超越随机连续性的仿射过程

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英文标题：
《Affine processes beyond stochastic continuity》
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作者：
Martin Keller-Ressel, Thorsten Schmidt, Robert Wardenga
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper we study time-inhomogeneous affine processes beyond the common assumption of stochastic continuity. In this setting times of jumps can be both inaccessible and predictable. To this end we develop a general theory of finite dimensional affine semimartingales under very weak assumptions. We show that the corresponding semimartingale characteristics have affine form and that the conditional characteristic function can be represented with solutions to measure differential equations of Riccati type. We prove existence of affine Markov processes and affine semimartingales under mild conditions and elaborate on examples and applications including affine processes in discrete time.
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中文摘要：
本文研究了超越一般随机连续性假设的时间非齐次仿射过程。在此设置中，跳跃时间既不可访问，也可预测。为此，我们在非常弱的假设下发展了有限维仿射半鞅的一般理论。我们证明了相应的半鞅特征具有仿射形式，并且条件特征函数可以用度量Riccati型微分方程的解来表示。我们在温和的条件下证明了仿射马尔可夫过程和仿射半鞅的存在性，并详细阐述了包括离散时间仿射过程在内的例子和应用。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Affine_processes_beyond_stochastic_continuity.pdf (784.41 KB)

2022-6-10 00:31:18 上传

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关键词：连续性 Mathematical Applications Differential Quantitative

超越随机连续性的仿射过程Martin KELLER-RESSEL、THORSTEN SCHMIDT和ROBERT WARDENGAKeywords：一个有效过程、半鞅、随机不连续性、度量差分方程、违约风险、利率、期权定价、公告效应、dividendsAbstract。本文研究了超越一般随机连续性假设的时间非齐次a ffne过程。在此设置中，跳跃时间既不可访问，也可预测。为此，我们在非常弱的假设下发展了有限维半鞅的一般理论。我们证明了相应的半鞅特征具有一种形式，并且条件特征函数可以用度量Riccatitype微分方程的解来表示。我们在温和的条件下证明了a ffne马尔可夫过程和a ffne半鞅的存在性，并详细阐述了包括不区分时间的a ffne过程在内的例子和应用。1、导言在可预测或预定时间跳跃的重要性在财务文献中得到了广泛认可，例如参见【28、18、1、32、31、26、11、13、30】。这是因为股票价格或其他金融时间序列出现了惊人的大幅跳跃或快速变化，这与在预定时间发布的公告相一致，因此是可预测的时间（参见，例如，[22]）。一个突出的例子是2016年6月23日欧元/英镑汇率的飙升，当时很明显，英国关于加入欧盟的公投将支持英国脱欧。此外，股价的大幅上涨往往与季度报告或盈利公告的发布同时发生。（示例见图1，进一步的实证支持参见[12]）。

参考文献[32]中的市场数据，研究并测试了在预定时间包含此类跳跃的计量经济学模型，另见文献[33]和文献[17，16]。虽然金融过程是利率或随机波动性的一个重要模型类别，但它们仅在随机连续性假设下考虑，这排除了在可预测时间的跳跃。本文放弃了这一假设，只在非常温和的假设下研究了一个过程，这种假设允许跳跃在可预测和完全不可访问的时间发生。一个过程的定义属性是条件特征函数的指数形式，它允许丰富的结构属性，同时保持可跟踪性，这是因为条件特征函数用有序微分方程表示，即所谓的“广义Riccati方程”。在随后的研究中，探索了进一步的应用（如[25，24，9]），以及状态空间的扩展（如[5，6]），最显著的是对[14]中的时间非均匀过程的扩展。日期：2018年12月21日。我们感谢Freiburg-Wien-Z¨urich研讨会的与会者激发了讨论并提出了非常有益的意见。2 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGAIn在[14]中的评论2.11中，作者推测，在忽略随机连续性假设的情况下，他的结果也可以在半鞅水平上得到。在这里，我们通过将[14]中的结果推广到具有奇异连续和不连续特征且只有局部可积参数的半鞅来证实这个猜想。在某些温和的假设下，这个结果被a ffene马尔可夫过程和a ffene半鞅的存在性结果所补充。此外，我们还提供了各种示例和应用程序。

特别是，我们提出了一个明确的期限结构框架，允许在之前固定的时间点出现不连续性。20 25 30德意志银行（关闭）2015年1月15日M"ar-15 Mai-15 Jul-15 Sep-15 Nov-15 Jan-16图1。德意志银行股票价格表。垂直线表示2013年和2014年以前年度报告中宣布的日期，例如年度和季度报告以及股东大会。我们用圆圈标记了10个最大的单日波动；其中三个（最大的、第四大和第六大的）发生在预先宣布的日期。手边的论文结构如下。下一节在说明半鞅的定义和引入某些技术假设之前，将回顾半鞅的一些事实。在证明了第一个结果后，我们在第3节中定义了良好参数集的概念，这是我们第一个主要结果的关键组成部分，即表征定理3.2。第4节讨论了αffinemarkov过程和αffinesim鞅之间的关系，以及不可分过程的重要情况。第五节证明了在一定条件下，在其好参数集上存在一个ffene马尔可夫过程和一个ffene半鞅。第6节解释了示例和应用程序，该节介绍了一个新的术语结构框架，从而结束了本文。表征和存在结果中出现的测量微分方程的详细信息，而不是[10]和[14]中出现的常微分方程，推迟到附录中。超越随机连续性的仿射过程32。预备工作2.1。一个半鞅。考虑过滤概率空间pOhm, F，F，P q，过滤F“pFtqtě0满足通常条件。如果随机过程X的所有路径都是左极限右连续的，则取其值，称为c\'adl\'ag。

对于c\'adl\'ag processX，我们定义了X\'和X X X'X0'“X，Xt'”lims`Otxs对于ta0，Xt“Xt'Xt'。特别注意半鞅是一个分解为X“X\'N\'M的过程X，其中XisF是可测量的，N是c\'adl\'ag，经过调整，在每个有限区间内有有限的变化路径，其中N“0和M是从0开始的局部鞅。我们将始终考虑半鞅X的c\'adl\'agversion。对于X的跳跃，我们将一个整值随机测度uXbyuXpdt，dxq”"ysě0t关联起来Xs‰0uδps，Xsqpdt、dxq；（1） 这里δa是点a处的狄拉克测度。我们表示随机测度uXbyν的补偿器或双重可预测投影。这是唯一的可预测随机度量，它呈现关于uX'ν局部鞅的随机积分。我们简要回顾了著名的半鞅特征概念，参【21，Ch.II】：分解为X的半鞅X“X\'N\'M被称为特殊ifN是可预测的。在这种情况下，分解是唯一的，我们称之为正则分解。局部鞅部分M可以分解为连续的局部鞅部分，我们用Xc表示，也可以分解为纯不连续的局部鞅部分，X\'Xc。我们定义了截断函数h：Rd~nRd，这是一个满足HPXq的有界函数“x在0附近。然后是\'Xphq“sd¨pXs'hpXsqq和Xphq“X'ˇXphq都定义了d维随机过程。请注意Xphq“hpXq，这样xphq有界跳跃。由此产生的过程是一个特殊的半鞅，我们用xphq“X ` Bphq ` Mphq”表示其正则分解，具有有限变化的可预测过程Bphq和局部鞅Mphq。半鞅X的特征是三重态pB，C，νq，其中B“Bphq，C”pcijq与Cij“@Xi，C，Xj，cd和ν”νXis是等式（1）中定义的uXde的补偿器。

关于半鞅和随机分析的其他事实，我们参考文献[21]。设DArde为全维闭凸锥，即凸集，带正标量的闭欠乘，线性壳等于Rd。一个重要的例子是Rm>0^Rnwith m\'n“d，这在[10，14]中用作a ffneprocesses的“规范状态空间”。对于Cdwe中的u，w，集xu，wy“rdi”1 Iwiwand表示u的实部。此外，我们用u定义状态空间d的复对偶锥：“tu P Cd:xRe u，xyd0表示所有x P Du。（2）对于正则态空间U等于Cmd0^iRn，式中，Cd0“tu P C:Re ud0u，与【10】中使用的定义一致.我们现在准备陈述本文的中心定义。我们以类似的方式将此符号用于a、a或ě而不是d，并用R而不是C.4 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGADe定义2.1。设X是一个c\'adl\'ag半鞅，取D中的值。如果存在c和Cd值的确定函数φspt，uq和ψspt，uq，在u P u和φspt中连续，则过程Xis称为a ffene半鞅，0q“0和ψspt，0q”0，使得e“exu，Xty | Fs‰”exp`φspt，uq` xψspt，uq，Xsy（3）适用于所有0dsdt和u P u。此外，如果φspt，uq“φpt\'s，uqandψspt，uq”ψpt\'s，uq，同样适用于所有0dsdt和u P u，则x称为时间齐次。注意（3）的左侧由于U.备注2.2的定义，绝对值始终定义良好，并以1为界。将定义2.1与[10]（处理时间齐次情况）和[14]（处理时间非齐次情况）中对一个有效过程的定义进行比较，我们将[10，14]中的马尔可夫假设替换为半鞅假设。鉴于【10，第2.12条】，这似乎略微限制了定义的范围，因为它排除了非保守过程。

另一方面，这也是我们论文的中心点，我们没有像[10，14]中所做的那样，对X施加随机连续性假设。事实证明，忽略这一假设会导致更大类别的随机过程，并大大扩展了[10，14]中的结果。为了继续，我们引入了一个关于支持过程X的重要条件。回想一下，支持一般随机变量X，是最小的闭集C，如P pX P Cq“1；我们用supppXq表示该集。对于集a，我们为其凸包写convpAq，即包含a的最小凸集。条件2.3。我们说一个有效的半鞅X支持全凸跨度，ifconvpspxtqq“D对于所有ta0。在条件2.3下，φ和ψ是唯一指定的：引理2.4。设X是满足支持条件2.3的一个有效半鞅。然后φspt，uq和ψspt，uq是唯一指定的（3）对于所有0asdt和u P u。证明。固定0asdt，并假设rφspt，uq和rψspt，uq在u和u中也是连续的。写出pspt，uq：“rφspt，uq'φspt，uq和qspt，uq：”rφspt，uq'φspt，uq。由于（3）它必须保持pspt，uq\'xqspt，uq，Xsy取t2πik:k P Nu a.s.@u P u中的值。然而，集合U是单连通的，因此其在连续函数下的图像也必须是单连通的。因此，uTh~npspt，uq ` xqspt，uq，Xsy在uan上是常数，因此等于pspt，0q ` xqspt，0q，Xsy“0。因此，对于所有x P suppxsq和u P u，pspt，uq ` xqspt，uq，xy”0。采用凸组合，等式可以扩展到x P D。由于D具有完整的线性跨度，我们得出结论，pspt，uq“0和qspt，uq”0适用于allu P u，完成了证明。定义2.5。如果以下条件成立，则称为拟正则半鞅：（i）函数φ和ψ在s和t中的s和c\'adl\'ag都是有限变化的。

更准确地说，我们假设，对于所有pt，uq P R>0^UsTh~nφspt，uq和sTh~nψspt，超过随机连续性5的uqAFFINE过程是r0，ts上有限变化的c ` adl\'ag函数，对于所有ps，uq P R>0^UtTh~nφspt，uq和tThψspt，uqare c ` adl\'ag函数在rs，8q上。（ii）对于所有0asdt，函数suTh~nφs'pt，uq和uThψs'pt，uqa在u上连续。备注2.6。定义2.5应与【10】和【14】中规定的假设进行比较。这两篇论文都定义了技术“规律性条件”。在[10，14]中，由于X的随机连续性，φ和ψ在其第一个参数中是自动连续的。此外，它们被假定为连续可从右侧区分，导数在u中是连续的。因此，（i）和（ii）明显比[10]或[14]中的正则性假设温和。2.2. 关于φ和ψ的第一个结果。我们继续展示（3）中关于函数φ和ψ的第一个分析结果。引理2.7。设X是满足支持条件2.3的a ffne半鞅。然后，（i）对于所有0asdt，（ii）φ和ψ满足半流性质，即对于所有0asdt和u P u，φspt，uq“φrpt，uq`φspr，ψrpt，uqq，φtpt，uq“0ψspt，uq”ψspr，ψrpt，uqq，ψtpt，uq”u.（4）证明。为了显示第一个性质，回想一下等式（3），我们有“exu，Xty | Fs‰”exp\'φspt，uq` xψspt，uq，Xsy（5）对于所有u P u和0dsdt。自xRe u，Xtyd0，a.s.以来，左侧以绝对值的1为界。因此，对于所有x P suppxsq，也可以使用φspt、uq\'xReψspt、uq、Xsyd0、a.s.和相应的φspt、uq\'xReψspt、uq、xyd0。取这些不等式的任意凸组合，并使用条件2.3的convpuspppxsqq“D，我们得到该不等式实际上必须对所有x P D都成立。

由于Dis是圆锥，这意味着Reφspt，uqd0和ψspt，uq P U，证明（i）。为了显示半流量方程，我们将迭代期望应用于（5）的左侧，yieldingE“E”exu，Xty | Fr‰| Fs‰“E”exp `φrpt，uq ` xψrpt，uq，XryFs‰”“exp `φspr，uq `φspr，ψrpt，uqq ` xψspr，ψrpt，uqq，Xsy。请注意，右侧的指数在u中是连续的，并且（5）的保持不变。通过与引理2.4中相同的论证，我们得出结论：φspt，uq ` xψspt，uq，xy“φspr，uq`φspr，ψrpt，uqq` xψspr，ψrpt，uqq，xy，对于所有x P D。由于D的线性壳是rds，半流方程（4）如下。注意，终端条件ψtpt，uq“u和φtpt，uq”0是e r exppxu，Xtyq | Fts”exppxu，Xtyq和引理2.4的唯一性的简单结果。6 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGARemark 2.8。请注意，由于条件2.3不适用于X的初始值Xof，s“0被排除在半流方程之外。然而，一旦施加准正则性，φ和ψ的c’adl’ag特性立即允许将半流方程也扩展到s“0.备注2.9。为了更简洁地表达半流方程，有时可以方便地引入以下‘大流’符号。定义setpU：“Cd0^U，并用pu”pu、uq表示其元素。定义ψspt、puq：“^φspt、uq\'Uψspt、uq˙。引理2.7的第（i）部分等同于UThИψspt、uq mapspU topU和第（ii）部分的主张对于所有0asdrdt和pu-PpU，等价于ψspt，puq“ψspr，ψrpt，puqq，ψtpt，puq”pu。引理2.10。设X为拟正则半鞅。然后，E“exu，Xt'y'Fs‰”exp'φspt'，uq'Xψspt'，uq，Xsy'，@0dsat，u P u。（6）E“exu，Xty”| Fs'''exp`φs'pt，uq` Xψs'pt，uq，Xs'y'，@0asdt，u P u。

（7） 如果X除满足支撑条件2.3外，还保持E“exu，Xty | Ft''exp `'φtpt，uq'xψtpt，uq，Xt'y，@pt，uq P R>0^U。（8） 证明。第一个表达式（6）后面是（3）两侧t的左极限。在右侧，极限由t中φ和ψ的c\'adl\'ag性质很好地定义。在左侧，支配收敛和X收益率的c\'adl\'ag性质（6）。方程（7）来自一个类似的论点，现在在s中取左极限。事实上，请注意，对于任何可积随机变量，Y鞅收敛产生lim'O0E“Y | Fs'”‰“E”Y | Fs'‰。方程式（8）在s”t处计算（7），并注意到φtpt，uq“φtpt，uq'φt'pt，uq”'φt'pt，uq，和ψtpt，uq“ψtpt，uq'ψt'pt，uq“u'ψt'pt，uq，根据表2.7。引理2.11。设X是一个满足支持条件2.3的拟正则半鞅。然后，（i）对于所有ps，uq P R>0^U函数stTh~nφs'pt，uq，tTh~nψs'pt，uqare c'adl'ag on rs，8q。（ii）“双极限”φs'pt'，uq和ψs'pt'，uq得到了很好的定义，并且独立于极限的顺序，即lim'O0ψs'pt', uq“limΔ'O0ψs'δpt'，uq，φ的情况类似。（iii）当s被s'替换或t被t'（或两者）替换时，半流方程（4）仍然成立。（iv）对于所有0asdt和u P u仿射过程，它认为e“exu，Xt'y''Fs''exp'φs'pt'，uq'xψs'pt'，uq，Xs y'728；，对于所有随机连续性7（v）以外的所有0asdt和u P u仿射过程u P u和0dsat它认为φspt，uq“φsps，ψspt，uqq，ψspt，uq“ψsps，ψspt，uqq。（9） 证明。我们只展示了ψ的权利要求（i）、（ii）和（iii）。证明可以很容易地扩展到φ，例如通过使用备注2.9中的“大流量”参数。