跳跃VaR：跳跃的顺序统计波动率估计

对于具有自由度的T-Student随机变量，GARCH模型创新（黑色虚线）的位置和尺度参数分别以线性尺度和对数尺度显示。时间序列参数：观测次数N=9180（1980年3月17日至2016年8月9日），每日记录频率。估计参数：具有对称T-Student创新的GARCH模型。5.2 AD检验结果应用带有无效假设的AD检验的结果：样本数据来自307个被分类为非跳跃的残差样本的正态分布，总结于表1（“标准价格”行）。很高比例的时间序列无法拒绝AD测试的无效假设，这证实了执行一致性检查的成功。然而，为了调查导致某些时间序列的AD检验无效假设被拒绝的原因，我们对用作一致性检查输入的日志返回时间序列进行了更深入的分析。因此，我们发现，由于引用惯例，对于某些时间序列，零对数返回的频率远远高于预期，这影响了AD测试的结果，并意味着拒绝了零假设。更详细地说，自2001年以来，勾号大小（即报价的最小价格增量）#TS拒绝接受Ho费率标准价格60 20%调整价格50 16%表1：未通过AD测试的时间序列数，剩余分类为非跳跃和相应的拒绝率。时间序列特征：与OS估计器分类为非跳跃的标准普尔500指数股票的对数收益率相对应的每日残差，观察数量N>2000（2001年1月1日至2016年12月），307个分析样本。

估计器参数：OS估计器容差水平p=5%，带宽h=50。（a） （b）图15：在第一个面板（15a）中，报告了IBM股票每日价格差异时间序列的经验c.d.f。而在第二个面板（15b）中，显示了IBM股票每日相对回报时间序列的经验c.d.f。时间序列参数：1980年9月3日至2012年9月12日的观测值，每日记录频率。在美国股票市场上一直是0.01美元。因此，股票价格不同于离散化问题，只能取0.01的倍数（即M={M：M=0.01z，z∈ Z} ），不跨越间隔]m，m-0.01[对于每个可能的多个m∈ M、 例如，图15A显示了IBM股票价格差异的经验c.d.f.，得到的阶跃函数是由报价惯例引起的离散化效应的明确信号。通过相对回报计算，离散价格差除以相应的先前股价。然而，尽管完全等于零的价格差即使除以之前的股价（无论其值是什么），仍然保持为零，但所有其他离散的价格差都会导致实际数字，其值也取决于（随机）之前的股价金额。结果，完全等于0的相对回报的频率高于预期。例如，图15B显示了IBM股票相对回报的经验c.d.f.，以零为中心的巨大垂直阶梯是零回报频率过高的结果，这可能是由价格离散化效应引起的。除零外，经验c.d.f。

其他的返回结果平滑。对数回报是相对回报的近似值，来自同一问题。如表1（“调整后的价格”行）所示，通过使用随机数字序列完成股票价格调整，可以略微改善AD测试性能。为完整起见，应提及的是，在2001年之前，美国股市的典型刻度大小为$=0.125$（或其他分数），因此，使用随机数字调整这些价格的程序结果比根据十进制报价惯例调整价格稍微复杂一些。总之，分析证实了估计量参考分布假设与实证结果之间的总体一致性。6跳跃式VaR模型订单统计（OS）波动率估计器在市场风险建模领域有实际应用。事实上，它可以作为改进VaR预测历史模拟方法的工具。首先，可以使用波动率估计来过滤（重新标准化）损失过程随机变量，以便从二阶矩的角度使其分布相同。此外，通过估计器识别的损失过程的跳跃分量和普通（高斯）分量实现之间的区别可用于研究跳跃概率，从而进行更准确的VaR预测。给定从时间t开始的损失过程N个实现的序列{li}Ni=1- 1到时间t- N- 1，OS估计器允许将一个布尔指示符与每个li关联起来，该指示符说明跳跃是否发生。形式上，我们将{ji}Ni=1={j，j，…，jN}定义为N个指标的序列，这些指标涉及从时间t开始的损失过程跳跃分量的实现- 1到时间t- N- 1，其中ji=（如果发生跳转，则为1），否则为0i=1。

N关于时间t之前损失过程的附加信息- 因此，利用1可以更好地估计时间t的风险价值。新模型描述及其应用结果如下所示。6.1标准化风险模型标准化风险模型是拟议模型中最简单的模型。它是基于损失过程随机变量是独立的但分布不完全相同的假设。在此框架内，为了考虑从i.i.d.随机变量中得出的损失过程实现，它们通过其标准偏差进行了重新规范化。给定之前定义的N个实现序列{li}Ni=1，并用于近似时间t时损失过程的c.d.f.，让{σi}Ni=1为与时间t时损失过程的每个实现相关的波动性估计- 1到时间t- N- 1、在平均损失过程随机变量为零的假设下，filter^li=liσii=1，N（26）从i.i.d.随机变量得出这些实现~ d（0，1），其中d是一般分布，平均值为零，标准偏差等于1。置信水平为λ，V aRλ，t的时间t的风险值计算为样本λ-经验c.d.f的分位数。

时间t的重整化损失过程，将均匀发生概率与每个值^li相关联，乘以最后的可支配波动率σN，因为我们假设最后的可用波动率是VaR时间范围内波动率的最佳预测。6.2跳跃式VaR模型假设损失过程可以分解为普通成分和跳跃式成分，跳跃式VaR模型假设在时间t发生跳跃或不发生跳跃可以用伯努利随机变量来描述，其概率值通过使用损失过程（从时间t开始）的过去实现来估计- 1到时间t- T，对于固定的时间间隔T）。假设跳转大小独立于跳转组件的过去实现。更准确地说，假设XT是一个伯努利随机变量，如果跳变发生在概率pJ（t）为0的时间，则假设值为1，否则为0，与相应的损失过程随机变量相关。形式上，Xt=（1 pJ（t）0 1- pJ（t）t（27）带Xt，Xsindependentt 6=s。概率pJ（t）仅定义为时间的确定函数。在此框架内，发生概率pii=1。与损失过程的N个重整化实现相关的N，N^lioNi=1，计算如下。6.2.1发生概率let J=nji∈ {ji}Ni=1:ji=1是与从时间t开始的损失过程的跳跃实现相对应的布尔指标集-1到时间t-N-1，设N OJ=nji∈ {ji}Ni=1:ji=0obe对应于从时间t开始的损失过程的无跳跃实现的布尔指标集- 1至timet-N-1、在模型假设下，确定集合J中的指标以及相应的损失过程实现的发生概率pi=α，前提是其总和等于时间t的跳跃概率pJ（t）。

形式上，pJ（t）=#JXi=1αN<==> pJ（t）=α#JXi=1N<==> α=pJ（t）pJ（28）最后一个等式来自数量pJ的定义：=P#Ji=1N=NPNi=1ji=#JN。在跳跃大小独立于过去的假设下，集合J中所有跳跃指标的发生概率相同。跳跃导致的损失过程的实现被视为等概率。计算集合N OJ中跳跃指示器的发生概率pi=β，要求所有发生概率pisum为1NXi=1pi=1<==>#JXi=1αN+#NOJXi=1βN=1<==> αpJ+β（1-pJ）=1<==> β =1 - αpJ1- pJ=1- pJ（t）1- pJ（29）6.2.2跳跃概率预测先前定义的序列{ji}Ni=1表示伯努利随机变量Xss=t的实现- 1.t型- N- 1、使用它们并确定大小为T的时间间隔≤ N、 s间隔内的时间平均跳跃概率- T到s可通过估计器pJ（s）=TsXv=s进行估计-每次的TXv（30）s∈ {t-1.t型- （N+T+1）}。值得注意的是，pJ（s）对s间隔内的时间平均跳跃概率进行了无偏估计-T到s（即Eh\\pJ（s）i=TPsv=s-TpJ（v））。我们还假设，在时间t之前的所有信息下，对时间t的跳跃概率的最佳预测-1是对时间t的时间平均跳跃概率的估计- 1.6.2.3 V aRλ，t计算固定时间t，并从时间t知道跳跃分量的实现-1到时间t-N-1，发生概率pii=1，如第6.2.1、6.2.2节所述，计算与跳跃布尔指标{ji}Ni=1相关的N，以及相应的重整化损失过程实现的N^lioNi=1。时间t时过滤损失过程的c.d.f.近似分配为每个阈值^lii=1，N相对发生概率pii=1，N

V aRλ估计为该分布的λ-分位数乘以最后的可支配波动率σN.7 VaR回测性能。为了实际测试第6节中提出的模型的优度，我们预测了307 S&P500股票对数回报时间序列的风险值，评估回测结果。更详细地说，我们比较了5种模型的性能：o过滤跳跃VaR模型（FVaRjj），如第6.2节所述o标准化风险模型（FVaR）o使用1000次变现样本的标准历史模拟VaR（HVaR）o使用250次变现样本的标准历史模拟VaR（HVaR 250）和o使用GARCH模型（t-Student innovations）波动率估计（GARCH）的过滤历史模拟方法的性能。图16:IBM股票每日对数回报时间序列和跳跃VaRmodel（绿线）、带250天时间窗口的标准历史模拟方法（蓝线）、带T-GARCH波动率估计的过滤历史模拟方法（红线）隐含的相应VaR预测。跳跃VaR模型参数：T=60，N=250。估计器参数：OS估计器容差水平p=5%，带宽h=100。图16显示了IBM股票日志收益时间序列的不同VaR预测示例（为清晰起见，在本例中，我们从图中排除了HVaR模型）。为了评估VaR模型的优度，我们进行了一项测试，包括每日回测对数收益率与预测对数收益率分布之间的比较。

为了明确起见，回测对数回归是在固定时间t有效发生的对数回归，而预测的对数回归分布是在时间t预测的分布- 1对于时间t，用于时间t的VaR预测。对于每个时间序列和每个可支配日期，将每日回测日志回报率与预测的日志回报率分布进行比较，并假设（无效假设）回测日志回报率是预测的日志回报率分布的区域化，计算与考虑的分位数对应的百分位秩。如果零假设成立，则每个获得的百分位秩的值将是均匀[0，1]随机变量的实现。这种回溯测试方法类似于为了定义Anderson-Darling测试而开发的基本框架，在该测试中比较了两种分布。为了验证这一假设，我们比较了由发生的百分位秩得出的经验c.d.f.和理论统一c.d.f。。图17显示了307标准普尔500指数股票对数回报时间序列所有样本所得经验c.d.f.点与统一c.d.f.之间的平均绝对差异。图17：经验c.d.f.之间的绝对差异，这是由于比较每日回测对数收益和预测对数收益分布得出的百分位秩，以及理论上的Uniformc。d、 f.对于标准普尔500股票日志返回时间序列。

VaR模型：标准历史模拟方法（HVAR1000次观察的时间窗口和HVAR250次观察的时间窗口），归一化风险模型（FVaR），跳跃VaR模型（FVaR jj），过滤历史模拟方法和T-GARCH（具有T-Student创新的GARCHmodel）波动率估计（GARCH）。就权益时间序列而言，时间窗为1000次观测（HVaR）和时间窗为250次观测（HVaR 250）的历史模拟方法的性能最差，即使时间窗长度的减少改善了该方法的VaR估计结果。归一化风险模型（FVaR）的性能略优于分布中心的其他模型，这些模型应符合真实损失分布的高斯区域。尽管如此，引入跳跃式VaR模型（FVaR jj）所涉及的跳跃式调整可以提高该方法在真实损失分布尾部的性能。最后，带有T-GARCH波动率估计的过滤历史模拟方法显示出与跳跃式VaR模型相当的性能。8总结与结论我们提出了一种新的综合方差估值器，该估值器依赖于一个完善的综合方差阈值估值器的理论框架，并允许为回报时间序列定义一个新的时变波动率估值器。

我们的方法基于顺序统计理论，该理论不仅可以根据实现的大小，而且可以根据其发生的频率来区分随机过程的跳跃部分实现和连续部分实现。数值和经验示例将OS波动率估计器的性能与阈值和T-GARCH估计器的性能进行了比较，表明该估计器能够将过程波动率（由于其连续部分）与跳跃分量导致的进一步“波动”分离开来。网站上还提供了实现我们的估计器的Python代码的在线版本。OS波动率估计器的主要优点如下：提供了跳跃的形式化定义，并描述了跳跃分类算法。https://github.com/sigmaquadro/VolatilityEstimatoro跳转分类方法基于信任区间的定义，而非athreshold。这允许识别隐藏跳转，即低于阈值的跳转仅估计波动率的高斯部分。这一点有助于校准一个由维纳过程和跳跃分量组成的随机微分方程的模型（如局部随机波动率定价模型）。最后，我们为风险价值预测引入了一个新的、简洁的跳跃式VaR模型，以将跳跃效应纳入标准历史（过滤）VaR估计框架。