超越随机连续性的仿射过程

第一个断言来自φ和ψ的积分表示。第二个断言可以直接从可接受性条件中派生出来。关于（iii），letsdt，u P u"和定义prq：“ψrps，ψspt，uqq，对于0drds。将方程（42b）插入上述定义中，我们可以看到，在r0上，ss-f满足与ψrpt相同的度量Riccati方程，uq:fprq“ψspt，uq\'pr，ssR\'w，fpwq”dAsBy通过Riccati方程的唯一性，我们推断出f prq“ψpr，t，uq”。简单计算上述和等式（42b）显示φ的方程式。断言（iv）遵循方程式（47）和（50）。22 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGAWe现在准备陈述我们关于马氏过程和半鞅存在性的主要结果：定理5.6。设pA，α，β，uq是满足假设5.3的可容许增强参数集。然后，存在一个具有φ，ψ解的相关度量Riccati方程的不可整除的αffine马尔可夫过程X（参见定义4.1）。如果X是保守的，那么它是一个半鞅，其特征由（12）给出，对于任何初始点X“X P D”。下一个结果为X的保守性提供了一个有效条件；可以沿着[10，Lem.9.2]的路线发展进一步的条件。推论5.7。设X是一个有效的马尔可夫过程，如定理5.6所示。如果对于任何Ta0，g“0是唯一的Rmd0值解，gtdat”'Re cript，gtq，gT“0，（51）那么X是保守的。定理5.6几乎完全遵循以下两个命题：命题5.8。设定理5.6的假设成立，并设pφ，ψq为（13）-（17）的带容许参数的解。

然后，存在一个a ffne马尔可夫过程X，其状态空间为D，且其转移核满足指数φ和ψ的a ffne性质（36）。为了证明这一命题，我们引入了以下符号（见【10，第7节】）。设C表示函数φpuq“xAw，wy ` xB，uy'C'Dzt0u'exu，ξy'1'xw，hJpξqy'M pdξq（52）的凸锥：“pv，wq P U，其中A P Sd`，B P D，C P R>0和Mpdξq是Dzt0u积分x1，hIpξqy`}hJpξq}的非负Borelmeasure。我们用cmm倍笛卡尔坐标表示N从[10，引理7.1]召回C.产品，φP C当且仅当D上存在亚随机测度η，使得zDexξ，uyηpdξq“eφpuq，@u P u.（53）证明。证明分为四个步骤。首先，在对F和R的形式的一些限制下，我们证明了广义测度Riccati方程的解Pφ，ψq是inC^Cd，这与[10]中的命题7.4（ii）相似。具体而言，假设，对于所有i P i，Dzt0uhipξquipdξqa8αi，ik“αi，ki”0，对于所有k P J（54）在这种情况下，RIcan应以RIipt、uq“~RIipt、uq'ciptqvi、i P i和'RiP C、ciě0 dA-a.e.和ciptq的形式书写tAd1。因此，广义测度Riccatiequation（42b）等价于以下方程：ψispt，uq“viEtsp'cidAq'ztsEsrp'cidAq'R pr，ψrpt，uqq dAr，i P i，超越随机连续性的仿射过程23whereEtsp'cidAq“exp^'tsciprqdAcr'rPps，tsp1'ciprqArqis线性测度微分方程dgtdat“ciptqgt”的解，见示例A.4。定义迭代序列pqψispt，uq“vi，pk`1qψispt，uq”viEtsp'cidAq'tsrp'cidAq'Ri'r，pkqψIrpt，uq，ψJspt，uq'dAr。根据Banachs fixed point定理和Helly选择原则，有一个'kψI'kpthnthat的子序列点向解收敛0 Iof（42b）。

根据[10]中的命题7.2，Cm在复合极限和逐点极限下是稳定的，我们得出结论：ψIspt，¨q P Cm。断言ψJspt，¨q P cns直接来自（47）。由于F在C中也是φspt，¨q在C中，参见【10，第7.2项】。其次，我们准备第三部分的近似论证，并在右侧建立广义测度Riccati方程解的连续依赖性，即LpdAq^puoc中的收敛性。右侧的Uq表示pdA'a.e.q^puoc中的解的收敛。在这里和下面的U q上，“uoc。“在U上”是指U的统一紧子集。实际上，让KDU紧致和R，~R具有良好的、可容许的和可积的参数，例如>>>>supuPK'R p¨，uq''R p¨，uq'>>>>>>>LpdAqdδ。（55）用ψ表示与R相对应的解，并检查与ψ的差异：ψtpT，uq'ψtpT，uq'Tt'R'，ψspT，uq'R'，ψspT，uq'R'，ψspT，uq'Tt'dAs，ψspT，uq'R'，ψspT，uq'R's dAs `zTtˇR''''''''''''''R''''''''ψspT，uq'''''''''''R'''''ψspT，uq''dAs。如果|ψ保持在K中，我们可以通过δ估计第二个和，并结合命题5.5（iv）获得R的局部Lipschitz连续性（具有A-可积Lipschitz常数），即ˇψtpT，uq'''ψtpT，uq''Δ'TtLsˇψspT，uq''ψspT，uq'dAs。（56）通过Stieltjes微分方程的Gronwalls引理（c.f.[19，推论19.3.3]），微分满足ψtpT，uq''''ψtpT，uq''''δexp'TtLsdAs'。（57）现在假设τ“sup！t P r0，t s：ˇψtpT，uq'ψtpT，uqˇα）0（58）。这意味着，由于ψ和ψ的共同终值以及右侧的连续性，ψ和ψ的差值小于α，因此，对于所有的t”τ，t。通过（57），我们可以选择δsmall24 M.KELLER-RESSEL，t.SCHMIDT和R.WARDENGAenough，这样ψtpT，uq'ψtpT，uqˇˇαLτAτ\'1dα。因此|ψ不能连续离开α-邻域，而只能通过跳跃。

然而，ψ满足ψtpT，uq“R pt，ψtpT，uqqAtat不连续点（与|ψ类似），由此得出|ψτ'pT，uq'ψτ'pT，uq'α-矛盾。这证明了对右侧的持续依赖。第三，我们展示了[14，引理5.7]的类似物，即存在一个L'evy Khintchine形式的序列pRkqkPNof函数，其容许参数满足假设5.3和条件（54），在pLpdAqq^puoc中收敛到R。在U q上，满足（54）的函数序列pRkqkPNof的构造与[14，引理5.7]或[10]p.33中的相同。在LpdAq^puoc中，只有收敛模式被加强到收敛。在Uq上。从第33页的【10】中，我们获得了任何i p i的标识▄Rikpt，uq'cript，uq“piptq^hu^ξptqk˙'xQptquJ Yi，uJ Yi˙，”（59）其中pptq“αiiiptq>>αiiij Yiptq>，ξptqIzi“0，ξptqJ Yi”αij Yiptq>>>αij Yiptq>，qpkl：“pαikiαiilαiiiiiiihupξq”'exu，ξy'1我们可以简化（59）toxQptquJ-Yi，uJ-Yi中的表达式“2"yl，mPJ Yiulαiliptqαiimptqαiiiptqum.利用截断函数和}ξ}的性质“1，对于足够大的kthatpptqhu^ξptqk˙Cpptq'1`}uJ Yi}ξC'1`}uJ Yi}>>>αiiJ Yiptq>>>αiiptqc不依赖于u或ξ。上述量的可积性w.r.t.αptq的正半不确定性和Cauchy Schwartz不等式得出。这意味着因施工原因，u q上pLpdAqq^puoc中的Rkto r最后，我们进入最后一步。从（53）可以看出，对于每个pt、xq P r0、T s^和s P r0、ts，都存在一个唯一的次随机测度ps、tps、¨q on D withzDexu、ξyps、tpx、Dξq“eφps、T、uq`xψps、T、uq、xy、@u P u。（60）Pφ、ψq的半流性质确保测度族pps、tqsdtPr0、T满足查普曼-科尔莫戈罗夫方程。

根据Kolmogorov存在定理（见[23，Theorem8.4]），在r0，Ts上存在一个D值马尔可夫过程X，在定律上唯一，具有传递核pps，tqsdtPr0，Ts。通过定义，X满足所有u P u的有效性质（36）。提案5.9。设X为命题5.8中的a ffine Markov过程，从someX“X P D”开始。如果X是保守的，则有一个对X的修改，它是一个c\'adl\'ag a ffinesim鞅。超越随机连续性的仿射过程25Proof。设X为a ffine Markov过程，pFtqtě0其自然过滤。从（36），我们有thattmt，ut：“E”exu，XTyˇˇFti“eφtpT，uq\'xψtpT，uq，XTy，（61）必须是所有u P u的鞅。由于φ和ψ在T中是右连续的，而c\'adl\'ag在T中是右连续的，因此将此恒等式应用于T”0表明x（因此也是everyMT，u）在概率上是右连续的。因此，鞅MT，uh是一个c\'adl\'agmodification。让u“pv，wq。通过等式（47）ψJtpT，pv，0qq“对于r0，ts上的所有tat和hencexψItpT，pv，0qq，XIty是v P Rm'的c\'adl\'ag半鞅。对于一些线性相关向量e，…，emin Rmd0，我们可以找到sdt，使得ψItpT，eq，…，ψItpT，emqa对于所有t P ps，ts是线性独立的。因此xi是ps，ts上的半鞅。这可以对任意t进行，它允许使用覆盖参数进行推断（右连续性t“0），xi是R>0上的半鞅。对于过程的实值部分xjo，我们使用，对于所有u”pv，wq P u"，ψj的方程导出为一个解为ψJtpT，uq”wψJtpT q的线性方程（见方程（47））。通过与[10，定理2.12的证明]中相同的参数，可以得出XJ也是ac ` adl\'ag半鞅。我们完成了定理5.6和推论5.7的证明。证据

根据命题5.8和5.9，只需证明X的半鞅三元组由（12）给出，参数与构造X的参数相同。为此，我们将引理3.6应用于X，得到与方程（25）类似的Θtpωq¨F pt，ψtpT，uqqRpt，ψtpT，uqq。。。Rdpt，ψtpT，uqq媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫Gpdt；ω，T，uq…Gdpdt；ω，T，uq，媫媫媫媫其中左侧的F，R包含参数pA，β，α，uq和G，X的半鞅特征（cf.（20））。我们按照定理3.2的证明进行，通过对Rě0^U的可数密集子集“u和L'evy–khintchinenform函数唯一确定其参数三元组的事实，我们导出了（12）的连续部分。跳跃点处的ν方程来自引理3.5和4.4，完成了定理5.6的证明。对于推论5.7的证明，在u“0 yieldspt，Tpx，Dq”exp pφtpT，0q`xψtpT，0q，xyq（62）下计算（36）对于所有0dtdt和x P D。考虑到pt，Tpx，Dqd1和D“Rm>0^Rn，我们看到φtpT，0qd0，ψItpT，0qd0和ψJtpT，0q”0。写入gptq：“ψItpT，0q测量Riccati方程（42b）变成（51）。该方程具有常数解g”0；如果它是唯一的解，那么ψItpT，0q“0对于所有0dtdt插入（42a），也就是φtpT，0q”0。与（62）一起，这表明pt，Tpx，Dq“1，即X是守恒的。备注5.10。定理5.6的证明可以很容易地适用于γ不是t P JA的L'evy–Khintchine形式（40），而是aD值随机变量的一般对数特征函数的情况。这是因为γ只进入测量Riccati方程的部分（42a），而不进入部分（42b）。26 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGA6。

示例和应用本节开始时，我们用一些示例说明了半鞅中随机不连续性的几个方面。之后，我们在第6.1节中研究了离散时间的a ffne半鞅。在第6.2节中，我们简要介绍了半鞅在股息股票价格中的应用，在第6.3节中，我们考虑了一类新的考虑随机不连续性的期限结构模型。示例6.1。考虑（时间不均匀）泊松过程的以下离散时间变量：设X“X P N。此外，假设X是常数，但fort P t1，2，…u除外，并假设XnP t0，1u，n P t1，2。u与P P独立Xn“1q”pnP p0，1q。那么X是一个有效的半鞅，因为对于0dsdt，EreuXt | Fss“exp'uXs'sandt，nPNφnpuq”，其中φnpuq“Ereu”Xns“euppn\'e\'up1\'pnqq”exppu\'logppn\'e\'up1\'pnqq。显然，可能会发生以下情况Xn“0，而φpu，n，tq'φpu，n'，tq”φnpuq‰0。随机不连续性通过在t P t1，2，…u处具有正概率的跳跃来反映。所考虑的过程属于点过程类，其相关跳跃测度为扩展泊松测度，见[21]中的II.1c. 与泊松过程相反，X不是准左连续的。总之，X是一个具有独立增量的过程，但不是一个时间不均匀的L'evy过程。以下示例说明了如何通过适当的（不连续的）时间变化，从随机连续的半鞅，甚至从没有跳跃的半鞅，构造出随机不连续的半鞅。示例6.2。这个例子的灵感来自于【17】：考虑一个随机连续的a ffine半鞅X（如【10】和【14】中所述）。

我们假设D表示a ffne半鞅的状态空间，φ和ψ是X的特征，如（3）所示。设tta¨¨¨¨¨tNuaR0为一些时间点，并且aiP Rd，biP Rd^D为所有x P D的AI\'bi¨x P D，i“1，…，N。然后Xt：“N"yi”1ttětiupai ` bi¨Xtq，tě0（63）是定义2.1意义上的一个半鞅。请注意X通常是非随机连续的，因为它在时间点ti，i以正概率跳跃“1，…，N。超越随机连续性的仿射过程27实际上，通过X的a ffne性质并使用迭代条件期望，我们得到了tkdtatk\'1，E”exu，~Xty | FtkiE”exp'xu，k"yi“1pai ` bi¨Xtqy'Ftki”erki“1xu，aiyE”exp'xk"yi“1abji，Xty'Ftk'exp'k"yi“1xu，aiy'φtkpt，uq'xψtkpt，uq，Xtky（64），因为x是一个函数；这里我们设置了u：“rki”1abji。Lyox的有效特性直接来自方程式（64）。上述示例表明，（63）中考虑的转换的更复杂变体留在a ffine课堂上。以下示例表明，情况并非总是如此。示例6.3。考虑一个有效的进程X和letYt“Xt\'1ttě1uX，tě0。那么Y通常不是有效的，因为对于1dsat，EreuYt | Fss“euX¨eφspt，uq'ψspt，uqXs‰e'φspt，uq'ψspt，uqXsas在一般ψspt，uq‰u中。然而，pX，Y qJis a ffne是债券期权定价中的一个重要属性。以下示例说明了使用ffne傅里叶变换的过程的可能性，这些过程不是半鞅：示例6.4。考虑确定性一维过程Xtpωq“fptq，tě0，函数f为有限变化。例如，可以选择布朗运动的一条路径，在这种情况下，f甚至是连续的。那么，X是一条函数，因为它的fourier变换具有指数形式，asEreuXt | Fss”eufptq。因此，X用φspt，uq“uf ptq”和ψspt，uq”0满足方程2.1。

然而，请注意，X不是半鞅，tTh~nφspt，uq是有限变化的，因此不是拟正则的（参见定义2.5）。对于具有独立增量的过程，GAP也可以完全分类为半鞅的过程，请参见第二节。[21]中的c。本文研究的A ffene半鞅与processessatising（2.1）之间的差距，但这不是半鞅，这超出了本文的范围。除了不连续点t处的一个过渡，t也有可能，如下例所示。示例6.5。设N是强度为λ的泊松过程。这也是一个具有ψspt特征的a ffne过程，uq“u和φspt，uq”λpt'sq peu'1q。让αa伯努利分布的随机变量具有Ppα“'1q”和βa标准正态随机变量。进一步让α、β和N相互独立。考虑（确定性）时间τ0和XT“Nt\'1ttěu'α'βaNτ\'，tě028 M.KELLER-RESSEL、t.SCHMIDT和R.WARDENGAtogether给出的过程（增强）由σpNs、α1tτdsu、β1tτdsu:sdtq生成的过滤。我们计算X的条件特征函数。首先让saτdt；E“exu，XtyˇFsi”E“E”exu，Nt\'1ttěτupα\'β？NτqyˇFτiFsi“eφτpt，uqE reuαs¨e”eψτpt，uqNτ\'uβ？NτˇFsi“eφτpt，uq\'eu\'e\'ue”epψτpt，uq ` uqNτˇFsi“eφτpt，uq ` eu ` e'u'eψspτ，ψτpt，uq'uqNs，在第二种情况下，其中τsdt，我们有e“euXt'Fs‰”exp'φps，t，uq'ψps，t，uq Ns'u'α'βaNτps，t，uq'uXs由φspt、uq“φspt、uq\'1tsaτtu ` log pcosh uqψspt、uq“ψs^τ、ψτpt、uq\'1tsaτtu˙“u\'1tsaτtuu.注意，过程X不满足支持条件2.3，因为它在跳跃之前的正实数上得到支持，并且在τ6.1之后可能会取负值。离散时间内的一个过程。

在所考虑的半鞅方法中，离散时间中的一个函数过程也可以嵌入到连续时间中。这使我们能够在离散时间内全面处理一个函数过程，作为我们一般结果的特例。请注意，任何离散时间过程都是有限变化的，因此是一个半鞅，事实上，定义2.1涵盖了有限维中的所有离散时间过程。我们对离散时间的过程使用时间序列表示法，并在不损失一般性的情况下考虑时间点0、1、2、。考虑一个完全概率空间pOhm, FP q和a filtration in discrete time^F“P^Fnqně0。定义6.6。如果时间序列P^Xnqně0是F自适应的，并且存在c和Cd值的c\'adl\'ag函数φnpm、uq和ψnpm、uq，则称为a fine，例如e“exu，Xmy | Fn‰”exp `φnpm，uq ` xψnpm，uq，uxny（65）适用于所有u P iRdand 0dndm，n，m P n。如果φnpm，uq“φpn'm，uq”：φm'npuq和ψnpm，uq“ψpm'n，uq”：ψm'npuq，同样适用于所有u P ird和0dsdt。为了强调我们正在进行的过滤，我们有时将其称为^X^F-a ffine。我们将其与时间序列P^Xnqně0关联，将其分段常数嵌入到具有rts的连续时间文本“^Xrts，tě0（66“n如果ndtan\'1，则^X是c\'adl\'ag，具有有限的变化，因此是一个半鞅。以类似的方式，我们让Ft”^frts在连续时间内获得相关的过滤。