空间风险度量和空间多样化率

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英文标题：
《Spatial risk measures and rate of spatial diversification》
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作者：
Erwan Koch
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  An accurate assessment of the risk of extreme environmental events is of great importance for populations, authorities and the banking/insurance/reinsurance industry. Koch (2017) introduced a notion of spatial risk measure and a corresponding set of axioms which are well suited to analyze the risk due to events having a spatial extent, precisely such as environmental phenomena. The axiom of asymptotic spatial homogeneity is of particular interest since it allows one to quantify the rate of spatial diversification when the region under consideration becomes large. In this paper, we first investigate the general concepts of spatial risk measures and corresponding axioms further and thoroughly explain the usefulness of this theory for both actuarial science and practice. Second, in the case of a general cost field, we give sufficient conditions such that spatial risk measures associated with expectation, variance, Value-at-Risk as well as expected shortfall and induced by this cost field satisfy the axioms of asymptotic spatial homogeneity of order $0$, $-2$, $-1$ and $-1$, respectively. Last but not least, in the case where the cost field is a function of a max-stable random field, we provide conditions on both the function and the max-stable field ensuring the latter properties. Max-stable random fields are relevant when assessing the risk of extreme events since they appear as a natural extension of multivariate extreme-value theory to the level of random fields. Overall, this paper improves our understanding of spatial risk measures as well as of their properties with respect to the space variable and generalizes many results obtained in Koch (2017).
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中文摘要：
准确评估极端环境事件的风险对人口、当局和银行/保险/再保险行业都非常重要。科赫（2017）引入了空间风险度量的概念和一套相应的公理，这些公理非常适合分析由于具有空间范围的事件而产生的风险，例如环境现象。渐近空间同质性公理尤其令人感兴趣，因为它允许人们在考虑的区域变大时量化空间多样化的速度。在本文中，我们首先研究了空间风险度量的一般概念和相应的公理，并深入解释了该理论对精算科学和实践的有用性。其次，在一般成本场的情况下，我们给出了与期望、方差、风险值以及期望短缺相关的空间风险度量满足0$、2$、1$和1$阶渐近空间齐性公理的充分条件。最后但并非最不重要的是，在代价场是最大稳定随机场函数的情况下，我们提供了函数和最大稳定场的条件，以确保后者的性质。最大稳定随机场在评估极端事件风险时是相关的，因为它们是多元极值理论在随机场水平上的自然延伸。总体而言，本文提高了我们对空间风险度量及其空间变量性质的理解，并概括了Koch（2017）的许多结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：风险度量 风险度 多样化 Multivariate respectively

空间风险度量和空间河流污染率*2019年6月28日摘要准确评估极端环境事件的风险对人口、当局和银行/保险/再保险行业都非常重要。科赫（2017）引入了空间风险度量的概念和相应的公理集，这些公理非常适合于分析具有空间范围的事件（例如环境现象）造成的风险。渐近空间同质性公理尤其令人感兴趣，因为它允许人们在考虑的区域变大时量化空间多样性的比率。在本文中，我们首先研究了空间风险度量的一般概念和相应的ax-IOM，并深入解释了该理论对精算科学和实践的有用性。其次，在一般成本场的情况下，我们给出了充分的条件，使得与预期、方差、风险值以及由该成本场引起的预期短缺相关的空间风险度量满足0阶渐近空间同质性公理，-2.-1和-分别为1。最后但并非最不重要的一点是，在成本场是最大稳定随机场的函数的情况下，我们提供了函数和最大稳定场的条件，以确保后者的性质。最大稳定随机场在评估极端事件风险时是相关的，因为它们是多元极值理论在随机场水平上的自然延伸。

总体而言，本文提高了我们对空间风险度量及其与空间变量相关性质的理解，并概括了Koch（2017）获得的许多结果。关键词：中心极限定理；保险最大稳定随机场；空间分散率；再保险；风险管理；风险理论；空间依赖性；空间风险度量和相应的公理化方法。1简介2017年9月，飓风“伊尔玛”影响了许多加勒比岛屿和佛罗里达州部分地区，造成至少134人死亡，灾难性损失超过648亿美元。这样一个例子表明，准确评估自然灾害风险对民政部门和保险业至关重要，尤其是*EPFL，统计局主席，EPFL-SB-MATH-STAT，MA B1 433（马萨诸塞州巴蒂门特），81015洛桑站，瑞士。电子邮件：erwan。koch@epfl.通过本文，保险也指再保险。在气候变化背景下，某些类型的极端事件变得越来越频繁（如Bevere和Mueller，2014）。出于自然灾害的空间特征，科赫（2017）引入了一个新的空间风险度量概念，明确了空间的贡献，并能够解释风险度量中至少部分的空间依赖性。他还介绍了一套公理，描述了至少在某些条件下，风险预计将如何随空间变量演变。这些概念构成了风险评估的相关工具。例如，对渐近空间同质性顺序的了解可以量化空间差异率。因此，他们可能对银行/保险业有吸引力。应该强调的是，关于空间背景下风险度量的文献非常有限。

据我们所知，科赫（2017）的论文首次尝试在风险分布于连续地理区域的空间背景下建立风险度量理论。在下文中，与经典风险度量∏相关并由成本随机场C（例如，模拟自然灾害造成的损害造成的成本）引起的空间风险度量包括∏应用于不同地理区域C的标准化积分所产生的空间函数。本文的贡献是三倍的。首先，我们进一步探讨了Ko ch（2017）中引入的空间风险度量的概念和相应的行为。除其他外，我们表明，对于给定区域，归一化空间聚集损失的分布完全由成本场的有限维分布决定，并提出了科赫（2017）提出的概念的替代定义。此外，我们还深入解释了为什么这一关于空间风险度量的整体理论在精算科学和实践中都富有成效；e、 我们表明，考虑与归一化损失相关的风险并不妨碍我们的理论在研究与非归一化损失相关的风险方面取得成功。我们还指出了保险公司如何利用它来解决具体问题。其次，在一般成本场的情况下，我们给出了充分的条件，使得与预期、方差、风险值（VaR）以及由该成本场引起的预期短缺相关的空间风险度量满足0阶渐近空间同质性公理，-2.-1和-分别为1。最后但并非最不重要的一点是，我们关注成本场是最大稳定随机场函数的情况。

我们在函数和最大稳定域上都提供了充分的条件，使得与预期、方差、VaR以及ES相关的空间风险度量以及由此产生的成本域所引起的空间风险度量满足0阶共空间同质性公理，-2.-1和-分别为1。当人们对具有空间范围的重大事件感兴趣时，自然会出现最大稳定的随机场，因为它们构成了多变量极值理论对随机场水平的扩展（对于随机过程，请参见，例如，de Haa n，1984；de Haan和Ferreira，2006）。它们特别适合于建模空间中所有点上给定变量（例如气象变量）的时间最大值，因为它们是在适当重新缩放的独立且相同分布的随机场的有限个点上出现的。总体而言，本研究提高了我们对空间风险度量及其空间变量性质的理解，并推广了Koch（2017）的许多结果。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾并进一步研究了空间风险度量的概念以及inKoch（2017）介绍的相应公理集。此外，我们充分证明了它们对精算学和实践的有用性。然后，我们介绍了随机场的混合和中心极限定理的一些概念。最后，我们提供了一些关于最大稳定随机场的见解。然后，第3节介绍了我们关于一些空间风险度量的性质的结果。最后，第4节包含一个简短的总结以及一些观点。纵观报纸(Ohm, F、 P）是一个足够的概率空间，d=and→ 分别指定分配中的平等和收敛。

对于随机场，分布必须理解为一组有限维分布。最后，我们用ν表示Lebesgue测度。2空间风险度量和其他概念2.1空间风险度量和相应公理首先，我们描述了正确定义空间风险度量所需的设置。设a是具有正Lebesgue测度的Rw的所有紧子集的集合，a的所有凸元素的集合。用C表示Rhaving几乎肯定（a.s.）局部可积样本路径上所有实值和可测随机场的集合。让Pbe表示属于C的所有可能的随机领域分布。每个随机领域代表特定类别事件在给定时间段内造成的经济或保险成本，例如[0，TL]。在下文中，t被视为固定的，为了省钱，不再出现。每类事件（如欧洲风暴或飓风）在下文中称为ahazard。设L是定义的所有实值随机变量的集合(Ohm, F、 P）。风险度量通常是一些函数∏：L→ R、 下面将把这种风险度量作为一种经典的风险度量。一个经典风险度量∏被称为定律不变性，如果，对于所有X∈ 五十、 π（~X）仅取决于~X的分布。我们首先提醒读者对归一化空间聚集损失的定义，这使我们能够区分空间的贡献和危险的贡献，并支持我们对空间风险度量的定义。定义1（作为成本场分布函数的归一化空间累积损失）。

对于∈ A和P∈ P、 规范化的空间聚集损失定义为：n（A，P）=ν（A）ZACP（x）ν（dx），（1）其中，随机场{CP（x）}x∈Rbelongs to C and has distribution P。数量l（A，P）=ZACP（x）ν（dx）（2）对应于特定危险导致的区域内的总经济或保险损失。出于技术原因并有利于更直观的理解，我们将空间风险度量的定义基于LN（a，P），LN（a，P）是每个表面单位的损失，可以概括出本文，当应用于随机领域时，形容词“可测量”表示“可联合测量”。除非另有说明，我们所说的“平安险”是指在不连续的情况下，在保险上下文中被解释为“平均损失保险单”。除其他优势外，这种标准化能够公平比较与不同规模地区相关的风险。由于现场CPI是可测量的，L（A，P）和LN（A，P）是定义良好的随机变量。此外，它们是a.s.有限的，因为a是紧的，并且CPA具有a.s.局部可积样本路径。以下命题给出了随机场具有a.s.局部可积样本路径的充分条件。提案1。Le t d≥ 1和{Q（x）}x∈Rdbe是一个可测量的随机领域。如果功能：Rd→ Rx 7→ E[| Q（x）|]是局部可积的，那么Q有a.s.局部可积样本路径。证据设A是Rd的一个紧子集。首先，由于Q是可测的，所以RA | Q（x）|ν（dx）是一个定义良好的随机变量。

根据Fubini定理，我们有ZA | Q（x）|ν（dx）=ZAE[| Q（x）|]ν（dx）<∞,这必然意味着za | Q（x）|ν（dx）<∞ a、 由于这对于所有a都是Rd的紧子集是正确的，所以我们得到了结果。我们现在回顾科赫（2017）提出的空间风险度量概念，该概念明确了空间在风险度量中的贡献。定义2（作为成本场分布函数的空间风险度量）。空间风险度量是一个函数R∏，它将实数分配给任何区域A∈ A和分布P∈ P： R∏：A×P→ R（A，P）7→ π（LN（A，P）），其中∏是一个经典的不变性风险度量，在（1）中定义了d LN（A，P）。这将经典风险度量的概念扩展到了空间和有限维度设置，因为我们现在有了一个随机领域（或直接随机领域，见下文）的空间和分布函数，而不是一个唯一的实值随机变量函数。注意∏的法律不变性对于以这种方式定义空间风险度量是必要的；有关更多详细信息，请参见下文。对于给定的∏和固定的P∈ P、 数量R∏（·，P）被称为与∏相关的空间风险度量，由P导出。一个很好的特点是，对于许多有用的经典风险度量∏，例如VaR ia nce、VaR和ES，这种空间风险度量的概念允许人们考虑（至少）部分油田CPI的空间依赖结构。我们可以用同样的方法定义空间风险度量，但使用非标准化的空间聚集损失；由于上述原因和下面的备注2，我们不会这样做。现在，我们提醒读者注意inKoch（201 7）开发的空间风险度量公理集。它涉及空间风险度量属性，而不是成本分布，后者被认为是由问题athand决定的。

对于任何A∈ A、 让巴登诺特成为它的酒吧中心。见第2.2节。定义3（分布引起的空间风险度量公理集）。设∏是一个经典的、法律不变的风险度量。对于固定P∈ P、 我们为与∏相关并由P，R∏（·，P）诱导的空间风险度量定义了以下公理：1。平移下的空间不变性：适用于所有v∈ 兰特A∈ A、 R∏（A+v，P）=R∏（A，P），其中A+v表示由向量v.2平移的区域A。空间次可加性：对于所有A，A∈ A、 R∏（A∪ A、 P）≤ min{R∏（A，P），R∏（A，P）}。3、序的渐近空间齐性-γ, γ ≥ 0：对于所有A∈ Ac，R∏（λA，P）=λ→∞K（A，P）+K（A，P）λγ+oλγ,式中，λA是通过将g应用于中心bAand比λ>0的y，而K（·，P）：Ac→ R、 K（·，P）：Ac→ R \\{0}是依赖于p的函数。引入空间蚂蚁i-单调性公理也是合理的：对于ALA，A∈ A、 A A.=> R∏（A，P）≤ R∏（A，P）。后者等价于空间次可加性公理。这些公理看起来很自然，至少在成本领域CP的某些条件下（例如，在平移和空间次加性下的空间不变性情况下的平稳性）和一些经典风险度量∏下是有意义的。空间次可加性的大小表明了空间的多样性。如果保险公司对严重的不平等感到满意，最好是在A和A两个地区承保保单，而不是只在其中一个地区承保。这个公理涉及到极小算子，因为空间风险度量的概念是基于归一化的空间累积损失；相反，使用求和运算符不会提供有关空间差异的信息。另一方面，如果使用非标准化损失确定空间风险度量，那么求和是有意义的；有关更多详细信息，请参见下面的备注2。

最初，科赫（2017）使用了“次可加性”一词，除其他原因外，通过分析Artzner等人（1999）提出的次可加性公理，这也传达了多元化的理念。渐近空间齐次公理-γ量化了区域b变大时的空间差异率。因此，确定γ的值对保险业很有意义；详见第2.2节。只有当成本场至少满足某种平稳性时，平移和空间次加性下的空间不变性公理才有意义。如果一家保险公司承保的地区比a地区风险小得多，那么该公司很难通过承保a地区来降低风险∪ A、 对于给定的灾害（如飓风），单个特定事件（如特定飓风）产生的成本通常在空间上变化，使得成本场的任何特定实现在空间上都是均匀的。然而，与该危险相关的成本场（而非其一种实现）可以是固定的，或者至少是分段固定的；见下文。在具体的精算应用中，保险公司覆盖的整个地区的成本场（针对给定的风险）通常不是固定的，除非它是一个非常完整的文件，平稳性指的是严格的平稳性。小面积。然而，在许多情况下，可以合理地将其视为局部静止；如Dahlhaus（2012）对局部平稳过程的出色评论，andEckley et al.（201 0）以及Anders和Stein（201 1）对随机场中局部非平稳性的研究。