超越随机连续性的仿射过程

结合（25）和theRiccati方程，我们得到了Θtpω；xq–Rpt，ψtpT，uqdact“gpω，t，u，t qatpωqdAct ` gpω，t，u，tqdStpωq（33），对于所有pT，uq P R>0^u和t P r0，t s。通过Lebesgue分解的唯一性，我们得出以下结论：#atpωqgpω，t，t，uq“Θtpωq¨Rpt，ψtpT，uqq，dAct'a.egpω，t，t，t，uq”0，dStpωa.e.（34）与证明的第一部分一样，我们考虑了R>0^U的可数稠密子集T^E。取T^E中所有pT，uq的并集，并重复（31）的密度参数，我们找到一个dAct nullset和一个dStpωq nullset N，这样#atpωqgpω，T，T，uq“Θtpωq¨Rpt，uq，对于所有t P R>0zN，u P Egpω，t，t，uq”0，对于所有t P R>0zN，u P E.（35）作为u的函数，两边都是L’evy Khintchine形式。此外，E在u中是稠密的，这允许我们从第一个方程得出结论，atpωqbtpωq“Θtp q¨Pβt，…，βdtqctpωtp q”ωq¨Pαt，…，αdtqatpωqKtpωq“Θtpωq–puc，0t，…，uc，dtqfor all t p R>0zn，从第二个方程得出，btpωq“0，ctpωq”0，Ktpωq“0，dStpωq'a.e.与Actpωq积分并相加产量（12）.请注意，我们的论证不需要ωTh~naspωq或ωTh~nStpωq的可测性。随机连续性之外的仿射过程15为了总结证明，我们最终转向不连续部分。注意引理3.5已经为我们提供了参数γ、集合Jν以及（12c）和（16）的有效性。利用证明第一部分的连续递增函数Ac，并在每次t P Jν插入严格正高的跳跃，我们得到了一个具有连续递增函数Ac和跳跃集JA的递增函数A“Jν。请注意，跳跃的高度是任意的；例如，可以取可和序列p2'nqnpnca的值。在定义3.1的意义上，pA、γ、α、β、uq现在是一个很好的参数集，定理3.2的所有部分都已完成。4.

仿射马尔可夫过程和无限可除性集X是D中的马尔可夫过程（可能是非保守的），其过渡核ps、tpx、Bq定义为所有0dsdt、X P D和B P BpDq。以下定义与【10，定义2.1】相同。定义4.1。如果存在C值函数φ，ψ，使得X的转移核满足zDexu，ξyps，tpx，dξq“eφspt，uq`xψspt，uq，xy，（36）对于所有0dsdt，px，uq P d^U。在温和的条件下，一个半鞅也是一个有效的马尔可夫过程。首先，请注意，对于每个半鞅，我们可以通过考虑正则条件分布sp pXtP B | Xsq”ps，将所有0dsdt，B P BpDq和x P suppxsq的转移核ps，关联到每个半鞅tpXs，Bq。（37）由（3）决定，核将满足（36）的所有x P suppxsq，半流方程（4）提供了核ps，tpx的查普曼-科尔莫戈罗夫方程。q、 还有待证明的是，转移核族和（36）的有效性可以从supppXsq扩展到D。除了平凡的条件SUPPXSQ之外“D对于所有sa0，我们可以给出以下有效条件：定义4.2。如果正则条件分布ps、tpXs、.q是任何0dsdt引理4.3的D、P-a.s上的可整除概率测度，则称为半鞅X为不可整除。设X为满足支持条件2.3的拟正则半鞅。假设（i）supppXtq“对于所有ta0，D或（ii）X是可整除的。那么X可以通过状态空间D证明实现为一个保守的马尔可夫过程。它有助于证明（36）的右侧是所有X P D和0asdt的概率测度D的傅立叶变换。事实上，如果族pps，tq0dsdtsatis（36），这些流动方程（4）确保其满足查普曼-科尔莫戈罗夫方程。

通过Kolmogorov存在定理（参见，例如，[23，定理8.4]），这保证了具有转移核pps，tq0dsdt的唯一马尔可夫过程的存在。q是半鞅X的传递核，由（37）定义。注意，根据a ffene性质（3），这些核对于所有x P suppxsq满足（36），并且仍然需要将恒等式扩展到所有x P D.16 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGAIn情形（i），这对于sa0来说是微不足道的，由于supppXsq“D”。在情况（ii）中，通过有限整除性，对于任何λP p0，1q，都存在一个概率核ppλqs，tpx，.q，使得zDexu，ξyppλqs，tpx，Dξq“eλφspt，uq`xψspt，uq，λxy。（38）固定x，y P supppXsq，λP p0，1q，并让z“λx` p1'λqy”是x和y的凸中点。在z处，我们定义ps，tpz，.q以下内容：“pλs，tpx，.q媫pp1'λqs，tpy，.q，其中媫表示度量的卷积，并获得zDexu，ξyps，tpz，dξq”eφspt，uq'xψspt，uq，λx'p1'λqyy”eφspt，uq'xψspt，uq，zy（39），即（36）已扩展到x和y的凸中点z”λx'p1'λqy。根据条件2.3，我们对所有sa0进行convpsupppXsqq“d，显示（36），但时间点s”0除外。在这两种情况下（i）（ii）我们最终可以使用φ，ψ的准正则性性质，通过从右边取极限，立即将（36）扩展到s“0。结果表明，有限整除性对一个半鞅的结构有着更强烈的影响，特别是在确定性跳跃时间JA。引理4.4。设X是满足支持条件2.3的不可整除拟正则半鞅。然后的条件分布Xtgiven Xt'对于任何tě0都是P-a.sin不可整除的。此外，定理3.2中的参数γ“pγ，γ，…，γdq具有以下形式：对于任何t p ja和i p t0。

，du，存在▄βiptq P Rd、▄αiptq P sda和（可能有符号的）Borel度量▄uipt。q在Dzt0u上，因此γipt，uq“Aβiptq，uE'xu，'αiptqy'D'exx，uy'1'xhpxq，uy'''uipt，dxq，（40）对于所有u P u证明。使用引理3.5和定义2.5中的准正则性，我们可以编写“exu，Xty'''Ft''''exp P'”φtpt，uq'xψtpt，uq，Xt'yq“”lims`Otexp pφspt，uq'xψspt，uq，Xsyq“lims`OtzDexu，ξyps，tpXs，dξq。请注意，右侧是d上不可整除测度的傅里叶-拉普拉斯变换的极限。左侧是Xt分布的傅里叶-拉普拉斯变换，有条件地在Ft'上，我们得出结论，该分布也必须是不可整除的。通过引理3.5γpt，uq”φtpt，uq和γipt，uq“\'ψitpt，uq表示所有i P t1，杜。然后，分解（40）遵循L’evy Khinchtine公式，用于不可分割分布。回顾定义3.1中对良好参数集pA、γ、β、α、uq的定义，并注意函数βptq、αptq和upt。q仅定义为Ac零集。特别是，我们可以在任何跳跃点t P ja修改β、α、u，而不影响定理3.2的有效性。根据γ的分解（40），这表明以下定义：定义4.5。设pA，γ，β，α，uq是满足支持条件2.3的拟正则有限可微半鞅X的良好参数集。我们通过设置αiptq来增强函数β、α、u”在▄αiptqβiptq〃处在￠βiptq（41a）uipt，dξq“对于所有t P JA，i P t0，…，在|uipt，dξq处，du，（41b）超越随机连续性17的仿射过程，如引理4.4中所示，具有▄α，▄β，▄u，并将pA，β，α，uq称为X的增强参数集。请注意，γ不再出现在增强参数集中，因为它在时间点t P JA被吸收到α，β，u的值中。

增强的参数还允许我们通过设置fpt，uq：“F pt，uq1ttRJAu”将F与γ和R与γ结合`在γpt，uq1ttPJAu，R pt，uq：“Rpt，uq1ttRJAu`在γpt处，uq1ttPJAu。F和R都是L’evy-Khintchine形式，度量Riccati方程的连续部分（13）-（14）和不连续部分（16）可以统一到度量微分方程DφtpT中，uqdAt'Fpt，ψtpT，uqq，dψtpT，uqdAt'Rpt，ψtpT，uqq，其与终端条件（17）等价于积分方程φtpT，uq“zpt，T sF ps，ψspT，uqq dAs，（42a）ψtpT，uq“uzpt，T sR ps，ψspT，uqq dAs。（42b）仿射马尔可夫过程和仿射半鞅的存在在这一节中，我们在温和的假设下，使用a ffene马尔可夫过程作为中间步骤，证明了a ffene半鞅的存在。虽然我们之前没有对状态空间D进行限制，在本节中，我们只考虑“规范状态空间”（参见[10，14]）D“Rmě0^Rn，m\'n”D。请注意，对于该状态空间，U的形式为“Cmd0^iRn”。此外，我们还有bu“iRd，Uo”Cma0^iRn，如[10]所示。为了便于注释，我们将I“t1，¨¨¨，mu，J”tm\'1，¨¨，du，andIzi：“Iz tiu，J Y I：“对于任何i，J Y tiu。最后，我们引入以下简短符号：”“对于两个子集i，JAt1，…，du，我们用aijt表示a的子矩阵，并用i^J表示，即aIJ:”“paijqiPI，jPI”“，β表示具有列β，β，…，βd的矩阵。我们用去掉的firstcolumn来写β。”“，对于任何i，k P t0，…，du，我们设置Hikptq：“sDzt0uhipξqukpt，dξq，只要积分是有限的。其他值可以任意选择，所得矩阵由Hptq”pHikptqq表示。回想定理3.2，半鞅X有一个很好的参数集pa，γ，α，β，uq。

为了证明给定一个好参数集的a ffene半鞅的存在性，我们还需要考虑状态空间的几何结构。在【10】中，这是通过在参数上引入可容许性条件来实现的。在以下定义中，我们将这一概念扩展到我们的环境中。18 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGADe定义5.1。一个好的参数集pA，γ，α，β，uq称为容许的，如果（i）对于Ac几乎所有的t P R>0，对于所有i P t0，αiptq P Sd，¨¨，du，α0；IIptq“0，αi；Izi，Iziptq”0表示i P i，αjptq“0表示j P j，’βptq P Rd^pd ` 1q表示βP D，’βIJptq“0”和‘βipIziqptq’HipIziqptq P Rm'1ě0表示所有i P i'uptq是一个支持D的L'evy度量向量，因此，对于i P i Y 0，j P Jand Miptq'0，ujptq“0 T0U'@hIzipξq，1D `}hJ Yipξq}uipt，Dξq。（43）（ii）对于所有t P ja和所有x P D，函数uTh~nexp Pγpt，uq\'x\'γpt，uq\'u，xyq是D值随机变量的傅里叶拉普拉斯变换。如果X是可整除的，且pA、α、β、uq是其增强参数集（见定义4.5），则（ii）可替换为（ii’）所有t P ja和i P t0、¨¨、du、“αiptq P Sd”、αi；IIptq“0表示i P i Y 0，αjptq”0表示j P j，\'βptq P D，\'βIJptq”0和\'βIIptq'HIIptq'iddP Rm>0。\'uiptq是D上的一个L'evy度量，对于i P i Y 0和uj“0表示j P j。请注意，半限定矩阵对角线上的零元素意味着对应的整行和整列为零；因此，可以从上述条件推导出对αi元素的进一步限制。命题5.2。设X为准正则a ffine半鞅，满足支持条件2.3，具有良好的参数集pA、γ、α、β、uq。假设（i）supppXtq“D表示所有ta0，或（ii）X是可整除的。那么参数pA、γ、α、β、uq是可容许的。证明。

通过引理4.3，X可以实现为一个（时间非齐次）马尔可夫过程，具有转移核ps，tpx，dξq，定义了所有0dsdt和x P D。设置fupxq“exu，xyforu P U。与[10]中的可采性证明类似，我们考虑以下限制fupxq：“limh'O0E rfupXtq | Xt'h“xs'exu，xyAt'h”（44）“limh'O0exp Pφt'hpt，uq'xψt'hpt，uq'xyq'exu，xyAt'h。对于Ac几乎所有的t R>0，存在一个序列phh Nqnpn，减小到0，沿其存在极限（c.f.【7】或【2，定理5.8.8】中的主要定理）。从（7）以及（13）和（14）中，我们可以确定开始的极限，即pF pt，uq\'xRpt，uq，xyq fupxq。（45）对于t P JA，我们从（8）中获得φsps，uq'xψsps，uq，xy'1'¨Asfupxq。（46）超越随机连续性的仿射过程19另一方面，我们可以用X asGtfupxqfupxq“limn~n8At'At'hn'D'fupξ'xq'1'pt'hn，t'X，Dξ'''''x9的转移核来写极限。通过（45）和（46），上述极限存在并且在u处连续“0.如果t是a的连续点，我们将最后一行中的积分项解释为强度为1{pAt'At'hnq的复合泊松分布的对数特征函数，它是不可整除的。这意味着它们的弱极限也是不可整除的。我们得出结论，（45）的r.h.s是不完全可分分布的对数特征函数，因此为L’evy-Khintchine形式。由此可知，pα、β、uq在a的连续点处的容许性与[10]中的直线相同。对于A的不连续点t P ja，我们从（46）中得到，exp Pγpt，uq\'x\'γpt，uq\'u，xyq“Dfupξqpt'，tpx，dξq，其中我们将pt'，tpx，.q写为pt'h，tpx，.q的弱极限，作为h'O0。可采性条件的第（ii）部分如下所示，pt'，tpx，.q必须在df上支持所有x P d和0dsdt。

如果X是不可整除的，则γ的分解为（40），以及不可整除分布的标准支持定理（参见[36，Ch.24]）产生（ii’）。在本节的剩余部分，我们展示了以下内容：给定一个可容许的增广参数集，我们可以构造一个马尔可夫过程，该过程对于D中的每个起点都是一个不可整除的a fi fine半鞅。在这方面，我们需要进一步的可积性假设。假设5.3。给定一个增强的参数集pA、β、α、uq，假设（43）定义的α、β和Mde对于命题5.4是局部可积的。设pA，α，β，uq是满足假设5.3的可容许增强参数集。然后，对于所有pT，uq P p0，8q^U"，存在唯一的解Pφ。pT，uq，ψ。广义测度Riccati方程（12）-（17）（或等效于（42））的pT，uqqon r0，T s。在下面的let u“pv，wq P u与v P Cmd0和w P iRn中，我们还将使用Conventionspa，bs”sbato在某些地方缩短符号。证明。由于给出了增强的参数集，广义度量Riccati方程（12）-（17）可以组合为（42）。它有助于显示方程（42b）的唯一全局解的存在性，因为（42a）的存在性和唯一性然后进行简单积分（注意φ不出现在（42a）的右侧）。由于容许条件的存在，ψ的方程可分为分量ψI“pψiq，I PI的方程和分量j p j的解耦线性方程（另见【10，第6节】），可写成：ψJtpT，uq“w′zTt′βJJpsqψJspT，uq dAs。该线性方程可根据附录中的示例A.4进行求解，其中yieldsa函数与起始值w具有线性依赖关系，即ψJtpT，uq”wψJtpT q，ψJpT q:r0，T s^n。

（47）广义测度Riccati方程（42b）局部解的存在性和唯一性是附录中定理a.3的结果。实际上，Rpt、pv、wqq是20 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGAL'evy Khintchine形式，因此在v中由引理5.3（i）在[10]中进行分析，因此在u中局部Lipschitz连续，Lipschitz常数可以选择a-可积，这是由于增强参数pα、β的可积性，uq.为了将局部解决方案扩展到整个时间范围，我们在设置中采用了[10]中的证明。设g p¨，T，uq是Riccati方程的局部解，在T时刻具有终端条件u p u"。我们必须证明，gextends–在时间上向后扩展到r0，T s上的全局解。考虑g inU"τT的寿命，u： “lim supn~n8tt P R` |}g pt，T，uq}n或g pt，T，uq P pU"q{u.对于所有u P u"，整个时间范围内的存在τT，uhas为零。类似于[10，方程（6.8）]，我们从R的L'evy–Khintchine形式中获得dA几乎所有T，uq'Cptq'pRe uiq'Re ui'，（48）其中，对于所有t，Cptq是一个独立于u的常数。R参数的可积性允许选择C作为a-可积。因此，局部解g满足以下积分不等式：gitpT、uqdvzpt、T sC psq'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''。通过附录中所述的测量微分方程的比较结果命题A.5，我们得到了gitp、uqdftpT、uqwhere f satifiesftpt、uq“Re vzpt、T sCpsq'fspT、uq'fspT、uq'dAs。注意，对于所有Ka0，存在ca0，使得px'xq'cx与x P'K，0q一样长。因此，对于所有u'P u'，f¨pt、uq'0对于上界，我们考虑ψI的平方范数。

利用[4，定理4.1]中有界变差函数的链式规则公式，我们可以写出>>ψItpT，uq>>>“}v}pt，T s2ReAψIspT，uq，RI\'s，ψIspT，uq，ψJspT，uqEdAcs。`sPpt，T s>ψIspT，uq>>>>>ψIs'pt，uq>“}v}pt，T s2ReA IspT，u380; q，RI\'s，ψIspT，uq，ψJspT，uqEdAs'sPpt，T sAψIspT，uq，ψIspT，uqEd}v}zpt，T s2ReAψIspT，uq，RI\'s，ψIspT，uq，ψJspT，uqEdAs。（49）我们使用ψIs'pT，uq“ψIspT，uq'ψIspT，第二行中的uq。带K pt，uq：“Re vi@αiJ Jptq w，wD ` Re'vixβiptq'Hiptq，uy，超越随机连续性的仿射过程21我们可以编写p'viRipt，uqq“αiiptq'vi'Re vi'K pt，uq'Re'vi'Dzt0u'exu，ξy'1'xuJ Yi，hJ Yipξqy'uipt，dξq'。使用与[10]中命题6.1相同的计算，我们得到以下估计值：Re p'viRipt，uqqdCt'1`}w'''''1`}v'''，@u“pv，wq P U。从M的A-可积性可以看出，独立于U的C可以选择A-可积。将上述方程插入（49）中，我们得到了>>ψItpT，uq>>>>>d}v}}zpt，T sCs'1>>ψJspT，uq>>>'1>>>ψIspT，uq>>>>dAs.Gronwalls测度微分方程不等式（C.f.[19，推论19.3.3]）产生>>ψItpT，uq>>d}v}expzpt，T sCs'1 `>>ψJspT，uq>>>>dAs,。（50）对于（47），这表明溶液不会爆炸，因此τT，u“0，即我们得到了r0，T s的解。提案5.5。设pφ，ψq是广义测度Riccati方程（13）-（17）的解。然后认为（i）对于每个u P u和sat，左极限φspt'，uq“limε'O0φspt'εq和ψspt'，uq“limε'O0ψspt'ε，uqexist。（ii）对于所有u”pv，wq P u和sdt，ψJspt，pv，0qq“0。（iii）Pφ，ψq满足半流性质，即对于所有u P uφrpt，uq“φspt，uq'φrps，ψspt，uqq和φtpt，uq“0，ψrpt，uq”ψrps，ψspt，uqq和ψtpt，uq“u.（iv）对于所有的tpr0，ts和KAU紧supupk，sdt}ψspt，uq}a8。证据