有限域上具有注资的最优股利问题

（4.62）的F-supermartingaleeN是这样的，对于所有（t，x）∈ [0，T]×R+和s∈ [0，T- t] （4.63）N（t+s，Rs（x））-Zsm（t+θ）dIθ（x）=N（t，x）+σZsu（t+θ，Rθ（x））dWθ+∏s（t，x），其中∏·（t，x）是一个连续的、非递增的F适应过程。证据通过Doob-Meyer分解，可以（唯一地）将（4.62）中的F-超鞅表示为F-鞅和连续的、适应F的非递增过程（πs）的SUM≥将鞅表示定理应用于N的鞅部分，对于某些φ，分解（4.64）eNs=N（t，x）+ZsφθdWθ+πs（t，x）∈ L(Ohm ×[0，T]，P dt）。最后，It^o引理的应用表明，φθ=σu（t+θ，Rθ（x））a.s。定理4.14。对于任何流程D∈ D（t，x）和任意（t，x）∈ [0，T]×R+，过程（4.65）Qs（D；T，x）：=Z[0，s]f（T+θ）dDθ-Zsm（t+θ）dIDθ+N（t+s，XDs（x）），s∈ [0，T- t] ，即（4.66）E【Qs（D；t，x）】≤ N（t，x），对于任何s∈ [0，T- t] 。证据p屋顶分为3个步骤。第1步。对于D≡ 0，证明由定理4.11给出。第2步。设Ds：=Rszudu，s≥ 0，其中z是一个有界的、非负的、F-渐进的可测量过程。为了说明（4.66），我们使用了Girsanov定理，并重写了状态过程XDs（x）=x+us+σWs+Ds-IDS是一种新的漂移布朗运动，在理论上得到了反映。

因此，我们引入了指数鞅zs=expZszuσdWu-2σZszudu, s≥ 0,20法拉利，SCHUHMANNand，我们得到，在测量值bp=ZTP下，过程cws：=Ws-Zszudu，s≥ 0是F-布朗运动。我们现在可以将（4.65）underbP的过程Q重写为（4.67）Qs（D；t，x）=Z[0，s]f（t+θ）dDθ-Zsm（t+θ）dbIDθ+N（t+s，bRs（x）），对于任何s∈ [0，T-t] ，其中und erbPbXDs（x）=x+us+σcWs+bIDs=：bRs（x）。特此通知≥ 0:bRs（x）=0}，反映原点处的漂移布朗运动。通过采用（4.63），方程（4.67）读取为asQs（D；t，x）=N（t，x）+σZsu（t+u，bRu（x）），dcWu+b∏s（t，x），s∈ [0，T- t] ，（4.68），其中我们设置了（4.69）b∏s（t，x）：=∏s（t，x）+Zsf（t+θ）- u（t+θ，Rθ（x））zθdθ，s∈ [0，T- t] 。由于u≥ f和∏·（t，x）是非递增的，我们可以在（4.68）中取期望值，从而得到[Qs（D；t，x）]≤ N（t，x），s∈ [0，T- t] 。第3步。自任何仲裁日起∈ D（t，x）可近似为递增序列（Dn）n∈对于步骤2中所考虑的绝对连续过程（见El Karouiand Karatzas【13】、Lemmata 5.4、5.5和命题5.6），我们对所有n∈ NE【Qs（Dn；t，x）】≤ N（t，x）。应用单调收敛定理和占优收敛定理，这个性质也适用于Q（D；t，x），也适用于任何D∈ D（t，x）。根据定理4.14和（4.65）中Q的定义，我们立即得到（4.70）V（t，x）=supD∈D（t，x）J（D；t，x）=supD∈D（t，x）E[夸脱-t（D；t，x）]≤ N（t，x）。此外，根据定义（4.31），一个具有（4.71）M（t，x）=J（D（t，x）；t，x）≤ V（t，x）。有了所有这些结果，我们现在可以最终证明定理3.2。理论证明3.2。通过结合（4.70），（4.71）和定理4.10，我们得到了一系列不等式n（t，x）≥ V（t，x）≥ M（t，x）=N（t，x），这证明了V=M的说法，以及D的最优性.

这只是有待证明（3.9）。为了实现这一点，我们调整并扩展了El Karoui和Karatzasi在[14]中C orollary 4.2的证明中使用的论点。观察D的最优性意味着对于所有x>b（t）（4.72）V（t，b（t））+f（t）（x- b（t））=V（t，x）。注资最优股息21利用（4.17）和V=N的事实，如上文所证明的，我们从（4.72）V（t，b（t））=V（t，x）中得出- f（t）（x）- b（t））=E-ZT公司-tf′（t+s）（Rs（x）- b（t+s））+ds-ZT公司-tm（t+s）dIs（x）+g（t，RT-t（x））- f（t）（x）- b（t））= E-ZT公司-tf′（t+s）h（Rs（x）- b（t+s））+- （十）- b（t））ID-ZT公司-tm（t+s）dIs（x）+g（t，RT-t（x））- f（T）（x）- b（t））.回忆（4.15），并观察在条件b（T）<∞ 我们可以写hg（T，RT-t（x））i=g（t，b（t））+EZRT公司-t（x）b（t）gx（t，y）dy{RT-t（x）>b（t）}-Zb（T）RT-t（x）gx（t，y）dy{RT-t（x）≤b（T）}= g（T，b（T））+Ef（T）RT公司-t（x）- b（T）{RT-t（x）>b（t）}-Zb（T）RT-t（x）gx（t，y）dy{RT-t（x）≤b（T）},其中最后一个等式来自备注4.3。因此，我们得到v（t，b（t））=E-ZT公司-tf′（t+s）h（Rs（x）- b（t+s））+- （十）- b（t））ID-ZT公司-tm（t+s）dIs（x）+g（t，b（t））+f（t）RT公司-t（x）- b（T）{RT-t（x）>b（t）}- f（T）x个- b（t）-Zb（T）RT-t（x）gx（t，y）dy{RT-t（x）≤b（T）}.注意，现在是（x）→ 0，卢比（x）→ ∞, 和（Rs（x）- b（t+s））+-（十）- b（t））→ us+σWs-b（t+s）+b（t）a.s.适用于任何s≥ x时为0↑ ∞ （参见（4.15））。那么，让x→ ∞ 在V（t，b（t））的最后一个表达式中，调用单调和支配收敛定理，我们发现（在评估期望值和重新排列项后）V（t，b（t））=E-ZT公司-tf′（t+s）us+σWs- b（t+s）+b（t）ds+g（T，b（T））+f（T）（u（T- t） +σWT-t型- b（T）+b（T））= -uZT-tf′（t+s）s ds+ZT-tf′（t+s）b（t+s）ds+g（t，b（t））+f（t）u（t- t） +f（t）b（t）- f（T）b（T）。备注4.15。作为V=N和引理4.12的副产品，我们得到了∈ C1,2（[0，T）×（0，∞)) ∩ C（[0，T]×R+）。

此外，从（3.8）和d（3.2）中，我们得到了所有t∈ [0，T]。备注4.16。本节遵循的路径方法似乎表明，证明定理3.2所需的一些中间结果在更一般的22法拉利Schumannesetting中仍然有效，其中（2.6）中的利润和成本以随机率贴现。我们把这个有趣问题的分析留给以后的工作。5、验证假设3.1：一个具有折现不变边际利润和成本的案例研究在本节中，我们考虑了资本注入的最优分配问题bv（t，x）：=supD∈D（t，x）EZT公司-tηe-rsdDs-ZT公司-tκe-rsdIDs+ηe-r（T-t） XDT公司-t（x）（5.1）=ertV（t，x），其中我们定义了（5.2）V（t，x）：=supD∈D（t，x）EZT公司-tηe-r（t+s）dDs-ZT公司-tκe-r（t+s）dIDs+ηe-rTXDT-t（x）.从（5.2）和（2.5）中可以清楚地看出，在我们的一般设置（2.6）中可以通过取（参见假设2.1）（5.3）f（t）=ηe来解决此类问题-rt，m（t）=κe-rt，g（t，x）=ηe-rtx，对于一些κ>η（另见Remark2.3）。（5.1）系数κ的InbV可被视为资本注入的恒定比例管理成本。另一方面，如果我们假设交易成本或税款必须支付股息，则系数η衡量股东收到盈余的净泄漏比例。备注5.1。问题（5.1）可能是注资最优分割问题最常见的公式（见Kulenko and Schmidli【24】、Lokka and Zervos【26】、Zhu and Yang【35】及其参考文献）。

然而，据我们所知，在有限的时间范围内，之前没有研究过此类问题，而当T=+∞ （例如，参见法拉利[16]及其参考文献）。特别地，例如，在[16]中已经表明，在T=+∞ 最优分割策略由边界b触发∞> 0可以表示为非线性代数方程的解（见[16]中的命题3.2]）。在[16]的命题3.6中，该atrigger值也被证明是下面问题（5.4）的最佳停止边界（当在所有F停止时间内进行优化时）。由于定理3.2，我们知道，当假设3.1满足时，最优控制D对于问题（5.2），由最优停止问题的最优停止边界b触发，u（t，x）=supτ∈∧（T-t） Ehe公司-rτη{τ<S（x）}+e-rS（x）κ{τ≥S（x）}i=supτ∈∧（T-t） Ehe公司-rτη{Aτ（x）>0}+e-rS（x）κ{Aτ（x）≤0}i.（5.4）在下文中，我们研究了最优停车问题（5.4），并验证了假设3.1的要求。此外，通过在（5.4）中取次优停车时间τ=0，可以清楚地得出u（t，x）≥ η表示（t，x）∈ [0，T]×（0，∞). 因此，我们可以确定问题（5.4）的延续和停止区域asC：{（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) : u（t，x）>η}，S：={（t，x）∈ [0，T]×（0，∞) : u（t，x）=η}。注资的最优股息23同样，注意我们有u（t，x）≤ κ表示（t，x）∈ [0，T]×R+自η<κ。由于奖励过程φt：=e-rtη{t<S（x）}+e-rS（x）κ{t≥S（x）}是沿停止时间的上半连续不可预测（由于η<κ），Kobylanskia和Quenez[23]中的定理2.9确保值过程（即向过程的Snell包络）第一次等于奖励过程是最优的。

因此，在马尔可夫环境中，我们有停止时间（5.5）τ（t，x）：=inf{s∈ [0，T- t） ：（t+s，As（x））∈ S}∧ （T-t） ，（t，x）∈ [0，T]×R+，为最佳。此外，定义Zs（x）：=x+us+σWs，s≥ 0，过程（5.6）e-r（s）∧τ（t，x）∧S（x））u（t+（S∧ τ（t，x）∧ S（x）），Z（S∧τ（t，x）∧S（x））（x）），S∈ [0，T-t] ，是F-鞅（参见Kobylanski和Quenez[23]中的命题1.6和备注1.7）。下一个命题证明了u命题5.2的一些初步性质。（5.4）的值函数u满足以下条件：（i）对于任何x>0的情况，u（T，x）=η，对于任何T∈ [0，T]；（ii）t 7→ u（t，x）对于任何x>0都是不递增的；（iii）x 7→ u（t，x）对于任何t都是不递增的∈ [0，T]。证据我们分别证明每个项目。（i） 第一个属性很容易遵循fr om定义（5.4）。（ii）第二个属性是由于∧（T- ·) 收缩，且（5.4）右侧的预期值与t无关∈ [0，T]。（iii）固定t∈ [0，T]，x>x≥ 0，注意S（x）>S（x）。然后，从（5.4）我们可以写出eu（t，x）- u（t，x）≤ supτ∈∧（T-t） E类e-rτη{τ<S（x）}- e-rτη{τ<S（x）}+e-rS（x）κ{τ≥S（x）}- e-rS（x）κ{τ≥S（x）}= supτ∈∧（T-t） E类{S（x）≤τ<S（x）}e-rτη- e-rS（x）κ+e-卢比（x）- e-卢比（x）κ{τ≥S（x）}≤ supτ∈∧（T-t） E类e-rS（x）（η）- κ） {S（x）≤τ<S（x）}+e-卢比（x）- e-卢比（x）κ{τ≥S（x）}≤ 0，其中我们在最后一步中使用了η<κ。自x 7起→ u（t，x）对于每个t都是不递增的∈ [0，T]，设置（5.7）b（T）：=inf{x>0:u（T，x）≤ η} ，t∈ [0，T]，很明显，（5.8）C={（T，x）∈ [0，T）×[0，∞) : 0<x<b（t）}，S={（t，x）∈ [0，T]×[0，∞) : x个≥ b（t）}。此外，（5.5）的最佳停止时间读取（5.9）τ（t，x）：=inf{s∈ [0，T- t） ：As（x）≥ b（t+s）}∧ （T- t） 。在下文中，我们将b称为自由边界。下一个定理证明了b命题5.3的基本性质。

自由边界b为（i）t 7→ b（t）是非递增的；（ii）对于所有t，其中一个的b（t）>0∈ [0，T）。此外，存在b∞> 0表示b（t）≤ b∞对于任何t∈ [0，T]。24法拉利，舒曼普洛夫。我们分别证明每个项目。（i） b的单调性紧跟在命题5.2的f（ii）之后。（ii）表明对于任何t，b（t）>0∈ （0，T）对于所有T，观察u（T，0）=κ>η就足够了∈ [0，T）.超过b（T）<∞ 注意，u（t，x）≤ u∞（x） 对于所有（t，x）∈ [0，T]×R+，其中u∞（x） ：=s上τ≥0Ehηe-rτ{τ<S（x）}+κe-rS（x）{τ≥S（x）}i。因此，设置b∞:= inf{x>0:u∞（x） =η}（存在有限，例如，根据命题3.2推断[16]；另见上文备注5.1），我们有b（t）≤ b∞对于所有t∈ [0，T]。下一个命题的证明相当长，因此在附录九中推迟了，以简化论述。提案5.4。函数（t，x）7→ u（t，x）在[0，t）×（0，∞).u的下半连续性意味着（5.6）的鞅具有右连续的样本路径，且停止区域是闭合的。后一个事实反过来在证明自由边界的连续性时起着重要作用，如下一个命题所示。提案5.5。自由边界b为t 7→ b（t）在[0，t]上是连续的。此外，b（t）：=limt↑Tb（t）=0。证据我们分别证明了这两个性质。在这里，我们展示了b是连续的，这个过程分为两部分。我们从正确的连续性开始。注意，通过u的下半连续性（参见命题5.4），s顶部区域s是闭合的。然后fix任意点t∈ [0，T），取任意序列（tn）n≥1如此tn↓ t、 注意（tn，b（tn））∈ S、 根据定义。设置b（t+）=极限↓tb（tn）（由于命题5.3-（i）而存在），我们有（tn，b（tn））→ （t，b（t+），自S关闭（t，b（t+）∈ S

因此，它保持b（t+）≥ b（t）由b的定义（5.7）确定。然而，b（·）是非递增的，因此b（t）=b（t+）。接下来，我们讨论所有t的左连续性∈ （0，T）为此，我们调整了我们的设置思想，正如De Angelis和Ekstr¨om[10]中命题4.2的证明一样。假设B在某个t处跳跃∈ （0，T）。根据命题5.3—（i）我们有极限↑tb（tn）：=b（t-) ≥ b（t）。我们用一个矛盾的形式来表示b（t-) = b（t），我们假设b（t-) > b（t）。Letx：=b（t-)+b（t），召回Zs（x）=x+us+σWs，s≥ 0，定义τε：=inf{s≥ 0:Zs（x）/∈ （b（t-), b（t））}∧ ε表示ε∈ （0，t）。然后注意到τε<τ（t-ε、 x）∧S（x），根据（5.6）的鞅性质，我们可以写出（t- ε、 x）=Ee-rτεu（t- ε+τε，Zτε（x））= Ee-rεu（t，Zε（x））{τε=ε}+e-rτεu（t- ε+τε，Zτε（x））{τε<ε}≤ Ee-rεη{τε=ε}+e-rτεκ{τε<ε}≤ e-rεη+κP（τε<ε），其中最后一步来自以下事实：≤ κ、 Zτε（x）≥ 集合{τε=ε}上的b（t）。自e起-rεη+κP（τε<ε）=η（1-rε）+κo（ε）asε↓ 0，我们发现与u（t，x）相矛盾≥ η. 因此，b（t-) = b（t）和b在[0，t]上是连续的。为了证明所声称的极限，请注意，如果b（t）：=limt↑Tb（t）>0，然后是任何点（t，x）和x∈ （0，b（T））属于C。然而，我们知道（T，x）∈ S表示所有x>0，因此我们得出一个矛盾。注资最优股息25由于之前的结果，假设3.1的所有要求都满足问题（5.4）的要求。因此，定理3.2成立，1 h等于（5.2）的V和（5.4）的u，因此Vx=u在[0，T]×R+。

特别地，根据（5.1）和定理3.2，我们可以写出bV（t，x）=bV（t，b（t））- ertZb（t）xu（t，y）dy，其中通过（3.9），（5.3），以及b（t）=0的事实，我们有bv（t，b（t））=ηb（t）+μηr1.- e-r（T-t）- rηZTte-r（u-t） b（u）du。此外，最优股利分配政策（3.7）由自由边界b触发，其性质已在定理5.5.5.1中推导。比较静力学分析。最后，我们给出了自由边界对问题某些参数的单调性。在下文中，对于任何给定和固定的∈ [0，T]，我们写b（T；·）是为了强调自由边界点b（T）对给定参数的依赖性。类似地，当我们需要考虑u（t，x），（t，x）的依赖性时，我们写u（t，x；·）∈ [0，T]×R+，关于给定问题的参数。提案5.6。让t∈ [0，T]固定。它认为（i）κ7→ b（t；κ）是非减量的；（ii）η7→ b（t；η）是非递增的；（iii）r 7→ b（t；r）是非递增的；（iv）u7→ b（t；u）为非递增。证据R ecalling th atu（t，x）=supτ∈∧（T-t） Ehe公司-rτη{τ<S（x）}+e-rS（x）κ{τ≥S（x）}i，（t，x）∈ [0，T]×R+，可以很容易地表明（1）κ7→ u（t，x；κ）为非减量，（2）η7→ u（t，x；η）- η=supτ∈∧（T-t） Ehηe-rτ{τ<S（x）}- 1.+ e-rS（x）κ{τ≥S（x）}iis非递增，（3）r 7→ u（t，x；r）是非递增的。此外，设u>u，并用S（x；u）（分别S（x；u））表示漂移布朗运动原点与漂移u（分别u）的命中时间。自S起（x；u）≥ S（x；u）a.S。

weobtainu（t，x；u）- u（t，x；u）≤ supτ∈∧（T-t） Ehe公司-rτη{τ<S（x；u）}-{τ<S（x；u）}+ κe-rS（x；u）{τ≥S（x，u）}-e-rS（x；u）{τ≥S（x；u）}我≤ supτ∈∧（T-t） Ehe公司-rτη{S（x，u）≤τ<S（x；u）}- κe-rS（x；u）{S（x，u）>τ≥S（x，u）}+κ{τ≥S（x；u）}e-rS（x；u）-e-rS（x；u）i=supτ∈∧（T-t） Eh{S（x，u）≤τ<S（x；u）}e-rτη- e-rS（x；u）κ+{τ≥S（x；u）}e-rS（x；u）- e-rS（x；u）我≤ 考虑到u以前的单调性，我们现在可以证明（i）-（iv）项。26 FERRARI，SCHUHMANN（i）取κ>κ并使用（1）和（5.7）我们有b（t；κ）：=inf{x>0:u（t，x；κ）≤ η } ≥ inf{x>0:u（t，x；κ）≤ η} =b（t；κ）。（ii）取η>η并使用（2）和（5.7）我们有b（t；η）：=inf{x>0:u（t，x；η）- η≤ 0} ≤ inf{x>0:u（t，x；η）- η≤ 0}=b（t；η）。（iii）使用（3）和（5.7）取r>rand，我们有b（t；r）：=inf{x>0:u（t，x；r）≤ η } ≤ inf{x>0:u（t，x；r）≤ η}=b（t；r）。（iv）取u>u和u（t，x；u）- u（t，x；u）≤ 0和（5.7）我们有b（t；u）：=inf{x>0:u（t，x；u）≤ η } ≤ inf{x>0:u（t，x；u）≤ η}=b（t；u）。最后一个命题允许我们得出一些经济含义。增加参数η、r和u，在每个时间t，导致较早的股息分配。这一结果非常直观，因为较高的利率r会因贴现而降低未来收益，较高的η会增加股息的边际价值，较高的u会增加盈余的趋势，并降低破产的可能性，从而降低注资的可能性。另一方面，κ的增加推迟了股息分配，因为注资变得更加昂贵，因此基金经理的行为更加谨慎。按照命题5.6中p屋顶的论点，证明自由边界相对于sur plus’volatilityσ的单调性似乎是不可行的。