有序集中每个随机变量的指数i（n）-i+1）：n'Y（j）ni=1到集合中相应随机变量的指数▄i=f（j）（i）i Y（j）ni=1。第j次迭代的核OS估计器定义为^σ2（j）OS（t）=Pmi=第1次，i（n）-i+1）：n'Y（j）最大值n（n）-i+1）：n’Y（j）’θi、 \'\'G（j）i-1，G（j）i-1.o、 1个-\'\'X（j-1） n个-i+1+Pmi=第1位，~ii： 年（j）最大值n-i： n▄Y（j）▄θi、 \'G（j）i，\'G（j）i-1.o、 1个-\'\'X（j-1） 我Pni=第1位，~iδt（18），其中序列sn'G（j）iomi=0和n'G（j）iomi=0使得'G（j）=oG（j）i=n'i（j），“I（j）io”G（j）=o“G（j）I=n”I（j），\'I（j）io（19）和\'I（j）I和\'I（j）I是逐步定义为\'I（j）I=（1如果（n）-i+1）：n’Y（j）>’θi、 \'\'G（j）i-1，G（j）i-1.或“X（j-1） n个-i+1=10，否则i=1，m'I（j）I=（1如果- i： n‘Y＞θi、 \'G（j）i，\'G（j）i-1.或“X（j-1） i=10，否则i=1，m（20）带'X（j-1） k：=\'\'I（j-1） n个-f（j-1)-1（f（j）（k））+1如果f（j-1)-1.f（j）（k）∈nn\'\'I（j-1） f（j-1)-1（f（j）（k））如果f（j-1)-1.f（j）（k）∈0, . . . ,n以及第3.5小节中规定的m、mas。阈值函数\'θi、 \'G（j）a，\'G（j）b写入为\'θi、 \'G（j）a，\'G（j）b:=θ（p；n，n）如果a=0，b=0θpn-Paj=1？I（j）j，n-Paj=1？I（j）j如果a 6=0，b=0θpn- i+1-Pbj=1'I（j）j，n-Paj=1？I（j）j-Pbj=1？I（j）j如果a 6=b且b 6=0θpn- i+1-Paj=1？I（j）j，n-Paj=1？I（j）j-Pbj=1？I（j）j否则（21）和粒重Kth，~i：=Khiδt-t型是与顺序统计相关联的内核值i： 不适用。注意f（j-1)-1.f（j）（i）表示（j）的有序随机变量的索引-1） -对应于第j次迭代指数i的有序随机变量的第h次迭代。变量X（j-1） kk=1。

，n允许考虑在算法的前一次迭代中已检测为跳跃的观测值，以便将其从当前迭代的波动性估计中排除。此外，在定义该估计器时加入核权重，可以根据样本中的观测值与需要估计局部波动性的时间点的时间接近程度，对样本中的观测值给予不同的重要性。此外，一旦计算出所有t的σ2（j）OS（t）∈ {0，δt，…，nδt=t}，集合（j-1） ioni=1可以用这些新的估计值更新，并且估计值可以再次应用于新的重整化随机变量。作为起始波动率估计，整个集合的样本方差{YnY}可以耦合到每个随机变量iY表示i=1，n、 值得一提的是，关于第一次迭代（j=1），指标“I（1）I和”I（1）I定义为“I（1）I=（1如果（n）-i+1）：n’Y（1）>’θi、 \'\'G（1）i-1，G（1）i-1.0其他方式I=1，m'I（1）I=（1如果- i： n’Y（1）>’θi、 \'G（1）i，\'G（1）i-1.0其他方式I=1，m（22）和'X（0）i=0i=1，n、 所有其他变量和参数都与前面提到的变量和参数一致。最后，值得注意的是，一般来说，核函数是一个偶数函数（即K（s）=K(-s） ），然而，为了不使用波动率计算时间之前的信息时间，在我们实现这种估计器时，我们使用了单边核函数，即K（s）6=0，仅适用于s 6 0。因此，在不损失一般性的情况下，我们假设核函数也可以是非对称的。更准确地说，我们在实际实现这种估计器时使用的加权函数是kH（ti- t）=hif | ti- t | 6（h+1）δt和ti- 对于每个ti，t<00∈ {0，δt。

，nδt=t}。算法2中报告了计算YT过程时变波动率的迭代算法。网站上还提供了此类算法的在线版本（Python代码）。3.7进一步观察通过一些近似，我们在inEq提出的阈值估计之间建立了对应关系。3和公式15中定义的OS估计器。出于实际目的，可以利用这种匹配在这两个估计量之间进行公平比较。具体而言，从公式15中定义的OS估计器开始，将阈值水平定义为|θi、 Ga，Gb≡~θ =√对于所有i=1，…，σθ（(R)p；n，n），n、 我们得到样本中的每个观察结果{yny}与Yct离散增量的最大容许值进行比较，并设置了公差水平'p。OS估计器的这种特殊实现可与等式3中的阈值估计器进行比较https://github.com/sigmaquadro/VolatilityEstimatorAlgorithm2：通过OS估计器计算YT过程时变波动率的基本迭代算法。输入：(yny）整样本向量，p容差水平输出：（s，…，sn）波动率估计向量，（j，…，jn）布尔跳跃指标向量关联(yny）设置向量的每个分量s序号等于样本方差估计(y纽约）；设置布尔跳跃指示器的向量（j，…，jn）=（0，…，0）；计算归一化向量y：=(是，不适用）带是的=iysi；计算与“y”关联的核向量；对向量y进行排序，并以相同的方式重新排列核向量和布尔向量；根据等式20，重复更新布尔跳跃指示器（j，…，jn）的向量；对于t=1，n应用等式中定义的内核OS估计器。

18使用重新排列的kernel和布尔向量，将其转换为向量y；用内核OS估计器产生的估计值的平方根更新ST；使用新的估计值（s，…，sn）更新归一化向量y；直到应用估计器前后确定的跳跃相同；阈值函数对应于θ（δt）=2logδt^σ，δt的选择应确保'p=Pmaxi=1，。。。，n | W（i+1）δt- Wiδt |>r2δtlogδt！≈ 2Pmaxi=1，。。。，nW（i+1）δt- Wiδt>r2δtlogδt！m'p=Pmaxi=1，。。。，n | Zi |>r2logδt！≈ 2Pmaxi=1，。。。，nZi>r2logδt！mθ(R)p；n、 n个≈r2logδt（23），其中Zi=W（i+1）δt-Wiδt√δt~ N（0，1）i=1，n、 附录A.2中报告了大q2logδ及其推导的近似值。我们使用这两个估计器之间的对应关系，以便能够在模拟测试中对其进行公平的性能比较。此外，在OS估计器所涉及的顺序统计计算中使用不同的c.d.f.代表了此类估计器的进一步扩展。事实上，如前所述，认识到第3.5小节中提出的所有公式都可以用对称分布代替标准正态随机变量的c.d.f.，OS估计器也可以实现，假设连续部分的增量具有不同于正态分布的分布，但仍然是对称的。

例如，假设它们的分布是thet Student one。显然，这只是一个观察，本文中不包括其他评论和细节。4数值和经验测试4.1模拟测试我们通过将OS估计器应用于来自具有有限活动或有限活动跳跃部分的随机过程的模拟样本，来评估OS估计器的性能。更准确地说，我们模拟了两个不同的过程：Merton过程，其跳跃部分对应于复合泊松过程（有限活动），以及由a（a）（b）叠加而成的过程。图2：在左面板中，显示了Merton过程模拟轨迹（蓝线）和相应的DiffusionOnly轨迹（绿线），而在右面板中，分别报告了使用这些模拟轨迹计算的增量时间序列。红点代表真正的跳跃实现。模型参数：b=0，σ=0.5，λ=10，δ=1.5，u=0。模拟参数：每个模拟的时间步数NT=5000，模拟时间范围T=20。布朗运动和独立方差γ（VG）过程，具有有限的活动跳跃部分。对于所有测试，我们还将OS估计器获得的跳跃检测结果与阈值估计器产生的跳跃检测结果进行了比较。如前所述，为了对这两个估计器进行afair比较，我们使用第3.7小节中所述的阈值函数和根据等式校准的δt来实现阈值估计器。