有限域上具有注资的最优股利问题

设b为问题（3.2）的最优停止边界，recallIs（x）=max0≤θ≤ s{-x个- uθ - σWθ}∨ 0，s≥ 0，定义因子（x）：=x+us+σWs+Is（x），s≥ 0。（4.15）则对于任何（t，x）∈ [0，T]×R+1有（4.16）Zb（T）xu（T，y）dy=N（T，b（T））- N（t，x），其中N（t，x）：=E-ZT公司-t型卢比（x）- b（t+s）+f′（t+s）ds-ZT公司-tm（t+s）dIs（x）+g（t，RT-t（x））.（4.17）12法拉利，Schumannproof。为了证明（4.16），我们使用最优停止问题（3.2）的值函数表示（4.10）。

利用Fubini-Tonelli定理，我们得到了Zb（t）xu（t，y）dy=Zb（t）xEZ（T-t）∧S（y）-f′（t+s）{y+us+σWs≥b（t+s）}ds+m（t+s（y））{s（y）≤T-t} +gx（t，AT-t（y））dy=E-Z（T-t） f′（t+s）Zb（t）x{y+us+σWs≥b（t+s）}{s≤S（y）}dyds（4.18）+Zb（t）xm（t+S（y））{S（y）≤T-t} dy+Zb（t）xgx（t，AT-t（y））dy.在下文中，我们将分别研究（4.18）右侧最后一项的三个求和。调用S（x）=inf{u≥ 0:x+uu+σWu=0}很明显，（4.19）S（y）≥ s<=> 太太≤ y对于任何（s，y）∈ R+×（0，∞), 我们定义的（4.20）Ms：=最大值0≤θ≤ s(-uθ - σWθ），s≥ 0。然后我们可以根据（4.20）重写（4.15），得到（4.21）Rs（x）=（x∨ Ms）+us+σWs，s≥ 通过使用（4.19），我们发现zb（t）x{y+us+σWs≥b（t+s）}{s（y）≥s} dy=Zb（t）∨b（t+s）-us-σWsx个∨b（t+s）-us-σWs{S（y）≥s} dy=Zb（t）∨b（t+s）-us-σWsx个∨b（t+s）-us-σWs{毫秒≤y} dy公司=（b（t）∨ （b（t+s）- us- σWs）∨ 毫秒）- （十）∨ （b（t+s）- us- σWs）∨ 毫秒）=（b（t）∨ 毫秒）∨ （b（t+s）- us- σWs）- （十）∨ 毫秒）∨ （b（t+s）- us- σWs）(4.22)=[（b（t）∨ Ms）+us+σWs]∨ b（t+s）-[（x∨ Ms）+us+σWs]∨ b（t+s）=卢比（b（t））∨ b（t+s）-卢比（x）∨ b（t+s）=卢比（b（t））- b（t+s）+-卢比（x）- b（t+s）+.对于（4.18）右手边最后一项的第三个求和，由于gx（T，) = 0，Zb（t）xgx（t，AT-t（y））dy=Zb（t）xgx（t，y+u（t- t） +σWT-t） {S（y）>t-t} dy=Zb（t）xgx（t，y+u（t- t） +σWT-t） {MT-t<y}dy（4.23）=Zb（t）∨机器翻译-德克萨斯州∨机器翻译-tgx（T，y+u（T- t） +σWT-t） dy=g（t，RT-t（b（t）））- g（T，RT-t（x）），注资最优股息13，在最后一步中，我们使用（4.21）。证明zb（t）xm（t+S（y））{S（y）≤T-t} dy=ZT-tm（t+s）dIs（x）-ZT公司-我们必须区分两种情况。在下面我们让（t，x）∈ [0，T]×R+被给定并固定，我们通过取x<b（T）来证明（4.24）。如果b（t）<xb，则通过颠倒x和b（t）的角色，参数完全相同。案例1。

这里是x∈ {y∈ R+：S（y）≥ T-t}；也就是说，初始点x>0使得d分裂布朗运动在时间范围之前不会达到0。这意味着（4.15）中的rs（x）等于x+us+σwss，因此（x）=0表示所有s∈ [0，T- t] 。因此，我们可以编写zb（t）xm（t+S（y））{S（y）≤T-t} dy=0=ZT-tm（t+s）dIs（x）-ZT公司-tm（t+s）dIs（b（t）），（4.25），其中我们使用了s（y）>s（x）≥ T- 对于任何y>x和{x}的t，有零Lebesguemeasure来获得第一个等式，并且0=是（x）≥ Is（b（t））≥ 0，因为x<b（t）。案例2。这里是x∈ {y∈ R+：S（y）<T- t} ；i、 漂移布朗运动在时间范围之前达到0。定义（4.26）z：=inf{y∈ R+：S（y）≥ T- t} ，与f中的u sual约定 = +∞. 在序列中，我们假设z<+∞, 由于其他原因，无需进行以下分析。注意，通过时间上的连续性和漂移布朗运动路径的初始数据，我们得到了S（z）≤ T- t、 此外，它还适用于所有人∈ （cf.（4.20））（4.27）y+等于（y）=Ms，s≥ S（y），（4.28）为（y）=0，s<s（y）。使用（4.27），（4.28），（4.19），以及Revuz和Yor【29】在本书第0章第4节中对变量公式的更改（另见Baldursson和Karatzas【5】中的方程式（4.7）），我们得到了zz∧b（t）xm（t+S（y））{S（y）≤T-t} dy=Zz∧b（t）xm（t+S（y））dy=ZS（z∧b（t））S（x）m（t+S）dMs=ZS（z∧b（t））S（x）m（t+S）dIs（x）- dIs（z）∧ b（t））)（4.29）=ZT-tm（t+s）dIs（x）- dIs（z∧ b（t））=ZT公司-tm（t+s）dIs（x）-ZT公司-tm（t+s）dIs（z∧ b（t））。对于积分Rb（t）z∧b（t）m（t+S（y））{S（y）≤T-t} dy由于z（4.26）的定义，我们可以使用案例1的结果。然后，将（4.25）和（4.29）组合得到（4.24）。通过（4.22）、（4.23）和（4.24），回顾（4.17）和（4.18），我们得到（4.16）。14法拉利，SchumannProposition 4.9。让（D, 我) 是系统的解决方案（3.7）。

然后，对于任何（t，x）∈ [0，T]×R+1有（4.30）Zb（T）xu（T，y）dy=M（T，b（T））- M（t，x），其中b i是问题（3.2）和（4.31）M（t，x）的最佳停止边界：=EZT公司-tf（t+s）dDs（t，x）-ZT公司-tm（t+s）dIs（t，x）+g（t，XDT-t（x））.证据对于这个证明，我们使用u（cf.（3.6））u（t，x）=Ehf（t+τ）的表示（t，x））{τ（t，x）<t-t型∧S（x）}+m（t+S（x））{τ（t，x）≥S（x）}+gx（T，AT-t（x））{τ（t，x）=t-t<S（x）}i.（4.32）证明是相当长的和技术性的，它是按几个步骤组织的。此外，为了简化演示，我们现在将t设置为0。实际上，如果t∈ （0，T）进行明显修改。如果x≥ b（0），然后（4.30）显然成立。实际上，Rb（0）xu（0，y）dy=-（十）-b（0））f（0）自τ起（0，y）=任何y的0≥ b（0）。同样，从（4.31）M（0，b（0））- M（0，x）=M（0，b（0））-（十）- b（0））f（0）+M（0，b（0））, 自D起（0，x）的初始跳转大小为（x-b（0）），即XD0+（x）=b（0）。因此，在下面我们证明（4.30），假设x<b（0）。第1步。这里是x∈ {y∈ R+：τ（0，y）<S（y）}；也就是说，初始点x>0表示漂移布朗运动在到达原点之前到达边界，或者时间范围在到达原点之前出现。确定流程≥0这样（4.33）Ls：=最大值0≤θ≤ s{uθ+σWθ- b（θ）}，0≤ s≤ T、 那我们就都有了∈ [x，b（0）]（4.34）{τ（0，y）≤ s} ={Ls≥ -y} ，（4.35）{τ（0，y）=T}={LT≤ -y} ，（4.36）Ds（0，y）=（0，0≤ s≤ τ（0，y），y+Ls，τ（0，y）≤ s≤ S（y）和（4.37）XDs（y）=（y+us+σWs，0≤ s≤ τ（0，y），us+σWs- Ls，τ（0，y）≤ s≤ S（y），尤其是（参见。

（3.7）一s（0，y）=I对于任何s，s（0，b（0））=0∈ [0, τ（0，y）]。此外，随后定义τ（0，x）、S（x）和XD（x） 对所有人来说∈ [x，b（0）]我们有（4.38）0=τ（0，b（0））≤ τ（0，y）≤ τ（0，x），（4.39）τ（0，y）<τ（0，x）<S（x）≤ S（y）和{τ上的（4.40）（0，x）<T}：XDs（y）=XDs（x），s>τ（0，x）。注资的最优股息15有了这些结果，我们现在显示所有x∈ [0，b（0）]，使得τ（0，x）<S（x）i表示（4.41）Zb（0）xf（τ（0，y））1{τ（0，y）<S（y）}dy=ZTf（S）dDs（0，b（0））-ZTf（s）dDs（0，x），（4.42）Zb（0）xgx（T，y+uT+σWT）{τ（0，y）=T<S（y）}dy=g（T，XDT（b（0）））- g（T，XDT（x））和（4.43）Zb（0）xm（S（y））1{τ（0，y）≥S（y）}dy=ZTm（S）dIs（0，x）-ZTm（s）dIs（0，b（0））。我们从（4.41）开始。到（4.40）时，我们有了dDs（0，x）=dDs（0，b（0））表示所有τ（0，x）<s≤ T由（4.36）和自τ（0，b（0））=0一个也有（4.44）Ds（0，b（0））=b（0）+Ls，s∈ [0，S（b（0））]。因此，（4.41）的右侧重写为（4.45）ZTf（s）dDs（0，b（0））-ZTf（s）dDs（0，x）=Zτ（0，x）f（s）dDs（0，b（0））-Zτ（0，x）f（s）dDs（0，x）=Zτ（0，x）f（s）dDs（0，b（0））=Zτ（0，x）f（s）dLs，其中我们使用了该dDs（0，x）=所有s为0∈ [0, τ（0，x）]乘以（4.36）。然而，通过使用Baldurs-son和Karatzas[5]中的变量公式的变化，方程（4.7），我们得到了（4.46）Zb（0）xf（τ（0，y））1{τ（0，y）<S（y）}dy=Zb（0）xf（τ（0，y））dy=Zτ（0，x）f（s）dLs，其中我们在第一步中使用了（4.39），并且L·是τ的左连续逆（0，y）（参见（4.34））在最后的等式中。将（4.45）和（4.46）方程（4.41）结合起来，即可得出结论。接下来我们展示（4.42）。

使用（4.44）和（4.40），我们得到（4.42）thatg（T，XD）右侧的fT（b（0）））-g（T，XDT（x））=[g（T，uT+σWT- LT）- g（T，x+uT+σWT）{τ（0，x）=T}。此外，（4.35）和（4.39）yieldsZb（0）xgx（T，y+uT+σWT）{τ（0，y）=T}dy=Zb（0）xgx（T，y+uT+σWT）{y≤-LT}dy=[g（T，uT+σWT- LT）- g（T，x+uT+σWT）{τ（0，x）=T}。因此，我们得到（4.42）。最后，对于（4.43），没有什么可以展示的。事实上，左侧等于0乘以（4.39），而右侧等于0，因为过程I（0，x）=I（0，b（0））重合（参见（4.40））。第2步。这里是x∈ {y∈ R+：τ（0，y）>S（y），τ（0，q）<S（q）q∈ （y，b（0））}。对于这样的认识，这样的x是这样的，漂移的布朗运动在到达边界之前接触原点，但它不穿过原点。这尤其意味着s（0，x）=所有s为0≤ τ（0，x）。因此，步骤1中使用的相同参数成立，（4.41）–（4.43）如下。第3步。这里是x∈ {y∈ R+：τ（0，y）>S（y）}；也就是说，漂移的布朗运动在到达边界之前到达原点。定义（4.47）z：=inf{y∈ [0，b（0）]：τ（0，y）<S（y）}16法拉利，Schumann，自7年以来一直存在→ τ（0，y）- S（y）减小，τ（0，b（0））=0，d S（0）=0a。s、 我们想证明（4.48）Zzxm（s（y））{τ（0，y）≥S（y）}dy=ZTm（S）dIs（0，x）-ZTm（s）dIs（0，z），（4.49）Zzxf（τ（0，y））1{τ（0，y）<S（y）}dy=ZTf（S）dDs（0，z）-ZTf（s）dDs（0，x）和ZZXGx（T，y+uT+σWT）{τ（0，y）=T<S（y）}dy=hg（T，XDT（z））- g（T，XDT（x））i.（4.50）调用过程（Ms）s≥0of（4.20），使ms=max0≤θ≤ s(-uθ - σWθ），s≥ 0和（参见。

（4.19））{Ms≥ x} ={S（x）≤ s}s≥ 0.对于所有y∈ [x，z）和s∈ [0, τ（0，y）]我们有（4.51）Is（0，y）=（Ms- y） +=（0，0≤ t型≤ S（y）毫秒- y、 S（y）≤ s≤ τ（0，y）和（4.52）XDs（y）=（y+us+σWs，0≤ s≤ S（y）uS+σWs+Ms，S（y）≤ s≤ τ（0，y），=（y∨ Ms）+us+σWs。此外，对于所有y，它后面紧跟着（4.52）和（4.51）∈ [x，z）（4.53）XDs（y）=XDs（z）s≥ S（z）。此外，回想一下（4.54）S（x）≤ S（y）≤ S（z），（4.55）τ（0，y）>S（y），有了这些观测结果，我们可以知道（4.48）-（4.50）。到（4.53）时，我们有了s（0，x）=dIs（0，z）表示所有s≥ S（z）。此外，我们还有s（0，z）=所有s为0≤ S（z）。因此，通过（4.54）Is（0，z）=Is（0，x）=s为0≤ （4.48）的右侧重写了asZTm（S）dIs（0，x）-ZTm（s）dIs（0，z）=ZS（z）s（x）m（s）[dIs（0，x）- dI公司s（0，z）]=ZS（z）s（x）m（s）dIs（0，x）=ZS（z）s（x）m（s）dMs。（4.56）在这里，我们使用了（4.51），其中y=x。注资的最优股息17另一方面，对于（4.48）的左侧，我们使用了R evuz和Yor【29】第0章第4节中变量f公式的变化。这导致（4.57）Zzxm（S（y））{τ（0，y）≥S（y）}dy=Zzxm（S（y））dy=ZS（z）S（x）m（S）dMs，其中我们使用（4.55），{z}是一个勒贝格零集，m是S的右连续逆（见（4.19））。结合（4.56）和（4.57）证明（4.48）。方程式（4.49）如下所示，（4.53）–（4.54）表示过程D（0，z）和D（0，x）重合，左侧定义为0。注意，对于这种争论，当考虑（4.47）的z作为漂移布朗运动的起点时，必须特别小心。特别地，如果布朗运动的实现是τ（0，z）<S（z），则通过z的定义，漂移布朗运动仅在时间τ接触边界（0，z），但不穿过它。

因此，我们仍然有Ds（0，z）=0表示所有≤ S（z），这意味着（4.53），因此仍然是Ds（0，z）=Ds（0，x）。反过来，这给了（4.49）同样适用于布朗运动的这种特殊实现。最后，要证明方程（4.50），请记住x∈ {y∈ R+：τ（0，y）>S（y）}。通过定义z，我们得到τ（0，y）≥ S（y）代表所有y∈ （x，z）和（4.50）的左侧等于零。通过（4.53）过程XDs（z）=XDs（x）与f或所有s重合≥ S（z）和S（z）≤ LemmaA的T a.s。附录中的1。因此，（4.50）的右手边也等于零。第4步。对于x∈ {y∈ R+：τ（0，y）<S（y）}，（4.30）之后是步骤1的结果。如果改为x∈ {y∈ R+：τ（0，y）>S（y）}，那么我们可以在区间[x，z]和[z，b（0）]中分别积分u。在区间[x，z]中积分u时，我们使用步骤3的结果。另一方面，在[z，b（0）]上积分u，我们必须区分两种情况。现在，如果z是{y∈ R+：τ（0，y）<S（y）}，那么我们仍然可以应用步骤1的结果得出结论。如果z属于{y∈ R+：τ（0，y）>S（y），τ（0，q）<S（q）q∈ （y，b（0））}，我们可以利用步骤2的结果来获得索赔。因此，在任何情况下，（4.30）都成立。我们现在证明了（4.17）和（4.31）的两个函数N和M分别是N=M。为了实现这一点，我们初步注意到，根据它们的定义和强马尔可夫性质，过程（4.58）N（t+s∧ τ（t，x），卢比∧τ（t，x）（x））-Zs公司∧τ（t，x）m（t+θ）dIθ（x），0≤ s≤ T- t、 和（4.59）M（t+s∧ τ（t，x），卢比∧τ（t，x）（x））-Zs公司∧τ（t，x）m（t+θ）dIθ（t，x），0≤ s≤ T- t、 任意（t，x）的F-鞅∈ [0，T]×R+。此外，通过（4.16）一个h表示N（t，x）=N（t，b（t））-Rb（t）xu（t，y）dy，由于（4.30），M（t，x）=M（t，b（t））-Rb（t）xu（t，y）dy。因此，（4.60）ψ（t）：=M（t，x）- N（t，x），t∈ [0，T]独立于x变量。

我们现在证明一个人实际上有ψ=0，因此等于M。定理4.10。对于所有t，它保持ψ（t）=0∈ [0，T]。因此，N=M on[0，T]×R+。证据自（N-M） 与x无关，必须表明（N-M） （t，x）=对于任何t，在somex处为0≤ T为了实现这一点，我们对任何t<t的值显示ψ′（t）=0，因为通过（4.16）和（4.30），我们已经知道ψ（t）=N（t，x）- M（T，x）=g（T，x）- g（T，x）=0.18法拉利，Schumannthen取0<x<x，T∈ [0，T）和ε>0，使得T+ε<T给定并固定，考虑矩形域R=（T- ε、 t+ε）×（x，x）使得cl（R） C（第（3.3）节定义了C）。此外，表示为R：=R \\（{t- ε} ×（x，x））。然后考虑问题（P）（ht（t，x）=Lh（t，x），（t，x）∈ R、 h（t，x）=（N- M） （t，x），（t，x）∈ R、 式中，L是作用于ν的二阶微分算子∈ C1,2（[0，T]×R）给出（Lν）（T，x）=uφx（t，x）+σφx（t，x），（t，x）∈ [0，T]×R.通过反转时间，T 7→ T- t、 问题（P）对应于一个具有一致椭圆算子（注意σ>0）和抛物线边界的经典初值问题R、 辛岑-根据抛物型偏微分方程的经典理论，M是连续的，（P）的第一个方程中的所有系数都是光滑的（实际上是常数）（参见Lieberman【25】一书中的第五章）。问题（P）承认一个非唯一的解h是连续的，具有连续导数ht、hx、hxx。此外，根据费曼-卡茨公式，这样的解可以表示h（t，x）=E[（N- M） （t+bτ（t，x），Zbτ（t，x）（x））]，其中bτ（t，x）：=inf{s∈ [0，T- t） ：（t+s，Zs（x））∈ R}∧ （T- t） ，Zs（x）=x+us+σWs，s≥ 注意，我们有bτ（t，x）≤ τ（t，x）a.s.，自cl（R）起 C、 此外，（4.58）和（4.59）中的积分项是相等的，因为dIθ（x）=dIθ（t，x）=0表示任何θ≤ bτ（t，x）≤ τ（t，x）。

因此，根据（4.58）和（4.59）的鞅性质，我们得到（4.61）h（t，x）=（N- M） （t，x）在R中，通过R的任意性，ψ（t）=（N- M） （t，x）=h（t，x），单位为C。因此，由于ψ=N-M独立于x，在t中连续，并在C中求解（P）的第一个方程，对于任何t<t，我们得到ψ′（t）=0。因此，对于任何t，ψ（t）=0≤ 因为ψ（T）=0，所以N（T，x）- 对于任何t，M（t，x）=0≤ T和任意x∈ (0, ∞).在下文中，我们证明了f函数N是值f函数Vof（2.6）的上界。我们首先证明以下结果。定理4.11。对于任何（t，x）∈ R+×[0，T]过程（4.62）eNs：=N（T+s，Rs（x））-Zsm（t+u）dIu（x），0≤ s≤ T- t、 是一个F-supe rmartingale。证据这足以证明EeNθ≤ E[eNτ]对于所有有界F停止时间θ，τsu chthatθ≥ τ（见Karatzas和Shreve【22】，第1章，问题3.26）。通过强马尔可夫性和N（4.17）的定义，我们得到了任意有界f停止时间ρone hasE[eNρ]=EN（t+ρ，Rρ（x））-Zρm（t+s）dIs（x）= E-ZT公司-tρf′（t+s）[Rs（x）- b（t+s）]+ds-ZT公司-tm（t+s）dIs（x）+g（RT-t（x））= N（t，x）+EZρf′（t+s）卢比（x）- b（t+s）+ds公司=: N（t，x）+ρ、 对于任何（t，x）∈ [0，T]×R+。因此，取θ，τ，使T-t型≥ θ ≥ τ我们从后面得到E[eNθ]=N（t，x）+θ≤ N（t，x）+τ=E[eNτ]，其中不等式是由于f′的事实≤ S上为0（参见推论4.2-（ii））。这证明了所声称的supermartingale属性。为了进一步进行，我们需要（4.17）的函数N的以下性质。它的证据被归入附录。引理4.12。函数N∈ C1,2（[0，T）×（0，∞)) ∩ C（[0，T]×R+）。多亏了引理4.12，应用It^o公式，我们可以获得F-supermartingaleeN的以下（唯一）Doob-Meyer分解（参见（4.62））。推论4.13。