空间风险度量和空间多样化率

局部平稳过程可以用分段平稳过程很好地近似（例如，Ombao等人，2001年，第2.2节），并且，假设r和OM领域也是如此，至少在大多数情况下，我们可以合理地认为成本领域在子区域上是平稳的。在后者中，平移下的空间不变性公理和空间子可加性公理在每个子区域上都是有意义的，在每个子区域上，场是静止的。设sub是这样一个子区域（R的子集），sub是具有正Lebesgue测度的sub的所有紧子集的集合。平移下的空间不变性公理变成：对于所有v∈ 兰特A∈ 将A+v∈ Sub，R∏（A+v，P）=R∏（A，P）；现在编写了空间次可加性：对于所有A，A∈ Sub，R∏（A∪ A、 P）≤ min{R∏（A，P），R∏（A，P）}。当然，定义3的公理是否满足取决于经典风险度量∏和成本领域CP。确定哪种经典风险度量公理满足最广泛类别的成本领域可能很有趣。这些经典的风险度量可以视为“适应”了空间环境。备注1。虽然空间风险度量的概念和相关公理自然适用于保险领域（更多详情请参见第2.2节），但它们也可以用于银行业和金融市场。一个潜在的应用是评估与事件相关证券（如CAT债券）相关的风险。此外，与那些与环境事件造成的损害相关的风险相比，它们可以用于更广泛的风险类别。一旦风险扩散到一个地理区域，这些概念实际上就很有洞察力。

例如，有人可能会想，由于不利的经济条件，房地产的价值损失。本节结束时，我们对之前的概念进行了深入的评论，并对之前的定义进行了略微修改和更自然的版本。首先，我们需要以下有用的结果。定理1。让d≥ 1和{H（x）}x∈Rd是一个可测量的随机场，具有。s、 locallyintegrable示例路径。此外，设A是具有正Lebesguemeasure的rds的紧子集。那么，ln（A，H）=ν（A）ZAH（x）ν（dx）的分布仅取决于H证明的A和fin i-d维数分布。该证明的部分灵感来自Samorodnitskyand Taqqu（1994）中定理11.4.1的证明。我们假设随机场H定义在概率空间上(Ohm, F、 P）。对于固定ω∈ Ohm, 我们用Hω表示Hon Rd的相应实现，用Hω（x）表示H在x位置的实现。通过定义，我们得到，对于几乎所有ω∈ Ohm, thatLN（A，Hω）=ν（A）ZAHω（x）ν（dx）。（3） 现在，让我们(Ohm, F、 P）是不同于概率空间的概率空间（Ohm, F、 P）。设U为定义的随机向量(Ohm, F、 P）并遵循A上的均匀分布，密度fU（x）=I{x∈A} /ν（A），x∈ 从（3）可以直接得出，对于几乎每个ω∈ Ohm,LN（A，Hω）=ZRdHω（x）fU（x）ν（dx）。（4） 让我们用关于概率测度P的期望表示。我们有E[Hω（U）]=ZRdHω（x）fU（x）ν（dx），使用（4），给出LN（A，Hω）=E[Hω（U）]。现在，让我们，U的Unbe独立复制（独立于随机场H）。强大的大数定律给出，对于几乎每个ω∈ Ohm,LN（A，Hω）=limn→∞nnXi=1Hω（Ui）P-a.s.（5）因此，使用Fubini定理，我们推断，对于P-几乎每个ω∈ Ohm,LN（A，Hω）=limn→∞nnXi=1Hω（Ui（ω））P-a.s.（6）现在，我们选择ω∈ Ohm（非随机）序列（U（ω），U（ω），…）满意度（6）。

我们得到ln（A，Hω）=limn→∞nnXi=1Hω（Ui（ω））P-a.s.（7）方程（7）表示LN（a，H）的分布由属于集合{Ui（ω）：i∈ N} 。这就产生了结果。更自然的做法是，特别是在解释方面，将归一化空间累积损失作为成本场的函数，而不是其分布，如下所示。定义4（作为成本场函数的归一化空间累积损失）。标准化的空间聚集损失函数由n定义：A×C→ R（A，C）7→ν（A）ZAC（x）ν（dx）。（8） 让CP∈ C是分布为P的随机场。虽然LN（a，CP）的特定实现显然依赖于CP（通过其相应的实现），但我们从定理1中知道，其分布完全由a和P表征。这解释了我们在定义1中用LN（A，P）代替LN（A，CP）。更精确地说，letC（1）P，C（2）P∈ C是具有相同分布P的随机场。然后，C（1）和C（2）具有相同的有限维分布，这意味着LN（A，C（1）P）d=LN（A，C（2）P）。同样，将空间风险度量定义为成本场的函数，而不是其分布，似乎更为自然。此外，即使经典风险度量∏不是法律不变的，这也允许确定空间风险度量。定义5（作为成本场函数的空间风险度量）。空间风险度量是一个函数R∏，它将实数分配给任何区域A∈ A和随机字段C∈ C： R∏：A×C→ R（A，C）7→ π（LN（A，C）），其中∏是一个经典的风险度量。对于给定的经典和律不变风险测度∏和给定的区域a∈ A、 定义5的空间风险度量值完全由LN（A，C）的分布由∏的定律不变性决定。

因此，使用定理1，它完全由A和成本场C的分布决定。这解释了为什么Koch（2017）引入了空间风险度量的概念，作为C分布的函数（见定义2中的提醒）；如果∏是定律不变的，定义2和5中描述的空间风险度量指的是相同的概念。对于给定的∏和固定的C∈ C、 R∏（·，C）被称为与∏相关的空间风险度量，并由C得出。当然，我们也可以表达定义3中提到的公理，用于成本场C得出的空间风险度量∈ C在正上方引入。在更自然的基础上，它使人们能够忽略经典风险度量∏的法律不变性假设。定义6（成本场引起的空间风险度量公理集）。让∏成为标准风险度量。对于固定C∈ C、 我们为与∏相关并由C，R∏（·，C）诱导的空间风险度量定义了以下axio-ms:1。平移下的空间不变性：适用于所有v∈ 兰特A∈ A、 R∏（A+v，C）=R∏（A，C），其中A+v表示由向量v.2平移的区域A。空间次可加性：对于所有A，A∈ A、 R∏（A∪ A、 C）≤ min{R∏（A，C），R∏（A，C）}。3、序的渐近空间齐性-γ, γ ≥ 0：对于所有A∈ Ac，R∏（λA，C）=λ→∞K（A，C）+K（A，C）λγ+oλγ,式中，λA是通过将g应用于中心bAand比λ>0的y，而K（·，C）：Ac获得的面积→ R、 K（·，C）：Ac→ R \\{0}是依赖于C的函数。对于定义1-3给出的所有解释和解释在定义4-6中仍然有效。出于上述原因，我们认为应使用定义4-6，而不是之前的定义。

这就是下面要做的。2.2保险的具体应用本节专门讨论上述概念与实际风险理论以及实际保险实践之间的联系。我们特别展示了如何将它们用于具体目的。在保险背景下，定义4（或等效定义2）中出现的数量l（A，C）=ZAC（x）ν（dx）（9）可以看作是经典精算个人风险模型的一个连续且更复杂的版本。后者可以公式化为Lind=NXi=1Xi，（10），其中Lind是总Los，N表示保单数量，对于i=1，N、 XI是与第i项保单相关的索赔。Xi总的来说是独立的，但不一定是同分布的。在L（A，C）中，每个位置x对应一份特殊保险单，因此每个C（x）相当于一个Xiin（1 0）。顺便说一下，通过选择ν作为计数度量而不是Lebesgue度量，可以将（9）中的积分减少为和，例如Px∈A′C（x），其中A′是R中的一组有限的阳离子（例如，Z中晶格的一部分）。值得一提的是，本文的思想可以很容易地应用于这样一个框架。即使Xi之间的依赖，i=1，N、 在（10）中，考虑（A，C）（见（9））似乎更有希望。事实上，明确考虑了每种风险（即保险单）的地理信息，因此，所有风险之间的相关性可以用比（10）中更现实的方式建模。风险之间的依赖性直接继承自其各自的相关地理位置，因此，如（10）中所述，忽略其位置，使得对其依赖性的建模更具任意性，可能更不可靠。

在我们的方法中，这种依赖性完全以成本场C的空间依赖结构为特征。潜在中心极限定理（见下文）具有更强的含义，因为依赖性更现实。基于这些原因，模型（8）和（9）可以更准确地评估空间多样性。如果我们将我们的损失模型与经典的实际集体风险模型进行比较，同样的观点也成立。我们的风险模型（8）和（9）以及更广泛的空间风险度量理论可能与愿意调整其保单组合的保险公司特别相关。E、 空间次可加性公理和渐近空间同质性公理可以帮助它评估将其活动扩展到新地理区域的潜在相关性。此类分析要求公司准确了解其风险之间的依赖关系（尤其是可能的新风险和投资组合中已经存在的风险之间的依赖关系），正如模型（8）和（9）通过成本域C所允许的那样，模型（10）无法使保险公司准确地解释新风险与投资组合中已有风险之间的依赖关系，因此无法正确量化年龄增长的影响，即合同数量的增加。目前，我们表明，与我们的直觉一致，当保险人对与其非规范化对应方相关的风险感兴趣时，考虑与规范化空间累积损失相关的风险也是有见地的，这通常是这样的。

设∏bea为正齐次和平移不变的经典风险度量，Pr表示保险公司Ins的索赔准备金、收入或任何相关的量化表面单位（可能是每个表面单位的平均保费）。我们首先考虑空间次可加性公理，该公理假设是满足的。Ins覆盖给定危险的区域a，并潜在地旨在覆盖a点的区域a。我们假设Ins适当对冲其风险，即ν（a）pr≥ ∏（L（A，C）），即pr≥ π（LN（A，C）），（11）不在本文的范围内，无法进入会计细节。正均质性。再次使用相同的性质∏（L（A∪ A、 C））=ν（A∪ A） ∏（LN（A∪ A、 C））。结合∏（LN（A∪ A、 C））≤ π（LN（A，C）），这得到∏（L（A∪ A、 C））≤ν（A∪ A） ν（A）∏（L（A，C））。因此，根据平移不变性，π（L（A∪ A、 C）- ν（A∪ A） pr）=∏（L（A∪ A、 C））- ν（A∪ A） 公关部≤ν（A∪ A） ν（A）∏（L（A，C））- ν（A∪ A） pr.（12）根据（11）得出∪ （A）- ν（A）]≥∏（L（A，C））ν（A）[ν（A∪ （A）- ν（A）]，给出ν（A∪ A） ν（A）∏（L（A，C））- ν（A∪ A） 公关部≤ ∏（L（A，C））- ν（A）pr.（13）（12）和（13）的组合产生∏（L（A∪ A、 C）- ν（A∪ A） pr）≤ ∏（L（A，C）- ν（A）pr）。如果空间次可加性公理或（11）中的不等式是严格的，则最后一个不等式是严格的。因此，如果Ins在A上适当对冲其风险，则风险在A上对冲得更好∪ A、 完全相同的推理适用于A.备注2。对于使用非标准化空间聚集损失定义的空间ris k度量，我们可以提出以下空间次加性公理：对于所有di s jointA，A∈ A、 ∏（L（A∪ A、 C））≤ π（L（A，C））+π（L（A，C））。然而，只要经典风险度量∏是次加性的，这一点就很容易满足，因此其有效性不取决于成本领域C的属性。

基于我们所做的归一化空间聚集损失a的空间亚加性公理更具吸引力，因为它允许来自C（而不仅仅是来自∏）的分散效应。这一论点有利于使用归一化的空间聚集损失定义空间ri s k度量。我们现在考虑序的渐近空间齐性公理-γ, γ ≥ 0、假设满足γ>0（例如，我们将看到∏为Var或ES，γ通常等于1）。根据定义6第3点，可以得出∏（L（λA，C）- ν（λA）pr）=λ→∞λν（A）K（A，C）+ν（A）K（A，C）λ2-γ+氧λ2-γ- λν（A）pr=λ→∞λν（A）（K（A，C）- pr）+ν（A）K（A，C）λ2-γ+氧λ2-γ.由于γ>0，主导项为λ→ ∞ isλν（A）（K（A，C）- pr）。假设K（A，C）>0，K（A，C）>0。对于VaRand ES，在第3节的条件下也是如此：我们有K（A，C）=E[C（0）]，这是正的，因为成本场可以假设为非负的，而非A.s.等于0；关于K（A，C），如果置信水平α大于1/2，那么对于ESand也是如此，对于VaR也是如此。因此，如果λ足够大，公司的总风险∏（L（λA，C）- ν（λA）pr）是λ的递减函数，只要每个地面单位的收入（或索赔准备金，…）满意度>K（A，C）。在第3节的条件下，对于VaR和ES，K（A，C）=E[C（x）]对于所有x∈ R、 因此，后一种不平等意味着每个表面单元的收入（例如，平均保费）超过了每个位置的预期成本，这似乎很自然。术语2- γ对应于相对于λ的第二高幂。假设K（A，C）>0且0<γ<2（在第3节的条件下，VaR和ES也是如此），则相应的项，ν（A）K（A，C）λ2-γ、 随着λ的增加，公司的总风险增加。

然而，γ值越高，随着λ的增加，由于λ中的项，总风险降低的速度越快。对于λ大，γ、K（A，C）、K（A，C）和praw的值允许确定达到总风险的足够低水平所需的λ值。注意，在方差的情况下，至少在第3节的条件下，K（A，C）=0，γ=2。备注3。对于基于非规范化空间聚集损失的空间风险度量，还可以定义平移下的空间方差公理和渐近空间一致性。平移下的空间不变性将被解除，并产生有序的交感空间宏-γ, γ ≥ 0，w将变成：对于所有A∈ Ac，∏（L（λA，C））=λ→∞λν（A）K（A，C）+ν（A）K（A，C）λ2-γ+氧λ2-γ.在这种情况下，我们将获得与非标准化损失相关的风险，而不假设∏是正齐次的。最后，我们讨论了一种可行的方法，使公司能够在成本领域C仍然不活跃的地区开发适当的模型。科赫（2017）第2.3节中引入的成本领域一般模型写为{C（x）}x∈R={E（x）D（Z（x））}x∈R、 （14）其中{E（x）}x∈Ris暴露场，D a损伤函数和{Z（x）}x∈R产生风险的环境变量的随机场。假设成本仅由一类独特的事件造成，即一种独特的自然灾害。后者（如热浪或飓风）由环境变量的随机场（如温度或风速）Z来描述。我们假设Z代表整个期间的风险【0，TL】。将损害函数（文献中也被称为脆弱性曲线）D应用于自然灾害随机领域，给出了每个位置的破坏百分比。

最后，将破坏百分比乘以暴露，得出每个位置的成本。有关更多详细信息，请参阅Koch（2017）第2.3节。为了在尚未制定政策的地区获得适当的模型，例如，公司可以考虑对新地区的风险敞口进行粗略估计，为与自然灾害行业中开发的潜在差异开发详细的统计模型：例如，ma x-stablemodel。环境Z区负责使用适当数据投保的风险（例如，在当前情况下，风速），并应用与该地区相同的损害函数。然后，公司可以根据该成本模型进行模拟，从而获得（8）和（9）中出现的损失的经验分布。这使得检查空间次可加性公理是否满足成为可能。此外，如果空间域很大（这通常是再保险公司的情况），考虑潜在的中心极限定理并确定同向空间同质性的顺序（通过检查第3节的条件是否满足）是有用的，因为它允许公司量化空间分异率。备注4。严格来说，保险政策的条款应在模型（14）中加以说明。顺便说一句，后一种模型的解释与这里的isdone不同。例如，我们可以想象Z代表realcost的随机字段，D代表保单条款。2.3随机场的混合和中心极限定理首先提醒读者第3节将使用的α-和β-混合系数的定义。设{X（X）}X∈Rd是实值随机场。