随机市场模型所有平减指数的显式描述

（4.86）给出的τ模型，在没有N的正性假设的情况下，可以追溯到[33]，其中在假设（4.83），（4.85）下进行了研究，F是布朗过滤。【27】的结果在（4.86）中对此模型进行了说明，基本上基于【33】。属于（4.87）类的随机时间示例可在[27，示例4.5]和[4，命题4.5]中找到。这表明我们的定理4.2与文献相一致，更重要的是，它以最一般的方式解决了这个问题。因此，根据引理4.5，定理4.2-（c）引入了一大类τ模型，一方面，对于这些模型，NFLVR概念在用τ停止后是稳定的。另一方面，定理4.2-（c）表明，“经典”套利可能由与NUPBR失效密切相关的G的正性以外的另一个因素触发（见[2，3]）。回想一下，当且仅当违反了经典套利者NUPBR时，才会违反NFLVR，详情请参见[20，21]。因此，在我们看来，第3节和定理4.2是一种完全处理NFLVR的方法。事实上，我们相信下面的猜测是正确的。（τ，F）满意度（4.72）NFLVR在τ停止时是稳定的。这个预计的完整答案构成了我们未来的工作，因为它需要对（τ，F）进行新的大规模开发，这超出了我们当前的范围。4.3. NFLVRIn的一种变体与NFLVR不同，NFLVR不会因概率的等效变化而改变，本小节讨论的是对概率的任何变化都非常敏感的NFLVR的一种变体。定义4.6。让q∈ (1, +∞). 模型（X，H，Q）满足Q-NFLVR，或X满足Q-NFLVR（H，Q），如果（X，H，Q）存在一个局部鞅，它是一个Q-可积H-鞅，即Z（Q）（X，H，Q）6=, 其中z（q）（X，H，q）：=Zloc（X，H，q）∩ Mq（H，Q）。

（4.88）当Q=P时，为了简单起见，我们省略了概率。对于这个q-NFLVR概念及其应用，我们请读者参考[15、16、22、23、36]，并引用其中的参考文献。定理4.7。假设G>0。让T∈ (0, +∞) 成为固定的地平线，q∈ (1, +∞), 并将▄q：=2q/（1+q）。那么下面的断言就成立了。（a） Sτ∧Tsatis fies q-NFLVR（G，eQT）一旦满足q-NFLVR（F，P），其中eQT由（4.75）给出。此外，我们有nzτ∧T： Z∈ Z（q）（ST，F）o Z（q）（Sτ∧T、 G，eQT）。（4.89）（b）如果标准满足q-NFLVR（F，P），则Sτ∧Tsatis fiesq-NFLVR（G，P）。更准确地说，我们有（Zτ∧TE（G-1.-om） τ∧T： Z∈ Z（q）（ST，F）） Z（~q）（Sτ）∧T、 G）。（4.90）（c）假设存在θ，a Do，F-可积和F-适应过程，使得gθ≥ 1和θE-θGeGoDo，F是一个有界过程。（4.91）如果Z（q）（ST，F）6=, 然后Z（q）（Sτ∧T、 G）6=.一方面，很明显，当τ是ps eudostopping时间（即Mτ）时，（4.91）已满∈ M（G）表示任意M∈ M（F））。实际上，由于（2.11）和[33]，其中指出τ是一个伪停止时间，当且仅当m≡ m、 我们推断G=GE(-如-1oDo，F）。因此，考虑θ=G-1，我们得出结论（4.91）成立。另一方面，条件（4.91）明显遵循eitherG≥ δ或E（G-1.-om）≥ δ′（4.92），其中δ>和δ′>0。实际上，取θ=G-1，我们推导出θE(-θGeG-1oDo，F）=G-1E级(-如-1oDo，F）=G-1E（G-1.-om）-1，以δ为界-1和（Gδ′）-1对于案例G≥ δ和E（G-1.-om）≥ δ′。此外，G≥ δ意味着E（G-1.-om）≥ δ/G=：δ′，这证明（4.92）中最弱的条件是E（G-1.-om）≥ δ′. 定理4.7-（c）的证明基本上基于以下引理。引理4.8。

让q∈ (1, +∞), Z=E（M）是q-可积的正F-鞅，X，Xo+和Θ是X给出的集合：=n（Д（o），Д（pr））∈ Φq |（3.29）和（3.30）holdo，（4.93）Xo+：=nД（o）（Д（o），0）∈ X，Д（o）≥ 0页 dDo，F-a.e.o，（4.94）Θ：=nθF-可选|θG≥ 1 andeG（θ- G-1) ∈ Xo+o.（4.95）此处（ψ，ψ）∈ ΦqmeansД∈ Ioloc（NG，G）应确保∈ Mqloc（G）和ψ∈ Lqloc公司(Ohm×[0, +∞), 程序（F），PdD）。那么以下不等式成立（Д（o），Д（pr））∈XEh公司Zτ∧T/Eτ∧T（克-1.-om）qET（Д（o）oNG）qET（Д（pr）oD）qi≤ inf^1（o）∈Xo+EhZτ∧T/Eτ∧T（克-1.-om）qET（Д（o）oNG）合格中介机构≤ infθ∈ΘEZTGqZqtθqtEt(-θGeGoDo，F）qdDo，Ft+G1-qTZqTET-θGeGoDo，Fq.为了简化解释，引理的证明被放在附录C中，本节f的其余部分集中于证明定理4.7。证据在定理4.7中，定理的证明将分为三部分，分别证明断言（a）、（b）和（c）。第1部分。让Z∈ Zloc（ST，F）。然后存在一个F-可预测过程，使得0<Д≤ 1和Z（ДoS）T∈ Mloc（F）。因此，将位置3.3直接应用于对ZT和ZT（ДoS）Timplies，即Zτ∧T/E（G-1.-om） τ∧Tand Zτ∧T（ДoSτ）∧T） /E（G-1.-om） τ∧t等于Mloc（G），或等于lyzτ∧Tand Zτ∧T（ДoSτ）∧T） 属于Mloc（G，eQT）。这证明了Zτ∧t延伸至Zloc（Sτ∧T、 G，eQ），对于任何Z∈ 一方面，Zloc（ST，F）。另一方面，对于任何Z，通过puttingeQ：=eQT∈ Z（q）（ST，F），我们导出eqZqτ∧T= E“Zqτ∧TEτ∧T（克-1.-om） #=E“ZTZqtEt（G-1.-om） dDo，Ft#+E“1- G+ZqTGTET（G-1.-om） #=E1.- G- GZTZqtdEt公司(-如-1oDo，F）+ EhGZqTET(-如-1oDo，F）i=1+EGZTEt公司-(-如-1oDo，F）dZqt= 1+q（q- 1） E类GZTZqt-Et公司-(-如-1oDo，F）dH（q）t（M）≤ 1+q（q- 1） E类ZTZqs-dH（p）s（M）= EZqT公司, （4.96）式中，M：=Z-1.-oZ和H（q）（M）由（D.103）定义。最后两个等式是（D.105）-（D.106）的直接结果，而第二个等式是（2.11）和（4.78）的结果。

因此，（4.96）证明了EeQZqτ∧T≤E【ZqT】<+∞, 因此Zτ∧T∈ Z（q）Sτ∧T、 G，eQT. 这就结束了断言（a）和断言（4.89）的证明。第2部分。这里，我们证明断言（b）。为此，我们考虑一个过程Z，例如在ZT处的th∈ Z（q）（ST，F）和put q：=2q/（1+q）∈ （1，2），q：=（q+1）/（q- 1） =1/（q）- 1） 和q：=q/（q）- 1). 然后我们计算“Zqτ”∧TEτ∧T（克-1.-om） q#=EeQ“Zqτ∧TEτ∧T（克-1.-om） q-1#≤EeQ[Zqqτ∧T]1/季度EeQ[Eτ∧T（克-1.-om）-1]1/季度=EeQ[Zqqτ∧T]1/季度=EeQ[Zqτ∧T]1/季度≤E[ZqT]1/q，其中最后一个不等式来自（4.96）。这证明了（4.90）并结束了断言（b）的证明。第3部分。这里，我们支持断言（c）。为此，我们首先要指出，对于任何q∈ (1, +∞), Z（q）Sτ∧T、 G级6=  当且仅当ifinfZG∈Zloc（Sτ∧T、 G）EhZGτ∧Tqi<+∞.为了证明后者成立，我们考虑Z∈ Z（q）ST，F, 和deriveinfZG∈Zloc（Sτ∧T、 G）EhZGτ∧T气≤ inf（Д（o），Д（pr））∈XEh公司Zτ∧T/Eτ∧T（克-1.-om）qET（Д（o）oNG）qET（Д（pr）oD）qi≤ CqE公司ZqT公司∧τ+ZqT≤ 2CqE“sup0≤t型≤TZqt#≤ 2.质量控制质量- 1.qE【ZqT】<+∞.第一个不等式是定理3.4-（b）的直接结果，而第二个不等式是引理4.8、假设（4.91）（即θe）的组合(-θGeG-1oDo，F）≤ C） ，并且在假设（4.91）下，wealways有G-1E级(-θGeG-1oDo，F）≤ θE(-θGeG-1oDo，F）≤ C、 这证明了定理（b），并完成了定理的证明。附录A一些G-性质与F中的G-性质相比，本节有三个引理。我们首先回顾一个引理，如[2，3]中所述，它将G补偿器与F补偿器联系起来。引理A.1。设V为具有有限变化的F适应RCLL过程。那么下面的断言就成立了。（a） 如果V∈ Aloc（F），那么我们有（Vτ）p，G=I]]0，τ]]G-1.- （例如 V）p，F.（b）假设G>0。然后V∈ Aloc（F）i FF（eG-1oV）τ∈ Aloc（克）。证据断言（a）的证明可以在[2，引理3.1]中找到。

为了证明（b），我们注意到V∈ Aloc（F）当且仅当Var（V）∈ Aloc（F），其中Var（V）是V的变化，Var（eG-1oVτ）=（eG-1oVar（V））τ。因此，当V为非减量时，证明断言（b）就足够了。一方面，V的证明∈ Aloc（F）==> （例如-1oV）τ∈ Aloc（G）紧跟在[2，引理3.2]之后，假设G>0。另一方面，根据[2，命题B.2-（B）]，（例如-1oV）τ∈ Aloc（G）诱导F-停止时间（Tn）的递增序列nsuch thatsupnTn的存在≥ RP-a.s.，其中Ris由（2.10）给出，andE[VTn]=Eh（例如-1oV）τ∧Tni<+∞.由于假设G>0，相当于R=+∞ P-a.s.，见引理2.3，我们得出结论，TN几乎肯定会增加到单位，因此V∈ Aloc（F）。这就结束了引理的证明。下面的第二个引理在我们的分析中非常有用，它有四个断言。第一个和最后一个断言已经在文献中确立，而第二个和第三个声音对我们来说是新的。引理A.2。以下断言成立。（a） 对于任何G-可预测过程ДG，存在一个F-可预测过程ДFsuch，该过程ДGI]]0，τ]]=ДFI]]0，τ]]。此外，如果ДGis有界，则可以选择使用相同的常数有界。（b） 假设G>0。那么对于任何有界θ∈ Θ（Sτ，G），则存在一个有界Θ∈ Θ（S，F）与θ在[[0，τ]]上重合。（c） 假设G>0，让VGbe是一个具有有限值且（VG）τ=VG的RCLL G-可预测和非减量过程。然后存在一个具有有限值和F-可预测过程V的唯一非dec分解，例如VG=Vτ。如果进一步VG<1，则V<1也适用。（d） 对于任何有界G-停止时间σG，存在有界F-停止时间σF，如σG∧ τ=σF∧ τ、 P-a.s。。证据很明显，断言（d）可以在[25，XX.75 b]中找到，另见[29]。

请注意，在断言（a）中，关于ДG的有界条件可以简化为0≤ ^1G≤ 因此，断言（a）是[2，引理B.1]中处理的一般情况的特例（另请参见[29，引理4.4（B），第63页]），因此将省略其证明，我们作为本文的导读。因此，此证明的其余部分将重点放在两部分中的断言（b）和（c）。第1部分。这里我们证明断言（b）。考虑有界θ∈ Θ（Sτ，G）。那么θ是满足θtr的有界G-pr可预测过程Sτ>-因此，根据断言（a），存在一个有界且F-可预测的过程Д，使得θI[[0，τ]]=ДI[[0，τ]]。然后在θtr中插入这个等式Sτ>-1，我们推断出SI]]0，τ]]>-1，相当于I]]0，τ]]≤ I{ИtrS>-1}. 通过在这条曲线两边取F-可选投影，我们得到0<G≤ I{ИtrS>-1} 在]]0上+∞[[，或等效的ДtrS>-因此，Д属于Θ（S，F），断言（b）的证明是完整的。第2部分。这一部分证明了断言（c）。考虑一个G-可预测和n-on递减过程，其有限值VGsuch为（VG）τ=VG。很明显，假设VGis有界，并没有失去一般性。因此，将断言（a）直接应用于vgim将证明fp可预测过程V的存在，使得vgi[[0，τ]]=V I[[0，τ]]。（A.97）注意VGI[[0，τ[[=VG- VGτI[[τ+∞[[是一个RCLL且有界的GSemimatingale。因此，通过将（a.97）的两边乘以I[[0，τ[[然后取F-可选投影，我们得到V=o，F（VGI[[0，τ[]）/G。因此，可预测过程V是一个RCLL F-半鞅，因为它是两个RCLL F-半鞅G的乘积-1ando，F（VGI[[0，τ[[]）。

因此，V是一个特殊的半鞅，因此存在L∈ Mloc（F）和F-可预测过程B∈ Aloc（F）表示V=L+B，L=0。通过使用该等式并将（A.97）中的两个项停止在τ处，我们得出vg=Vτ=Lτ+Bτ（A.98）=Lτ- G-1.-一] ]0，τ]]ohL，miF+ G-1.-一] ]0，τ]]ohL，miF+Bτ。由于VGis具有有限变化的可预测性，根据后一等式，我们得出以下结论：G-局部鞅Lτ-G-1.-一] ]0，τ]]ohL，miFis null。请注意，L是一个可预测的局部m artin大风，因此它是连续的（由于L=p，F(五十） =0，见[24，Th\'eor\'eme 32，第99页]）。结合这些评论，我们得出结论：T（L）=Lτ-G-1.-一] ]0，τ]]ohL，miFand[L，L]τ=[T（L），T（L）]是一个空进程。这相当于G-o[L，L]=（[L，L]τ）p，F≡ 0，或相当于L≡ 0，因为G>0和引理2.3-（a）。这证明V=B具有有限的变化。为了证明V是非减量的，考虑（A.98）和get（VG）p，F=G两侧的F-对偶可预测投影就足够了-oV或等效V=G-1.-o（VG）p，F。这证明了断言（c）的初始陈述，而断言（c）的最后陈述的证明遵循了第1部分的相同足迹。事实上，通过使用（A.98），我们得出结论VG=V I]]0，τ]]<1在d时成立，仅当I]]0，τ]]≤ 我{V<1}保持不变。由于[24，Th'eor'eme 47，p.119和Th'eor'eme 59，p.268]，有界RCLL G-半鞅的可选投影是RCLL F-半鞅。后一个事实意味着，在对该不等式的两侧进行F-可预测投影后，0<G-≤ 我{V<1}开]]0+∞或相当于V<1。条件G-> 根据EMMA 2.3-（a），假设G>0，则为0。这就结束了引理的证明。下面是本节的最后一个引理。它有助于简化第3节的证明，而且听起来很重要。引理A.3。

设ν为有界且F-可预测的过程，L∈ Mloc（F）、（Д（o）、Д（pr））∈ Ioloc（NG，G）×Lloc（Prog（F），P dD）满足（3.29）和1+LG公司-如！一] ]0，τ]]+Д（o）NG+Д（pr）D>0。（A.99）然后过程w：=XSI公司{|S |>1}“1+LG公司-如！一] ]0，τ]]+Д（o）NG+Д（pr）D#具有G-局部可积变分，当且仅当两个过程sw（1）：=XДSI公司{|S |>1}（1+LG公司-eG）I]]0，τ]]和w（2）：=XхSI公司{|S |>1}[Д（o）NG+Д（pr）D] 属于Aloc（G）。证据由于（A.99），很明显W∈ Aloc（G）i fff W+：=X |ДS | I{|S |>1}[（1+LG公司-eG）I]]0，τ]]+Д（o）NG+Д（pr）D]∈ Aloc（克）。通过停止，假设E[W]不会失去一般性+∞] < +∞.因此，由于F-光学过程的有界性SI{k≥ |S |>1}和（Д（o），Д（pr））∈ Ioloc（NG，G）×Lloc（Prog（F），P dD），我们得出结论S | I{k≥ |S |>1}^1（o），Д（pr）∈ Ioloc（NG，G）×Lloc（Prog（F），P dD）。因此，bothP |ДS | I{k≥ |S |>1}Д（o）NG=|ДS | I{k≥ |S |>1}Д（o）oNGandP |ДS | I{k≥ |S |>1}Д（pr）D=|ДS | I{k≥ |S |>1}Д（pr）oD是G-局部鞅。然后，我们考虑一系列G-停止时间（Tn）n，该时间n增加到整数，使得（Д（o）oNG）Tn和（Д（pr）oD）Tn都是统一的可积G-鞅，我们推导出“X |ν”S | I{|S |>1}[（1+LG公司-eG）I]]0，τ]]\\=limk，n-→+∞E“X |ДS | I{1<|S|≤k} （1）+LG公司-eG）I]]0，τ∧Tn]]\\#=limk，n-→+∞E[（I{|S|≤k}oW+Tn]≤ 东[西]+∞] < +∞ .这证明了W（1）∈ Aloc（G），因此W（2）=W- W（1）∈ Aloc（克）。因此，引理的证明是完整的。附录B引理2.3和命题3.1的证明。引理2.3：很明显，根据inf() = +∞ 按照惯例，G>0，G-> 0和g>0立即遵循（2.10）中的等式（见引理2.3）。此外，（2.10）中的这些不等式可以追溯到[25，定理14，第二十章，第134页]。本证明第（a）节。为了证明断言（b），我们假设G>0，并且我们得出结论，G-andeG是肯定的（根据断言（a）），derivedGG-=dmG公司--dDo，FG-, G： =P（τ>0 | F）。

（B.100）然后，根据（2.3），我们得到=GEG-om级-G-oDo，F.幸亏m=eG-G-和（3.34）（这意味着E（X+V）=E（X）E（（1+X）-1oV）对于满足1+X>0和任何具有有限变量V的RCLLprocess），断言（b）的证明如下。由于[24，Th'eor'eme 6，Chapitre VI，p.79]声称任何非负RCLL超鞅都承认在单位p上的极限，几乎可以肯定，我们推断断言（c）的第一个主张总是成立的。等式（2.12）来自于该权利要求和（2.11）。作为G∞是F∞--根据（2.12）可测量，其中F∞-:= σ(∪t型≥0Ft），我们推导出P（（τ=∞) ∩ （G）∞= 0））=EG∞I{G∞=0}= 这证明了（τ=+∞)  （G）∞> 0），而（2.13）中的等式很简单，因为G>0和（2.12）。这证明了断言（d）。断言（e）是e[G]的直接结果∞] = P（τ=+∞) 和（2.13）中的质量。这就结束了引理的证明。命题3.1的证明基于以下备注B.1。如果Z是（X，H）的折射率，则存在唯一对（N，V）∈ Mloc（H）×Aloc（H），使得V是非减量H-可预测的，且（3.21）成立。在f作用下，当Z是（X，H）的衰减因子时，很明显，Z是正的Supermartin大风，μ=0∈ Θ（X，H）。因此，直接应用[28，定理8.21，第138页]，也可参见[9]和[6，命题1.32，第15页]，我们得出结论，存在注释中描述的对（N，V）。证据命题3.1：该证明将分为两个步骤。第一步表明，对于存在满足（3.21）的对（N，V）的过程Z，ZE（ДoX）是上鞅，而对于任何有界Д（3.22）是等价的∈ Θ（X，H）。因此，很明显，将其与备注B.1相结合可以证明断言（a），而断言（B）将在第二步中得到证明。第1步。

假设存在一对（N，V），使得Z=ZE（N）E(-V）和（3.21）保持不变。设Θ为Θ（X，H）的绑定元素。然后通过反复应用YOUR公式，见（3.34），一个getZE（ДoX）=ZE（N）E（ДoX）E(-V）=ZEN+ДooX+Дo[X，N]E类(-V）=ZE（Y（ν））E(-V）=ZEY（^1）- 五、- [Y（Д），V]= ZE公司(1 - V）oY（Д）- 五、,式中，Y（Д）：=N+ДoX+ДoX，N。Z为正，且∈ Θ（X，H）并且根据上述等式，我们得出ZE（ДoX）是一个超马丁大风当且仅当（1-V）oY（Д）-V是局部H-超鞅，或者等价地，Y（ν）是一个特殊的半鞅（相当于（3.22）的第一个条件）及其可预测的有限变化部分，a（Д，N，H），满足a（Д，N，H） (1 - 五）-1oV。这就完成了第一步。第2步。一方面，感谢s对备注B.1的评论，当Z是局部鞅deflicator时，则存在唯一性∈ Mloc（H），N=0，其中（3.24）中的第一个和第二个条件保持不变。在另一个h和d上，通过将V≡ 0并替换 by=，对于Д可预测和0<Д≤ 1，我们得出结论，当且仅当（3.24）和（3.25）中的最后一个条件都成立时，ze（N）（νoX）是局部鞅。这证明了断言（b），并完成了命题的证明。附录C引理4.4、4.5和4.8的证明我们从证明引理4.4开始。证据引理4.4：由于N是一致可积F-鞅，则存在N∞∈ L（F∞-, P）如N=o，F（N∞). 因此，我们嘲笑Z∞-|Ns | dEs(-eGoDo，F）≤ EZ∞-E[| N∞||Fs]dEs(-eGoDo，F）= Eh | N∞|(1 - E∞(-如-1oDo，F））i<∞.这证明了引理的第一个陈述。