跳跃VaR：跳跃的顺序统计波动率估计

股票时间序列的实证检验结果表明，跳跃式VaR模型优于标准的物理模拟方法，并给出了与更先进的历史模拟方法相当的结果。与跳跃式VaR方法相关的主要优势是：o不需要对收益分布尾部进行特定假设（只需要对分布的中心部分进行消费），不同于GARCH模型，在GARCH模型中，必须对创新者分布进行明确假设；o多亏了跳跃分类法，可以开发出一种特殊的尾部风险方法A波动率估计器A。1阈值θ（p；n，n）和θ（p；k，n）导数考虑到第3.2小节中介绍的框架，公式8中的阈值θ（p；n，n）计算如下。P最大值=1，。。。，nW（i+1）δt- Wiδt> θW（p；n，n）= p<==> Pmaxi=1，。。。，nW（i+1）δt- Wiδt√δt>θW（p；n，n）√δt！=p<==> P最大值=1，。。。，nZi>θW（p；n，n）√δt= p<==> P锌：n>θW（p；n，n）√δt= p<==> PZn:nθW（p；n，n）√δt= 1.- p<==> FZn：nθW（p；n，n）√δt= 1.- p<==> θW（p；n，n）=√δt F-锌：氮（1- p） |{z}=：θ（p；n，n）（31），其中Ziare i.i.d。~ N（0，1），对于i=1，n和Zn:n：=最大值=1，。。。，nZi，FZn:n（x）=（Φ（x））是n个标准正态随机变量最大值的累积分布函数（c.d.f.），Φ（x）是标准正态随机变量的c.d.f。重复相同的推理，等式10中的阈值θ（p；k，n）如下所示。数据集中的第k个有序统计W（i+1）δt- Wiδtni=1>θW（p；k，n）= pmP（数据集中的第k个有序统计(W（i+1）δt- Wiδt√δt）ni=1>θW（p；k，n）√δt）=pmP（数据集{Zi}ni=1>θW（p；k，n）中的k阶统计量）√δt）=pmP（Zk:n>θW（p；k，n）√δt）=pmP（Zk：nθW（p；k，n）√δt）=1- pmFZk:n（θW（p；k，n）√δt）=1- pmθW（p；k，n）=√δt F-1Zk:n（1- p） |{z}=：θ（p；k，n）（32），其中FZk:n（x）是c.d.f。

非标准正态随机变量数据集中的k阶统计量。根据顺序统计理论（David et al.（2003）），FZk:n（x）=IΦ（x）（k，n- k+1）=n！（k）- 1)! （n）- k） 哦！ZΦ（x）英国-1(1 - u） n个-kdu（33），Φ（x）c.d.f.为标准法线，Ix（a，b）为不完全β函数，参数为a，b.a.2近似值P最大值=1，。。。，n | Zi |>∧≈ 2P级最大值=1，。。。，nZi>λ派生let Zii。i、 d。~ N（0，1），对于i=1，n、 设FZ（z）=Φ（z）为标准正态随机变量的c.d.f，且设∧∈ R+。此外，通过简单计算，折叠正态随机变量| Zi |的c.d.f.为f | Z |（Z）=2Φ（Z）- 首先，以下近似值适用于∧large（Bouchaud et al.（2000））P最大值=1，。。。，n | Zi |≤ Λ=F | Z |（λ）n=[2Φ（λ）- 1] n=[1- 2 (1 - Φ（λ））]n≈ 1.-2n（1- Φ（λ））（34），其中第一个等式是顺序统计理论的结果，尤其是n个相同分布随机变量的最大值的c.d.f。类似地，P最大值=1，。。。，nZi公司≤ Λ= [FZ（λ）]n=[Φ（λ）]n=[1- (1 -Φ（λ））]n≈ 1.-n（1- Φ（λ））（35）因此，应用公式34和35中的近似值，P最大值=1，。。。，n | Zi |>∧= 1.- P最大值=1，。。。，n | Zi |≤ Λ≈ n2（1- Φ（λ））=2【n（1）】-Φ (Λ))]≈ 2P级最大值=1，。。。，nZi>λ（36）其中，自P起，最后一个近似值成立最大值=1，。。。，nZi>λ= 1.- P最大值=1，。。。，nZi公司≤ Λ≈ n（1- Φ (Λ)).B数值和经验测试B。1跳跃大小分布滤波和隔离从两个随机变量卷积的特征函数估计开始，通过解析了解第一个随机变量的分布函数，可以通过傅立叶变换技术估计第二个随机变量的概率密度函数。B、 1.1特征函数和卷积性质let x和Xbe分别是两个具有实值p.d.f.s fX（x）和fX（x）的随机变量。

此外，设ψX（u）和ψX（u）为相应的特征函数，并设Y：=X+Xbe X和X的卷积产生的随机变量。Y的特征函数等于ψY（u）=ψX（u）·ψX（u）（37）B.1.2，从傅立叶变换到p.d.f。sLet Z是具有实值p.d.f的随机变量。fZ（Z）和ψZ（u）为相应的特征函数。回顾一般实值随机变量的特征函数对应于基本p.d.f.的傅里叶变换，即ψZ（u）：=eeiuZ公司=RReiuzfZ（z）dz=^fZ（u），以下性质fZ（z）=πReZ∞^fZ（u）eiuzdu（38）允许从其特征函数开始识别Z的p.d.f。B、 1.3跳跃大小分布隔离假设知道与布朗运动部分相对应的高斯随机变量X和跳跃大小随机变量X的卷积的特征函数ψY（u），则可以计算xc的特征函数，将公式37倒置，即ψX（u）=ψY（u）ψX（u）（39）与ψX（u）=eiuu-σu和u以及σ分别是高斯随机变量的平均值和方差。最后，可以通过数值计算公式38来估计跳跃大小随机变量的p.d.f.，其中fX（x）的傅立叶变换与特征函数ψx（u）一致。注意，在实践中，特征函数ψY（u）可以通过使用变量Y的实数进行经验估计。B、 1.4过滤技术通过OS或阈值估计器，识别分类为布朗分量和跳跃分量之和的实现，从而可以估计其经验特征函数。

然而，由于阈值估计器的定义和OS估计器的实现选择遗漏了卷积分布的中心部分，因此必须应用过滤技术来完成此类分布。在实践中，我们使用三次函数插值累积跳跃大小直方图的最后一个中心点，并将其添加到样本y中：=f（x），yn：=尺寸为x，…，的f（xn）实现，分别为xn。f是使用的插值函数。例如，图18a和图18b显示了适用于第4.1小节图7中报告的分布的过滤程序。（a） （b）图18：累积跳跃大小（即包括布朗运动和纯跳跃实现）直方图，使用三次插值函数进行过滤。在左面板中，显示了使用OS估计器确定的跳跃实现（蓝线）及其中心部分填充（绿线）创建的累积跳跃大小历史图，而在右面板中，报告了使用阈值估计器获得的相同数据。模型参数：b=0、σ=0.5、λ=10、δ=1.5和u=0。仿真参数：每个仿真的时间步数NT=5000，仿真时间范围T=20，仿真次数M=1000。估计器参数：OS估计器容差水平p=5%，带宽h=NT S.ReferencesYacine Ait Sahalia。从跳跃中分离分歧。《金融经济学杂志》74（3），487–528。T、 安德森和达林。对拟合优度的检验。《美国统计协会杂志》49（268），765–769。ISSN:01621459。URL：http://www.jstor.org/stable/2281537.Basel银行监管委员会。交易账簿、咨询文件的基本审查。网址：www.bis。org/publ/bcbs219。htm。巴塞尔银行监管委员会。

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