空间风险度量和空间多样化率

对于S Rda闭合子集，我们用FXS表示由随机变量{X（X）：X生成的σ-场∈ S} 。让我们，让我们 Rdbe不相交闭子集。σ场fx与αX（S，S）=supn | P（A）定义的fx之间的α混合系数（由Rosenblatt，1956年引入）∩ （B）- P（A）P（B）|：A∈ FXS，B∈ FXSo。（15） βX（S，S）=sup（IXi=1JXj=1 | P（Ai）给出的σ场fx和fxsi之间的β混合系数或绝对正则性系数（Kolmogorov inVolkonskii和Rozanov，1959）∩ 北京）- P（Ai）P（Bj）|），其中上确界接管所有分区{A，…，Ai}A和{B，…，Bj}o fOhm Ai在FX中，Bj在FXS中。这些系数满足有用的不等式αX（S，S）≤βX（S，S），对于所有S，S Rd.（16）现在，我们回顾了随机场情况下的Van Hove序列和中心极限定理（CLT）的概念。这将是有用的，因为，例如，阶的渐近空间同质性-1个与VaR相关的空间风险度量值（在密度级别α∈ （0，1）\\{1/2}），并由成本域C引起∈ C在Cful完成CLT后立即感到满意，并有一个持续的期望（见下文）。对于V 当r>0时，我们引入V+r={x∈ Rd：距离（x，V）≤ r} ，其中dist代表欧几里德立场。此外，我们表示为V V的边界。Rdis A序列（Vn）n中的Van Hove序列∈满足rdvn的Nof有界可测子集↑ 道路，limn→∞ν（Vn）=∞, 和limn→∞ν((Vn）+r）/ν（Vn）=0表示所有r>0。Van Hove序列的定义中并不总是出现“有界”的假设。让cov表示协方差。

在下面，我们说一个区域{X（X）}X∈Rd等，对于所有x∈ Rd，E[[X（X）]]<∞, 满足CLT ifZRd | Cov（X（0），X（X））|ν（dx）<∞,σX=ZRdCov（X（0），X（X））ν（dx）> 0和，对于任何Van Hove序列（Vn）n∈Nin Rd，[ν（Vn）]1/2ZVn（X（X）- E[X（X）]）ν（dx）d→ N（0，σX），作为N→ ∞ ,其中，N（u，σ）表示期望u的正态分布∈ R和方差σ>0。对于满足CLT的区域，我们有以下结果。定理2。设{C（x）}x∈R∈ C、 此外，假设C有一个常数期望（即，对于所有x∈ R、 E[C（x）]=E[C（0）]，满足CLT。那么，我们有∈ Ac，λ（LN（λA，C）- E[C（0）]）d→ N0，σCν（A）, 对于λ→ ∞.证据该结果基本上基于Koch（2017）定理4的部分证明。我们请读者参阅此证明以了解详细信息，此处仅提供主要观点。首先，我们证明（见Koch，2017，定理4证明的第三段），对于任何∈ A和任意正非递减序列（λn）n∈N∈ R这样limn→∞λn=∞, 序列（λnA）n∈这是Van Hove序列。因此，由于C满足CLT且具有常数期望，我们得到λn（LN（λnA，C）- E[C（0）]）d→ N0，σCν（A）, 对于n→ ∞.其次，我们推断（见Koch，2017，定理4的证明，af t er（44）），对于所有∈ Ac，λ（LN（λA，C）- E[C（0）]）d→ N0，σCν（A）, 对于λ→ ∞.证据到此结束。这个定理在下面将很有用，因为它将允许我们分别证明渐近空间齐次性-2.-1和-1对于空间风险度量，与方差、VaR和ES相关，并由满足CLT和其他条件的成本场引起。此外，如果λ足够大，它给出了归一化空间聚集损耗分布的近似值：LN（λA，C）≈ NE[C（0）]，σCλν（A）,哪里≈ 表示“大致如下”。

这种近似在实践中可能会很有成效，例如，对于保险公司来说。2.4最大稳定随机场对最大稳定场的简要介绍部分基于Koch et al.（2018）第2.2节。下面，“W”表示后一个值接管可数集时的上确界。在任何维度d中≥ 1、最大稳定随机场定义如下。定义7（最大稳定随机场）。实值随机场{Z（x）}x∈如果存在函数序列（在（x），x∈ Rd）T≥1> 0和（bT（x），x∈Rd）T≥1.∈ 因此，对于所有T≥ 1，（WTt=1{Zt（x）}- bT（x）aT（x））x∈Rdd={Z（x）}x∈Rd，其中{Zt（x）}x∈Rd，t=1，T、 是Z的独立复制。如果一个最大稳定的随机场具有标准的Fréchet裕度，即所有x∈ Rd，P（Z（x）<Z）=exp(-1/z），z>0。现在，让{Ti（x）}x∈Rd，i=1，n、 是随机场{T（x）}x的独立复制∈Rd。Let（cn（x），x∈ Rd）n≥1> 0和（dn（x），x∈ Rd）n≥1.∈ R是函数序列。如果存在非退化随机场{G（x）}x∈Rd以便Wni=1nTi（x）o- dn（x）cn（x）x个∈Rdd公司→ {G（x）}x∈Rd，用于n→ ∞,那么G必然是最大稳定的；例如，见de Haan（1984年）。这解释了空间极值建模中最大稳定随机场的相关性和重要性。任何简单的最大稳定随机域Z都可以写成{Z（x）}x（参见，例如，de Haan，1984）∈Rdd公司=(∞_i=1{UiYi（x）}）x∈Rd，（17）其中（Ui）i≥1是（0，∞) 带强度U-2ν（du）和Yi，i≥ 1，是随机场{Y（x）}x的独立复制∈Rd这样，对于ll x∈ Rd，E[Y（x）]=1。字段Y不是唯一的，被称为Z的体随机字段。相反，形式（1 7）的任何随机字段都是一个简单的最大稳定随机字段。因此，（17）能够建立最大稳定油田的模型。

现在，我们介绍了此类模型中最著名的一个，即Brown-Resnickrandom场，该场在Kabluchko等人（20 09）中定义为Brown和Resnick（1977）中引入的托卡斯蒂克过程的推广。我们记得一个随机场{W（x）}x∈如果区域分布{W（x+x），则称Rd具有固定增量- W（x）}x∈Rd不依赖于x∈ Rd.如果W的增量有一个有限的二阶矩，则W的变量ram，γW，由γW（x）=Var（W（x）定义- W（0）），x∈ Rd，其中Var表示方差。Brown–Resnick随机油田的具体情况如下。定义8（Brown–Resnick random油田）。设{W（x）}x∈Rd是一个中心高斯随机变量，具有平稳增量和变异函数γw。我们可以考虑由{Y（x）}x定义的随机域∈研发部=经验值W（x）-Var（W（x））x个∈Rd.然后，由（17）和Y定义的简单最大稳定随机场被称为与变差函数γW相关的Brown–Resnick随机场。在下文中，我们将该场称为由W构建的B rown–Resnick随机场。在下文中，当W是连续样本时，我们称之为用W构建的Brown-Resnick随机场是通过对同样是连续样本的W（见（17））进行复制获得的。Brown–Resnick油田是静止的（Kabluchko等人，20 09，定理2），其分布仅取决于变异函数（Kabluchko等人，2009，命题11）。现在，让（Ui，Ci）i≥1泊松点过程的点位于（0，∞) ×Rdwithintensity函数u-2ν（du）×ν（dc）。独立，让fi，i≥ 1，满足RDE的一类非负随机函数f的独立复制RRdf（x）ν（dx）= 1.然后，已知混合移动极大值（M3）随机场{Z（x）}x∈研发部=(∞_i=1{Uifi（x- Ci）}）x∈Rd（18）是一个固定且简单的最大稳定场。

Smith（1990）介绍的所谓Smith r andom油田是M3随机油田的一种特殊情况，下面对其进行了定义。定义9（史密斯随机场）。设Z如（18）所示，f是平均值为0且协方差矩阵∑的d变量高斯随机向量的密度。然后，将场Z称为协方差矩阵为∑的史密斯随机场。由于Brown-Resnick和Smith场分别使用基于随机场的和M3表示（1 7）和（18）来定义，因此在空间极值文献中，通常可以区分这两种模型，尽管具有协方差矩阵∑的Smith场对应于与变差函数γW（x）=x′∑相关的Brown-Resnick场-1x，x∈ Rd，其中′表示运输位置；例如，参见Huser和Davidson（2013）。最后，我们简要介绍了极值系数（例如，见Schlather和Tawn，2003），这是最大稳定随机场空间相关性的一个著名度量。设{Z（x）}x∈Rdbe是一个简单的最大稳定随机场。在两个位置的情况下，极端系数函数θ由p（Z（x）定义≤ u、 Z（x）≤ u） =经验值-θ（x，x）u, x、 x个∈ Rd，其中u>0.3一些诱导空间风险度量的属性在本节中，我们提供了成本领域的充分条件，使得一些诱导空间风险度量满足定义6中提出的公理。首先，在调查成本场是最大稳定随机场函数的相关案例之前，我们先考虑一般成本场的情况。在下文中，对于α∈ （0，1），qα和φ分别表示α级分位数和标准高斯密度。我们还记得，对于分布函数为F的随机变量X，其值-a t-风险为α级∈ （0，1）被写入VaRα（≈X）=inf{X∈ R:F（x）≥ α}.

此外，还提供了[|  X |]<∞, 其在α置信水平的预期缺口∈ （0，1）定义为αX=1.- αZαVaRuXν（du）。α的典型值为0.95和0.99。应注意的是，在精算文献中，ES有时被称为尾部风险价值（参见Denuit et al.，2005，定义2.4.1）。在下文中，我们主要考虑空间风险度量R（A，C）=E[LN（A，C）]，A∈ A、C∈ C、 R（A，C）=Var（LN（A，C）），A∈ A、 C类∈ C、 R3，α（A，C）=VaRα（LN（A，C）），A∈ A、 C类∈ C、 R4，α（A，C）=ESα（LN（A，C）），A∈ A、 C类∈ C、 作为一种经典的风险度量，期望值不是很令人满意，因为它不能提供任何关于变量的信息。此外，正如将要看到的，相关的空间风险度量没有考虑到成本场的空间依赖性。方差、VaR和ES的一个优势在于，它们相关的空间风险度量都（至少）部分考虑了这种空间依赖性。从历史上看，方差一直是金融领域的主要风险衡量指标，这主要是因为马科维茨的投资组合理论（Portfolio theory of Markowitz）使用方差作为风险衡量指标的巨大影响。然而，只有当归一化的空间聚集损失有一个微秒时刻时，才可能使用方差。此外，由于方差将相同的权重分配给期望的正偏差和负偏差，因此方差仅适用于与期望近似对称的分布。目前，VaR可能是金融/保险行业中使用最广泛的风险度量。然而，对于概率低于1的损失的严重程度，它没有提供任何信息- α、 这显然是一个严重的缺点。此外，Va R通常不是次加性的，因此在Artzner等人（1999）的意义上不一致。克服了VaR的这两个缺点。

关于第一个变量，可以从以下事实看出，如果随机变量X具有连续分布函数，则t henESαX= EhX因此，巴塞尔银行监管委员会建议在基于内部模型的方法中使用ES代替VaR（巴塞尔银行监管委员会，2012年，第3.2.1节）。然而，与VaR相反，ES是不可引出的（Gneiting，2011），这意味着ES的后验比VaR.3.1一般成本领域的后验更困难。下一个结果为成本领域C提供了充分的条件，从而导致空间风险度量R（·，C）满足定义6中提出的公理。定理3。设{C（x）}x∈Rbe一个可测量的随机场，有一个保守的预期，因此，对于所有x∈ R、 E[| C（x）|]=E[| C（0）|]<∞. 那么，我们有∈ A、 R（A，C）=E[C（0）]。因此，由C R（·，C）得出的空间Ris k测度满足平移和空间次加性下的空间不变性。此外，如果E[C（0）]6=0，则R（·，C）满足0阶渐近空间齐性公理，K（A，C）=0，K（A，C）=E[C（0）]，A∈ 交流证明。假设函数x 7→ E[| C（x）|]是常数，因此显然是局部可积的。因此，由于C是可测的，命题1给出了C具有a.s.局部可积样本路径。利用Fubini定理和C具有常数期望的事实，我们得到∈ A、 thatR（A，C）=ν（A）ZAE[C（0）]ν（dx）=E[C（0）]。因此，f或所有v∈ 兰特A∈ A、 R（A+v，C）=R（A，C）。此外，对于所有A，A∈ A、 R（A∪ A、 C）=R（A，C）=R（A，C）=最小值{R（A，C），R（A，C）}。最后∈ 如果λ>0，则R（λA，C）=E[C（0）]。同于| E[C（0）]|≤E[| C（0）|]<∞, 我们有| E[C（0）]|∈ (0, ∞), 这就是证明。下一个结果是Koch（2017）中定理2的推广，并将在下文中有用。定理4。

设{C（x）}x∈R∈ 这样，对于所有x∈ R、 E[[C（x）]]<∞.此外，假设∈ A、 ZAZA | E[C（x）C（y）]|ν（dx）ν（dy）<∞. （19） 那么，f或所有A∈ A和λ>0，w e haveR（λA，C）=λ[ν（A）]ZλAZλACov（C（x），C（y））ν（dx）ν（dy）。在以下情况下，满足条件（19）：1。对于纽约a∈ A、 supx公司∈A.E[C（x）]< ∞. (20)2. 对于所有x，y∈ R、 Cov（C（x），C（y））=Cov（C（0），C（x- y） ），（21）和Zr | Cov（C（0），C（x））|ν（dx）<∞. （22）证明。对于所有A∈ A、 我们考虑L（A，C）=ν（A）LN（A，C）。因此，使用Fubini\'stheorem和（19），我们得到[L（A，C）]= E“ZAC（x）ν（dx）#= EZAC（x）ν（dx）ZAC（y）ν（dy）=ZAZAE[C（x）C（y）]ν（dx）ν（dy）。（23）此外，很明显，（E[L（A，C）]）=ZAZAE[C（x）]E[C（y）]ν（dx）ν（dy）。（24）（23）和（24）的组合给出[L（A，C）]- （E[L（A，C）]）=扎扎科夫（C（x，C（y））ν（dx）ν（dy），这意味着r（A，C）=[ν（A）]扎科夫（C（x，C（y））ν（dx）ν（dy）。结果是用λA代替A得到的。我们现在证明定理的第二部分，关于（19）。让A∈ A、 在第一种情况下，我们使用Cauchy–Schwarz不等式和（20）得到ZAZA | E[C（x）C（y）]ν（dx）ν（dy）≤扎扎E[C（x）]E[C（y）]ν（dx）ν（dy）≤扎扎supx公司∈A.E[C（x）]supx公司∈A.E[C（y）]ν（dx）ν（dy）<∞.在第二种情况下，根据（21）和（22）得出，ZAZA | Cov（C（x），C（y））|ν（dx）ν（dy）=ZAZA | Cov（C（0），C（x- y） ）|ν（dx）ν（dy）=ZAZA公司-y | Cov（C（0），C（z））|ν（dz）ν（dy）≤ZA公司ZR | Cov（C（0），C（z））|ν（dz）ν（dy）=ν（A）~σC<∞,式中，σC=ZR | Cov（C（0），C（x））|ν（dx）。因此，（19）显然是令人满意的。我们记得，对于随机场{C（x）}x∈Rsuch that，for all x∈ R、 E[[C（x）]]<∞, 我们注意到σC=ZRCov（C（0），C（x））ν（dx）.下一个定理提供了本小节的主要结果。

特别是，它给出了成本域C的有效条件，使得诱导空间风险度量R（·，C）、R3、α（·，C）和R4、α（·，C）满足渐近空间齐次公理-2.-1和-分别为1。定理5。设{C（x）}x∈R∈ C、 1。假设C是平稳的。然后，如果存在，任何空间风险度量都与定律不变的类别风险度量∏相关联，并由C满足平移下的空间不变性引起。假设C是这样的，对于所有x∈ R、 E类[C（x）]< ∞, （25）和满意度（21）和（22）。那么，我们有∈ Ac，thatR（λA，C）=λ→∞σCλν（A）+oλ. （26）因此，如果σC>0，R（·，C）符合序的渐近空间何齐性公理-2，K（A，C）=0，K（A，C）=σC/ν（A），A∈ Ac.3。假设C具有恒定的期望值并满足CLT。那么，我们有∈ Ac，thatR3，α（λA，C）=λ→∞E[C（0）]+σCqαλ[ν（A）]+oλ. （27）因此，i fα∈ （0，1）\\{1/2}，R3，α（·，C）满足序空间同胚性的对称公理-1，其中K（A，C）=E[C（0）]，d K（A，C）=σCqα/[ν（A）]，A∈Ac.4。假设C有一个常数，满足CLT，并且随机变量λ（LN（λa，C）- E[C（0）]），λ>0，是统一的。那么，我们有∈ Ac，thatR4，α（λA，C）=λ→∞E[C（0）]+σCφ（qα）λ[ν（A）]（1- α） +oλ. （28）因此，R4，α（·，C）满足序的渐近空间同质性公理-K（A，C）=E[C（0）]，K（A，C）=σCφ（qα）/{[ν（A）]（1- α） }，A∈ 交流证明。1、让A∈ A、 五∈ Rand∏是一个经典的风险度量。利用ν（A+v）=ν（A）的事实和变量的变化，我们得到r∏（A+v，C）=∏ν（A+v）ZA+vC（x）ν（dx）= Πν（A）ZAC（y+v）ν（dy）.（29）由于C的平稳性，对于所有v∈ R、 那{C（x）}x∈Rd={C（x+v）}x∈R、 屈服，因为∏是定律不变的，所以∏ν（A）ZAC（y+v）ν（dy）= Πν（A）ZAC（x）ν（dx）= R∏（A，C）。

（30）（29）和（30）的组合提供了结果。正如（21）和（22）所满足的，我们从定理4中知道，对于所有∈ Acandλ>0，R（λA，C）定义良好。结果来自于Koch（2017）中定理3第3点证明的改编版本。我们请负责人参阅此技术部分的证明。我们在此仅强调一些主要步骤以及主要区别。第一部分包括显示LIMλ→∞λν（A）R（λA，C）=σC.（31）利用定理4和（21），可以得出R（λA，C）=λ[ν（A）]ZλAZλACov（C（0），C（x- y） ）ν（dx）ν（dy）。设Aλ=λA，λ>0。然后，我们考虑数量tλ=λν（A）ZAλZAλk（x- y） ν（dx）ν（dy），λ>0，其中k（x）=Cov（C（0），C（x）），x∈ R、 下一步是显示limλ→∞Tλ=σC.（32）为此，我们与Koch（2017）定理3第3点的证明类似。唯一的区别在于，这里的k不一定是非负的。因此，为了将| T1、λ|和| T3、λ|（这些量在Koch（2017）中定义））从上面绑定，必须用相应积分中的绝对值替换k。这就是条件（22）发挥作用的地方。最后，因为，对于所有λ>0，Tλ=λν（A）R（λA，C），（31）F从（32）开始。在第二部分中，我们很容易从（31）中推导出（26）。现在，作为R的紧子集，Ais有界，给出ν（a）∈ (0, ∞). 此外，由于σC∈ (0, ∞), σC/ν（A）∈ (0, ∞).因此，结果的第二部分遵循fr om（26）。定理2给出，对于所有∈ Ac，λ（LN（λA，C）- E[C（0）]）d→ N0，σCν（A）, 对于λ→ ∞.因此，正态随机变量的分位数函数为continuouson（0，1），Resnick（1987）中的比例为0.1，并且易于计算（见Koch，2017，定理5的证明）得出（27）。由于C满足CLT，我们有E[[C（0）]]<∞因此E[C（0）]<∞. 此外，当α6=0.5时，我们得到qα6=0。