随机市场模型所有平减指数的显式描述

在此，我们假设概率空间上定义了标准布朗运动W和强度λ>0的泊松过程N(Ohm, F、 P）并且是独立的。设F为W和N生成的完整且正确的连续过滤。股票价格过程的动态ST=SE（X）t，Xt=σoWt+ζoNFt+Ztusds，NtF：=Nt- λt.（3.60）这里u、σ和ζ是有界的和F-可预测的过程，并且存在常数δ∈ (0, +∞) 使得σ>0，ζ>-1, σ + |ζ| ≥ δ、 P dt-a.e。。（3.61）定理3.8。设ZG：=E公斤是正G-局部鞅。Su pposeG>0，S由（3.60）-（3.61）给出。那么以下内容是等效的。（a） zg是（Sτ，G），（b）存在（ψ，ψ）的局部鞅定义∈ Lloc（W，F）×Lloc（NF，F），Д（o）∈ Ioloc（NG，G）和Д（pr）∈ Lloc（程序（F），P dD）满足（3.29）且以下Kg=ψoT（W）+ψoT（NF）- G-1.-oT（m）+Д（o）oNG+Д（pr）oD.Д（pr）>-[克-ψ+Д（o）G]/￠G，和-ψG-G<ψ（o）<ψG-Do，FP dD-a.e.，和u+ψσ+ψζλ≡ 0, ψ> -1个P dt公司- a、 e.（c）存在一个属于集合Lloc（W，F）×Lloc（NF，F）×Ioloc（NG，G）×Lloc（Prog（F），P）的u ni que四元体（ψ，ψ，Д（o），Д（pr）） dD）和满意度（3.29），ZG=E（ψoW+ψoNF）τE（G-1.-om） τE（Д（o）oNG）E（Д（pr）oD），Д（pr）>-1，P dD-a.e。，-G-G<Д（o）<G-Do，FP dDo、F-a.e.和u+ψσ+ψζλ≡ 0, ψ> -1个P dt公司- a、 e.证明。证明直接来自定理3.4和以下事实：∈ Mloc（F），存在一对唯一的F-可预测过程（ψ，ψ）∈ Lloc（W，F）×Lloc（NF，F），使得M=M+ψoW+ψoNF。3.3.2.

离散时间市场模型在本小节中，我们假设交易时间为t=0，1。。。，因此τ取{0，1，…，T}中的值(Ohm, F、 P）我们有F：=（Fn）n=0,1，。。。，T、 Gn=Fn∨ σ (τ ∧ 1.τ ∧ n） ，S=（Sn）n=0,1，。。。，T、 （3.62）Gn=TXk=n+1P（τ=k | Fn），eGn=TXk=nP（τ=k | Fn），n=0。。。，T、 然后，分别在（2.7）和（2.8）中定义的算子T和G鞅的离散时间版本由tn（M）=n给出∧τXk=1P（τ≥ k | Fk-1） P（τ≥ k | Fk）Mk+n∧τXk=1E[MkI{P（τ≥k | Fk）=0}Fk-1] ，（3.63），其中Mn：=Mn- 明尼苏达州-1和M是F-鞅，和ngn：=I{τ≤n}-n∧τXk=1P（τ=k | Fk-1） P（τ≥ k | Fk），n=1。。。，T、 （3.64）则τ是G-停止时间，Gτ通常定义，而Fτ由Fτ给出：=σ（{Xτ，X F-适应且有界}）。下面，我们讨论Gτ和Fτ之间的关系，因为这一作用在我们的分析中非常重要。引理3.9。考虑（3.62）的离散时间设置。然后σ-场SFτ和Gτ重合，因此对于任何Gτ可测随机变量X，存在一个F-适应过程ξ，使得X=ξτP-a.s.证明。由于τ是G-停止时间，并且由于[26，定理64，第五章]，我们得出结论，对于任何Gτ-可测随机变量X，存在G-适应过程，ξG=（ξGn）n=0,1，。。。，t X=ξGτ。因此，如果我们证明，对于任何n∈ {0，…，T}，和任何可测随机变量XGn，存在一个Fn可测随机变量XFnsuch，其XGn=XFnon（τ=n）。（3.65）因此，一方面，很明显，（3.65）适用于XGn=ξFnf（τ）形式的随机变量∧ 1.τ ∧ n） 式中，ξfn是一个有界且fn可测的随机变量，f是Rn上有界且Borel可测的实值函数。

另一方面，这些随机变量生成有界和Gn可测随机变量的向量空间。因此，（3.65）对于一般随机变量的完整定义，遵循这一注释和类单调定理（见[26，定理21，章]）。这证明了引理。引理3.9的影响可以在定理2.5的离散时间版本中立即注意到，我们在下面陈述。定理3.10。设MGbe是G-局部鞅。然后存在一个Flocal鞅，MF和一个F-适应过程，使得mgn∧τ=MG+nXk=1Tk（MF）P（τ≥ k | Fk-1） +nXk=1хkNGk。（3.66）证明。结合定理2.5和Lemm a 3.9，证明如下。下面，我们在本小节中陈述了主要结果。定理3.11。设zg为正的G适应过程，q为F上的概率测度，式中Zn=nYk=1eGkGk-1I{Gk-1> 0}+I{Gk-1=0}!. （3.67）那么以下断言是等效的。（a） ZG是（Sτ，G）（即ZG）的定义∈ D（Sτ，G））。（b） 存在唯一对Z（等式，F），Д使得Z（等式，F）∈ D（S，eQ，F），Д是一个满足所有n=0。。。，T P-a.s。-P（τ≥ n | Fn）P（τ>n | Fn）<Дn<P（τ≥ n | Fn）P（τ=n | Fn），ZG=（Z（eQ，F））τZ（Д）。（3.68）这里Z（Д）是gi-venbyz（Д）t：=tYn=11+ДnP（τ>n | Fn）P（τ≥ n | Fn）I{τ=n}- νnP（τ=n | Fn）P（τ≥ n | Fn）I{τ>n}.（3.69）证明。我们从以下三点开始证明：1）很容易检查（详情和相关结果参见[12]）过程Z是F鞅，henceeQ是一个定义良好的概率度量。

此外，processZ是流程E（G）的离散时间版本-1.-I{G->0}om）（即使在Gmight消失的情况下也有明确定义）见【30，第2.3小节】。2） 很明显，X是aeQ supermartingale i ffy：=ZX是一个supermartin大风。3） 由于（3.64），对于任何F-可选过程，离散时间版本的E（ДoNG）与（3.69）中给出的Z（Д）一致。然后，通过将这三个备注与定理3.2相结合，定理的证明紧随其后。4、市场模型的NFLVR在τ处停止。本节讨论了第3节对无免费午餐和消失风险概念的稳定性的重要应用（下文简称NFLVR）及其在τ停止下的变化。为此，我们回顾（L∞（P），k·k∞)是赋有范数的有界随机变量集，我们∞（X，H）：=H∈ L（X，H）：极限-→+∞（HoX）德克萨斯主义者几乎可以肯定,（4.70）我们回顾了NFLVR的数学定义和相关概念。定义4.1。设（X，H）为市场模型，其中X为折扣资产价格，H为过滤。（a） 如果没有空气序列（Hn，αn），则称模型（X，H）满足NFLVR∈ L∞（X，H）×[0+∞) 满足HnoX≥ -αn，（HnoX）∞概率收敛到一个随机变量f，其值为[0+∞] andP（f>0）>0和k max（0，-（HnoX）∞)k∞收敛到零。（b） 模型（X，H）的鞅密度是该模型的任何局部鞅定义因子Z（即Z∈ Zloc（X，H）），这是一个统一的可积函数。所有鞅密度的集合用Z（X，H）表示。很明显，对于任何T∈ (0, +∞) 和H-半马丁内格尔X，我们有∞（XT，H）=L（XT，H），在这种情况下，单位极限是无关的。对于NFLVR的第一个定义，我们请读者参考[20，21]及其参考文献。事实上，我们的定义4.1-（a）正是[20，推论3.7]。

一方面，由于[21，定理1.1]，我们知道（X，H）满足NFLVR，它允许鞅密度（即Z（X，H）6=) . 另一方面，根据定理3.4，所有鞅d密度（当它们存在时）都采用（3.36）的形式，或等价于（3.37）的乘法形式。因此，（Sτ，G）的NFLVR概念归结为在局部鞅定义中存在一致的ly可积鞅。以下定理说明了我们对模型（Sτ）的NFLVR的结果∧T、 G）和（Sτ，G），其中T∈ (0, +∞) 是一个固定的地平线。为此，通过其余的p文件，作为p（τ=+∞) > 一般来说，对于任何p过程X，其极限几乎可以确定为p，我们将Xτ=X∞:= 限制-→+∞Xton（τ=+∞).定理4.2。假设G>0。那么下面的断言就成立了。（a） 对于任何固定的地平线T∈ (0, +∞), 模型（Sτ∧T、 G）尽快满足NFLVRas模型（ST，F）。此外，对于任何ZF∈ Z（ST，F），wehave（ZF）T∧τ/E（G-1.-om） T型∧τ∈ Z（Sτ∧T、 G）。（b） 对于任何有界（Д（o），Д（pr））∈ Ioloc（NG，G）×Lloc（Prog（F），PdD）suc hthat E[Д（pr）τ| Fτ]I{τ<+∞}= 0 P-a.s.和Д（pr）>-1, 0 ≤ Д（o），Д（o）（例如- G） <例如，P dD-a.e.，（4.71）和任何Z∈ Z（ST，F），过程ssZτ∧TE公司G-1.-om级τ∧TE（Д（o）oNG）TE（Д（pr）oD）t延伸至Z（Sτ∧T、 G）。（c） 如果E∞-G--1om= 0E∞-如-1oDo，F= 0, P-a.s.，（4.72）然后（Xτ，G）满足NFLVR，对于满足NFLVR的任何模型（X，F）。此外，根据（4.72），对于任何Z∈ Z（X，F）和任何一对（Д（0），Д（pr））满足断言（b）的条件，我们有ZτE（Д（o）oNG）EG-1.-om级τE（Д（pr）oD）属于Z（Xτ，G）。（4.73）（d）假设E∞-如-1oDo，F= 0，每年。。（4.74）然后（Xτ，G）满足NFLVR，对于满足NFLVR的任何模型（X，F）。由于引理2.3-（c），定理4.2中的所有量都得到了很好的定义。本节其余部分分为三个小节。

第一小节给出了定理4.2的详细p屋顶，并概述了一些中间结果。第二小节讨论了定理4.2的新颖之处和/或它与现有文献的一致性。最后一小节讨论了NFLVR变量在以τ停止时的稳定性。4.1. 定理4.2和其他相关结果的证明在本小节中，我们讨论定理4.2的证明。为此，westart指出，断言（a）直接从断言（b）派生而来，将Д（o）=Д（pr）≡ 断言（d）紧跟在断言（c）之后，通常，（4.74）明确暗示（4.72）。此外，当τ<+∞P-a.s.，这两个条件（4.72）和（4.74）是等价的，这是引理2.3-（e）的直接结果。因此，本小节的剩余部分涉及定理4.2的断言（b）和（c）的证明。令人惊讶的是，我们无法通过lettingT从断言（c）中推断断言（b），这两个断言都需要单独的证明。然而，这些证明的一个重要部分本质上依赖于以下本身就很有趣的命题。提案4.3。以下断言成立。（a） 对于任意N∈ M（F），过程Nτ/E（G-1.-om） τ属于m（G）。特别是1/E（G-1.-om） τ是G-鞅，对于任何T∈ (0, +∞),eQT：=eZT·P其中Ez：=E-G-1.-oT（米）= 1/E（G-1.-om） τ（4.75）是关于(Ohm, 燃气轮机）。（b） 设Nbe为N的一致可积F-鞅∞> 每年0美元。。不适用（G-1.-om） τ是一致可积G-鞅当且仅当（4.72）成立，或等价于P-a.sE∞(-G-om） =0（Z）∞I{eGs=Gs}GsdDo，Fs+Xs>0ln（eGsGs）=∞).（4.76）在这种情况下，公式：=eZ∞· P i是一个定义良好的概率度量(Ohm, F） 。该命题的pro与定理4.2的证明一起给出，并基于以下关键引理。引理4.4。

如果N是一致可积F-鞅，则- |N | E(-如-1oDo，F）是可积的（即Z∞-|Ns | dEs-如-1oDo，F< ∞)和E-(-如-1oDo，F）oN是一致可积F-鞅。为了简单起见，这个引理的证明被归入附录C。下面，我们证明定理4.2和d命题4.3。证据定理4.2和命题4.3：这个证明分为三部分。第一部分证明命题4.3-（a）和定理4.2-（a），而定理4.2-（b）在第二部分得到证明。第三部分添加了定理4.3-（b）和定理4.2-（c）。第1部分。注意，定理4.2-（a）的证明遵循命题4.3-（a）和推论3.5的组合。此外，命题4.3—（a）的最后一句话紧跟在该断言的第一句话之后，考虑到N≡ 因此，本部分其余部分的重点是证明命题4.3—（a）的最终陈述。为此，我们考虑∈ M（F，P），对于任何有界F-停止时间σ，我们导出“Nσ∧τEσ∧τG-1.-om级#= E“NσEσG-1.-om级I{τ>σ}+E“NτEτG-1.-om级I{0<τ≤σ} +NI{τ=0}#=E“NσEσG-1.-om级Gσ+N（1- G） #+E“ZσNsEsG-1.-om级Δτ（ds）#=E“N+GNσEσ-eGoDo，F- N+ZσNsEsG-1.-om级dDo，Fs#=E[N]+EGZσEs--如-1oDo，FdNs-EZσGeGsNsEs--eGoDo，FdDo，Fs+ E“ZσNsEsG-1.-om级oDo，Fs#=E[N]+EZσGEs--如-1oDo，FdNs. （4.77）上述等式中的第三个和最后一个等式源自以下事实，即（2.11）andeG=G+Do，F，EG--1om-1=GGE-eGoDo，F=GeGE公司--eGoDo，F. （4.78）对于任何T∈ (0, +∞) 对于任意F-鞅N，通过引理4.4到NT，我们推导出了GE--如-1oDo，FoNTI是一致可积鞅。因此，通过将后一个事实与（4.77）相结合，我们得到了“Nσ∧τEσ∧τG-1.-om级#= E[N]对于任何有界F-停止时间σ。这与引理A.2-（d）的组合意味着Nτ/E（G-1.-om） τisa G-鞅。

这证明了命题4.3-（a），并结束了第1部分。第2部分。为了证明定理4.2-（b），我们考虑Z∈ Z（ST，F）和一对键合ed过程（Д（o），Д（pr））∈ Ioloc（NG，G）×Lloc（Prog（F），P dD）如E[Д（pr）τ| Fτ]I{τ<+∞}= 每年0次和（4.71）小时。因此，由于toln（1+x）- x个≤ 0表示任何x>-1，我们得到0≤ Et（Д（pr）oD）=（1+Д（pr）τI{τ≤t} （）≤ 1+C（4.79）0≤ Et（Д（o）oNG）=Et-^1（o）eGI]]0，τ[[oDo，F！1+GτeGτИ（o）τI{τ≤t}≤ 1+C.（4.80）因此，通过使用这些不等式和断言（a），我们得出结论，过程E（Д（o）oNG）E（Д（pr）oD）Zτ/EG-1.-om级τ、 属于Zloc（Sτ∧T、 G），是G-鞅。这证明了定理的断言（b）。第3部分。在此，我们证明了定理4.2-（c）和命题4.3-（b）在某种程度上是相关的。事实上，由于（2.3），很容易看出条件（4.72）和（4.76）是等效的。假设（4.72）成立，并考虑满足NFLVR的模型（X，F）。然后，我们推导出Z的存在性∈ Z（X，F）和Zτ/E（G-1.-om） τ∈ Zloc（Xτ，G）根据推论3.3。AsZ是一个与Z一致可积的F-鞅∞> 0 P-a.s.，通过将命题4.3-（b）应用于Z，我们得出Zτ/E（G-1.-om） τ∈ Z（Xτ，G）。这证明了定理4.2-（c）的第一条陈述，而第二条陈述则直接从第二部分（4.79）-（4.80）中的第一条陈述和论证结合而来。这证明了定理4.2-（c）。因此，本部分剩余部分论述了命题4.3—（b）。为此，我们考虑了一致可积的F-鞅N与N∞> 每年0美元。。

因此，由于It^o app欺骗了NE-如-1oDo，F, （2.12）和引理2.3-（d），我们把Γ+：={E∞（G）-1.-om） >0}和deriveE“NτEτG-1.-om级#= E“N∞E∞G-1.-om级I{τ=∞}+NτEτG-1.-om级I{0<τ<+∞}+ NI{τ=0}#=E“N（1- G） +GN∞E∞(-例如，Do，F）IΓ++Z∞NsEsG-1.-om级Δτ（ds）#=E“N（1- G） +GN∞E∞(-例如，Do，F）IΓ++Z∞NSEG-1.-om级dDo，Fs#=EN（1- G） +GN∞E∞(-例如，Do，F）IΓ++GZ∞NSEGES-(-例如，Do，F）dDo，Fs= EN（1- G） +GN∞E∞(-例如，Do，F）IΓ+- 广州∞NSDE-如-1oDo，F= EN- GN公司∞E∞(-例如，Do，F）IOhm\\Γ++Z∞GEs公司--如-1oDo，FdNs= EhN公司- GN公司∞E∞-如-1oDo，F我Ohm\\Γ+i.（4.81）最后一个等式是引理4.4的直接结果，而f ou rthequality则来自（4.78）。因此，根据（4.81），我们得出正过程Nτ/EG-1.-om级τ是一致可积的G-鞅当且仅当GN∞E∞-如-1oDo，F我Ohm\\Γ+=0 P-a.s.或等效（4.72）保持不变（由于G>0和N∞> 0 P-a.s.）。这就结束了对第4.2条和第4.3.4.2条命题的证明。与文献相比，定理4.2有哪些新颖之处？正如我们在导言中所提到的，三篇论文【4、19】和【27】听起来是与以τ结尾的NFLVR相关的最先进的文献。在【19，推论4.6】和【4，引理3.1】（分别在【4，引理3.3】中），作者证明了NFLVR适用于（Sτ，G），依此类推，因为浸没假设（分别为正密度假设）已完成。值得一提的是，对（τ，F）的这两个条件是非常严格的，因为它们都可以归结为τ和F之间的某种“独立性”，参见[4，备注4.3]。在浸入的情况下，这是一种比τ是[33]中引入的伪停止的情况更强的情况，我们有m≡ 因此，mand（4.72）保持为E（G-1.-om）≡ 此外，在这种情况下，τ<∞ P-a.s.安第斯∞(-如-1oDo，F）=0 P-a.s.，而一般情况下，后者表示形式为eronly。

与[19]相比，在[27]中放松了浸入假设，而模型（S，F，τ）满足以下几个假设：S是连续的，完全符合NFLVR（M是其鞅部分），（4.82）τ避免了F停止时间，即P（τ=σ）=0， σfinite F-stopping，（4.83）（M，F）具有可预测的表示性质，（4.84）τ是一个诚实的时间，即，例如τ=1 P-a.s.on（τ<+∞). （4.85）在这些对其分析至关重要的假设下，作者在【27，定理5.1】中指出，NFLVR适用于（Sτ∧σ、 G）i ff P（σ≥ R） =0，其中Ris在（2.10）中定义。定理4.2-（a）在G>0（或等效R=+∞ P-a.s.），因此P（σ≥ R） =0表示任何边界f停止时间σ。这表明定理4.2-（a）与[27，定理5.1]一致。此外，在[27，定理4.1]中，当强制执行（4.82）-（4.83）-（4.84）-（4.85）时，（Sτ，G）的NFLVR失败。因此，据我们所知，除了f或浸入和正密度假设的情况外，在可能无界随机视界停止下，NFLVR的稳定性没有结果。本着这种精神，eorem 4.2-（c）回答了一个较为普遍的问题，即是否存在停止后不会改变NFLVR的随机时间？为了解释定理4.2与[27，定理4.1]，[4]及其参考文献的一致性，我们陈述了以下引理。提出了两类违反定理4.2-（c）和（d）假设的τ模型。引理4.5。假设存在一个正且连续的F-鞅（即，对于所有t≥ 0）以便-→+ ∞Nt=0，P-a.s.和Gt=Ntsup0≤s≤tNs、， t型≥ 0，（4.86）或最小-→+∞Nt=0，P-a.s.和Gt=最小值（1，Nt）， t型≥ 0。（4.87）然后τ<+∞ 对于这些模型，P-a.s.和条件（4.74）总是失败。这个引理的证明被简化为附加ix C。