空间风险度量和空间多样化率

此外，当σC>0（因为C满足CLT）和ν（A）>0时，我们得到σCqα/[ν（A）]6=0。最后，由于α/∈ {0，1}，| qα|<∞. 此外，σC<∞ 和ν（A）<∞, 给出|σCqα/[ν（A）]|<∞. 结果随后是定义。4、由于C满足CLT，我们有，对于所有x∈ R、 E[[C（x）]]<∞, 这意味着，f或所有x∈ R、 E[| C（x）|]<∞. 我们利用富比尼定理很容易推断出E[| LN（λA，C）|]是有限的，因此，R4，α（λA，C）对于所有∈ A和λ>0。定理2给出了∈ Ac，λ（LN（λA，C）- E[C（0）]）d→ N0，σCν（A）, 对于λ→ ∞.现在，已知在一致可积随机变量的情况下，ES在分布收敛方面是连续的。有关详细信息，我们参考Wanget al.（2018），定理3.2和示例2.2，第（ii）点；作者的结果涉及有界随机变量，但上述结果可以推广到可积随机变量的情况。因此，根据以下事实，随机变量λ（LN（λ，C）- E[C（0）]），λ>0，是一致可积的，且高斯分布的ESα的表达式为thatlimλ→∞1.- αZαVaRu（λ[LN（λA，C））- E[C（0）]）ν（du）=σCφ（qα）[ν（A）]（1- α). （33）此外，我们有1- αZαVaRu（λ[LN（λA，C））- E[C（0）]）ν（du）=1- αZαλ（VaRu（LN（λA，C））- E[C（0）]）ν（du）=λ（R4，α（λA，C）- E[C（0）]）。因此，（33）给出了∈ Ac，λ（R4，α（λA，C）- E[C（0）]）=λ→∞σCφ（qα）[ν（A）]（1- α） +o（1），生成（2 8）。现在，我们有E[C（0）]<∞. 此外，利用以下事实，对于所有α∈ （0，1），φ（qα）∈ (0, ∞ ), 在第3点证明的末尾，我们得到|σCφ（qα）/{[ν（A）]（1- α)}| ∈ (0, ∞). 因此，结果遵循定义。备注5。在表3和表4中，我们利用了这样一个事实，即在适当的假设下，就分布收敛而言，两者都是连续的。

因此，类似的结果可能适用于其他经典风险度量，在分布收敛方面满足连续性。定理5包含以下重要结果。推论1。设{C（x）}x∈R∈ C、 此外，假设C满足（21）和CLT。那么，我们有∈ Ac，thatR（λA，C）=λ→∞σCλν（A）+oλ. （34）因此，R（·，C）满足渐近空间序生成公理-2，其中K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ 交流证明。由于C满足CLT，它满足（22）、（25）和σC>0。因此，结果来自定理5第2点。下一个结果提供了一个方便的条件，确保定理5第4点所要求的一致可积性。提案2。设{C（x）}x∈R∈ C、 此外，假设C有一个恒定的期望值并满足CLT。如果满足（21），则随机变量λ（LN（λA，C）- E[C（0）]），λ>0，是一致可积的。证据设λ>0时，Mλ=λ（LN（λA，C）- E[C（0）]）。定理2给出了∈Ac，Mλd→ M、 对于λ→ ∞, 其中M~ N（0，σC/ν（A））。因此，通过连续映射定理，我们得到了mλd→ M、 对于λ→ ∞. （35）现在，很明显，对于所有λ>0，Var（Mλ）=λR（λA，C）。因此，从（34）可以得出Var（Mλ）→λ→∞σC/ν（A），因为对于所有λ>0，E【Mλ】=0，那么E【Mλ】→λ→∞E[米]。此外，Mis是非负的和可积的。此外，它们λ是非负的，对于所有λ>0，E[Mλ]=λR（λA，C），根据定理4，这是有限的，因为（19）是可积的。因此，Mλ是可积的。因此，使用（35）和Billingsley（1999）中的定理3.6，我们知道随机变量Mλ，λ>0是一致可积的。

这直接得出Random变量Mλ，λ>0是一致可积的。3.2成本场是最大稳定随机场的函数，我们现在考虑如（14）所述的成本场模型，即{C（x）}x∈R={E（x）D（Z（x））}x∈R、 （36）其中Z为最大稳定值，曝光均匀等于单位。之前已经强调了使用最大稳定随机场的重要性。在下文中，所有定理和推论都假设Z是简单的，尽管符合实际数据的最大稳定域具有广义极值（GEV）单变量边际分布，且具有位置、尺度和形状参数η∈ R、 τ>0和ξ∈ R、 然而，这不会导致任何通用性损失。如果{Z（x）}x∈Ris是一个具有此类参数的最大稳定场，我们可以写入z（x）=η+τ（￠Z（x）ξ）- 1） /ξ如果ξ6=0，η+τlog（|Z（x）），如果ξ=0，x∈ R、 （37）其中{Z（x）}x∈Ris simple最大稳定性。因此，存在一个函数Dsuch，其中Z（x）=D（~Z（x）），模型（36）可以写为C（x）=D（~Z（x）），其中Z是simplemax稳定的，D=Do D、 带“o” 表示函数组合。打开（0，∞), f对于任何ξ6=0，变换z 7→ η+τ（~zξ）- 1） /ξ在增加，且变换z 7保持不变→ η+τlog（~z），意味着Dis增加。最常见的情况是，损伤函数D也在增加（例如，风速、温度或降雨量越高，成本越高），因此D=D也是如此o D、 因此，推论3-5（见下文）中关于应用于简单最大稳定场的函数为非递减和非常数的要求，在激励当前工作的应用中通常得到满足。为了符号的简单性，在下文中，我们用Z（而不是Z）表示简单的最大稳定场，用D（而不是D）表示数量DoD

因此，读者应注意这样一个事实，即Z为标准化环境场（而非真实环境场）建模，D由Z的边际变换和损伤函数组成。我们首先给出函数D和字段Z的充分条件，以便由成本字段D（Z）得出的空间风险度量R（·，D（Z））满足定义6中所述的公理。推论2。设{Z（x）}x∈Rbe是一个简单的最大稳定随机场，D是一个{C（x）}x的可测函数∈R={D（Z（x））}x∈R∈ C和E[| C（0）|]<∞. 那么，为了阿拉∈ A、 R（A，C）=E[C（0）]。因此，R（·，C）满足平移和空间次加性下的空间不变性轴。此外，如果E[C（0）]6=0，则R（·，C）满足0阶渐近空间h同胚性公理，K（A，C）=0，K（A，C）=E[C（0）]，A∈ 交流证明。因为Z有相同的边距，所以对于所有x∈ R、 E[| C（x）|]=E[| C（0）|]。因此，结果直接遵循fr-om定理3。下面的结果给出了D和Z的充分条件，使得由成本域D（Z）导出的空间风险度量R（·，D（Z））满足渐近空间齐次序公理-2、定理6。设{Z（x）}x∈Rbe是一个简单且样本连续的最大稳定随机场，它是一个可测量的函数，使得{C（x）}x∈R={D（Z（x））}x∈R∈ 存在p，q>0，满足2/p+1/q=1，这样E[| C（0）| p]<∞ （38）和ZR[2- θ（0，x）]qν（dx）<∞, （39）其中θ是Z.Th en的外系数函数，我们有Zr | Cov（C（0），C（x））|ν（dx）<∞.此外，总的来说，C满足（21）且σC>0。然后R（·，C）满足序的非对称空间同质性公理-2，K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ 交流证明。

因为Z有相同的边距，（38）得到，对于所有x∈ R、 E[| C（x）| p]<∞.因此，利用2/p+1/q=1的事实，Davydov不等式（Davydov，1968，方程（2.2））得出| Cov（C（0），C（x））|≤ 12αC（{0}，{x}）q（E[| C（0）| p]）p（E[| C（x）| p]）p.（40），对于所有x∈ R、 因为D是可测的，所以C（x）=D（Z（x））是FZ{x}可测的。因此，FC{x} FZ{x}，由（15）得出，对于所有x∈ R、 αC（{0}，{x}）≤ αZ（{0}，{x}）。（41）现在，使用（16）和Coro lla ry 2。2在Dombry和Eyi Minko（2012）中，我们得到了∈ R、 αZ（{0}，{x}）≤ 2[2 - θ（0，x）]。（42）因此，（41）和（42）的组合得到αC（{0}，{x}）≤ 2[2 - θ（0，x）]。因此，（40）给出| Cov（C（0），C（x））|≤ 12 2q（E[| C（0）| p]E[| C（x）| p]）p[2- θ（0，x）]q。因此，使用（38）和（39），我们得到了zr | Cov（C（0），C（x））|ν（dx）<∞.由于p，q>0，且2/p+1/q=1，我们得到p>2。因此，对于所有x∈ R、 E[[C（x）]]<∞. 因此，定理5第2点给出了结果。直到最后，以下结果提供了D和Z的充分条件，使得诱导空间风险度量R（·，D（Z））、R3、α（·，D（Z））和R4、α（·，D（Z））满足渐近空间齐次性公理-2.-1和-分别为1。为了建立它们，我们利用了Koch et al.（2018）关于平稳最大稳定随机场函数存在CLT的结果。设B（R）和B（（0，∞)) 是R和（0，∞), 分别地Fo r h=（h，h）′∈ Z、 我们采用符号[h，h+1]=[h，h+1]×[h，h+1]。下一个定理考虑了一般简单、平稳和样本连续的最大稳定随机场。定理7。设{Z（x）}x∈Rbe是一个简单的、固定的和样本连续的最大稳定域，并且是一个可测量的函数，从（（0，∞), B（（0，∞ ))) 使（R，B（R））满意|D（Z（0））| 2+δ< ∞, （43）对于某些δ>0。

此外，假设∈ Z、 E“最小值（supx∈[0,1]{Y（x）}，supx∈[h，h+1]{Y（x）}）#≤ Kkhk公司-b、 对于某些K>0，b>2 max{2，（2+δ）/δ}，其中{Y（x）}x∈Ris是Z的光谱随机场（见（17））。设{C（x）}x∈R={D（Z（x））}x∈R、 那么，如果σC>0:1。R（·，C）满足序的渐近空间齐性的轴m-2，其中K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ Ac.2。对于所有α∈ （0，1）\\{1/2}，R3，α（·，C）满足渐近空间阶同胚性-1，K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCqα/[ν（A）]，A∈ Ac.3。对于所有α∈ （0，1），R4，α（·，C）满足了ord er的渐近空间均匀性公理-1，其中K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCφ（qα）/{[ν（A）]（1- α） }，A∈ 交流证明。由于Z是连续采样的，所以它是可测量的。因此，函数D可以从（（0，∞), B（（0，∞))) 对于（R，B（R）），我们得到C是可测的。此外，根据C的平稳性（由于Z的平稳性）和条件（43），对于所有x∈ R、 E[| C（x）|]=E[| C（0）|]<∞. 因此，函数x 7→ E[| C（x）|]是常数，因此显然是局部可积的。因此，命题1给出了C具有a.s.局部可积样本路径。因此，C∈ C、 此外，这些假设使我们能够应用Koch et a l.（2018）中的定理2。后者得出的结果是，随机字段满足CLT。最后，由于C是平稳的，因此它满足（21）并具有恒定的期望。因此，推论1给出了第一个结果。第二个结果来自定理5第3点。定理5中命题2和点4的结合产生了第三个结果。定理7直接得出以下结果。推论3。设Z、D和C如定理7所示（但不假设σC>0）。此外，假设D是非递减且非常数的。时间：1。

R（·，C）满足序的渐近空间齐性的轴m-2，其中K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ Ac.2。对于所有α∈ （0，1）\\{1/2}，R3，α（·，C）满足渐近空间阶同胚性-1，K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCqα/[ν（A）]，A∈ Ac.3。对于所有α∈ （0，1），R4，α（·，C）满足了ord er的渐近空间均匀性公理-1，其中K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCφ（qα）/{[ν（A）]（1- α） }，A∈ 交流证明。Koch et al.（2018）中的命题1给出σC>0。因此，定理7给出了结果。下一个结果涉及Brown–Resnick和Smith最大稳定随机场。Brown-Resnick模型具有很高的实用价值，因为由于其灵活性，它似乎是当前可用的最大稳定模型中最好的（如果不是最好的）模型之一，至少对于环境数据而言是这样；例如，见Davidson等人（2012年，第7.4节），关于降雨。定理8。设{Z（x）}x∈Rbe与变差函数γW（x）=mkxkψ相关的布朗-雷斯尼克随机变量，其中m>0和ψ∈ （0，2），或史密斯随机场w i t协方差矩阵∑，D如定理7所示。设{C（x）}x∈R={D（Z（x））}x∈R、 然后，i fσC>0:1。R（·，C）满足序的渐近空间齐性的轴m-2，其中K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ Ac.2。对于所有α∈ （0，1）\\{1/2}，R3，α（·，C）满足渐近空间阶同胚性-1，K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCqα/[ν（A）]，A∈ Ac.3。对于所有α∈ （0，1），R4，α（·，C）满足了ord er的渐近空间均匀性公理-1，其中K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCφ（qα）/{[ν（A）]（1- α） }，A∈ 交流证明。我们从Brown-Resnick油田的案例开始。如前所述，Brown–R esnick随机场是静止的。因此，C是平稳的，因此满足（21），并且具有恒定的期望。

此外，我们可以从Ko ch et al.（2018）中定理3的证明中看出，Z是样本连续的。因此，定理7的证明中的相同元素得出C∈ C、 此外，Koch et al.（2018）中的定理3给出了满足CLT的C。因此，推论1得出第一个结果。第二个结果来自定理5第3点。定理5中的命题2和点4的组合给出了第三个结果。史密斯随机场作为M3随机场的一个实例是固定的。因此，C是静态的，因此是令人满意的（21），并且有一个恒定的期望。此外，由于史密斯场是样本连续的，与定理7的证明中相同的参数得出C∈ C、 此外，Koch et al.（2018）中的定理4给出了C满足的CLT。因此，推论1得出第一个结果。第二个结果来自定理5第3点。定理5中命题2和点4的结合给出了第三个结果。下一个推论很容易遵循定理8。推论4。设Z、D和C如定理8所示（但不假设σC>0）。此外，假设D是非递减且非常数的。时间：1。R（·，C）满足序的渐近空间齐性的轴m-2，其中K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ Ac.2。对于所有α∈ （0，1）\\{1/2}，R3，α（·，C）满足渐近空间阶同胚性-1，K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCqα/[ν（A）]，A∈ Ac.3。对于所有α∈ （0，1），R4，α（·，C）满足了ord er的渐近空间均匀性公理-1，其中K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCφ（qα）/{[ν（A）]（1- α） }，A∈ 交流证明。如定理8的证明所述，这类Brown-Resnick场和Smith场都是固定的，且样本连续。此外，它们是简单的maxstable。因此，Koch et al.（2018）中的命题1给出σC>0。

因此，定理8得出了结果。设k.k表示R中的欧几里德距离。我们引入B={x∈ R： kxk=1}，R的单位球。对于两个函数和从R到R的gf，方程g（h）=khk→∞o（g（h））表示limh→∞supu公司∈B{g（hu）/g（hu）}=0。此外，limkhk→∞g（h）=∞ 必须理解为limh→∞infu公司∈B{g（hu）}=∞.定理9。设{Z（x）}x∈Rbe用rando m油田{W（x）}x建造的Brown–Resnick随机油田∈R样本连续且其变异函数满足UPX∈[0,1]{γW（h）- γW（x+h）}=khk→∞o（γW（h）），和Limkhk→∞γW（h）ln（khk）=∞.此外，设D如定理m 7所示。设{C（x）}x∈R={D（Z（x））}x∈R、 那么，如果σC>0:1。R（·，C）满足序的渐近空间齐性的轴m-2，其中K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ Ac.2。对于所有α∈ （0，1）\\{1/2}，R3，α（·，C）满足渐近空间阶同胚性-1，K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCqα/[ν（A）]，A∈ Ac.3。对于所有α∈ （0，1），R4，α（·，C）满足了ord er的渐近空间均匀性公理-1，其中K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCφ（qα）/{[ν（A）]（1- α） }，A∈ 交流证明。与定理8的证明中相同的论点表明，C满足（21）且具有常数期望。由于W是样本连续的，Kabluchkoet al.（2009）中的命题13给出了Z是样本连续的。因此，与定理7的证明中相同的参数表明∈ C、 此外，Koch et al.（2018）中的备注3给出了thatC满足CLT的要求。因此，推论1给出了第一个结果。第二个结果来自定理5第3点。定理5中命题2和点4的结合产生了第三个结果。下面的结果是定理9的直接结果。推论5。设Z、D和C如定理9所示（但不假设σC>0）。此外，假设D是非递减且非常数的。时间：1。

R（·，C）满足序的渐近空间齐性的轴m-2，其中K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ Ac.2。对于所有α∈ （0，1）\\{1/2}，R3，α（·，C）满足渐近空间阶同胚性-1，K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCqα/[ν（A）]，A∈ Ac.3。对于所有α∈ （0，1），R4，α（·，C）满足了ord er的渐近空间均匀性公理-1，其中K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCφ（qα）/{[ν（A）]（1- α） }，A∈ 交流证明。随机场Z简单、平稳、样本连续（见第9项证明）且最大稳定。因此，Koch et al.（2018）中的命题1给出σC>0。因此，定理9得出了结果。我们通过对Ko ch（2017）中考虑的u>0的图像函数D（z）=I{z>u}，z>0来结束本节。此函数可从（（0，∞ ) , B（（0，∞))) 至（R，B（R））。此外，它是有界的，因此对于每个随机场Z明显满足（43）。此外，该函数是非递减和非恒定的。因此，关于与变差函数γW（x）=mkxkψ相关的Brown–Resnick随机场的定理3第3点和定理5第2点的结果inKoch（20 17），其中m>0和ψ∈ （0，2）和Smith随机场是推论4.4结论的特例。在本文中，我们首先进一步探讨了Koch（20 17）中引入的空间风险度量的概念和相应的假设，并描述了它们对精算学和实践的实用性。其次，在一般成本场的情况下，我们提供了有效条件，使得与预期、方差、VAR以及由该成本场诱导的ES相关的空间风险度量满足0阶渐近空间同质性公理，-2.-1和-分别为1。