多样性与稀疏性：指数跟踪的新视角

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英文标题：
《Diversity and Sparsity: A New Perspective on Index Tracking》
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作者：
Yu Zheng and Timothy M. Hospedales and Yongxin Yang
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We address the problem of partial index tracking, replicating a benchmark index using a small number of assets. Accurate tracking with a sparse portfolio is extensively studied as a classic finance problem. However in practice, a tracking portfolio must also be diverse in order to minimise risk -- a requirement which has only been dealt with by ad-hoc methods before. We introduce the first index tracking method that explicitly optimises both diversity and sparsity in a single joint framework. Diversity is realised by a regulariser based on pairwise similarity of assets, and we demonstrate that learning similarity from data can outperform some existing heuristics. Finally, we show that the way we model diversity leads to an easy solution for sparsity, allowing both constraints to be optimised easily and efficiently. we run out-of-sample backtesting for a long interval of 15 years (2003 -- 2018), and the results demonstrate the superiority of the proposed algorithm.
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中文摘要：
我们解决部分索引跟踪问题，使用少量资产复制基准索引。稀疏投资组合的精确跟踪是一个经典的金融问题。然而，在实践中，为了将风险降至最低，跟踪投资组合也必须多样化——这一要求以前只通过特殊方法处理过。我们介绍了第一种索引跟踪方法，该方法在单个联合框架中显式优化了多样性和稀疏性。多样性是通过基于资产成对相似性的正则化器实现的，我们证明了从数据中学习相似性可以优于一些现有的启发式算法。最后，我们展示了我们对多样性建模的方式可以很容易地解决稀疏性问题，从而可以轻松有效地优化这两个约束。我们在长达15年的时间间隔内（2003-2018年）进行了样本回溯测试，结果证明了该算法的优越性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Diversity_and_Sparsity:_A_New_Perspective_on_Index_Tracking.pdf (608.99 KB)

2022-6-10 16:28:11 上传

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关键词：多样性 Optimization Quantitative Measurement Requirement

多样性与稀疏性：指数跟踪的新视角于政西南财经大学阵列流技术研究M.Hospedales，杨永新*爱丁堡大学（University of EdinburghABSTRACTtracking）将稀疏投资组合跟踪作为一个经典金融问题进行了广泛研究。然而，在实践中，为了将风险降至最低，跟踪投资组合也必须多样化——这一要求以前仅通过特殊方法处理过。我们介绍了第一种索引跟踪方法，该方法在单个联合框架中显式优化了多样性和稀疏性。多样性由基于资产成对相似性的规则实现，我们演示了现有的启发式算法。最后，我们展示了我们对多样性建模的方式可以很容易地解决稀疏性问题，从而可以轻松有效地优化这两个约束。实验结果表明了该算法的优越性。指数术语-指数跟踪、投资组合优化1。简介和P500。通常，有两种方法可以构建这样的跟踪组合：完全复制和部分复制。跟踪方法，并在无摩擦市场上提供完美的跟踪性能。然而，在实践中，由于大量指数成分、频繁的平衡、指数成员的流失和非流动资产，这导致了较高的交易成本[1，2]。相反，部分复制从指数中选择一小部分资产，并以较低的频率重新平衡（指数跟踪误差最小的资产的完整复制组合）。这可以解决这两个问题【3、4、5】。*通讯作者：永新。yang@ed.ac.ukstudied这一问题由于其重要性和广泛的相关性。大多数研究通过添加基数来寻找稀疏的投资组合，这为规范约束的作用提供了一个很好的回顾。

然而，也就是说，通过选择少数资产来跟踪指数往往会导致稀疏的投资组合，这在经济上是合理的，因为并非所有资产在基准中都会进一步降低可分散的风险。尽管如此，现有的部分指数跟踪方法生成的投资组合风险太大，因为它们没有明确建模投资组合多样性。因此，在本文中，我们研究是否可以形成一个稀疏集，从数据中学习相似性结构以实现多样性。我们引入了一个可学习的相似度矩阵，它有助于通过重新加权的范数实现稀疏性。2、Methodology实用部分索引跟踪有三个关键要求：（i）通过多样性。之前的工作只解决了这些需求中的前两个，而这里提出的方法将解决我们的关键贡献，即获得aalso的机制需要简单地解决稀疏性问题。2.1. 问题设置索引跟踪最简单的形式是一个线性回归问题，minwkXw-Y k（1），其中X∈RD×Nare资产的日志返回andY∈RDis theDD=750N（例如，N=500个库存）。w∈Rn是为了近似指数Y而持有的每项资产的权重。W这是指≥0,i（ii）使用所有资本，即SPNI=1wi=1。因此，目标函数变为，minw≥0，Piwi=1kXw-Y k（2）编程（QP）。2.2. 生态学中的多样性\'PNi=1wiwiwiwidiversity index[]，而更常见的是，它没有考虑资产的相互依赖性。为了缓解这个问题，我们建议使用wTAw（3），其中是资产之间的相似性度量，其中表示最不相似，表示最相似。我们有AII=1，因为它们是完全相同的资产，我们也假设AIJ=Aji。

我们将在下一节讨论A的选择。wTAw组件，wTAw=kwk+2N-1Xi=1NXj=i+1wiAijwj（4）彼此相似。投资组合的A∑wT∑w（方差），在我们的工作中，wtaw同时服务于类似的暴跌。w.2.2.1的反向协方差矩阵。选择AAAij=1ijAij=0否则。这样，A可以进一步分解为，A=ZTZ（5）Z∈{0,1}K×NTZ=1KjZZ·，第j个资产扇区的jone热编码。ZZ·，jone对第j个资产的群集ID进行热编码。任意群集。为此，我们使用谱聚类[]，因为它为我们提供了为这些数据定义适当相似性度量的灵活性。公式5中的可分解假设，但该假设在优化方面很有帮助，因为它保证了AIS的对称正定性。此外，zi不一定是assignmentmatrix（资产到集群）。它可以是X的任何类型的表示，但集群分配表示使模型更容易成为参数化模型，如a=fθ（X），以便将来进行研究。2.2.2. 光谱聚类光谱聚类的第一步是构造亲和矩阵：Sij=exp(-d（xi，xj）σ）i6=jSii=0d（xi，xj）ijXd（xi，xj）=kxi- xjk然而，由于xi是日志返回，Spearman的[]或Kendall\'sd（xi，xj）=p2（1-ρ（xi，xj））ρ（xi，xj）相关系数。L=∧-S∧-∧∧ii=PjSijKLKv，v，。。。，vKHH=[vT；vT；…；vTK]HHij←Hij（PiHij）我们在H上运行k-means（注意，每列都是一个实例）。2.3. 与完整指数相比，Sparsitylowers的交易成本更低。到目前为止，我们已经定义了一个促进多样性的正则化器，但我们还没有产生稀疏性约束。虽然等式3将OFF的元素推向零，但这并不会使它们稀疏。最常见的``范数总是1，因为| w |=PNi=1 | wi |=PNi=1wi=1。构造一个重新加权的`范数，`（w）=KXi=k | Ci | Xj∈Ci | wj |（6）Cii | Ci |大致相同的比率。等式的矢量化形式。

6为，`（w）=1T（ZZT）-1Zw（7）函数可以写成，minwkXw-Y k+λkZwk+λT（ZZT）-1ZW主题：w≥0和XIWI=1（8）2.4。等式8中的等式形式为minwwTPw+qTwSubject to:Gw，同时具有等式和不等式约束的优化≤h和Aw=b（9）P=2（XTX+λZTZ）q=λT（ZZT）-1Z-2XTYG=-Ih=0A=1Tb=1A=ZTZPpositive definite，这表明这也是一个凸优化问题，大多数现成的QP解决方案都可以处理。2.5. 进一步分析我们讨论了等式8中第二项和第三项的作用。首先，wekZwkpTp s.t.Ppi=1pi=Zi，·wpiikZwkpi=K，i ` Pipi | Ci | s.t.Ppi=1，其中Pi是我们在每个集群中分配的资金，| Ci |是每个集群的大小。这表明，为了最小化这一术语，我们需要将所有资金分配给最大的聚类（回想一下，| Ci |是一个固定值，因为它是由光谱聚类预先给定的）。因此，λ和λ的第二项和第三项反映了多样性和稀疏性之间的权衡。3、实验3.1。实施细节σk这里是λ和λ。考虑到实验的规模，我们希望尽可能避免使用网格搜索。dard启发式方法。具体而言，σ由“中值启发式”自我设定）并取其中值，即σ=中值（[d（xi，xj）， i6=j]）。Kis由“eigengap启发式”[]：Kis由Kutive特征值的值给出），即，如果我们按升序对拉普拉斯矩阵的所有特征值进行排序，第一个KeigenValue非常小，但K+1相对较大。λλλ∈ [1, 10]λ∈ [8001000]采样等距数字。请注意，我们不能交叉，这可能会导致无效情况使用以前和将来的数据预测当前值。因此，培训验证拆分必须严格遵循时间。ρ（·，·）xixjr鲁棒性。这里我们选择使用斯皮尔曼ρ[15]。3.2.

S&P500指数跟踪为了在现实世界中评估我们提出的方法，我们使用S&P500指数的精确成员来跟踪该指数。日期（YYYY-MM）100200300400IndexBaselineIndex2003-012003-082004-022004-082005-02005-082006-022006-082007-022007-082008-032008-092009-032009-092010-092011-032011-092012-032012-092013-042013-102014-042014-102015-042015-102016-042016-102017-042017-102018-05日期（YYYY-MM）-0.20.00.2百分比错误日期（YYYY-MM）100200300400IndexRidgeIndex2003-012003-082004-022004-082005-02005-082006-022006-082007-022007-082008-032008-092009-032009-092010-032010-092011-032011-092012-032012-092013-042013-102014-042014-102015-042015-102016-042016-102017-042017-102018-05日期（YYYY-MM）-0.20.00.2百分比错误日期（YYYY-MM）100200300400IndexSectorIndex2003-012003-082004-022004-082005-02005-082006-022006-082007-022007-082008-032008-092009-032009-092010-032010-092011-032011-092012-032012-092013-042013-102014-042014-102015-042015-102016-042016-102017-042017-102018-05日期（YYYY-MM）-0.20.00.2百分比错误日期（YYYY-MM）100200300400IndexClusterIndex2003-012003-082004-022004-082005-02005-082006-022006-082007-022007-082008-032008-092009-032009-092010-032010-092011-032011-092012-032012-092013-042013-102014-042014-102015-042015-102016-042016-102017-042017-102018-05日期（YYYY-MM）-0.20.00.2%误差图。1、指标跟踪性能：上图为指标和跟踪器。底部是跟踪误差百分比^y-yy年。3.2.1. 数据集和设置数据集由每日收盘价组成，该收盘价根据股息和证券分析进行调整。为了避免生存偏差，在每次重新平衡时都要考虑交易成本，以确保我们的后验测试符合行业惯例。我们选择固定费用定价模式，与重量大于-6[].

由于交易成本与预算有关，我们在实验中假设初始资本为100万美元。虽然频繁地重新平衡投资组合将减少跟踪错误，但它也会带来高昂的交易成本。为了实现良好的平衡，我们采用了月度投资组合再平衡。3.2.2. 候选方法Baselineridge的跟踪由[]研究。这也可以看作是一个reducedZ=Iλ=0SectorZZ·，jjClusterZZ·，jt，它表示第j个股票的集群ID。控制“norm”权重的参数。扇区有两个超参数：λ和λ。簇有四个超参数：σ、K、λ和λ，但我们从理论上设置了σ和K。对于那些具有超参数的方法，我们运行广泛的网格搜索，以在训练数据中找到最佳的超参数。方法负-正和均值基线145.35 5.36 150.71 3.86%岭131.56 5.28 136.84 3.51%扇区397.22 16.69 413.91 10.61%聚类21.42 237.17 258.59 6.63%表1。不同方法的绝对百分比误差3.2.3。跟踪性能，以低误差跟踪索引。基准线、岭线和簇线会导致持有完整指数的高交易成本。Sector选项卡中不同方法的绝对百分比错误。1，其均值/平均值直接反映了跟踪精度，其中Ridge的误差最小，我们还感兴趣的是，正误差（零以上区域）更容易接受，因为与市场相比，它意味着更好的回报。考虑到这一点，集群的总体性能最好。结论作为标准QP问题解决，但在跟踪精度和交易股票数量方面都取得了优异的性能`当需要稀疏解决方案时，求和为一个约束。

在未来，通过探索端到端构建A或Z矩阵的选项，集群逐步进入优化问题。确认：省。免责声明：在制作本文时，小动物也没有受伤。参考文献【1】指数跟踪投资组合的再平衡，《欧洲运筹学杂志》，第264卷，第1期，第370–387页，2018年。[2] Benidis K.、Feng Y.和P.Palomar D.，“稀疏投资组合155–1702018。[3]第196卷，第1期，第384–3992009页。[4]秋子武田，马海桑Niranjan，Jun ya Gotoh和Yoshi21–492013。[5][6]投资组合选择中的应变”，《计算管理科学》，第8卷，第4期，第3232011页。[7] 《金融杂志》，第23卷，第5期，第761-7671968页。[8] 1987年，第22卷，第3期，第353-363页。[9] 第73-851992页。[10] 163，第4148号，第6881949页。[11] Harry Markowitz，“投资组合选择”，《金融杂志》，第7卷，第1期，第77-911952页。[12] 数学中的一系列问题。温斯顿，1977年。[13]129–137, 1982.[14] 信息处理系统（NIPS），2001年。[15] 第15卷，第1期，第72-101页，1904年。[16] Biometrika，第30卷，第1-2期，第81-93页，1938年。[17] \'Boyd，“通过重新加权\'1最小化来增强稀疏性”，5，第877–9052008页。[18] E.D.Andersen、C.Roos和T.Terlaky，“关于实现优化”，数学规划，第95卷，第2期，第249-2772003页。[19] ¨处理系统（NIPS），2007年。[20] Ulrike Luxburg，“光谱聚类教程”，统计与计算，第17卷，第4期，第395-4162007页。【21】工业与管理优化，第110–114页，2018年。[22]奈杰尔·米德（Nigel Meade）和杰拉尔德·萨尔金（Gerald R Salkin），《指数基金——建筑研究学会》（Index funds–Construction Research Society），第40卷，第10期，第871-879页，1989年。【23】技术计量学，第12卷，第1期，第55-671970年。【24】798-8122009年。