有限域上具有注资的最优股利问题

然后，我们应该依赖于对与最优分红问题相关的动态规划方程进行仔细的数值分析，我们认为这样的研究不属于这项工作的范围。然而，我们推测σ的增加应该推迟股息的分配。事实上，σ越大，需要昂贵资本注入的风险就越高。因此，基金经理希望在分配额外的divid ends单位之前等待更长的时间。最近，Ferrari在[16]的命题4.1中证明了自由边界相对于σ的单调性，该命题是关于注资的平稳最优股息问题。感谢德国研究基金会（DFG）通过CollaborativeResearch Centre 1283提供的财政支持“在分析、随机性及其应用中从随机性和低规则性中驯服不确定性和利益”，我们对此表示感谢。两位作者都感谢米里亚娜·格里戈罗娃和汉斯彼得·施密德利富有成效的讨论和评论。由于“2018年访问科学家”项目，第一作者访问了帕多瓦大学数学系，这项工作的一部分已经完成。乔治·法拉利对帕多瓦大学数学系的热情好客表示感谢。我们还要感谢三位匿名裁判的细心阅读和鼓舞人心的评论。注资最佳股息27附录A附录endixA。1、推论4.7的Pro。

注意，从（4.10）中，我们可以为任何x>0和t写入∈ [0，T]u（T，x）=EZT公司-t型-f′（t+θ）{x+uθ+σWθ≥b（t+θ）}{θ<S（x）}dθ+m（t+S（x））{S（x）≤T-t} +gx（t，AT-t（x））=ZT公司-t型-f′（t+θ）Px+uθ+σWθ≥ b（t+θ），S（x）>θdθ（A.1）+Em（t+S（x））{S（x）≤T-t}+ Egx（T，AT-t（x））,其中，Fubini定理和f′是确定性的事实已用于上述积分项。现在我们分别研究这三个总和。通过使用Jeanblanc等人[18]中的命题3.2.1.1，并回顾假设3.1中的停止边界b是严格正的，我们得到了x+uθ+σWθ≥ b（t+θ），S（x）>θ= Px+uθ+σWθ≥ b（t+θ），单位为fs≤θ（x+us+σWs）>0= Puσθ+Wθ≥b（t+θ）- xσ，infs≤θuσs+Ws> -xσ（A.2）=Nx个-b（t+θ）σ+uσθ√θ- e-2uxσN-b（t+θ）+xσ+uσθ√θ.这里N（·）表示标准高斯随机变量的累积分布函数。请注意，（A.2）中的最后一项对于θ>0的任何θ，都是相对于x连续可微的。对于（A.1）右侧最后一个表达式中的第二个求和，我们将S（x）写为x≥ 0，asS（x）=inf{s≥ 0：x+us+σWs=0}=inf{s≥ 0：μσs+Ws=-xσ}L=inf{s≥ 0 : -uσs+cWs=xσ}。（A.3）其中cw是标准布朗运动。因此，Jeanblanc等人【18】中的方程式（3.2.3）适用，并允许我们将S（x）的概率密度写为（A.4）ρS（x）（u）：=dP（S（x）∈ du）du=xσ√2πue-（xσ+uσu）2u，u≥ 对于第三个求和，我们注意到-（3.1）中的t（x）是从x开始并在原点终止的漂移布朗运动。用ρA（t，x，y）表示其在t个时间单位内从x移动到y的转移度。

然后，通过采用Borodinand Salminen[7]，附录1第15节的结果（适当调整为σ6=1的情况），we28法拉利，SchumannobtainρA（T- t、 x，y）：=dP（AT-t（x）∈ dy）dy=p2π（T- t） σexp-u（x- y） σ-u2σ（T- t）×经验值-（十）- y） 2σ（T- t）- 经验值-（x+y）2σ（T- t）.（A.5）将（A.2）、（A.4）和（A.5）反馈到（A.1）中，我们得到u（t，x）=ZT-t型-f′（t+θ）Nx个-b（t+θ）σ+uσθ√θ- e-2uxσN-b（t+θ）+xσ+uσθ√θdθ+ZT-tm（t+u）ρS（x）（u）du+Z∞gx（T，y）ρA（T- t、 x，y）dy，（A.6），通过支配收敛定理很容易看出，x 7→ u（t，x）在（0，∞) 对于任何t<t。A、 2。Lemma4.12的Pro。根据（4.16）和推论4.7，（4.17）的函数N相对于x（0，∞). 为了证明N对于[0，t]上的t也是连续可微的，我们将（4.17）右侧的期望值表示为关于所涉及过程概率密度的积分。因此，我们开始计算（4.21）的反射布朗运动R的跃迁密度，我们称之为ρR。在Borodin和Salminen[7]的附录1第14章中（很容易适应σ6=1的情况）我们有ρR（u，x，y）：=dP（Ru（x）∈ dy）dy=√2πuσexp-uσx个- yσ-u2σu×经验值-（十）- y） 2σu- 经验值-（x+y）2σu-u2σErfcx+y+uu√2σu,（A.7）式中，Erfc（x）：=Rx-∞√2πe-ydy代表x∈ R

因此，通过使用Fubini定理，（4.17）readsasN（t，x）=E-ZT公司-t（Rs（x）- b（t+s））+f′（t+s）ds-ZT公司-tm（t+s）dIs（x）+g（t，RT-t（x））= -ZTtEh（Ru-t（x）- b（u））+if′（u）du- EZT公司-tm（t+s）dIs（x）+ Ehg（T，RT-t（x））i=-ZTt公司Z∞（y）- b（u））+ρR（u- t、 x，y）dyf′（u）du- EZTtm（u）dIu-t（x）（A.8）+Z∞g（T，y）ρR（T- t、 x，y）dy.注资最优股息29回顾假设2.1中m是连续可微分的，使用分部积分，我们可以ZTtm（u）dIu-t（x）= Em（T）IT-t（x）-ZTtIu公司-t（x）m′（u）du= m（T）E信息技术-t（x）-中兴通讯国际单位-t（x）m′（u）du=m（T）E0∨ （σξT-t型- x）-中兴通讯0∨ （σξu-t型- x）m′（u）du，这里我们使用的是（x）=0∨ （σξs- x） ξs：=supθ≤s(-uσθ - Wθ）。自（参见Jeanblanc等人[18]第3.2.2章）（A.9）P（ξs≤ z） =Nz-uσs√s- 经验值uσzN-z-uσs√s,我们得到了0∨ （σξu-t型- x）=Z∞xσ（σz- x） ρξ（u- t、 z）dz，（A.10），其中我们定义了ρξ（s，z）：=dP（ξs≤z） dz。由于ρξ（·，z）和ρR（·，x，y）在（0，T）上是连续可微的，因此，对于任何T<T，N（T，x）如（A.8）中所述，对于T是连续可微的。N在[0，T]×R+上的连续性也遵循前面的方程。A、 3。命题5.4的Pro。Let（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) 给定并固定，并采用任意顺序（tn、xn） [0，T）×（0，∞) 这样（tn，xn）→ （t，x）。那么，让τ:= τ（t，x）是（5.9）的u（t，x）的最佳停止时间。根据（5.4）和τ≤ T-t a.s。

wethen findu（t，x）- u（tn，xn）≤ Ehηe-rτ{τ<S（x）}+κe-rS（x）{τ≥S（x）}-ηe-r（τ∧（T-tn）{τ∧（T-tn）<S（xn）}-κe-rS（xn）{τ∧（T-tn）≥S（xn）}i=E{τ≤T-tn}ηe-rτ{τ≥S（xn）}-{τ≥S（x）}+ κe-rS（x）{τ≥S（x）}- e-rS（xn）{τ≥S（xn）}+ E{τ>T-tn}ηe-rτ{τ<S（x）}- ηe-r（T-tn）{T-tn<S（xn）}+κe-rS（x）{τ≥S（x）}- e-rS（xn）{T-田纳西州≥S（xn）}≤ E{τ≤T-tn}ηe-rτ{S（xn）≤τ<S（x）}+κe-卢比（x）- e-rS（xn）{τ≥S（xn）∨S（xn）}+e-rS（x）{S（xn）>τ≥S（x）}+ E{τ>T-tn}ηe-r（T-tn）{T-tn<S（x）}-{T-tn<S（xn）}+ κ{T-t> S（x）}e-rS（x）{τ≥S（x）}- e-rS（xn）{T-田纳西州≥S（xn）}30法拉利，舒曼-t=S（x）}e-rS（x）{τ≥S（x）}- e-rS（xn）{T-田纳西州≥S（xn）}+κ{T-t<S（x）}e-rS（x）{τ≥S（x）}- e-rS（xn）{T-田纳西州≥S（xn）}≤ Ehηe-rτ{S（xn）≤τ<S（x）}+κe-卢比（x）- e-rS（xn）+{S（xn）>τ≥S（x）}i+E{τ>T-tn}ηe-r（T-tn）{S（xn）≤T-tn<S（x）}+κ{T-t> S（x）}e-rS（x）{T-t型≥S（x）}- e-rS（xn）{T-田纳西州≥S（xn）}+ κ{T-t=S（x）}+κ{t-t<S（x）}{τ≥S（x）}.重新排列术语，并将下限取为n↑ ∞ 两侧各一个→∞u（tn，xn）≥ u（t，x）-画→∞Eηe-rτ{S（xn）≤τ<S（x）}+κe-卢比（x）- e-rS（xn）+{S（xn）>τ≥S（x）}-画→∞E{τ>T-tn}ηe-r（T-tn）{S（xn）≤T-tn<S（x）}+κ{T-t> S（x）}e-rS（x）{T-t型≥S（x）}- e-rS（xn）{T-田纳西州≥S（xn）}+ κ{T-t=S（x）}+κ{S（x）≤τ≤T-t<S（x）}≥ u（t，x）- Eκ{S（x）=τ}- Eηe-r（T-t） {t-t=S（x）}+κ{t-t=S（x）}= u（t，x）- κP（τ= S（x））-ηe-r（T-t） +κP（T- t=S（x））。最后一个不等式由支配收敛定理交换期望和极限，使用S（xn）→ S（x），仔细研究相关的极限值，并观察{τ≥ T- t} ={τ= T- t} 自τ起∈ ∧（T- t） 。现在使用{T-t=S（x）}是由（a.4）设置的P-null，并且P（τ= S（x））=0因为自由边界在[0，T]上是严格正的，所以我们得到（A.11）limn→∞u（tn，xn）≥ u（t，x），证明了所声称的u在[0，t）×（0，∞).A、 4。伦马。引理A.1。回想一下（参见。

（4.47））z=inf{y∈ [0，b（0）]：τ（0，y）<S（y）}。那么它认为（A.12）S（z）≤ T a.s.证明。为了简化说明，在下文中，我们将仅在严格必要时强调对ω的依赖。假设存在一个集合Ohm Ohm s、 t.P.公司(Ohm) > 0，对于任何ω∈ Ohm我们有S（z）>T。然后取ω∈ Ohm, 回想一下，Zs（x）=x+us+σWsforOPTIMAL distribution WITH CAPITAL injection 31任何x>0和s≥ 0，注意min0≤s≤TZs（z；ω）=l := l(ω) > 0. 然后，定义bz（ωo）：=bz=z-l, 一个有0个≤s≤TZs（bz；ω）=min0≤s≤Tz+us+σWs（ω）-l= l -l=l> 因此，S（bz）>T≥ τ（0，bz），但这与z的定义相矛盾，因为bz<z。因此，我们得出结论S（z）≤ T a.s。参考文献【1】Akyildirim，E.、Guney，I.E.、Rochet，J.C.和Soner，H.M.（2014）。随机利率下的最优股利政策。J、 数学。经济。51，第93-101页。[2] Avanz i，B.（2009）。股利分配策略：综述。N、 上午。精算师。J、 13（2），第217-251页。[3] Avanz i，B.，Gerber，H.U.，Shiu，E.S.W.（2007年）。对偶模型中的最优红利。保险公司。数学经济。41（1），第111-123页。[4] Baldursson，F.M.（1987）。奇异随机控制与最优停止。随机21，第1-40页。[5] Baldursson，F.M.，Ka r atzas，I.（1996年）。不可逆投资与产业均衡。FinanceStoch公司。1，第69-89页。[6] Blumenthal，R.M.，Getoor，R.K.（1968年）。马尔可夫过程和势理论。学术出版社，纽约。[7] Borodin，W.H.，Salminen，P.（2002年）。布朗运动事实和公式手册。第二版。Birkh–auser。[8] Chaleyat Maurel，M.，El Karoui，N.，Marchal，B.（1980）。R'e flexion contract et system'emesstochastiques终止交易。安。概率。8（6），第1049-1067页。[9] Chaleyat Maurel，M.（1981年）。R'e flexion中断系统随机性。《克莱蒙费朗大学科学年鉴》第2期，《伊利数学》第19期，第115-124页。[10] De Angelis，T.，Ekstrom，E。

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