随机市场模型所有平减指数的显式描述

为了证明第二种说法，我们使用了部分公式积分和事实(-如-1oDo，F）≤ 1和| N |≤o、 F（| N∞|), 并写入中兴通讯-(-例如，Do，F）dNs≤ E|N∞| + |N |-Z∞|Ns | dEs(-eGoDo，F）英尺.通过将此与第一个陈述相结合，引理的证明如下。证据引理4.5：1）假设对（τ，F）满足（4.86）。在不丧失一般性的情况下，在这种情况下可以假设N=1，并得出0<G≤ N、 因此，由于（4.86）中的第一个条件，我们得到G∞= 0 P a.s.，相当于τ<+∞ 根据引理2.3，P-a.s。在one-hand上，由于N的连续性和G的正则分解的唯一性，我们得到了（G-1.-om） =N和Et(-如-1oDo，F）=sup0≤s≤tNs公司-1、另一方面，由于（4.86）中的第一个条件，很明显≥0Nt<+∞ P-a.s.，因此（4.74）失败。2） 假设（4.87）成立。因此，很明显，在这种情况下，我们有0<G≤ N因此，根据（4.87）中的第一个条件，我们得到G∞= 0P-a.s.，相当于τ<+∞ P-a.s.，详见引理2.3-（e）。多亏了田中的公式，参见[34，定理1.2，第六章]，以及min（a，b）=b的事实- （a）- （b）-, we deriveGt=G+ZtI{Ns≤1} dNs-Lt，其中Lis是1中N的本地时间。然后是G和N的连续性，以及G导联tom=G+I{N的正则分解的唯一性≤ 1} oN和Do，F=L。同样清楚的是，由于G的连续性，我们有G=eG=G-.此外，由于[34，提案1.3，第六章]，不减损程序几乎肯定由{t≥ 0:Nt=1}，因此我们得到(-如-1oDo，F）=exp-L.[34，定理1.2，第六章]和Fatou的结合导致∞] ≤ 限制-→+∞E[Lt]≤ E[N+1]<+∞ .这意味着L∞< +∞ P-a.s.，或等效E∞(-如-1oDo，F）>0P-a.s。。

这证明了（4.74）对于（4.87）中的模型是失败的，并且引理的证明已经完成。本节其余部分证明引理4.8。证据引理4.8：考虑Z=E（M）a q-可积F-鞅，T∈ (0, +∞), 因此ZT∈ M（q）（F）。作为Xo+×{0} 引理的第一个不等式是显而易见的。Let^1（o）∈ Xo+，并注意θ：=G-1+Д（o）/eG∈ Θ当且仅当Θ（o）∈ Xo+。此外，通过组合（3.34），[Do，F，Do，F]=Do，FoDo，FandDo，F=eG- G我们德里维(-Д（o）eGI]]0，τ[[oDo，F）E(-eGI]]0，τ[[oDo，F）=E-Д（o）eGI]]0，τ[[oDo，F-eGI]]0，τ[[oDo，F+Д（o）eGI]]0，τ[[o[Do，F，Do，F]！=E-eG^1（o）-eG+Д（o）Do，FeGI]]0，τ[[oDo，F！=E(-θGeGI]]0，τ[[oDo，F），（C.101），并且由于直接计算，我们得到（Д（o）oNG）q=E(-^1（o）eG-1I]]0，τ[[oDo，F）q（1+Д（o）GeGD）q=E-θGeGI]]0，τ[[oDo，Fq（θG）qD+1- DE公司(-如-1I]]0，τ[[oDo，F）q.（C.102），通过组合（C.101），（C.102）和E（G-1.-om）-1=GGE(-如-1oDo，F）givenby（4.78），我们得到zτ∧TEτ∧T（克-1.-om） 哦！qET（Д（o）oNG）q=GqZqτEτ-(-θGeGoDo，F）qθτGτeGτqI{τ≤T}+GqZqTGqTET(-θGeGoDo，F）qI{τ>T}。因此，通过对方程两边的期望，我们得到Zτ∧T/Eτ∧T（克-1.-om）qET（Д（o）oNG）qi=1+EZTGqZqsEs--θGeGoDo，FqθsGseGsqdDo，Fs+EGqZqT（GT）1-qET(-θGeGoDo，F）q这就结束了引理的证明。附录D关于Hellinger过程的引理本节略微扩展了[17，18]关于Hellinger过程的一些结果。这些结果对于定理4.7的证明是有用的。引理D.1。对于任何q∈ (1, +∞) 和任何M∈ Mloc（H，P）使1+M≥ 0，我们考虑以下过程h（q）（M）：=hMci+X[（1+M） q- 1.- q M]/q（q- 1).

（D.103）那么以下断言成立。（a） H（q）（M）是具有有限值的RCLL和非减量过程，H（q）（M）∈ A+loc（H，P）当且仅当M∈ M（q）loc（H，P）。（b） 以下等式始终成立。E（M）q=1+qE-（M） qoM+q（q- 1） E类-（M） qoH（q）（M），（D.104）E[ET（M）q]=1+q（q- 1） E类中兴通讯-（M） qdH（q）s（M）, （D.105）E[（hoE（M）q）T]=q（q- 1） E类中兴通讯-（M） qdH（q）s（M）,（D.106）对于任何非负且有界的H-可预测过程H证明。断言（a）和（D.104）的证明可在[17，命题3.3和命题3.8]及其证明中找到，也可参见[18，命题1]及其证明。等式（D.105），当M∈ M（q）（H，P）也是从这些参考文献中得到的，而（D.105）是（D.106）的直接结果，对于M的一般情况，取H=1∈ Mloc（H，P）与1+M≥ 因此，在这里，我们证明（D.106）仍然适用于这个一般情况。为此，我们考虑一个非负且有界的H-可预测过程H和一系列停止时间（Tn）n≥1增加到完整性，因此，对于所有n≥ 1，（E）-（M） qoM）这是马丁·盖尔满足Esup0≤s≤Tn |（E-（M） qoM）s|< +∞. 因此，我们推断-（M） qoMTnis是一致可积鞅。因此，通过将其与（D.104）相结合，我们得出[（hoE（M）q）T∧Tn]=q（q- 1） E类ZT公司∧TnhsEs公司-（M） qdH（q）s（M）,因此，这与E[（hoE（M）q）T]=仰卧[（hoE（M）q）T）的组合∧Tn]——当E（M）等于局部子鞅时，它总是成立的——和类单调定理，我们推导出（D.106）如下。

引理的证明到此结束。致谢本研究得到加拿大自然科学与工程研究委员会（nGrant NSERC RGPIN-2019-04779）的全力支持。作者要感谢Ferdoos Alharbi、Safa’Alsheyab、Jun Deng、You ri Kabanov、Michele Vanmalele和2020年BachelierColoquim的参与者，感谢他们提出了一些意见/建议，就这一主题进行了富有成效的讨论，并/或提供了重要和有用的参考。作者非常感谢一位匿名评论员的仔细阅读、重要建议和中肯的评论，这些都有助于论文的改进。参考文献[1]Acciaio，B.、Fontana，C.和Kardaras，C.《半鞅金融模型中的第一类套利和过滤放大、随机过程及其应用》，第126卷，第6期，1761-1784（2016）。[2] Aksamit，A.、Choulli，T.、Deng，J.、Jeanblanc，M.：《准左连续模型的随机地平线无套利》，《金融与随机》，第21卷，1103-1139，（2017）。[3] Aksamit，A.、Choulli，T.、Deng，J.、Jeanblanc，M.《薄半鞅模型附加信息下的无套利、随机过程及其应用》，第129卷，第9期，3080-3115（2019）。[4] Aksamit，A.、Choulli，T.、Deng，J.和Jeanblanc，M.Arb itrages in A Progressive Enhanced setting，《套利、信贷和信息风险》，第5卷，北京大学出版社，53-86。数学世界Sci。出版物。，新泽西州哈肯萨克（2014）。[5] Aksamit，A.和Choulli，T.和Jeanblanc，M.：《关于可选半鞅分解和放大滤波中的衰减因子的存在》，见《纪念Marc Yor，S’eminaire De Prob Abilit’es XLVII》，第2137卷《数学课堂讲稿》。，第187-218页。查姆斯普林格（2015）。[6] A.Aksamit和M.Jeanblanc。通过财务审查扩大过滤。

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