有限域上具有注资的最优股利问题

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英文标题：
《An Optimal Dividend Problem with Capital Injections over a Finite
  Horizon》
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作者：
Giorgio Ferrari, Patrick Schuhmann
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper we propose and solve an optimal dividend problem with capital injections over a finite time horizon. The surplus dynamics obeys a linearly controlled drifted Brownian motion that is reflected at the origin, dividends give rise to time-dependent instantaneous marginal profits, whereas capital injections are subject to time-dependent instantaneous marginal costs. The aim is to maximize the sum of a liquidation value at terminal time and of the total expected profits from dividends, net of the total expected costs for capital injections. Inspired by the study of El Karoui and Karatzas (1989) on reflected follower problems, we relate the optimal dividend problem with capital injections to an optimal stopping problem for a drifted Brownian motion that is absorbed at the origin. We show that whenever the optimal stopping rule is triggered by a time-dependent boundary, the value function of the optimal stopping problem gives the derivative of the value function of the optimal dividend problem. Moreover, the optimal dividend strategy is also triggered by the moving boundary of the associated stopping problem. The properties of this boundary are then investigated in a case study in which instantaneous marginal profits and costs from dividends and capital injections are constants discounted at a constant rate.
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中文摘要：
在本文中，我们提出并解决了有限时间内注资的最优股利问题。盈余动态服从一个线性控制的漂移布朗运动，该运动反映在原点，股息产生与时间相关的瞬时边际利润，而注资受制于与时间相关的瞬时边际成本。其目的是使最终清算价值与股息预期利润总额之和（扣除注资预期成本总额）最大化。受El Karoui和Karatzas（1989）关于反射跟随者问题的研究的启发，我们将注资的最优股息问题与原点吸收的漂移布朗运动的最优停止问题联系起来。我们证明了当最优停止规则由时间相关边界触发时，最优停止问题的值函数给出了最优分红问题的值函数的导数。此外，最优红利策略也由相关停止问题的移动边界触发。然后在一个案例研究中研究了该边界的性质，其中股息和注资的瞬时边际利润和成本是以恒定速率贴现的常数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> An_Optimal_Dividend_Problem_with_Capital_Injections_over_a_Finite_Horizon.pdf (400.59 KB)

2022-6-9 22:19:20 上传

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关键词：Mathematical Optimization Differential Quantitative Applications

有限水平乔治·法拉利（PatrickSchuhmanabstract）上的一个带注资的最优红利问题。在本文中，我们提出并解决了一个在有限时间范围内注资的最优股利问题。盈余动态服从一个线性控制的分裂布朗运动，该运动在原点反映出来，股息产生与时间相关的即时边际利润，而注资则受制于与时间相关的即时边际成本。目标是最大化期末清算价值与股息预期收益总额之和，扣除注资预期成本总额。受El Karoui和Karatzas[14]关于反映的followerproblem的研究的启发，我们将注资的最优股息问题与在原点被吸收的漂移布朗运动的最优停止问题联系起来。我们证明了当最优停止规则由时间相关边界触发时，最优停止问题的值函数给出了最优红利问题的值函数的导数。此外，最优红利策略也由相关停止问题的移动边界触发。然后在一个案例研究中研究了这一边界的性质，在该案例研究中，股息和注资的瞬时边际利润和成本是以恒定利率贴现的常数。关键词：最优分红问题；注资；奇异随机控制；最优停车；自由边界。MSC2010受试者分类：93E20、60G40、62P05、91G10、60J651。简介关于最优股息p问题的文献始于1957年，由de Finetti[11]所著，其中首次提出通过未来股息支付的贴现价值来衡量保险投资组合。

从那时起，数学和精算数学的文献在时间分割问题上经历了许多科学的探索，这通常被建模为一个随机控制问题，受控制过程和剩余动态的不同规范的影响（见Jeanblanc Piqu\'e和Shiryaev的早期工作【17】、Akyildirim等人的最新工作【1】、De Angelis和Ekstrom【10】和Jiang和Pistorius【19】、Avanzi的评论【2】和Schmidli的书【32】）。Dickson和Waters从观察到当基金经理按照de Fin etti问题的最优策略支付股息时，几乎肯定会发生破产开始，在[12]中对最优分割问题的原始公式进行了几次修改。特别是，在[12]中提出的模式h中，股东有义务注入资本，以避免破产。这就是所谓的注资最优分割问题。关于注资最优股利问题的文献并不像经典的德菲内蒂问题那样丰富。在Kulenko和Schmidli[24]中，作者研究了带有注资的最优股息问题，其中在原点处反映了盈余过程，并在（0，∞) 根据经典的Cram'er-Lundberg风险模型发展。InSchmidli[33]，一个在不同时期注资和征税的最优股息问题：2019年5月22日。2法拉利，Schummansetting制定并解决。在Lokka和Zervos[26]中，股东可以选择注资政策，在没有任何干预的情况下，盈余过程遵循随波逐流的运动。Ferrari【16】、Zhu an d Yang【35】和Shreve等人【34】的其他研究表明，剩余过程演变为一般的维度差异。

Avanzi等人在【3】中确定了跳跃式差异环境下的最佳股息和资本注入。在所有这些论文中，资本注入的最优股利问题被描述为有限时间范围内的奇异随机控制问题。考虑到环境的平稳性，在这些工作中，我们发现（除了可能的初始一次性付款外），对于某些内生确定的常数b>0，支付足够的股息以保持盈余过程在区间[0，b]内通常是最优的。在本文中，我们首次在文献中提出并解决了有限时间范围内注资的最优分割问题∈ (0, ∞). 该期限可能被视为基金清算的预先规定的未来日期。正如文献中常见的那样（参见[1]、[10]和[26]，以及其他许多文献），在没有任何干预的情况下，剩余过程演化为具有漂移u和波动σ的布朗运动。基金价值的这一动态可作为“a la Cram”er Lundberg类动态的适当（弱）限值获得（详情参见[32]中的附录D.3）。我们还假设，在支付了与时间相关的交易成本/税款后，股东从盈余中获得了与时间相关的瞬时净泄漏比例f。此外，每当盈余试图变为负值时，股东就被迫注入资本，注入资本会产生与时间相关的边际管理成本m。最后，在清算时间T获得与盈余相关的清算报酬g。

请注意，在f、m和g的适当要求下（见备注2.4），在股息/资本注入类别中，以原始资本注入是最优的，该类别的股息/资本注入使得盈余在任何时间均为非负，p概率为1（另请参见[24]、[31]、[33]）。在这种情况下，fun d的经理从股东的角度出发，我们的目标是解决（1.1）V（t，x）：=supDEZT公司-tf（t+s）dDs-ZT公司-tm（t+s）dIDs+g（t，XDT-t（x））,对于任何初始时间t∈ [0，T]和基金x的任何初始值∈ R+。在（1.1）中，基金的价值演变为xds（x）=x+us+σWs- Ds+ID，s≥ 0，并且优化是在一类合适的非减损过程D上执行的。事实上，数量Ds表示截至时间s向股东支付的累计股息金额，而IDs是截至时间s股东注入的累计资本金额。我们将IDa作为最小的非减损过程，以确保XDstaysnonnegative，并且它是{≥ 0：XDt=0}。如果我们试图用动态规划方法解决问题（1.1），我们会发现，v的动态规划方程采用带梯度约束（即变分不等式）的抛物线偏微分方程（PDE）的形式，Neumann边界条件为x=0（后者是由于状态过程x通过注资过程反映在原点）。

证明这个PDE问题的解有足够的正则性来刻画最优控制绝非易事。从注资的最优股息问题（1.1）实际上是一个反映跟随者问题（见Baldursson【4】、El-Karoui和Karatzas【13】、an d Karatzas和S hreve【21】）这一观察结果开始，在原点进行昂贵的反映，并根据El-Karoui和Karatzas【14】中的结果进行检验，我们在这里求解（1.1），而不依赖P DE方法，但将（1.1）与（仍然复杂但）更易处理的优化问题联系起来；i、 e.关于原点吸收和价值函数u的非最优停止问题（参见下面（3.2）注资的最优股息3）。在这个辅助最优停止问题中，函数f、m和GX分别给出了立即停止的代价、原点吸收的代价和最终的回报。然后，如果该问题的最优停止时间是根据连续且严格正的时间相关边界b（·）（参见下面的结构假设3.1）给出的，则Vx=u，且最优股息支付策略D由b触发（见下面的定理3.2）。事实上，如果优化在时间t开始∈ [0，T]，夫妻（D, 身份证件) 随时保持时间s∈ [0，T-t] 最优控制基金价值XDsnonnegative和低于依赖时间的临界b级（s+t）。这一结果是通过一项几乎完全是概率的研究获得的，在这项研究中，我们可以将辅助最优停止问题的值函数u的两种不同表示形式整合到空间变量中。

值得注意的是，尽管我们借用了[14]中关于反射跟随者问题与最佳停止问题之间关系的研究中的论点（另见[21]），与[14]不同，但在我们的性能标准（1.1）中，我们也有反射的成本，这需要仔细而不是立即地调整[14]的想法和结果。然后，我们在结构假设3.1中证明，需要建立（1.1）和最优停止问题之间的关系，这确实符合注资最优股息问题的规范公式，其中边际收益和成本是以恒定利率贴现的常数，并且T时刻的清算值与基金的终值成比例。特别地，我们证明了最优分红策略是根据最优边界b给出的，该边界b是递减的、连续的、有界的，并且在终止时间为零。据我们所知，这个结果也是第一次出现在这里。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们建立了问题，在第3节中，我们陈述了（1.1）和吸收最优停止问题之间的联系。其证明在第4节中进行。在第5节中，我们考虑了具有（贴现）恒定边际收益和成本的案例研究，而在附录中，我们收集了本文所需某些结果的证据。2、问题公式在这一节中，我们介绍了我们研究的目标——最优分红问题。让(Ohm, F、 P）是一个完整的概率空间，过滤F：=（Fs）s≥0满足正常条件。我们假设fund的值由e维过程（2.1）XDs（x）=x+us+σWs描述- Ds+ID，s≥ 0，其中x≥ 0是基金的初始值，u∈ R、 σ>0，W是F-标准布朗运动。

对于任何s≥ 0，Ds表示截至s时支付给股东的累计股息金额，而Ids表示截至s时股东为避免基金破产而注入的累计资本金额。定义（非空）刚毛=ν : Ohm ×R+→ R+，F- 改编s.t.s 7→ νs（ω）是a.s.非减量且左连续的，且ν=0 a.s。.对于固定x≥ 0，我们假设基金经理可以在流程D中选择股息分配策略∈ A且A.s.（2.2）Ds+- Ds公司≤ XDs（x）适用于所有s≥ 0;4法拉利，Schummanthat，破产不能通过一次性支付股息来实现。对于任何此类股息政策D，注资过程IDI为确保XD（x）保持非负所需的最小累计资本量，其为≥ 0:XDt（x）=0}。特别是对于x≥ 0，我们将这对（XD（x），ID）作为（不连续的）斯科罗霍德反射问题的唯一解（参见Chaleyat Maurel等人[8]和Ma[27]）：（2.3）Find（XD（x），ID）s.t。身份证件∈ A、 XDs（x）=x+us+σWs- Ds+ID，s≥ 0，XDs（x）≥ 任何s均为0 a.s≥ 0，Z∞XDs（x）d（IDs）c=0 a.s。，IDs：=IDs+- IDs=2XDs+（x）s∈ {s≥ 0 : ID>0}。这里，（ID）cde表示ID的连续p部分。注意，给定（2.2），过程（2.4）IDt：=0∨ sup0≤s≤t（Ds- （x+us+σWs）），t≥ 0，ID=0，唯一解（2.3）和t 7→ IDtis continuous（例如，参见[8]中的命题2和命题3，或[21]中的定理3.1和推论3.2）。因此，（2.3）中的最后一个条件不具有约束力，因为IDt=0 a.s。

对于所有t≥ 0、给定时间范围T∈ (0, ∞) 例如，代表有限的清算时间，基金管理人从股东的角度出发，面临着选择股息分配策略的问题，最大化绩效标准（2.5）J（d；t，x）=eZT公司-tf（t+s）dDs-ZT公司-tm（t+s）dIDs+g（t，XDT-t（x））,对于（t，x）∈ [0，T]×R+给定和固定。也就是说，基金经理的目标是解决（2.6）V（t，x）：=supD∈D（t，x）J（D；t，x），（t，x）∈ [0，T]×R+。这里，对于任何（t，x）∈ [0，T]×R+，D（T，x）表示当s urplus过程xd从级别x开始，优化运行到时间T时，属于a且满足（2.2）的股息支付类别- t、 在以下情况下，任何D∈ D（t，x）w将被称为（t，x）的容许值∈ [0，T]×R+。在奖励函数（2.5）中，术语E[RT-tf（t+s）dDs]是股息的预期现金流总额。函数f可被视为股东在支付了与时间相关的交易成本/税款后收到的s urplus泄漏的与时间相关的瞬时净比例。术语E[RT-tm（t+s）dIDs]给出了注资的总预期成本，m是注资的时间依赖性边际管理成本。最后，Eg（T，XDT-t（x））是清算价值。函数f、m和g满足以下条件。假设2.1。f：[0，T]→ R+，m：[0，T]→ R+，g：[0，T]×R+→ R+是连续的，f和m对于t是连续可微的，g对于x是连续可微的。此外，（i）gx（t，x）≥ 任意x的f（T）∈ (0, ∞),（ii）对于任何t，m（t）>f（t）∈ [0，T]。备注2.2。要求（i）确保边际清算价值至少与分割端的边际利润一样高。

这将确保下面考虑的最优停止问题的值函数在终端时间不间断。资本注入的最佳股息5条件（ii）意味着资本注入的边际成本大于股息的边际收益。请注意，在m<f的情况下，值函数可能是有限的，如下一个示例所示。对于所有s，取f（s）=η，m（s）=κ∈ [0，T]，η>κ。对于任意β>0，考虑可采性le str ategybDs：=βs，通知投标=sup0≤u≤s(-x个- uu- σBu+βu）∨ 0.然后投标≤ βs+Ys，其中Ys：=sup0≤u≤s(-x个-uu- σBu）∨ 0，并在g处使用th≥ 对于次优策略bdv（t，x），我们得到0≥ βη（T- t）- βκ（T- t）- κE[YT-t] =β（t- t） （η）- κ) - κE[YT-t] 。然而，如果η>κ，则后一种表达可以通过增加β而变得任意大。另一方面，取m（t）=f（t）=e-rt，is最近在法拉利【16】上展示了一个T=+∞ （见其中定理3.8）最优控制可能不存在，但只有ε-最优控制存在。为了避免上述病理情况，我们在此假设2.1-（ii）。备注2.3。请注意，我们的公式足够笼统，足以解决一个问题，即利润和成本以确定的时间相关贴现率（rs）贴现≥0