随机市场模型所有平减指数的显式描述

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英文标题：
《Explicit description of all deflators for market models under random
  horizon with applications to NFLVR》
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作者：
Tahir Choulli and Sina Yansori
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  This paper considers an initial market model, specified by its underlying assets $S$ and its flow of information $\\mathbb F$, and an arbitrary random time $\\tau$ which might not be an $\\mathbb F$-stopping time. As the death time and the default time (that $\\tau$ might represent) can be seen when they occur only, the progressive enlargement of $\\mathbb F$ with $\\tau$ sounds tailor-fit for modelling the new flow of information $\\mathbb G$ that incorporates both $\\mathbb F$ and $\\tau$. In this setting of informational market, the first principal goal resides in describing as explicitly as possible the set of all deflators for $(S^{\\tau}, \\mathbb G)$, while the second principal goal lies in addressing the No-Free-Lunch-with-Vanishing-Risk concept (NFLVR hereafter) for $(S^{\\tau}, \\mathbb G)$. Besides this direct application to NFLVR, the set of all deflators constitutes the dual set of all \"admissible\" wealth processes for the stopped model $(S^{\\tau},\\mathbb G)$, and hence it is vital in many hedging and pricing related optimization problems. Thanks to the results of Choulli et al. [7], on martingales classification and representation for progressive enlarged filtration, our two main goals are fully achieved in different versions, when the survival probability never vanishes. The results are illustrated on the two particular cases when $(S,\\mathbb F)$ follows the jump-diffusion model and the discrete-time model.
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中文摘要：
本文考虑了一个初始市场模型，该模型由其标的资产美元S$和信息流美元mathbb F$指定，以及一个任意的随机时间美元tau$，它可能不是美元mathbb F$停止时间。由于死亡时间和默认时间（即$\\tau$可能代表的时间）仅在发生时才可见，因此$\\mathb F$与$\\tau$的逐步扩大听起来非常适合建模新的信息流$\\mathbb G$，该信息流同时包含$\\mathb F$和$\\tau$。在这种信息市场环境中，第一个主要目标在于尽可能明确地描述美元的所有平减指数集，而第二个主要目标在于解决美元（S ^{\\tau}，\\mathbb G）$的无免费午餐和消失风险概念（NFLVR下文）问题。除了直接应用于NFLVR之外，所有平减指数集构成了停止模型$（S ^{\\tau}、\\mathbb G）$的所有“可容许”财富过程的对偶集，因此在许多对冲和定价相关的优化问题中至关重要。由于Choulli等人[7]关于逐步扩大过滤的鞅分类和表示的结果，我们的两个主要目标在不同版本中完全实现，此时生存概率永远不会消失。当$（S、\\mathbb F）$遵循跳跃扩散模型和离散时间模型时，结果在两种特殊情况下得到了说明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：平减指数 Mathematical Optimization Presentation Applications

明确描述随机ho rizon市场模型的所有过滤器，并将其应用于NFLVRTahir Choullia，*, Sina Yansoriaama加拿大埃德蒙顿阿尔伯塔大学数学和统计科学系摘要本文考虑了一个初始市场模型，该模型由其基础资产S及其信息流F和任意随机时间τ指定，而不是F停止时间。由于死亡时间和默认时间（τ可能代表）仅在发生时才可见，因此，F随τ的逐渐增大听起来非常适合建模包含F和τ的新信息流。在这种信息市场环境中，第一个主要目标在于明确描述（Sτ，G）的所有指标集，而第二个主要目标在于解决（Sτ，G）的无免费午餐和消失风险概念（NFLVRhereafter）。除了直接应用于NFLVR之外，所有定义的集合构成了停止模型（Sτ，G）所有“可容许”财富过程的对偶集合，因此在许多对冲和定价相关的优化问题中至关重要。感谢Choulli等人的成果。[11] ，关于鞅分类和渐进扩大过滤的表示，我们的两个主要目标在不同的版本中完全实现，此时生存概率永远不会消失。当（S，F）遵循jum-p-diffusion模型和离散时间模型时，结果显示在两个特殊情况下。关键词：过滤器、局部鞅过滤器、随机视界、过滤的逐步扩大、半鞅模型、无免费午餐和消失风险（NFLVR）*相应的authorEmail地址：tchoulli@ualberta.ca（Tahir Choulli）提交给随机过程及其应用的预印本20211年2月9日。

引言本文考虑了一个由一对（S，F）表示的初始m市场模型，其中S表示d股的折扣股价，Fis表示所有代理都可以获得的“公开”信息流。在这个初始市场模型中，我们添加了一个随机时间τ（即，一个值为[0+∞]) 仅在终止日期时显示。从数学上讲，这意味着τ可能不是F-停止时间。因此，为了对新的信息流进行建模，我们采用了带τ的F的渐进放大，我们在本文中用G表示。因此，我们得到的信息市场模型是一对（Sτ，G）。这种信息建模使我们能够将我们获得的结果应用于信用风险理论和人寿保险（死亡率和/或寿命风险），其中渐进式扩大过滤听起来很贴切，而最初扩大过滤（如内幕交易框架）是完全不够的。事实上，代理人的死亡时间在其发生之前是无法确定的，也没有单一的财务文献能够像内幕交易一样，从一开始就对企业τ违约的信息进行建模。关于初始扩大及其在内幕交易问题中的应用，我们请读者参考文献[7，8]，并引用其中的参考文献。对于这种新的市场模型（Sτ，G），在金融（理论和经验）和数学金融方面出现了许多具有挑战性的问题。这些问题中的大多数目前仍然是悬而未决的问题，主要涉及衡量τ对金融和经济概念、理论、规则、模型、方法等的影响。。。。，等等。

其中，我们引用了（基于消费的）资本资产定价模型、均衡、套利理论、市场可行性、资产定价的基本定理、最优投资组合（例如对数最优投资组合、num'eraire投资组合和其他类型的投资组合）、效用最大化、各种定价规则等。。。，等等。上述所有问题的第一个基本问题在于随机时间对市场生存能力的影响以及相应的无套利概念。参考文献[13]，另请参见文献[31，32]中的相关讨论，市场在其各种最弱形式中的可能性，数量投资组合的存在，以及无界有界风险（简称NUPBR）概念贯穿全文，对于任何随机时间σ和任何过程X，我们用Xσ表示Xσt=Xσ给出的停止过程∧t、 t型≥ 0.同等和/或密切相关。在这一spir it中，首先在一系列论文中研究了随机时间对NUPBR的影响，详情请参见[1、2、3、10、12、35]。这篇最近的文献充分回答了NUPBR何时更改为（Sτ，G）的问题。这些论文中的一些，特别是[2，3，35]，构建了特殊情况和非常特殊情况下（例如，当（S，F）是物理概率下的局部鞅）的定义示例，而下面的问题到目前为止仍然悬而未决。我们如何描述模型（Sτ，G）的所有过滤器集？（1.1）这一集合的重要性及其在优化问题中的众多作用本质上是财务问题，听起来很清楚，没有任何指责。事实上，这组定义在某种程度上代表了所有“可接受”财富过程的双重集合。无论优化标准是什么，任何最优投资组合都只对应于一个最优偏差，并且它们通过“某种对偶形式”相互关联。

此外，在许多（可能全部）情况下，即使效用足够好，如日志效用，也比直接获得最优投资组合更方便、更高效、更容易解决对偶问题和描述最优偏差。在考虑τ对最优投资组合的影响时，我们请读者参考[14]以直接应用当前的文件。除了这些已知的应用之外，了解所有过滤器的集合将使我们能够解决停止模型（Sτ，G）的NFLVR概念。因此，在假设生存概率永远不会消失的情况下，即P（τ>t | Ft）>0 P-a.s.对于所有t≥ 0，（1.2）我们明确且完整地回答（1.1）。对于这个问题，假设（1.2）可以在一定费用下放弃，因为它将在定理3.2之后的第3节中讨论。一方面，根据（1.2），我们证明NFLVR持有∧τ、 G）当其适用于（ST，F）时，适用于任何T∈ (0, +∞). 这充分回答了er（1.2）和有界投资的范围内，τ如何影响NFLVR的问题，这一问题已经存在了一段时间。另一方面，我们给出了除（1.2）之外的τ的充分条件，使得（Sτ，G）在（S，F）完成时立即充满fillsnflvr。值得一提的是，在[19]中，参见[4，L emma 3.1]，作者针对浸入情形（即，当每个F-鞅都是G-鞅的情形）解决了这个问题，而在[27]中，作者证明了当F是布朗过滤且τ是避免F-停止时间的诚实时间时，NFLVR总是失败。在[4，引理3.3]中，证明了当（τ，F，P）完全满足正性假设且S是（F，P）-鞅时，（S，G）满足NFLVR。对于NFLVR稳定性保持或失效的（S，F，τ）的更多模型，我们参考【4】。本文包括四个部分，包括当前部分。第2节介绍了数学模型及其初步内容。

第3节有三小节。第一小节说明了（Sτ，G）所有参数显式参数化的主要结果，而第二小节证明了这些结果。最后一小节说明了特定情况下的这些结果。第4节讨论了（Sτ，G）及其变体的NFLVR。此外，本文还包含一个附录，其中给出了一些证明，并详细介绍了一些有用的结果（新的和现有的）。2、财务背景和初步研究本节定义了本文所涉及或使用的符号、财务和数学概念、我们关注的数学模型以及一些有用的现有结果。在本文中，我们考虑了完全概率空间(Ohm, F、 P）。通过H，我们表示满足完整性和右连续性通常条件的任意过滤。对于任何过程X，存在H-可选投影和H-可预测投影时，将分别用o、HX和p、HX表示。Q的集合M（H，Q）（分别为M（Q）（H，Q））∈ (1, +∞)) 表示q下所有H-鞅（分别为q-可积m-鞅）的集合，而lea（H，q）表示所有H-可选过程的集合，这些H-可选过程在q下是右连续的，具有左极限（简称RCLL），具有可积变化。当q=P时，为了简单的表示，我们省略了P概率。对于H-半鞅X，用L（X，H）表示在半鞅意义下X-可积的H-可预测过程集。对于^1∈ L（X，H），关于X的ν的求积积分用ДoX表示。对于H-局部鞅M，我们用Lloc（M，H）表示X-可积的H-可预测过程的集合，得到的积分ДoM是H-局部鞅。

如果C（H）是一组适应于H的过程，那么Cloc（H）是一组过程X，其中存在一系列H停止时间（Tn）n≥1，对于每个n，cr中的值为in fi，x长为C（H）≥ 1、具有有限变化的过程V的H-du al可选投影和H-d al可预测投影（如果存在）将用Vo、Hi表示。e、 ，存在一个正的双参数可测过程α（t，s），使得p（τ>u | Ft）=R∞uα（t，s）dP（τ≤ s） ，t≥ u≥ 0和dP（τ≤ t） =f（t）dt和Vp，hr分别为。对于任何实值H-半鞅L，我们用E（L）表示Dol'eans Dade（stoch astic）指数。这是随机微分方程dX=X的唯一解-dL，X=1，d由et（L）=exp给出书信电报- L-hLcit公司Y0<s≤t（1+Ls）e-Ls。（2.3）在下文中，我们回顾了衰减的数学定义，其中我们区分了局部鞅衰减和衰减的情况。定义2.1。考虑模型（X，H，Q），其中H是过滤，Qis是概率，X是（Q，H）-se半鞅。让Z是一个过程。（a） 如果Z>0，并且存在一个实值且H可预测的过程，那么我们称Z为（X，Q，H）的局部鞅deflicator≤ 1且Z和Z（ДoX）都是Q下的H-局部鞅。在本文中，这些局部鞅的定义集将用Zloc（X，Q，H）表示。（b） 如果Z>0，我们称Z为导数f或（X，Q，H），而ZE（ДoX）i是Q，f或任何Д下的超鞅∈ L（X，H）使得十、≥ -所有过滤器的集合将用D（X，Q，H）表示。当Q=P时，为了简单起见，我们只是省略了符号和术语中的概率。本节的其余部分有两个小节，在这两个小节中，我们分别介绍了我们的数学模型和一个鞅表示结果。2.1.

本文中的数学模型(Ohm, F、 P）我们认为F：=（Ft）t≥0a过滤，满足权利连续性和完整性的美国条件，从而模拟信息的公众流动。此外，我们假设给定了代表风险集折扣价格过程的anF半鞅S。除了这个初始市场模型（即（S，F）），我们还考虑了dom时间τ，它可能代表代理的死亡时间或企业的默认时间，因此它可能不是F停止时间。在本文中，我们将使用比亚迪给出的对（D，G）：=I[[τ+∞[[，G：=（Gt）t≥0，Gt：=Gt+带Gt：=Ft∨ σ（Ds，s≤ t） 。（2.4）赋予F的代理只能通过生存概率G和G获得关于tτ的信息，称为Az'ema supermartingales，由GT给出：=o，F（I[[0，τ[[）t=P（τ>t | Ft）和GT：=o，F（I[[0，τ]]）t=P（τ≥ t | Ft）。（2.5）过程m：=G+Do，F，（2.6）是一个BMO F-鞅，由于[5，定理3]和[11，定理2.3和定理2.11]，我们重新调用了定理2.2。以下断言成立。（a） 对于任何M∈ Mloc（F），过程t（M）：=Mτ-如-1I]]0，τ]]o[M，M]+I]]0，τ]]o十、MI{eG=0<G-}p、 F（2.7）是G-局部鞅。（b） 处理：=D-如-1I]]0，τ]]oDo，F（2.8）是具有可积变分的G鞅。此外，Hongi是一个G-局部鞅，对于属于oloc（NG，G）：=nK的任何H都具有局部可积变化∈ O（F）| | K | GeG-1I{eG>0}oD∈ Aloc（G）o.（2.9）下面的引理d讨论了τ的一些性质（新的和旧的），关于τ的参数（即G和Do，F），并且在整个论文中非常有用。引理2.3。以下断言成立。（a） G是一个正过程（即（1.2）成立），当且仅当G-是一个积极的过程当且仅当EG是一个积极的过程。

此外，我们有r=inf{t≥ 0：Gt=0}=inf{t>0：Gt-= 0}=inf{t≥ 0：eGt=0}。（2.10）（b）如果G是正的，那么我们总是有G=GE（G-1.-om） E类(-如-1oDo，F）。（2.11）（c）假设G>0。三个过程G、E（G-1.-om） 和E(-如-1oDo，F）在完整性、P-几乎肯定和g上有其限制∞:= 限制→∞Gt=P（τ=∞ |F∞-) = 通用电气∞（G）-om） E类∞(-例如，Do，F），（2.12），其中E∞（G）-1.-om） ：=限制→∞Et（克-1.-om） 和E∞(-如-1oDo，F）：=极限→∞Et公司(-如-1oDo，F）。（d） 假设G>0。那么我们有{τ=∞}  {G∞> 0}={E∞（G）-om） >0}∩ {E∞(-例如，Do，F）>0}。（2.13）这种乘法分解不同于文献中的乘法分解，例如参见【28，定理8.21，第二章】，因为过程E(-如-1oDo，F）通常不可预测。（e） 假设G>0。τ<∞ P-a.s.和Ohm =E∞(-如-1oDo，F）=0[E∞（G）-1.-om） =0. （2.14）引理的poof归为Ap pendix B。关于（2.7）中定义的T转化操作，引理2.3-（a）的一些有用的直接后果在下面的备注中给出。备注2.4。假设G>0。那么下面的断言就成立了。（a） 对于任何F-se半鞅X，我们得到（X）=Xτ-如-1I]]0，τ]]o[X，m]。（2.15）（b）对于一对F-半鞅（X，Y），由于m=eG- G-, 我们有[T（X），Y]=[X，T（Y）]=G-例如o[X，Y]τ，T（X）=G-如十一] ]0，τ]]。（2.16）对于这些一般性质（即，不假设G>0）和其他相关结果及其应用，我们请读者参考【10】。对于任何q∈ [1, +∞) σ-代数HOhm × [0, +∞), 我们定义Q（H，P dD）：=X H-可测量E[| Xτ| qI{τ<+∞}] < +∞. （2.17）在本文中Ohm × [0, +∞), 我们认为，用O（F）表示的F-可选σ场和用Prog（F）表示的F-渐进σ场（即，如果X为映射，则称过程X为F-渐进σ场Ohm×[0，t]，为英尺B（R）可测量，对于任何t∈ (0, +∞), 其中，B（R）是R）上的钻孔σ场。2.2.

G下的鞅表示定理：Choulli等人【11】在本小节中，我们将Choulli等人【11】的鞅表示结果的一个版本，参见【11，定理2.17，2.20，2.21】扩展到G局部鞅而非鞅的情况。由于假设G>0，这种轻微的扩展是可能的。这个算子可以更一般地定义在F-半鞅（F）的向量空间上，它满足T（Mloc（F）） Mloc（G）如定理2.2—（a）所述。hoever，ingeneral，T（M）不是MτG-正则分解中的局部鞅部分。定理2.5。假设G>0。那么对于任何G-局部鞅MG，都存在一个唯一的三元组（MF，Д（o），Д（pr）），满足以下性质：MF∈ M0，loc（F），Д（o）∈ Ioloc公司NG，G, ^1（pr）∈ Lloc（程序（F），P dD），EhД（pr）τ| FτiI{τ<+∞}= 0，P-a.s.，（2.18）和MG公司τ=MG+G-2.-oT（MF）+Д（o）oNG+Д（pr）oD.（2.19）证明。让MG∈ M0，loc（G），则存在一系列G-停止时间，该时间增加到整数，使得（MG）tn是G-鞅。一方面，由于G>0和[2，命题B.2-（B）]，我们推导出F-停止时间（σn）n的存在性，n增加到完整性和Tn∧τ=σn∧τ表示anyn≥ 另一方面，通过将[11，定理2.21]应用于每个（MG）Tn-（MG）Tn-1，我们推导出属于M0，loc（F）×Ioloc的非唯一三重态（MF，n，Д（o，n），Д（pr，n））的存在性NG，G×Lloc（程序（F），P dD）和满意度<+∞}= 0，P-a.s.，和（MG）τ∧田纳西州- （MG）τ∧田纳西州-1=克-2.-oT（MF，n）+Д（o，n）oNG+Д（pr，n）oD。然后注意（MG）τ- MG=Pn≥1（（MG）τ∧田纳西州- （MG）τ∧田纳西州-1） ，d输入σ：=0，Д（o）：=Xn≥1I]]σn-1，σn]]Д（o，n），Д（pr）：=Xn≥1I]]σn-1，σn]]Д（pr，n），MF：=Xn≥1I]]σn-1，σn]]oMF，n。这结束了定理的证明。我们以下面的引理结束这一节。引理2.6。设σ为H-停止时间。