随机市场模型所有平减指数的显式描述

Z是（Xσ，H）的衰减因子，且仅当存在一对过程（K，K），使得K=（K）σ，E（K）是（Xσ，H）的衰减因子，K是满足（K）σ的H-局部超鞅≡ 0, K>-1，Z=E（K+K）=E（K）E（K）。这个引理的证明很简单，将被省略。该引理以某种方式表明，在处理stoppedmodel（Xσ，H）时，只关注过滤器的“高达-σ”部分，并假设过滤器在σ之后，不会失去一般性。3、随机层位下所有衰减因子的显式表征本节是本论文的主要贡献之一，重点是显式参数化（Sτ，G）中的所有衰减因子集和（S，F）中的衰减因子集。本节包含三个小节。主要结果在第一小节中陈述和解释，而第二小节给出了它们的证明。第三小节说明了特定跳跃扩散和离散时间情况下的主要结果。在本段末尾，我们将给出关于定义和局部鞅定义的有用结果。通过本文，将从以下意义上对各个过程进行比较。十、 如果X为Y- Y是一个不减损的过程。（3.20）以下命题是（局部m artin gale）过滤器的特征。提案3.1。设X是H-半鞅，Z是过程。然后，以下断言成立。（a） Z是（X，H）的衰减因子，当且仅当存在唯一对（N，V）时，N∈ Mloc（H），V是非减量RCLL，H是可预测的，Z：=ZE（N）E(-V），N=V=0，N>-1.V<1，（3.21）sup0<s≤·|Y（Д）|∈ Aloc（H）和1- VoV A（Д，N，H）， φ ∈ Θb（X，H）。（3.22）此处Y（Д）：=ДoX+[ДoX，N]和A（Д，N，H）∈ Aloc（H）是H-可预测的，因此Y（Д）- A（И，N，H）∈ Mloc（H）。Θb（X，H）是由Θ（X，H）给出的属于Θ（X，H）的有界Θ的集合：={Θ是H-可预测的：ΘX>-1} .

（3.23）（b）Z是（X，H）（即Z）的局部鞅∈ Zloc（X，H））当且仅当存在实值正且有界的H-可预测过程和唯一的N∈ Mloc（H），使得N=0，Z=ZE（N），N>-1，sup0<s≤·|^1sXs |（1+Ns）∈ Aloc（H），（3.24）ДoX+[ДoX，N]∈ Mloc（H），（3.25）该命题的证明被归入附录B.3.1。主要结果本小节陈述了本节的主要结果。定理3.2。假设G>0，让ZG是这样的过程，thatZG=（ZG）τ。那么以下断言是等效的。（a） ZG是（Sτ，G）（即ZG）的定义∈ D（Sτ，G））。（b） 存在唯一的KF、VF、Д（o）、Д（pr）这样KF∈ Mloc（F），VFis是一个F-可预测的RCLL和非减量过程，^1（o）∈ Ioloc（NG，G），Д（pr）∈ Lloc（程序（F），P dD）确定VF=KF=0，E（KF）E(-VF）∈ D（S，F），EhД（pr）τ| FτiI{τ<+∞}= 0 P-a.s.，Д（pr）>-G-eG（1+KF）+Д（o）GeG, P dD公司- a、 e.，（3.26）-G-G（1+KF）<Д（o）P dDo，F-a.e.，Д（o）Do，F<（1+KF）G-, （3.27）ZG=E（KG）E(-VF）τ，KG=T（KF-G-om） +Д（o）oNG+Д（pr）oD.（3.28）（c）存在唯一的三重态ZF、Д（o）、Д（pr）使ZF∈ D（S，F），（Д（o），Д（pr））∈ Ioloc（NG，G）×Lloc（Prog（F），P dD），E[Д（pr）τ| Fτ]I{τ<+∞}= 0 P-a.s.（3.29）Д（pr）>-1.-蛋<Д（o），Д（o）（例如- G） <例如，P dD-a.e.，（3.30）和ZG=（ZF）τe（G-1.-om） τE（Д（o）oNG）E（Д（pr）oD）。（3.31）该定理的证明被归入第二小节。在此，我们讨论了这个定理的意义及其可能的推广。在第2.5节中，详细讨论见[11]，模型（Sτ，G）有三种“正交”风险S。由τ与（S，F）的相关性产生的纯财务风险和相关风险均由MF表示，类型1的纯违约风险由Д（o）oNG表示，类型2的纯违约风险以Д（pr）oD的形式表示。

因此，上述定理中的断言（c）指出，（Sτ，G）的偏差是三个相互正交的偏差的乘积，即纯金融和相关风险的偏差，第一类纯违约风险的偏差，以及第二类纯违约风险的偏差。类似地，对于断言（b），可以指出，一个定义的随机对数是三种正交定义的随机对数之和。值得一提的是，（b）<==> （c） 和（c）==> （a） 在没有假设的情况下持有，而条件G>0介入了后一种含义相反的证明。然而，尽管G是否消失对存在偏差很重要（详情请参见[2]），但定理3.2中条件G>0的作用在于简化结果陈述并使证明更简单。这种简化的关键点在于，在G>0的情况下，从G“局部化”到F“局部化”的传递没有任何问题，例如，参见定理2.5的证明。事实上，人们可以放弃这种假设——如[2]中所述——代价是处理模型家族nI{G-≥δ} oS-PSI{eG=0&δ≤G-}, F:δ ∈ （0.1）以某种方式而不是一种模型（S、F）。在这里，主要困难在于如何定义整个模型家族的定义，这些模型家族的存在应与全模型家族“一致”。一旦精确定义了模型族的该定义，我们的定理仍然有效，即用模型族的（s，f）替代（s，f）定义。定理3.2的断言（c）和（b）之间的等价性背后的一个关键思想在于下面的结果本身很有趣。提案3.3。

对于任何MF∈ Mloc（F），过程Mg由Mg给出：=（MF）τE（G-1.-om） τ，（3.32）是一个G-局部鞅，对于任何一对（Д，ψ），它与Д·NGandψ·D正交∈ Iloc（NG，G）×Lloc（Prog（F），PdD）使得E[ψτ| Fτ]I{τ<+∞}= 0P-a.s.[MF，ψoNG]和[MF，ψoD]都属于Aloc（G）。此外，我们总是有E（MF）τE（G-1.-om） τ=ET（MF）- G-1.-oT（米）. （3.33）证明。很明显，MG与G-局部鞅ДoNGandψoD正交，前提是MG（ДoNG）和MG（ψoD）是特殊的G-半鞅。若[M，M]，则称为正交的两个H-局部鞅∈ Mloc（H）。因此，我们现在的重点是证明MG∈ Mloc（G）。为此，需要注意的是，根据Yor的公式，对于任何半鞅X和Y，（3.34），我们得到1/E（X）=E(-X+（1+X）-1o[X，X]），它适用于任何半鞅X，使得1+X>0。因此，latterequality与（2.15）和m=eG- G-引线束角（G-1.-om） τ=E-G-omτ+G-2.-1+克-1.-mo[m，m]τ！=E-G-oT（米）. （3.35）因此，通过将该等式与应用于p air（MF，m）的（2.16）、部分公式积分和（2.15）相结合，我们得到（MF）τE（G-1.-om） τ=MF-MF公司-G-E-（G）-1.-om） oT（m）+E-（G）-1.-om） o（MF）τ-G-E-（G）-1.-om） o[MF，T（m）]=MF-MF公司-G-E-（G）-1.-om） oT（m）+E-（G）-1.-om） oT（MF）。这证实了MG∈ Mloc（G），因此第一个断言的证明是完整的。为了证明（3.33），我们将（3.35），（3.34），（2.16）应用于对（MF，m）和（2.15），并将（MF）τE（G-1.-om） τ=E（MF）τE-G-1.-oT（米）= E（MF）τ- G-1.-oT（米）- [MF，G-1.-oT（m）]= ET（MF）- G-1.-oT（米）.这就结束了这个命题的证明。作为定理3.2的一个特例，我们用Zloc（Sτ，G）表示（Sτ，G）的所有局部鞅定义集，如下定理3.4所示。假设G>0，设KG是一个G-半鞅，使得KG=（KG）τ。

那么以下断言是等效的。（a） ZG：=E公斤是（Sτ，G）的局部鞅导数。（b） 存在属于setMloc（F）×Ioloc（NG，G）×Lloc（Prog（F），P dD）使得KF=0，条件（3.26）和（3.27）都成立，E[Д（pr）τ| Fτ]I{τ<+∞}= 0 P-a.s.，EKF公司属于Zloc（S，F），Kg=T（KF）- G-1.-oT（m）+Д（o）oNG+Д（pr）oD.（3.36）（c）存在一个唯一的三元组（ZF，Д（o），Д（pr）），属于setZloc（S，F）×Ioloc（NG，G）×Lloc（Prog（F），P dD）并满足三个条件（3.29），（3.30）和zg=（ZF）τE（G-1.-om） τE（Д（o）oNG）E（Д（pr）oD）。（3.37）证明。很明显，断言（b）和（c）之间的等价性遵循与（b）证明中相同的论点<==> （c） 通过将VF≡ 类似地，（a）的证明==> （b）遵循（a）证明的相同步骤==> （b） 定理3.2中，将VG≡ 0，替换订单号 by=，并让Д为实值正且仅可预测，而不属于Θ（Sτ，G）。最后，证明（c）==> （a） ，我们注意到，命题3.3和f的组合表明，存在一个正且有界的f-可预测过程，即ZF（ДoS）∈ Mloc（F）（这是由于采埃孚∈ Zloc（S，F）），导致ZG（ДoSτ）是G-局部鞅。这证明了断言（a），定理的证明完成了。借助命题3.3和定理3.4，我们为（Sτ，G）挑选出一个特殊的局部鞅子类。推论3.5。如果ZF∈ Zloc（S，F），然后ZG：=（ZF）τ/E（G-1.-om） τbelongsto Zloc（Sτ，G）。3.2. 定理3.2的证明该定理的证明基于两个引理。第一个引理用F适应过程表征（Sτ，G）的衰减因子。

为此，我们回顾S=S+M+A+XSI公司{|S |>1}，（3.38），其中M是F-局部有界局部鞅和A∈ Aloc（F）是一个可预测的过程，使得M=A=0。引理3.6。如果ZG∈ D（Sτ，G），则存在一个属于Mloc（F）×Aloc（F）×Ioloc（NG，G）×Lloc（Prog（F），P dD）且满足性KF=V=0，（3.29）成立，V为非减量且F可预测，ZG=ZGE（KG）E(-V）τ，V<1，千克>-1，（3.39）KG：=吨KF公司-G-om级+ Д（o）oNG+Д（pr）oD，（3.40）和任何有界的Д∈ Θ（S，F）we haveU（Д）：=XДSI公司{|S |>1}（1+KF）∈ Aloc（F）（3.41）和1- VoVτ 一] ]0，τ]]oA（Д，KF，F），（3.42），其中A（Д，KF，F）：=（U（Д））p，F+ДohM，KFiF+ДoA.（3.43）证明。设zg是（Sτ，G）的一个定义。然后，根据命题3.1-（a），我们得到了KG的存在性∈ Mloc（G）和G-可预测RCLL和非减量过程VG，例如VG=KG=0，ZG=ZGE（KG）E(-VG），千克>-1.VG<1，（3.44）sup0<s≤·|^1sSτS |（1+千克）∈ A+位置（G），（3.45）1- VGoVG A（Д，KG，G），适用于任何Д∈ Θb（Sτ，G）。（3.46）其中A（Д，KG，G）∈ Aloc（G）是G-可预测的，因此φoSτ+[φoSτ，KG]- A（Д，KG，G）∈ Mloc（G）。（3.47）引理A.2-（c）直接应用于vG，证明了anF可预测和非减量过程V的存在∈ Aloc（F）使V<1且VG=Vτ。因此，通过将其插入（3.44），（3.39）紧随其后。将定理2.5应用于KG，我们得到了（NF，ν（o），Д（pr））的存在性，它属于Mloc（F）×Ioloc（NG，G）×Lloc（Prog（F），P dD）使得nf=0，E[Д（pr）τ| Fτ]I{τ<+∞}= 0 P-a.s.，kg=G-oT（NF）+Д（o）oNG+Д（pr）oD.（3.48），因此，一方面，通过将kf：=G-om+G-o法国试验标准∈ Mloc（F）（3.49）并将其插入（3.48），我们得到（3.40）。另一方面，我们认为是有界的∈ Θ（S，F），并注意到由于条件（3.45），ΘoSτ+Θo[KG，Sτ]是一个特殊的半鞅。

通过组合（3.38），（2.15），（2.16），（3.48）和f，这三个过程MИ（o）oNGandДMИ（pr）oDare G-局部鞅，我们推导出ДoSτ+Дo[KG，Sτ]=ДoMτ+ДoAτ+XДSτI{|S |>1}+Дo[KG，Sτ]，=G-局部鞅+ДeGI]]0，τ]]o[M，M]+Дo[Aτ+ДG-eGI]]0，τ]]o[NF，M]+X^1SI公司{|S |>1}”（1+NFG公司-eG）I]]0，τ]]+Д（o）NG+Д（pr）D#。因此，根据引理A.1-（A），我们得出结论，（3.45）等于toW：=XДSI公司{|S |>1}[（1+NFG公司-eG）I]]0，τ]]+Д（o）NG+Д（pr）D] （3.50）G-局部可积，andA（Д，KG，G）=ДoAτ+ДI]]0，τ]]ohM，KFiF+Wp，G.（3.51）注意0<1+千克=（1+NFG公司-eG）I]]0，τ]]+Д（o）NG+Д（pr）D是由于（3.44）、（3.48）和（2.16）中的第二个条件引起的。因此，凭借Lemma。3和（3.49），我们得出结论，W∈ Aloc（G）i fff两个过程w（1）：=XхSI公司{|S |>1}[（1+NFG公司-eG）]I]]0，τ]]=G-eGI]]0，τ]]oU（Д）（3.52）和W（2）：=PДSI公司{|S |>1}[Д（o）NG+Д（pr）D] 属于Aloc（G）。很明显，W（2）属于Aloc（G）当且仅当它是G-局部鞅，并且也很清楚W（1）∈ Aloc（G）当且仅当（3.41）h olds，见引理A.1-（b）。因此，由于引理A.1-（A），我们再次得到wp，G=（W（1））p，G=I]]0，τ]]oU（^1）p、 因此，通过将该等式与（3.51）、（3.46）和VG=Vτ相结合，条件（3.42）立即出现。这就结束了引理的证明。这是由于Yoeurp引理，参见[24，Th\'eor\'eme 36，第七章，第245页]。这两个过程属于Mloc（G），是由于以下因素的组合M有界且F-可选，与[11，命题2.13]。引理3.7。Let（KF、Д（o）、Д（pr））∈ Mloc（F）×Ioloc（NG，G）×Lloc（Prog（F），PdD）和KG∈ Mloc（G），使（3.29）和（3.40）保持不变。然后千克>-1如果且仅当KF>-1和两个（3.26）d和（3.27）保持不变。证据

Pu tΓ：=克-如-1(1 + KF）- 1，并派生千克=T（KF）- G-1.-T（m）+Д（o）NG+Д（pr）D=Γ - ^1（o）Do，FeG一] ]0，τ[[+Γ+Γ（pr）+Γ（o）GeGI[[τ]]。因此，E（KG）>0 i ff 1+KG>0当且仅当]]0，τ[[G-eG（1+KF）- ^1（o）Do，FeG>0, （3.53）和[[τ]]G-eG（1+KF）+Д（o）GeG+Д（pr）>0. （3.54）因此，通过将∑：=nG-如-1(1 + KF）- ^1（o）eG-1.Do，F>0o∩]]0, +∞[[，（3.53）相当于I]]0，τ[[≤ I∑。因此，通过在这个不等式的两侧取F-可选投影，我们得到0<G≤ I∑开]]0+∞[[.这证明了（3.27）中的右不等式。注意，（3.54）与-如-1(1 + KF）+Д（o）GeG-1+Д（pr）>0，P dD公司- a、 e.，和（3.26）。现在，我们重点证明1+KF>0和（3.27）中的左不等式。感谢EPdD[Д（pr）| O（F）]=0 P dD公司- a、 e.在P下取条件期望 dD关于上述不等式两边的O（F），我们得到∑：=G-(1 + KF）+Д（o）G>0，P dD公司- a、 e。。（3.55）注意，这相当于（3.27）中的左不等式，因为∑是可选的，因此（3.27）的证明已经完成。取I[[τ]]≤ I{∑>0}，相当于（3.55），我们得到Do，F≤ I{∑>0}。因此，我们得出{Do，F>0} {G-(1 + KF）>-^1（o）G}。（3.56）一方面，由于（3.27）中的右不等式，我们推断{Do，F=0}，我们有1+KF>0。另一方面，再次使用（3.56）和（3.27）中的右不等式，我们得到{1+KF公司≤ 0} ∩ {Do，F>0} {Д（o）>0，1+KF公司≤ 0, Do，F>0}=,或同等{Do，F>0} {1 + KF>0}。因此，1+KF＞0，完成了引理的证明。证据定理3.2的证明将分三步完成，其中我们证明了（a）的含义==>（b），（b）==>（c） ，和（c）==>（a） 分别为。第1步。在此，我们证明（a）==>（b） 。支持ZG∈ D（Sτ，G）。

然后，通过应用g引理3.6-3.7，我们推导出（KF，V，ν（o），ν（pr））的存在性∈Mloc（F）×A）loc（F）×Ioloc（NG，G）×Lloc（Prog（F），PdD）满足断言（b）的所有条件，E（KF）E除外(-五）∈ D（S，F）。为了证明这一点，一方面，我们在（3.42）和u se（Hou）p的两侧取F-dual可预测投影，F=p，F（H）ou（适用于任何有界过程H和任何F-可预测过程u∈ Aloc（F））至get1- VoVU（^1）p、 F+ДohM，KFiF+ДoA=A（Д，KF，F）。（3.57）另一方面，我们注意到A（Д，KF，F）∈ Aloc（F）是唯一的可预测过程，因此-A（Д，KF，F）∈ Mloc（F）。在此之前，通过将后一事实与（3.57）和It^o公式相结合，应用toE（KF）E(-V）E（ДoS），我们推断该过程是一个F-超鞅过程。这相当于E（KF）E(-五）∈ D（S，F），因为Θ是Θ（S，F）的任意边界元素，步骤1完成。第2步。这一步证明了（b）==>（c） 。因此，我们假设断言（b）成立。那么就有了KF、VF、Д（o）、Д（pr）使ZF：=E（KF）E(-VF）属于D（S，F），Д（o）∈ Ioloc（NG，G），Д（pr）∈ Lloc（程序（F），P dD），E[Д（pr）τ| Fτ]I{τ<+∞}= 0 P-a.s.，和（3.26）-（3.27）-（3.28）保持。PutY：=T（KF）- G-1.-oT（m），X：=Y+Д（o）oNGД（o）：=eGД（o）G-(1 + KF），Д（pr）：=eGД（pr）G-(1 + KF）+Д（o）G.（3.58）当对（Д（o），Д（pr））满足（3.26）-（3.27）时，很明显，对（Д（o），Д（pr））满足（3.30）。此外，我们像以前一样，将Γ：=G-如-1(1 + KF）- 1，eOhm := Ohm × [0, +∞),并计算1+X=“Γ+1”- Do，FД（o）eG#I]]0，τ[[+Γ+1+Д（o）GeGI[[τ]]+IeOhm\\]]0,τ]]> 0.1 + Y=G-eG（1+KF）I]]0，τ]]+I]]-∞,0]]∪]]τ,+∞[[>0。由于（3.34），我们导出（X+X）=E（X）E十、- (1 + X）-1o[X，X],对于任意半鞅X，X和1+十> 0。通过重复应用此公式，并使用Д（o）=Д（o）/（1+Y）和Д（pr）=Д（pr）/（1+十） P dD-a.e。

当我直接从（3.58）得出时，我们得到（KG）=E（X+Д（pr）oD）=E（X）E（Д（pr）1+XoD）=E（X）E（Д（pr）oD）=E（Y）E（Д（o）1+YoNG）E（Д（pr）oD）=E（Y）E（Д（o）oNG）E（Д（pr）oD）。因此，将上述等式与（3.33）相结合，即可得出等式（3.31）（见命题3.3）。第二步到此结束。第3步。在此，我们处理（c）==>（a） 。因此，我们假设断言（c）成立，并推断出三元组的存在ZF、Д（o）、Д（pr）属于D（S，F）×Ioloc（NG，G）×Lloc（Prog（F），P dD）满足（3.29），（3.30），且zg=（ZF）τE（G-1.-om） τE（Д（o）oNG）E（Д（pr）oD）。（3.59）然后，对于任何有界Д∈ Θ（S，F），ZFE（ДoS）是一个正的F-Super-artin大风。因此，多亏了[28，定理8.21，第二章]，我们推导出N的存在性∈ Mloc（F）和F-可预测RCLL和非递减过程V，V=N=0，V<1且ZFE（ДoS）=E（N）E(-V）。因此，通过将其插入（3.59），我们可以推断，对于任何∈ Θb（S，F），ZGE（ДoS）τ=E（N）τE（G-1.-om） τE（Д（o）oNG）E（Д（pr）oD）E(-V）τ。根据命题3.3，我们可以得出结论，过程（E（N）τ/E（G-1.-om） τ）E（Д（o）oNG）E（Д（pr）oD）是G-局部鞅，我们得出ZGE（ДoS）τ是G-超鞅，对于任何有界Д∈ Θ（S，F）。然后，断言（a）紧接着将此与事实相结合，对于任何有界的ДG∈ Θ（Sτ，G），存在有界的ДF∈ Θ（S，F）使ΘG=ΘFon]]0，τ]]（详情见引理A.2-（A）。这就结束了定理的证明。3.3. （S，F）的两个特殊情况：跳跃扩散和离散时间在本节中，我们举例说明了两个特殊情况的主要结果。准确地说，我们讨论了（S，F）遵循跳变扩散模型的情况，以及（S，F）的离散时间模型的情况。3.3.1. （S，F）的跳跃扩散案例本小节重点关注市场模型（S，F）的跳跃扩散过程的特定案例。