超越随机连续性的仿射过程

这里不需要通常的条件。超越随机连续性的仿射过程29注意，即使一个时间序列是时间齐次的，相关的连续时间过程X通常也不是时间齐次的：对于0a a1E“exu，Xm`y | Fn‰“exp`φnpm `, uq`xψnpm `, uq，Xny“exp`φnpm，uq` xψnpm，uq，Xny，这将给出φm`\'npuq“φm'npuq，另一方面”exu，Xm`{2y | Fn'{2‰“exp`φn'{下午2点`{2，uq`@ψn'{下午2点`{2，uq，Xn'{2D“exp `φn'1pm，uq'xψn'1pm，uq，Xn'1y，这将给出φm'npuq“φm'pn'1qpuq因此使得X是常数。因此，离散时间的时间不均匀性是一个严格弱于连续时间的概念。然而，在相反的方向上，我们得到了一个积极的结果。备注6.7。如果X是齐次连续时间F-a ffene过程，那么很快就会得出时间序列^X是^F-a ffene，而^X是时间齐次的。命题6.8。让p^Xq是一个满足支持条件2.3的一个时间序列。然后φ和ψ满足半流性质φnpm，uq“φnpn，ψnpm，uqq`φnpm，uqψnpm，uq”ψnpn，ψnpm，uqq（67）对于所有0dnam，u P iRd.证明。我们应用定理3.2。首先，注意znpq“Dexu，xyνptnu，dxq“E”tXn‰0uexu，Xny | Fn'1i。因此，E“exu，Xny | Fn'1‰“znpuq'P PXn“0 | Fn'1q”znpuq'1'znp0q。这通过定义“exu，Xny | Fn'1‰“E”exu，Xny | Fn'1‰E'xu，Xn'1y”Eφn'1pn，uq'xψn'1pn，uq'u，Xn'1y（68），我们从方程（16）中恢复γpn，uq'φn'1pn，uq和γipn，uq'ψn'1pn，uq'u。首先，定理3.2得出φn′1pm，uq′φnpn′1，ψnpm，uqq，即φnpm，uq′φnpn′1，ψn′1pm，uqq′φn′1pm，uq（69）对于0dnam和所有u P iRd。通过归纳，我们得出φ满足半流动性质φnpm，uq′φnpn，ψnpm，uqq′φnpm，uqf对于所有0dnanam和u P iRd。

本着类似的精神，定理3.2得出ψn′1pm，uq“’ψnpn′1，ψn′1pm，uqq′ψn′1pm，uqq相当于ψnpm，uq”ψnpn′1，ψn′1pm，uqq（70）30 M.KELLER-Restel，T.SCHMIDT，和R.Wardengaa，因此半流动性质ψnpm，uq“ψnpn′n，ψnpm，uqqf或所有0ananaM和u P ird，权利要求如下。备注6.9。尽管存在半FLOW性质，但从（69）和（70）中可以直接得出φ和ψ是以下微分方程φnpn\'1q“F pn、uqψnpn\'1、uq\'u”Rpn、uqφnpm\'1、uq”F pn、uq\'φnpm、u\'Rpm、uqqψnpm\'1、uq”ψnpm、u\'Rpm、uqqq的唯一解，其中函数F和R由前两个方程定义。根据定理3.2，F“'γ和Ri”'γi。这些方程和上述命题是[35]中命题4.4的内容。作者直接从迭代条件期望中获得结果。示例6.10（AR（1））。一个（时间非齐次）阶自回归时间序列由^Xn“αpnq^Xn'1 `这里我们假设pnq是独立的（不一定相同或正态分布）。那么，^X是一个函数，asEreuXn^Fn'1s“EreunseαpnqXn'1with^Fn'1“σp^X，…，Xn'1q。推广到更高阶需要扩展状态空间。因此，AR（p）系列给出了一个有效的过程p^Xn，…，Xn'pqn'p。6.2。资产价格与股息。股息和企业资产价格的关系很久以来就已经讨论和分析过，早期的贡献就是例子【29，30】或者是[27]中提出的方法，为此我们提出了一种动态泛化。最值得注意的是，典型的连续时间模型通过股息收益率包含股息。虽然这种方法确实简化了数学建模，但它肯定不会反映经验行为。

在本节中，我们将展示如何使用时间非齐次a ffne过程来高效地建模股票价格和股息。从一般观点来看，以下示例显示了如何在一个时间不均匀的a ffine模型中混合两个不同的时间尺度（连续时间和离散时间）。此外，由于离散时间尺度具有一定的滞后性，我们还展示了如何以相同的方式合并过去的依赖性（当然是通过扩展状态空间）。考虑一个dě3维aěne过程X。设d：“Xdenote累积股息过程，其中我们假设股息在时间点t”1，2，…，即d在每个区间rn，n\'1q，ně1上是非递减且恒定的。设Xdenote股票价格过程，即Xat股息支付日期的跳跃包括股息支付的减除，Xn，再加上新信息可能带来的额外跳跃，例如股息的高度。我们将遵循[27]中的方法，并假设股息的大小与当年的税后利润呈线性关系。在这方面，让Xdenote表示当年税后的累计利润，即Xn“0，Xn”表示第i年的累计利润。在Lintner的模型中，请参见【27】，当前股息dn由dn“a ` bXn''''''''''''''`表示n、 超越随机连续性的仿射过程31where平均零随机误差项。根据定理3.2，只有当nsatis fiesp公司nP dx | Xn'q“κ0,3pdxq'd"yi”1Xin'κi，3pdxq其中y P Rd，κi，jpdxq“sRd'1κpdy，…，dyj'1，dx，dyj'1，dydq。显然，这包括例如独立误差项（不一定是正态分布的）。X的剩余成分可用于建模随机波动或s进一步的协变量。6.3.有效项结构模型。

在本节中，我们将研究一类由有效流程驱动的新术语结构模型。基于我们在第3节中的发现，即一个过程X的半鞅特征由一个递增的c\'adl\'ag函数a支配，我们研究了Heath Jarrowmoton框架的以下扩展：考虑一个债券价格族，由P pt给出，T q“exp'''''pt，T sfpt，uqdAu'，0dTdT，（71）某些最终时间范围为T0。利率fpt，T q称为瞬时远期利率，代表在TdT时，未来最小时间间隔pt，T'dATs的可签约利率，见【15】详细信息和相关文献。该市场的数量被假定为来自exp\'trpsqdAs。本文提出的期限结构模型是通过假设以下远期利率结构来确定的：fpt，T q“fp0，T q`ztaps，T qdXs，0dTdT，（72），其中a是一个合适的确定函数。第一步是推导a上的一个条件，该条件使贴现债券价格为局部鞅，从而导致债券市场满足合适的无套利属性，例如NAFL。考虑一个过滤概率空间pOhm, F，F，Pq满足通常条件，并考虑一个具有半鞅特征pB，C，νq的d维特殊半鞅X。由于我们的目标是考虑一个有效过程X，根据定理3.2的观点，我们还假设X具有规范表示X“X`Bt`Xc`Xpu'νq，（73），其中dBt“btdAt，dCt”ctdata和νpdt，dxq“ktpdxqdata和a是确定性的，c`adl` ag随“0”增加。

我们定义了左连续过程Ap。，T q，0aTdT，byApt，T q：“rt，T saps，uqdAu，0dTdT，并要求以下技术假设。（A1）：假设a：r0，Ts尼尔迪是可测量和满足的。| aip，uq | dAu{2P LpXiq，i”1，…，d，TTTapt，uq | dBt | dAua8，0dTT式中，LpXiq表示在半鞅积分意义下相对于第i坐标Xiof X，i可积的过程集“1，…，d.32 M.KELLER-Restel，T.SCHMIDT，和R.Wardengapoposition 6.11。根据（A1），贴现债券价格是局部鞅，如果且仅当（i）rt”fpt，几乎可以肯定为0dT，并且（ii）以下条件成立：Apt，T qbt“Apt，T qctApt，T qJ\'Rd\'eApt，T qx\'1\'Apt，T qx\'Ktpdxq，（74）对于0dtdtdt，dA b dP几乎可以肯定。证据该证明遵循[20]中的经典步骤，依赖于随机Fubini定理。首先请注意，贴现债券价格的形式为▄P pt，T q“e''''pt，T sfp0，uqdAuexp''''pt，T sztaps，uqdXsdAu''p0，tsrsdAs'：P p0，T q exppIpt，T qq。（75）I的动力学可以从远期利率的动力学中获得，如zpt，T sfpt，uqdAu“zpt，T sfp0，uqdAu''pt，T sztaps，uqddau“zpt，T sfp0，uqdAu'''''''''380; Tzpt，T saps，uqdAudXs“zpt，T sfp0，uqdAuzTzrs，T saps，uqdAudXs'Tzrs，tsap，uqdAudXs“zpt，T sfp0，uqdAu'Tzuaps，uqdXsdAu'tAps，T qdXs”Tfp0，uqdAu'tfpu，uqdAu'tAps，T qdXs；积分的交换根据（A1）根据富比尼定理进行调整，例如沿着[39，34]的直线。下一步是将exppIp，T qq“Ep▄Ip.，T qq表示为基于修改过程▄I的随机指数E关于[21]中的定理II.8.10. 这一理论得出▄Ipt，T q▄Ip0，T q▄Ipt，T q▄xIcp，T qyt▄pex▄1▄xquIp.，T q，其中uIp.，T q表示与I的跳跃相关的随机度量，见（1）。

根据我们的假设和表示（73）计算上述条件，得出DIpt，T q“^'Apt、T qbt'Apt、T qctApt、T qJ'Rd'e'Apt、T qx'1'Apt、T qx'Kpt、dxq'pf pt、tq'rtq'dAt'dMt、0dT'Twith a local鞅M。首先考虑T，然后得出（i）和（ii）。对于相反的情况，请注意（i）和（ii）暗示'Ip，T q是local鞅，下面的声明如下。回想一下定义3.1中关于a ffine半鞅X的好参数集的概念。以下推论给出了更经典情况下的期限结构模型的具体说明，即，当γ“0.超越随机连续性的仿射过程33推论6.12。如果（A1）成立，且X是满足支持条件2.3的拟正则半鞅，且参数集为pA，0，β，α，uq，和ifApt，T qβi，T”Apt，T qαi，tApt，T qJ′Rd′eApt，T qx′1′Apt，T qx′uipt ipt dxq，（76）适用于i“0，…，d，则漂移条件（74）持有。证据应用定理3.2得出b“β`rdi”1Xi'βi，a和K的表达式相似。使用线性和（76），我们立即得到（74）。该结果的反向版本很容易获得，需要某些系数的额外线性独立性，例如参见【15】中的第9.3节。在下文中，我们研究了Vasiˇcek模型的各种扩展，以在可预测的时间内合并跳跃。当然，以类似的方式扩展Cox-IngersollRoss模型是可能的，或者甚至可以以类似的方式扩展一般的随机连续马尔可夫过程。示例6.13（Vasiˇcek模型）。我们首先在上述框架中铸造著名的Vasiˇcek模型。

Vasˇcek模型是一个单因素高斯模型，其中，短期利率是随机微分方程“pα`βrtqdt `σdWt（77）的强解，具有一维标准布朗运动W和β‰0，σa0。债券价格以指数形式给出，使得p pt，T q“expp'φpt，T q'ψpt，T qrtq，带φ和ψ求解某些Riccati微分方程，见【15】，详见第5.4.1节。如果我们将这种方法嵌入（71）中给出的结构中，我们可以选择在“t”处。这种情况下，fpt的动力学也将取决于Rt：“trsds”，因此我们利用a ffne processXt”pt，Rt，rtqJ，tě0in（72）。我们得出bt“bt ` btXtwith bt”p1，0，αqJand bt”p0，1，βq以及asct“cw，其中矩阵除了c3,3”σ外都是消失项。漂移条件（76）现在直接意味着对于Apt，t q“pApt，T q，Apt，T q，Apt，T qqApt，T q”βApt，T qApt，T q”pApt，T qqσ'αApt，T q.（78）我们可以自由选择Apt，T q的成分，我们可以通过设置Apt的第三个成分，T q等于pT，T q“β'1'eβpT'tq'1'来匹配Vasiˇcek模型的波动性结构。特别是，这种选择给了usapt，T q“σβ'eβpT'tq'1'αeβpT'tq，apt，T q”'βeβpT'tq，apt，T q”eβpT'tq。鉴于[15]第5.4.1节中φ和ψ的明确表达式，该规范确实与Vasiˇcek模型一致，这是一个简单的练习. 以类似的方式，所有期限结构模型都可以在本节考虑的框架中进行转换。34 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.Wardengae示例6.14（一个简单的高斯项结构模型）。对上述规范的回顾指向了更简单的高斯模型，其中X是上述由Vasiˇcek即期汇率驱动的三维Aˇneprocess，但现在我们选择pT，T q“pT'tq，这样参数apt，T q”1是常数。

漂移条件现在意味着a“'β，Apt，T q”pT'tqσ{2'αpT'tq，我们得到了一个线性项Apt，T q“σpT'tq'α。这个高斯模型比Vasiˇcek模型更简单，并且仍然具有均值回归特性（因为X具有均值回归特性），但远期利率的波动性在波动性中没有阻尼因子eβpT'tq。最后，我们提供了两个随机不连续规范的示例。示例6.15（示例6.14不连续）。现在，我们在上述示例中加入了t“1处的随机不连续性，并让Aptq“t\'1tt1u。我们的想法是在第三个分量中引入t”1处的单跳跃，并通过在第一个坐标中的可预测跳跃来补偿这一点。我们首先精确描述模型：第一，drt“pα`βrtqdt `σdWt ` dJtwhere Jt“1ttě1uξ，ξ为N p0，γq，γ2610，与W无关。考虑到“pAt，Rt，rtqJ，tě0，与R”rsds，如上所述。X的这种构造意味着对于t‰1，bt“p1，0，αqJand bt”p0，1，βqj，而对于t“1，b”p1，0，0qJand b”0。此外，对于上述示例中的t‰，ct“cas”，ct“0，对于t”1，我们得到c“0.核K消失，t”1除外，由Kpdxq“δpdxqφpx{γqdx给出，其中δ是Dirac测量点1，φ是标准正态密度。它不依赖于ω。如例6.14中所示，我们指定了“1”，使得Apt，t q“pT'tq'1t1Prt，T su。对于Ta1过程Apt，T q与前一示例6.14完全相同。对于剩余时间，我们使用推论6.12：一方面，对于i”1，漂移条件（76）意味着所有0dT的Apt，T q“'βApt，T q。另一方面，对于i”0，漂移条件可以分离。实际上，对于dAt“dt'δpdtq，我们使用C“0，即（对于t”1）Ap1、t qb0、1”Rd'e'Ap1、t qx'1'Ap1、t qx'K0、1pdxq，（79），对于t‰1，Apt、t qb0、t”Apt、t qc0、tApt、t qJ。

（80）现在等式（79）给出了SAP1，T q“e'Ap1，T q'pAp1，T qγq{2'1'Ap1，T q^oAp1，T q”pAp1，T qγq，（81）使得A被指定为T P r1，T s。最后，对于0dTa1，方程（80）简化了Apt，T q“'αApt，T'pApt，T，T qσqa，我们总结了我们的示例。超越随机连续性的仿射过程35示例6.16（不连续的Vasiˇcek模型）. 我们以更一般的方式将前面的示例扩展到Vasiˇcek模型。考虑时间点t，对应于随机不连续的tn。此外假设drt“pα`βrtqdt `σdWt ` dJtwereJt“n"yi”1ttidtuξi，tě0，ξi为i.i.d.“n p0，γq，独立于W。让t ` ni”1ttidtu考虑上述X“pA，R，rq。同样，对于t R tt，…，tnu，b0，t”p1，0，αqJ，b1，t“p0，1，βqJ，c0，t”cwhile对于t“ti，t”b0、ti“p1、0、0qJ、b1、ti“0和cti”0。此外，Ktpdxq“1ttPtt，…，tnuuδpdxqφpx{γqdx。我们首先在例6.13中指定apt，T q”eβpT'tqas，这样apt，T q“β'1'eβpT'tq1'n"yi”1ttiPrt，T su。同样，我们借助推论6.12分离连续和不连续部分的漂移条件，直接产生apt，T q“βapt，T q和apt，T q“pApt，T qqσ'αApt，T q，对于T P r0，T sztt，…，tnu，比较方程（78）。仍然需要计算Apti，T qf或tidT。在这方面，我们得到如（81）所示的Apti，T q”pApti，T qγq，i“1，…，n，（82）因此，不连续Vasiˇcek模型是完全特定的。附录A.测量微分方程本节回顾并扩展了本文所述特殊情况下关于测量微分方程（有时也称为Stieltjes微分方程）的一些概念和陈述。设A是Rě0上的一个左极限增函数，F:Rě0^U~nU，其中空间U在方程（2）中定义。

假设F p¨，g p¨qq对于有界变差的所有函数g:Rě0~nU在某个区间Rě0上是A-可积的。我们考虑方程dgptqdat“'F pt，gptqq，gpT q”u，（83）dg{dA表示g诱导的测度相对于A诱导的测度的Radon-Nikodym导数。我们现在回顾一下本文采用的[8]中对测度微分方程解的定义。定义A.1。让我们成为u和T P I中的一个开连通集。函数g P¨q“g p¨，T，uq将被称为区间I上通过pT，uq的（83）解，如果g是右连续的，则称为边界变差，gpT q”u和g满足度的分布导数（83）I.备注A.2中任何τaT的onpτ，T qf。假设Fpt，gptqq对于有界变差的每个函数g的Lebesgue-Stieltjes测度dA是可积的。等效于上述定义g isa（83）到pT，I上的uq的解当且仅当它满足积分方程gptq“uzpT，T sF ps，gpsqq dAs，（84）36 M.KELLER-RESSEL，T.SCHMIDT，和R.WARDENGAsee【8】了解更多详细信息。我们现在陈述并证明[38]中度量微分方程的存在性和唯一性结果的修正。定义Ohmb“tu P U | | U | UabuTheorem A.3.假设以下条件成立（i）存在一个A-可积函数w，使得| F pt，uq | w ptq（85）在U P中一致Ohmb（ii）F满足u中的Lipschitz条件，即存在a-可积Lipschitz常数L，使得所有u POhmb、 然后，在某个区间pT'a，ts，aa0上存在一个（83）的唯一解g，满足终端条件gpT q“u.证明。首先注意，对于所有T P tt P R，我们有以下方程，用于解g到（83）的跳跃`|在‰0u时，gptq“'F pt，gptqq在